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专题 21.1 一元二次方程【十大题型】
【人教版】
【题型1 辨别一元二次方程】..................................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】.....................................................................................................2
【题型3 由一元二次方程的定义字母的取值范围】.............................................................................................2
【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】.................................................................................................2
【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】.............................................................................................3
【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】.........................................................................................3
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】.....................................................................................4
【题型8 根据实际问题列一元二次方程】..............................................................................................................4
【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】.................................................................................................5
【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】.................................................................................................5
知识点1：一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 辨别一元二次方程】
【例1】（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
1
A．x+2y=1 B．ax2+bx+c=0 C．3x+ =0 D．x2−2=0
x
【变式1-1】（23-24九年级上·上海长宁·期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
1
A． −1=0 B．❑√x=5x2 C．ax2+x−6=0 D．x(x+1)=5x−1
x2
【变式1-2】（23-24九年级上·四川成都·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
3
A．(x−2)(x−3)=0 B．x+ =4
x
C．ax2+bx+c=0 D．−3x2+2x3=1
【变式1-3】（23-24九年级上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
1
①3x2+x=20，②2x2−3xy+4=0，③x2− =4，④x2=0．
xA．①② B．①②④ C．①③④ D．①④
【题型2 由一元二次方程的定义求字母的值】
【例2】（23-24九年级下·江苏扬州·期末）已知关于x的方程(k−3)x|k)−1+(2k−3)x+4=0是一元二次方
程，则k的值应为（ ）
A．±3 B．3 C．−3 D．不能确定
【变式2-1】（23-24九年级下·河北保定·期末）关于x的方程 是一元二次方程，则
xa2−7−3x−2=0 a=
．
【变式2-2】（23-24九年级下·安徽合肥·期末）若关于x的方程 是一元二次方程，
(m+1)xm2+1+5x−4=0
则m的值是（ ）
A．1 B．−1 C．0 D．±1
【变式2-3】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）❑√mx|m−2|+3x−7=0是一元二次方程，则m=
．
【题型3 由一元二次方程的定义求字母的取值范围】
【例3】（23-24九年级上·福建泉州·期末）关于x的方程ax2−x−1=0是一元二次方程，则a的取值范围
是（ ）
A．a>0 B．a≠0 C．a<0 D．a为任意实数
【变式3-1】（23-24九年级上·北京大兴·期末）若 是关于x的一元二次方程，则a的
(a−3)x2−3x−4=0
取值范围是 ．
【变式3-2】（23-24九年级上·四川遂宁·期中）若方程(a-2)x2+❑√ax=3是关于x的一元二次方程，则a的范
围是（ ）
A．a≠2 B．a≥0 C．a≥0且a≠ 2 D．a为任意实数
【变式3-3】（23-24九年级下·重庆·期末）如果关于x的不等式组¿有且仅有三个整数解，且关于y的方程
(m−2)y2+my+1=0是一元二次方程，则符合条件的所有整数m之和为 ．
知识点2：一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是
一次项系数；c就是常数项。
【题型4 由一元二次方程的一般形式识别系数】
【例4】（23-24九年级下·山东烟台·期中）一元二次方程3x2−4x−1=0的二次项系数、一次项系数、常
数项分别是（ ）A．3，−4，−1 B．3，4，1 C．3，4，−1 D．3，−1，−4
【变式4-1】（23-24九年级下·广西梧州·期中）下列方程是一元二次方程的一般形式的是（ ）
A． B． C． D．
(x−1) 2=4 3(x−2) 2=27 5x2−3x=0 ❑√2x2+2x=8
【变式4-2】（23-24九年级上·甘肃天水·期中）将一元二次方程 化成它的一般形
2(x+3)(x−4)=x2−10
式为 ．
【变式4-3】（23-24九年级下·山东烟台·期中）若将关于x的一元二次方程3x2+x−2=ax(x−2)化成一般
形式后，其二次项系数为1，常数项为−2，则该方程中的一次项系数为（ ）
A．5 B．3 C．−5 D．−3
【题型5 由一元二次方程的一般形式求字母的值】
【例5】（23-24九年级·上海·假期作业）已知关于x方程−x2+mx−3m=5x的各项系数与常数项之和为
2，求m的值．
【变式5-1】（23-24九年级上·山东青岛·期中）关于x的一元二次方程 的一次
(m+3)x2+(m2−5)x−3=0
项系数为4，则m的值为（ ）
A．3 B．0 C．3或－3 D．0或3
【变式5-2】（23-24九年级上·江苏徐州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx=3x+5化为一般形式后不含
一次项，则m的值为（ ）
A．0 B．±3 C．3 D．-3
