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2024-2025 学年第二学期教学质量检测（二）
九年级数学试题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 四个有理数 、 、0、 ，其中比 小的是（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较是解题的关键．根据有理数的大小比
较即可得出答案．
【详解】解： ，
其中比 小的是 ．
故选：A．
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，积的乘方法则逐项分析即可．
【详解】解：A. ，选项运算错误，不符合题意；
B. ，选项运算错误，不符合题意；
C. ，选项运算错误，不符合题意；
D. ，运算正确，符合题意；
故选：D．
3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握三视图的定义，主视图是在物体
正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在
物体正面从左向右观察到的图形.根据三视图得到该几何体是四棱柱，即可解题．
【详解】解：由几何体的三视图可知，该几何体为 ，
故选：A．
4. 已知 ，则以下对实数m的估算正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了无理数的估算，用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【详解】解： ，，即 ，
故选：B．
5. 一个电动玩具车从起点出发，沿笔直轨道做往返运动．如图，曲线表示电动玩具车在运动过程中离出发
点的距离 随运动时间 的变化情况，则这个电动玩具车的平均速度最慢的时间段为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数图象，在每个时间内，用路程除以时间，得出速度，再进行比较，即可作答．
【详解】解：由函数图象得，
： ，
： ，
： ，
： ，
∵
∴这个电动玩具车的平均速度最慢的时间段为 ，
故选：D
6. 如图，AB是 的直径，C是 上一点，连接AC，OC，若 ， ，则 的长为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了弧长公式和圆周角定理，能熟记弧长公式是解此题的关键．
先根据圆周角定理求出 ，求出半径 ，再根据弧长公式求出答案即可．
【详解】解：∵直径 ，
∴半径 ，
∵圆周角 ，
∴
∴圆心角 ，
∴ 的长是 ，
故选：B．
7. 已知 是直线 图象上不同的两个点，若 ，则
下列各点，可能在该直线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质、求一次函数的解析式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．根据 一 次 函 数 的 性 质 得 到 ， ， 得 出 ， 结 合
推出 ，再逐项代入各点的坐标到 ，利用待定系数法求出 的
值即可判断．
【详解】解：代入 到直线 ，得 ，
代入 到直线 ，得 ，
，
，
，
又 ，
；
A、若 在直线 上，则 ，解得 ，不符合题意；
B、若 在直线 上，则 ，解得 ，不符合题意；
C、若 在直线 上，则 ，解得 ，符合题意；
D、若 在直线 上，则 ，解得 ，不符合题意；
故选：C．
8. 如图，正方形 中，E为对角线 上一点，过B点作 ，且 ，连接 ，
若 ，则 长为（ ）A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理．连接
，证明 ，推出 ， ，再证明 是等腰直角三角形，
据此求解即可．
【详解】解：连接 ，
∵正方形 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
9. 已知互不相等的实数 a，b，c 满足 ，则关于 x 的一元二次方程
根的情况为（ ）A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定根的存在情况
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为 整理
，结合 ，故 ，所以 ，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根．
故选：C．
10. 在 中， ，点D为边 上一动点，以 为边作等边
，点C与点E位于 的同一侧，连接 ，则线段 长的最小值是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，直角三角
形的性质等等，取 的中点M，连接 ，则由直角三角形的性质可得 ，由三角形
内角和定理可得 ，解直角三角形可得 ，据此证明 为等边三角形，得到
，进一步证明 ，得到 ，则当 时， 有最小值，即
此时 有最小值，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，取 的中点M，连接 ．
，
∴ ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 时， 有最小值，即此时 有最小值，此时在 中， ，
∴ 的最小值为 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 为实现我国 年前碳达峰、 年前碳中和的目标，清洁能源将发挥重要作用．风能是一种清洁
