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九（下）期中评价数学学科 3．25
一、选择题（10*4＝40）
1. 的绝对值是（ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．根据绝对值的定义进行计算即可．
【详解】解： 的绝对值是 ，
故选：A．
2. 截至 月 日 时，《哪吒 》累计票房数 亿，连续 天获得单日票房冠军． 同时位居全球
影业票房榜第 名，该片打破了迪士尼、环球对动画的垄断． 其中 亿用科学记数法表示为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键；
根据科学记数法的表示方法，即可求解
【详解】解： 亿 ；
故选：C
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查同底数幂相乘运算，积的乘方，幂的乘方，同底数幂相除等．根据题意逐一对选项进行
计算即可得到本题答案．
【详解】解：∵ ，即A选项不正确，∵ ，即B选项不正确，
∵ ，，即C选项不正确，
∵ ，即D选项正确，
故选：D．
4. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的榫卯结构． 图（2）是六根鲁班锁图（1）中的一个构件，从前面看这
个构件，可以得到的图形是（ ）
A. B. C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可．
【详解】解：从前面看这个构件，可以得到 的图形是 ，
故选：C．
5. 已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（ ）
A. 9π B. 6π C. 3π D. 2π
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为： ；
故选：C．
【点睛】本题考查了扇形面积计算，解题关键是熟记扇形面积公式： ．6. 已知双曲线 经过点 ，下列各点在双曲线 上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，判断点坐标是否在反比例函数上．根据题意先计算出
，再得到 ，再逐一将选项坐标代入判断即可．
【详解】解：∵双曲线 经过点 ，
∴ ，即： ，
∵当 时， ，即A选项中坐标不在双曲线上，
∵当 时， ，即B选项中坐标不在双曲线上，
∵当 时， ，即C选项中坐标不在双曲线上，
∵当 时， ，即D选项中坐标在双曲线上，
故选：D．
7. 如图，在 中， ，外角 的平分线 交 的延长线于
点 ，则 的值是（ ）A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
过点 作 ，根据面积法列出方程即可求解．
【详解】解：如图，过点 作 交 于 点，
在 中， ， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
∴ ，
解得： ．
∴ ．故选：B ．
8. 正六边形 内接于 ，以 为边，正方形 在 内，则 的度数为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的中心角、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等
知 识 ， 正 确 求 出 正 多 边 形 的 中 心 角 是 解 题 关 键 ． 连 接 ， 先 求 出
，再证出 是等边三角形，根据等边三角形的性质可得 ，
，根据正方形的性质可得 ，从而可得 ，然
后根据等腰三角形的性质可得 ，最后根据 求解即可得．
【详解】解：如图，连接 ，
∵正六边形 内接于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，∴ ， ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
9. 已知实数 满足： ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关
键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故 错误；
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，故 正确；
故选： ．
10. 已知如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，点 是 轴上一动点，作直线 交
轴于点 ，以点 为旋转中心把直线 逆时针旋转 得直线 ， 交 轴于点 ，交 轴于
点 ，在点 变化过程中，下列说法错误的是（ ）
A. 当 时， 的值不存在B. 若 ，且 时，点 是 的黄金分割点
C. 连接 ，当 ， 的周长为定值
D. 当 时， ，而当 时， 的值不确定
【答案】D
【解析】
【分析】当 时，过点 作 交 于点 ，分别过点 、 做 轴和 轴的平行线，交点
