文档内容
2025 年中考第三次模拟数学试卷
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上
答题是无效的．
3．考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值和求一个数的相反数，先计算 ，再根据只有符
号不同的两个数互为相反数可得答案．
【详解】解： ，则 的相反数是 ，
故选：D．
2. 2025年1~3月，安徽省汽车产量为 万辆，首次反超广东，登顶中国第一汽车产量大省．数据“
万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 万 ，
故选：C．
3. 如图，是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查三视图的俯视图，俯视图是指从物体上边看得到的图形，该几何体从上边看是长方
体中有一个圆即可．
【详解】解：根据俯视图的定义，可知该几何体从上边看是长方体中有一个圆，
故选：D．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法与除法，积的乘方．根据合并同类项，同底数幂的乘法
与除法，积的乘方逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、 与 不能合并，故该选项不符合题意；
B、 ，故该选项不符合题意；C、 ，故该选项不符合题意；
D、 ，故该选项符合题意；
故选：D．
5. 解分式方程 时，去分母变形正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分
母．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
整理可得：
故选：A．
6. 将一把直尺和一块含 角的三角板 按如图所示的位置放置，如果 ，那么 的
度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 本 题 考 查 了 平 行 线 的性 质 ， 三 角 形 内 角 和 定 理 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 求 出
，再用角的和差求 的度数即可求解，解题关键是熟练运用平行线的
性质求角．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7. 如图是九（1）班的同学每周课外阅读时间的频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．
由图可知，每周课外阅读时间不少于6小时的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，根据频数分布直方图中各组的频数进行计算即可．
【详解】解：由题意得，每周课外阅读时间不少于6小时的概率是： ，
故选：B．
8. 如图，矩形 的边 与y轴平行，顶点B的坐标为 ，D的坐标为 ，反比例函数
的图像与矩形ABCD有公共点，则k的取值范围为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形写出A， 两点坐标，然后利用双曲线 经过点A， 时对应的k值，从而得到k
的取值范围．
【详解】解：由题可知A， 两点坐标为： ,
当双曲线 经过点A时，k的值最小，此时 ，
当双曲线 经过点 时，k的值最大，此时 ，
∴k的取值范围为
故选B．
【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k是解题的关键．
9. 如图，在 中，点D、E在 边上，连接 并延长交 延长线于点G．过D作
于F．若 ， ， ， ， ，则 的长
为（ ）A. B. C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，
平行线的性质等知识．设 ，则 ， ， ，
则 为等腰三角形．由勾股定理得， ，设 ， ，由勾股定理得，
，即 ，解得 ，则 ，如图，过B作 交 于
Q，证明 ，则 ，求得， ，由 ，可得 ，
则 ，求解作答即可．
【详解】解：设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形．由勾股定理得， ，
设 ， ，
由勾股定理得， ，即 ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
如图，过B作 交 于Q，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
10. 已知二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，则下列结论
错误的是（ ）A. 当 时， 随 的增大而减小；
B. 若图象经过点 ，则 ；
C. 若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
D. 若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据题目中的函数解析式和二次函
数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解题的关键是明确题意，利用二次
函数的性质解答．
【详解】 、设抛物线与 轴交点为 ，
∵二次函数 ，
∴ ， ， ，
∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，此选项正确；
、∵二次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
若图象经过点 ，则 ，
得： ，
∵ ， ，∴ ，此选项正确；
、∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 是函数图象上的两点， 离对称轴近些，
∴ ，此选项错误；
、由图象上两点 对一切正数 ，总有 ，
∵该函数与x轴的两个交点为 ， ，
∴ ，
解得： ，此选项正确；
故选： ．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分 20分）
11. 计算： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是立方根的含义，零次幂的含义，先计算立方根，再计算零次幂，再合并即可．
【详解】解： ；
故答案为：
12. 分解因式 ______．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了分解因式，掌握分组分解法，提取公因式法因式分解是关键．
运用分组分解法，提取公因式法因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
13. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，
c，记 ，那么其面积 ．如果某个三角形的三边长分别为2，
3，3，其面积S介于整数 和n之间，那么n的值是___________．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算三角形的面积为 ，再估算 的范围可得： ，从而可得答案．
【详解】解：三角形的三边长分别为2，3，3，则 ，
∴其面积
，
∵ ，
∴n的值为3．
故答案为3．
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解本题的关键．14. 如图，矩形 中， ， ，点E在边 上，且 ，动点P从点A出
发，沿 运动到点B停止，过点E作 交射线 于点F，连接 ，点Q是线段 的中点，
连接 ，则
（1）当 时， _______；
（2）连接 ，则在点P运动的整个过程中，线段 长的最小值为_______．
【答案】 ① . ②.