能源，我国陆地上风能储量就有 兆瓦，数据 用科学记数法表示为___________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法是把一个数表示成 与 的 次幂相乘的形式（ ）的记数
法，掌握科学记数法的定义是解题的关键．根据科学记数法是把一个数表示成 与 的 次幂相乘的形式
（ ）的记数法即可解答．
【
详解】解： ，
故答案为： ．
12. 中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容
两长方形面积相等（如图①中 ）”．问题解决：如图②，点 M是矩形 的对角
线 上 一 点 ， 过 点 M 作 分 别 交 于 点 ． 连 接 ， 若
， 则 ________．【答案】
【解析】
【分析】过点 作 ，交 于点 ，得到四边形 、 是矩形，根据
题意 ，即可求解．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ，如图：
∵四边形 是矩形， ， ，
∴四边形 、 是矩形，
∴ ，
∵点 M是矩形 的对角线 上一点， ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故答案为： ．13. 如图，一张圆桌配有4个凳子，甲、乙、丙三人随机选择一个凳子坐下，恰好甲、乙两人坐在相邻的
位置的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查运用画树状图或图表法的概率的计算，解题关键是运用树状图法或图表法准确列举出所
有座位安排情况，进而确定甲、乙相邻的情况数，再利用概率公式求解．
设出四个凳子编号，用树状图列出甲、乙、丙三人所有可能的座位安排情况，依据相邻位置组合，从所有
情况中找出甲、乙相邻的情况，
根据概率公式，计算出甲、乙相邻的概率．
【详解】设四个凳子依次为1号、2号、3号、4号．用甲，乙，丙，和空表示三人的座位安排情况．
共有24种不同做法，其中两人坐在相邻的位置为在1和2或2和3或3和4或4和1的共有16种，
∴甲、乙两人坐在相邻位置的概率为 ．
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点 、B为反比例函数 图象上两点， 轴于点
C．（1） _______；
（2）若 ，则B点坐标为_______．
【答案】 ①. 16 ②.
【解析】
【分析】（1）求解 ，可得反比例函数解析式为： ，再结合 的几何意义可得答案；
（2）如图，延长 交 的延长线于 ，过 作 轴于 ，求解 ，证明
， ，可得 ， ， ，设
，再进一步求解即可．
【详解】解：（1）∵点 、B 反比例函数 图象上两点，
为
∴ ，
∴反比例函数解析式为： ，
∵ 轴于点C．
∴ ，故答案为： ，
（2）如图，延长 交 的延长线于 ，过 作 轴于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： （ 舍去），∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数 的几何意义，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，一元
二次方程的解法，作出合适的辅助线是解本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查 的是零次幂，实数的混合运算，先计算零次幂，立方根，绝对值，再合并即可．
【详解】解：
．
16. 在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别为 ．
（1）画出 关于原点 的中心对称图形 ，并写出 点坐标；
（2）请用无刻度直尺作出 中 边上的中线 ，并保留作图痕迹．【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解
【解析】
【分析】本题主要考查平面直角坐标线中图形的变换，图形与坐标，矩形的性质等知识，掌握平面直角坐
标系的特点，矩形的性质是关键．
的
（1）根据中心对称图形 性质作图，图形与坐标的关系写出点坐标即可；
（2）运用格点，矩形的性质作图即可．
【小问1详解】
解：如图所示， 即为所求，其中点 的坐标为 ：
【小问2详解】
解：如图所示，根据格点，取矩形 ，连接对角线交于点 ，
∴中线 即为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 乡村振兴局深入推进种植业振兴行动之际，某超市积极践行社会责任，依托自身供应链优势精准帮扶
农户拓展销售渠道．已知九月份山核桃的售价40元/千克，苹果的售价20元/千克，这两种农产品的销售总
额达到20000元．十月份时，山核桃售价单价保持不变，销量比九月份增加了 ，苹果的销售单价降价
，销量却比九月份增加了 ．
（1）设九月份山核桃的销量为x千克，苹果的销量为y千克，请用含x，y的代数式填表（填化简后的结
果）：
月份 山核桃销售额/元 苹果销售额/元 销售总额/元
九月份 20000
十月份 _______ _______（2）若十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额增加5200元，求x，y的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是列代数式，二元一次方程组的应用；
（1）由销售额等于单价乘以数量分别计算即可；再由销售总额等于两种农产品的销售额之和可得答案；
（2）根据九月份两种农产品的销售总额达到20000元，十月份两种农产品的销售总额比九月份的总销售额
增加5200元，再建立方程组求解即可．
【小问1详解】
解：九月份山核桃销售额为 元，
十月份苹果销售额为 元，
∴销售总额为 元，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：根据题意得： ，