为 、 、 ， 交 轴于点 ， 交 轴于点 ， 交 轴于点 ，先证明 ，
从而表示出点 ，得到直线 的表达式，接着表示出直线 ，得到点 ， 的坐标，从而得出 ，
当 时， ，同理可知，当 时， 仍为定值，故D选项错误；利用可证
，得出B选项正确；利用勾股定理，可求得 ，利用 可知C选
项正确；当 时， ，以点 为旋转中心把直线 逆时针旋转 得直线 ，此时 为
直线 ，与 轴无交点，故点 不存在，那么A选项正确；一一判断从而得出答案．
【详解】解：当 时，过点 作 交 于点 ，分别过点 、 做 轴和 轴的平行线，
交点为 、 、 ， 交 轴于点 ， 交 轴于点 ， 交 轴于点 ，如图所示：轴， 轴，
四边形 、 、 、 为平行四边形，
，
四边形 、 、 、 为矩形，
， ，
点 ，点 ，
， ，
，
， ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
， ，
，，
设直线 为 ，代入 ， ，
得到 ，解得 ，
直线 为： ，
，
， ，
为
设直线 ，代入 ， ，
得到 ，解得 ，
直线 为： ，
，
点 ，
， ，
当 时， ，，
当 时， ，
，
即 ，
，
，
，
，
点 是 的黄金分割点，故B正确；
直线 为： ，
时， ，
，
，
，的周长为：
，
故C正确；
当 时，同理可得出，直线 为： ，
直线 为： ，
，
点 ，
，
故D选项错误；
， ，
，
当 时， ，以点 为旋转中心把直线 逆时针旋转 得直线 ，
此时 为直线 ，与 轴无交点，故点 不存在，那么A选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，一次函数，
勾股定理，黄金分割点，熟练掌握以上知识点并能构造出等腰直角三角形是解题的关键．二、填空题（4*5＝20 分）
11. 比较大小 ________ （填＞，＝，或＜）
【答案】＜
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，先求出 ，再得到 ，即可得出结果．
【详解】解：∵
∴
∴
即
故答案为：＜．
12. 计算： __________．
【答案】80800.
【解析】
【详解】原式= .
13. 现有外观完全相同的4张刮刮卡，其中“表扬卡”2张，“加分卡”1张，“零食卡”1张，小南从中
随机抽取两张刮开，则小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表
可得出所有等可能的结果数以及抽到两张都是“表扬卡”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
表扬卡 表扬卡 加分卡 零食卡
表扬卡 （表扬卡，表扬卡） （加分卡，表扬卡） （零食卡，表扬卡）表扬卡 （表扬卡，表扬卡） （加分卡，表扬卡） （零食卡，表扬卡）
加分卡 （表扬卡，加分卡） （表扬卡，加分卡） （零食卡，加分卡）
零食卡 （表扬卡，零食卡） （表扬卡，零食卡） （加分卡，零食卡）
共有12种等可能的结果，其中抽到两张都是“表扬卡”的结果有2种，
小南抽到两张都是“表扬卡”的概率是 ．
故答案为： ．
14. 如图，已知矩形 中， ， ，点 ， 分别在边 ， 上，沿着 折叠矩
形 ，使点 ， 分别落在 ， 处，
（1）若 为线段 的中点，则 ＝__________．
（2）当 为 的中点时， 到 的最大距离是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质．
根据矩形的性质可得 ， ， ，设 ，根据折叠的性质可得：
， ，利用勾股定理可列关于 的方程 ，解方程可得 ；因为点 是 的中点，根据折叠的性质可得 ，根据圆的基本性质可知当点
时， 到 的距离最大，最大距离为 ．
【详解】 解： 四边形 是矩形，
， ， ，
点 是 的中点，
，
设 ，则有 ， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
故答案为： ；
解，如下图所示，当点 是 中点时，
，
在 中， ，
，
以点 为圆心 为半径画圆，当点 时， 到 的距离最大，
此时点 到 的距离为 ．
故答案为： ．
三、（2*8＝16 分）
15. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查实数计算，零指数幂，负整数幂计算，绝对值计算等．根据题意先将每项计算后再进行
加减即可．
【详解】解：
．
16. 如图，在平面直角坐标系正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度， 的三个顶点
， ， ，按要求作图．（1）将 向左平移 2 个单位，再向上平移 6 个单位得到 ；
（2）画出 关于 轴对称后得到的 ；
（3）请用无刻度的直尺在 上取一点 ，使 ．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图﹣平移变换及轴对称变换：作图时要先找到图形的关键点；还考查了格点作图．
（1）先作出点 平移后的点 ，再依次连接即可；
（2）先作出点 关于y轴对称的点 ，再依次连接即可；