【解析】
【分析】（1）过F作 于K，连接 ，证明四边形 是矩形，可得
．证明 ，可得 ，最后根据直角三角形斜
边中线的性质求解即可．
（2）连接 ，取 的中点K，连接 并延长与 的延长线交于点J，连接 ，证明Q在
的垂直平分线上，即得出当 时， 最小，结合勾股定理求出 ，证明 ，
即得出 ，再求出 ，即可列出 ，求解即可．
【详解】解：（1）过F作 于K，连接 ，∵矩形 中， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵点Q是线段 的中点，
∴ ．
故答案为： ；
（2）如图，连接 ，取 的中点K，连接 并延长与 的延长线交于点J，连接 ，∵ ，点Q是线段 的中点，
∴ ，
∴Q在 的垂直平分线上，
∴当 为线段 的垂直平分线且 时， 最小，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和
性质，锐角三角函数，线段垂直平分线的判定和性质等知识，较难．正确作出辅助线是解题关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式，根据不等式的性质取分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1
即可．
【详解】解：去分母得 ，
移项得 ，
合并同类项得 ，
系数化为1得 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交
点）A，B，C的坐标分别为 ， ， ．（1）将线段 先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到线段 ，画出线段 ；
（2）将线段 绕B顺时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 ；
（3）在所给网格图中确定一个格点D，描出线段 ，使得 ，写出点D的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了平移作图，旋转 ，根据题意结合网格特点画出图形是解此题的关键．
（1）根据所给平移方向作图即可；
（2）根据所给旋转方式作图即可；
（3）观察网格特点即可求解．
【小问1详解】
解：如图，线段 即为所求；【小问2详解】
解：如图，线段 即为所求；
【小问3详解】
解：如图，线段 即为所求， ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 2023年，某包田大户种植两种水稻，分别是粳稻和杂交水稻，种植粳稻投资 万元，种植杂交水稻投
资 万元，年底分别挣得 和 的利润．
（1）2023年，该包田大户总利润是______万元；（用含 的代数式表示）
（2）2024年，该包田大户预投资60万元用于种植这两种水稻，已知两种水稻利润之和是 ，若2024
年与2023年两种水稻利润率相同，求2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资的金额．
【答案】（1）
（2）2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元．
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，二元一次方程组的应用，找出数量关系列出方程组是解答本题的关键．
（1）根据总利润=粳稻的利润+杂交水稻的利润求解即可；
（2）设2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资x万元和y万元，然后列方程组求解即可．
【小问1详解】
由题意，得
该包田大户总利润是 万元．故答案为： ；
【小问2详解】
设2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资x万元和y万元，由题意，得
，
解得
．
答：2024年该包田大户对种植粳稻和杂交水稻分别投资45万元和15万元．
18. 如图，第1个图案中“◎”的个数为 ，“●”的个数为 ；
第2个图案中“◎”的个数为 ，“●”的个数为 ；
第3个图案中“◎”的个数为 ，“●”时的个数为 ；
……
（1）在第 个图案中，“◎”的个数为_____，“●”的个数为_______．（用含 的式子表示）
的
（2）根据图案中“●”和“◎” 排列方式及上述规律，求正整数 ，使得第 个图案中“●”的个
数是“◎”的个数的 ．【答案】（1） ；
（2）6
【解析】
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【小问1详解】
由题知，
第1个图案中“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；
第2个图案中“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；
第3个图案中“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；
，
所以第 个图案中“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ；
故答案为： ， ．
【小问2详解】
由题知，
，
解得 或6，
因为 为正整数，
所以 ．
故正整数 的值为6．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为弘扬革命传统精神，某校组织学生前往渡江战役纪念馆缅怀革命先烈．初到纪念馆，数学兴趣小组的同学们就发现广场上有一座雄伟壮观的胜利塔（如图 1），想知道胜利塔的高度 （塔顶到水平地面
的距离），于是他们进行了测量．如图2，他们在地面上的点A处用测角仪测得塔顶 的仰角为 ，在
点 处测得塔顶 的仰角为 ．已知 ，测角仪的高度是 （点 在同一条直线
上）．根据以上测量数据求胜利塔的高度 ．（结果保留整数， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得 ，
先利用三角形的外角性质可得 ，从而可得 ，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，然后再加上 即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
∵ 是 的外角，
，
，
∴ ，在 中， (m)，
．
答：胜利塔的高 约为 ．