解得： ．
18. 某园林公司举行盆景展览，如图所示是用这两种盆景摆成的图案，黑色圆点为六月雪盆景，黑色正方
形为九里香盆景．图1中六月雪盆景数量为4，九里香盆景数量为2；图2中六月雪盆景数量为6，九里香
盆景数量为6；图3中六月雪盆景数量为8，九里香盆景数量为12；…按照以上规律，解决下列问题：
（1）图5中，六月雪盆景数量为_______，九里香盆景数量为_______；
（2）若园林公司用这两种盆景共132盆按如上规律摆成一个图案，请求出该图案中六月雪和九里香这两种
盆景分别多少盆？
【答案】（1）12；30
（2）六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆
【解析】
【分析】本题考查了图形规律探索、一元二次方程的应用，观察图形的变化找到隐含的规律是解题的关键．
（1）观察图形，得出第 个图中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，再代入 即
可求解；
（2）设该图案为如上规律的第 个图，根据题意列出方程，解出 的值，即可解答．
【小问1详解】
解：图1中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图2中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图3中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
图4中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
…
第 个图中六月雪盆景数量为 ，九里香盆景数量为 ，
当 时， ， ，
图5中，六月雪盆景数量为12，九里香盆景数量为30．
故答案为：12；30．
【小问2详解】
解：设该图案为如上规律的第 个图，
由题意得， ，
解得： ， （不符合题意，舍去），
此时六月雪盆景数量为 盆，九里香盆景数量为 盆，答：六月雪盆景有22盆，九里香盆景有110盆．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 小明周末去公园测量一棵银杏树的高度，从 处测得银杏树顶 处的仰角为 ，接着小明向银杏树
方向前进了 米后到达点 ， 处有一高为 米的高台 ，小明在高台 处测得树顶 的仰角为 ，
已知点 在同一水平直线上，且 ， 均垂直于 ，求这棵银杏树 的高．（精确到
米，参考数据： ， ， ）
【答案】约为 米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，过点 作 于点 ，可得四边形
为矩形，即得 米， ，设 米，则 米，由
可 得 米 ， 即 得 米 ， 进 而 得 米 ， 再 解
求出 即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，则四边形 为矩形，
米， ，
设 米，则 米，
在 中， ，
米，
米，
米，
米，
在 中， ，
，
，
，
经检验 是原方程的解，符合题意，
米，
答：这棵树的高约为 米．
20. 如图， 为 的直径， 与 相切于点C，交 的延长线于点D，E为 上另一点，且
， 与 相交于点M．（1）求证： 平分 ；
（2）若 ，求 半径长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，交 于点F，根据切线的性质，平行线的性质与判定科得出 ，根据
直径所对的圆周角是直角可得出 ，则 ，根据平行线的性质和等边对等角即可得证；
（2）：连接 交 于点 G．证明 ， ，得出 ，
，则 ，进而得出 ，则 为等边三角形，根据三线合一的
性质得出 ， ，根据垂径定理求出 ，最后根据余弦的定义求解即可．
【小问1详解】
证明：连接 ，交 于点F
与 相切又 为 为的直径
，
，
，
，
，
即 平分 ．
【小问2详解】
解：连接 交 于点G．
由（1）知 ，
，
，
，
，
为等边三角形，
又 平分 ，
，，
．
【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，掌握相关
性质定理进行推理论证是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校为推进“垃圾分类进校园”活动，在八年级A班和B班开展环保知识竞赛．现分别从A班、B班各
随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
A班10名同学测试成绩统计如下：85，78，86，79，72，91，79，72，69，89
B班10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，85，80，74，90，74，75，81
【整理数据】两组数据各分数段，如表所示：
成绩
A班 1 5 3 1
B班 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
平均数 中位数 众数 方差
A 72和
80 a 51.8
班 79
B
b 80 80 c
班
【问题解决】
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： _______， _______；
（2）请计算表格中c的值．
（3）若A、B两班总人数相等，请根据上述数据，估计哪个班级学生对环保知识掌握情况较好？请说明理
由．
【答案】（1）79；80
（2）（3）B班较好，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中位数，平均数，方差，用样本估计总体，掌握相应的定义是解题的关键．