（3）取格点D，连接 ，交 于点M．
【小问1详解】
解： 即为所求；
【小问2详解】
解： 即为所求；【小问3详解】
解：点M即为所求．
四、（2*8＝16 分）
17. 某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用
2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？
【答案】小客车35人，大客车55人
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学
生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生235人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，
依题意，得
解得：
答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生．
18. 阅读与思考
下面是七年级某同学笔记整理本节选，请仔细阅读并完成相应的任务．求 （ 为正整数）方法
把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除 2
方法 1：“头尾相加法”
．
可得 ，即：
由完全平方公式可得 ， ．
我们列出特殊情况：
；
；
方法2：“递归法” ；．．．
．
两边分别相加可得， ．
．
试用这些方法和结果，可以解决问题．
任务1 计算： __________．
我们知道： ； ； ；．．．
任务2
则 __________．
若 ；
任务3
请仿写下去，并求
【答案】任务1：
任务2：
任务3： ，【解析】
【分析】本题考查了数字的变化规律、乘方，解题关键是要读懂题目的意思，举一反三．
（1）根据方法1：“头尾相加法”即可解答；
（2）根据方法2，“递归法”，计算即可；
（3）根据规律仿写并计算即可．
【详解】解：（1）根据方法1， ，
同时 ，
相加得：
可得： ，
故答案为： ；
（2）根据方法2:，有：
；
；
；
；
两边相加可得， ，
∴ ；
故答案为： ；
（3） ；
；；
；
两边相加得：
．
五、（2*10＝20分）
19. 图 1 是一台手机支架，图 2 是其侧面示意图， 可分别绕点 A，C 转动，测得
．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得 ．
（1）求点C到 的距离；
（2）求点D到 的距离．(结果均保留一位小数，参考数据： ， ，
， )
【答案】（1）点C到 的距离为
（2）点D到 的距离约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造直
角三角形是解题的关键．
（1）过点C作 于点E，由锐角三角函数定义求出 的长即可；（2）过点D作 于点F，过点D作 于点G，则四边形 是矩形，得 ，
由（1）可知， ，再由锐角三角函数定义求出 的长，即可解决问题．
【小问1详解】
解：如图2，过点C作 于点E，则 ，
在 中， ，
，
答：点C到 的距离为 ；
【小问2详解】
解：如图2，过点D作 于点F，过点D作 于点G，
则四边形 是矩形，
，
由（1）可知， ， ，
，
，
在 中， ，
，，
答：点D到 的距离约为 ．
20. 已知如图， 为 的直径； 为 上一点， ，点 为 的中点，连接 ，
交 于点 ，延长交 于点 ，连接 ， ．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得 ，再结合圆周角定量得 ，再根据两直线平
行内错角相等得 ，再由圆周角定理得 ，即可得出结论；
（2）先求出 ，根据含 30 度角的直角三角形的性质得 ，
， ，再由勾股定理得 ，再由 证明
，得 ，进而可得答案．
【小问1详解】证明：∵点 为 的中点， ，
∴ ， ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴在 中， ，
由（1）得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定
理，含30度角的直角三角形的性质．
六、（12分）
21. 【项目背景】
近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（ ）逐渐走进人们的日常生活， 技术已广泛应用于手机、
家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献，某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调
查统计，为人工智能的开发者提供一些参考．
【数据收集与整理】
研究小组对市面上不同的 软件进行整理，请使用者进行评价打分，从使用较好甲、乙两款 软件的评
价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理，成绩均高于 分（成绩得分
用x表示，共分为五组：A： ；B： ；C： ；D： ；E：