20. 如图， 是 的直径，C，D分别为直径 两侧 上的点，且 ，过点D作 的切
线交 延长线于点E，连接 交 于点F，连接
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求直径 的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，求得 ，根据切
线的性质得到 ，得到 ，根据等腰三角形的判定定理得到 ；
（2）设 ， ，得到 ，过 E 作 于 G，根据等腰三角形的性质得到
，过O作 于H，得到 ，求得 ，根据全等三角形
的性质得到 ，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ，
∴设 ， ，
∴ ，
过E作 于G，
∵ ，∴ ，
过O作 于H，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴直径 的长度为 ．
【点睛】本题考查了切线 的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌
握切线的性质是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制
了如下不完整的统计图表．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长
人数
20
2515
10
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中 ；
（2）该校某同学从《朝花夕拾》、《红岩》、《骆驼祥子》、《西游记》四本书中选择两本进行阅读，
这四本书分别用相同的卡片 标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，
请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》两本书的概率．
【答案】（1）100，30
（2）
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概
率，
（1）将 组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以 组的百
分比即可求出a的值；
（2）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的
结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【小问1详解】
解：∵ 组的人数为25，占比为 ，且 ，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵ 组占比 ， ，
∴ ，故答案为：100，30；
【小问2详解】
解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树
状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即A和D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的） ．
七、（本题满分12分）
22. 在四边形 中，点 为 的中点，分别连接 ．
（1）如图1，若 ．
①求证： ；
②若 平分 ，求证： ；
（2）如图2，若 ，求 的长．
【答案】（1）①见解析；②见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据对应角相等证明 ，所以对应边成比例，再根据 是 中点，代入比例式即可求证；
②根据三角形内角和定理以及平角的定义求证即可；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，根据全等三角形的判定与性质，构造
，在根据等腰三角形的判定得出 为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出 的长．
【小问1详解】
证明：① ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，即 ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：如图，过点 作 ，连接 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定
理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1，抛物线 （a，b是常数，且 ）与x轴交于点 和点B，与y轴交于
点C，已知 ．（1）求a，b的值；
（2）若点P是第一象限抛物线上一点．
（ⅰ）如图2，连接 ， ， ，若 的面积为3，求点P的坐标；
（ⅱ）如图3， 是抛物线的对称轴，点D是顶点，点E是对称轴与x轴的交点，直线 与直线
交于点G， 的面积为 ， 的面积为 ，判断 是否为定值？若是，请求出该定值；若
不是，请说明理由．
【答案】（1） ，
（2）（ⅰ） 或 ；（ⅱ）是，8
【解析】
【小问1详解】
解：当 时， ，
∴ ，
∴点 ，点 ，
∴可设抛物线对应的函数解析式为 ，
将点 代入，得 ，
解得 ，
∴ ，∴ ， ；
【
小问2详解】
解：设 ．
（ⅰ）如图，过点P作 轴交 于点Q．
设直线 解析式为
反 ， ，代入得
，解得：
∴直线 的解析式为 ，
则点 ，
∴ ，
∴ ，
整理，得 ，解得 ， ，
当 时， ；当 时， ，
∴点P的坐标为 或 ；
（ⅱ） 为定值．设直线AP的解析式为 ，代入 ， ，
得 解得
∴直线 的解析式为 ．
∵
∴抛物线的对称轴为直线 ，
把 代入 ，得 ，
∴点F的坐标为 ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
代入 ， ，
得 解得
∴直线 的解析式为 ，
把 代入 ，得 ，
∴点G的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
即 为定值，该定值为8．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解板式、一次函数解析式，二次函数图象性质，三角形的面积等
知识．此题属二次函数综合题目—面积问题，在坐标系中，银题关键是掌握求三边均不与坐标轴平行的三
角形面积的方法．方法一：“宽高法”． ．方法二：“割补法”．．