（1）根据中位数，平均数和方差的定义进行求解即可；
（2）根据方差的计算公式进行求解即可；
（3）分别用平均数，中位数，众数和方差进行比较可得到答案．
【小问1详解】
解：将A班成绩从低到高排列为：69，72，72，78，79，79，85，86，89，91，
处在第5名和第6名的成绩分别为79，79，
∴A班的中位数 ，
B班的平均数 ，
故答案为：79；80；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：B班较好，理由如下，因为A班和B班的平均成绩一样，A班的中位数是79，B班的中位数是80，A
班的中位数小于B班的中位数，A班的众数72和79也小于B班的众数80，所以B班的成绩估计比A班较
好．
七、（本题满分12分）
22. 已知抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，对称轴为 ．
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）当 时，求 的取值范围；
（3）将抛物线 向上平移 个单位长度，平移后的抛物线与直线 相交于（点 在 点的左边）两点，若 ，求 的最大值．
【答案】（1） ，顶点坐标
（2）
（3）
【解析】
【分析】（ ）利用待定系数法可求出抛物线的解析式，进而可求出顶点坐标；
（ ）根据二次函数的性质解答即可求解；
（ ）利用待定系数法求出直线 的解析式，又由点 的坐标可得 ，联立函数解析式
可得 ，即可得 ，得到 ，再根据二次函数的
性质可求出 的最大值；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，掌握二次函数
的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵抛物线 交 轴于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线对称轴为 ，且与 轴交于 ，
，
解得 ，∴ ，
∵ ，
∴顶点坐标为 ；
【小问2详解】
解： ， ，
当 时， 取最大值， 的最大值为 ，
，且函数图象的开口向下，
∴当 时， 取最小值， ，
∴ ；
【小问3详解】
解：设直线 的解析式为 ，
，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
由 ，整理得 ，
，
，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时， 的值最大，最大值为 ．
八、（本题满分14分）
23. 综合实践
纸是由国际标准化组织的 定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准
某数学兴趣小组通过折叠 纸来探究其中的数学奥秘．
【操作与发现】
如图1，矩形 是一张标准的 纸，取 ， 边的中点M、N，以直线 为轴进行对折，同
学们发现对折后的矩形 与原矩形 相似，由此我们得到：又因为 ，所以
于是我们得出如下结论：（1） 纸的长与宽之比为_______．
【探究与计算】
矩形 是一张标准的 纸，E为 边上一点，以直线 为轴，将 进行翻折，B点的对应
点为 ．
（2）如图2，若 点在 边上时，则 的值为_______；
（3）如图3，若E为 边的中点，连接 ，求 的值．
【拓展与证明】
（4）如图4，矩形纸片 中， ，E为 边上一点，以直线 为轴，将 进行翻
折，C点的对应点落在 边上的 点，然后把纸片展平，再以 为轴，将 进行翻折，点D
的对应点落在直线 上的 处，折痕 与 相交于点O，与 相交于点F，若 ．
求 的面积．
【答案】（1） 纸的长与宽之比为 ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】
【分析】（1）根据已有的过程得 ，整理得 ，即可作答．
（2）结合矩形的性质与折叠的性质，证明四边形 是正方形， ，再代入数值进行化简，即可作答．
（3）结合矩形的性质与折叠的性质，得 ，则 ，故 ，
在 中， ，代入数值化简得 ，故 ，则
，即可作答．
（4）因为 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，得
，证明四边形 是菱形，故 是等腰直角三角形，证明
，则 ，再证明 ，得
，化简 ，即可作答．
【详解】解：（1）依题意 ，
∴ 或 （舍去），
即 ，
即 纸的长与宽之比为 ，
故答案为： ；（2）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵矩形 是一张标准的 纸，且（1）得 纸的长与宽之比为 ，
∴ ，
故答案为： ．
（3）过点 作 ，交 于一点 ，垂足为点 ，
∵矩形 是一张标准的 纸，
∴ ，
∵折叠，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
设 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（4）连接 ，如图所示：
∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，∵ 与 关于直线 对称，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
在 和 中，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴设 则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的判定与性质，
正方形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．