）
下面给出了部分信息：
甲款 软件 名使用者打分为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ．
乙款 软件 名使用者打分在 等级的数据是： ， ， ， ， ， ．
甲、乙两款 软件抽取的使用者打分统计表
年级 平均数 众数 中位数
甲款
软件
乙款
软件乙款AI软件抽取的使用者打分统计图
【数据分析与应用】
任务一：上述表中a ＝ ____________；b ＝ ____________；
的
任务二：求扇形统计图中A组所占圆心角 度数．
任务三：下列结论一定正确的是____________．
①甲乙两款 样本数据的中位数均在A组；
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多；
③甲乙两款 样本数据的满分一样多．
任务四：根据甲、乙两款 软件样本的特征数，试估计哪款AI更优，并说明理由．
根据所给信息，请完成以上所有任务．
【答案】任务一： ； ；
任务二：
任务三：②
任务三：甲款更优秀
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，扇形统计图 的圆心角度数，数形结合是解题的关键；
任务一：根据众数，中位数的定义即可求解；
任务二：根据A组的占比乘以 ，即可求解；
任务三：根据题目中的数据逐项分析，即可求解．
任务四：根据甲款 软件的众数和中位数都高于乙款 软件，则甲款更优秀．
【详解】任务一：根据甲款 软件 名使用者打分可得，众数 ，
乙款 软件打分在 等级的数据有 个，占 ，
则 等级的占比为∴ 等级的数据有： 个，
∴第 和 个数据为 ， ，则 ；
故答案为： ； ．
任务二：扇形统计图中A组所占圆心角的度数为
任务三：①甲款 样本数据的中位数在A组；乙款 样本数据的中位数在 组，故①错误
②得分96分以上的样本数据甲乙一样多，都是 个，故②正确
③甲乙两款 样本数据的满分不一定一样多，故③不正确．
故答案为：②
任务四：甲款更优秀．
甲款 软件的众数和中位数都高于乙款 软件，则甲款更优秀．
七、（12分）
22. 已知，在正方形 中，点E是 上一点，点F在射线 上，连接 ，连接 ．
图2 图3
（1）如图1，当 时，求证： ；
（2）如图2，当 平分 时，
①求证： ；
②如图3，若正方形边长为2，点E是 的中点，连接 交 于点G，连接 交 于点H，求
的值．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）结合正方形性质，以及垂直的定义，证明 ，利用全等三角形性质即可证明 ；
（2）①延长 ，取 ，连接 ，结合正方形性质证明 ，利用全等三角形性
质得到 ，再根据等腰三角形性质证明，即可解题；
②结合正方形性质得到 ，得到 ，进而得到 ，延长 交
的延长线于点 ，结合角平分线性质，以及等腰三角形性质得到 ，再证明 ，
，利用相似三角形性质求解，即可解题．
【小问1详解】
证明： 四边形 为正方形，
， ，
， ，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
证明：①延长 ，在延长线上取 ，连接 ，
四边形 为正方形， 平分
， ， ， ，
， ，
，，
， ，
，
．
②解： 四边形 为正方形，
， ，
点E是 的中点，
，
，
，
，
延长 交 的延长线于点 ，
平分 ，
，
，
，
，
，，
，
， ，
， ，
，
，
．
【点睛】本题考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形性质和判定，角平分线定义，相似三角形
性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
八（14分）
23. 已知，二次函数 的图象交x轴于点 和点 ．
图1 图2
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图1，点 ， 是此二次函数的图象上的两个动点，连接 ，点M为线段
的中点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．
①当M在y轴上时，求 的长；
②若点P、Q都在x轴的上方移动时，求 的长．【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质及待定系数法求二次函数表达式，
（1）用待定系数法求二次函数表达式即可；
（2）①先求出 ，再根据点M为线段 的中点，M在y轴上求出点M，进而求出结论；
②求出 及 ，再求出线段 的中点
即可求出结论．
【小问1详解】
解： 二次函数 的图象过点 和点 ，
，
解得： ，
二次函数的表达式为 ；
【小问2详解】
解：①当 时， ，
，
点M为线段 的中点，点 ， ，当M在y轴上时，
，
，
当 时， ，，
当 时， ， ，
，
线段 的中点 ，即 ，
；
②当点P、Q都在x轴的上方移动时，点N一定在点M上方，
点M为线段 的中点，点 ， ，
，
点N、M横坐标都为 ，
时， ，
，
时， ，
，
时， ，
，
线段 的中点 ，
即 ，
．