【变式5-3】（23-24九年级上·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程(2ax+1)(x−a)=a−2的二次项
系数是−4，则a的值为 ．
知识点3：一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程
的解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【题型6 由一元二次方程的解求字母或代数式的值】
【例6】（23-24九年级下·江苏·专题练习）已知a是方程x2+2x−1=0的一个根，则代数式
的值 ．
(a+1) 2+a(a+2) =
【变式6-1】（23-24九年级上·黑龙江·期中）已知一元二次方程x2−4x+m=0有一个根为2，则m值为
．
【变式6-2】（23-24九年级上·江苏南京·期末）若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个根，则am2+bm−7的值为( )
A．-2 B．1 C．12 D．-12
【变式6-3】（23-24九年级上·广东广州·期中）已知a是方程x2−2022x+1=0的一个根，则
2022
a2−2021a+
的值为 ．
a2+1
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】
【例7】（23-24九年级上·山西长治·期中）将关于x的一元二次方程x2−px+q=0变形为x2=px−q，就
可以将x2表示为关于x的一次多项式，也可以将x3表示为x⋅x2=x(px−q)=…，从而达到“降次”的目
的，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．若x2+x−1=0，则
x3+2x2+2023的值为（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【变式7-1】（23-24九年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子
m3+2m2+2020的值为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【变式7-2】（23-24·重庆·一模）已知m为方程x2+x−3=0的一个根，则代数式m3+2m2−2m+6的值为
．
【变式7-3】（23-24九年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程x2−x−11=0的一个
根，则 a2−11 的值等于 ．
2a3−3a2+11
【题型8 根据实际问题列一元二次方程】
【例8】（23-24九年级下·重庆·期中）由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根
本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房
约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为x，则方程可以
列为（ ）
A． B．
5+5x+52=20 5(1+x) 2=20
C． D．
5(1+x) 3=20 5+5(1+x)+5(1+x) 2=20
【变式8-1】（23-24·山西晋中·二模）某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出100件，
每件获利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低1元，那么平均每天可多售出10件．商场要想平均每天获利3640元，这款文创产品每件应降价多少
元？设这款文创产品每件降价x元，根据题意可列方程为（ ）
A．(30+x)(100−10x)=3640 B．(30+x)(100+10x)=3640
C．(30−x)(100+10x)=3640 D．(30−x)(100−10x)=3640
【变式8-2】（23-24·广西南宁·二模）2024年汤姆斯杯羽毛球赛于4月27日至5月5日在成都举行，根据
赛制规定，所有参赛队伍先通过抽签分成若干小组进行小组赛，小组赛阶段每队都要与小组内其他队进行
一场比赛，已知中国队所在的小组有n支队伍，共安排了6场小组赛．根据题意，下列方程正确的是（
）
1 1
A． n(n+1)=6 B． n(n−1)=6
2 2
C．n(n+1)=6 D．n(n−1)=6
【变式8-3】（23-24九年级下·全国·专题练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数
字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则方程为（ ）
A． B．
x2+(x−4) 2=10(x−4)+x−4 x2+(x+4) 2=10x+x−4−4
C． D．
x2+(x+4) 2=10(x+4)+x−4 x2+(x+4) 2=10x+(x−4)−4
【题型9 由一元二次方程的解求另一方程的解】
【例9】（23-24九年级下·山东淄博·期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为2022，
则方程 必有根为（ ）
a(x+1) 2+b(x+1)=−5
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【变式9-1】（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0(a≠0)有一根
为 ，则一元二次方程 必有一根为（ ）
x=2021 a(x−1) 2+bx−b=−2
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
【变式9-2】（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x=5，x=-6，
1 2
（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
【变式9-3】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 （
x m(x−ℎ) 2−k=0均为常数，且 ）的解是 ， ，则关于 的一元二次方程 的解是
m,ℎ,k m≠0 x
1
=2 x
2
=5 x m(x−ℎ +3) 2=k
．
【题型10 一元二次方程与一元一次方程的综合】
【例10】（23-24九年级下·全国·假期作业）已知关于x的方程 ．
(m2−4)x2+(m−2)x+3m−1=0
(1)当m为何值时，此方程为一元一次方程？
(2)当m为何值时，此方程为一元二次方程？
【变式10-1】（23-24九年级上·江苏南京·期末）关于x的方程ax2+bx+c=0，有下列说法：①若a≠0，则方
程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（ ）
A．①②均正确 B．①②均错 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确
【变式10-2】（23-24九年级上·全国·课后作业）某中学数学兴趣小组对关于x的方程
(m+1)x|m)+1+(m−2)x−1=0提出了下列问题：
(1)是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
(2)是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值．
【变式10-3】（23-24九年级下·江苏南京·期末）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2❑√k+1x﹣1=0
（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．
（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．
