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专题 21.1 一元二次方程【八大题型】
【人教版】
【题型1 识别一元二次方程】..................................................................................................................................1
【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】.....................................................................................................1
【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】.........................................................................................2
【题型4 一元二次方程的一般形式】......................................................................................................................2
【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】.........................................................................................................3
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】.....................................................................................................3
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】.....................................................................................4
【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】.................................................................................................4
【知识点1 一元二次方程的定义】
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数得最高次数就是 2（二次）的方程，
叫做一元二次方程。
【题型1 识别一元二次方程】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级校考期中）下列关于x的方程：①ax2+bx+c=0；②
1
3(x-9) 2-(x+1) 2=1；③x+3= ；④(a2+1)x2-a=0；其中一元二次方程的个数是（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式1-1】（2023春·广东茂名·九年级统考期末）下列是一元二次方程的是（ ）
1
A．2x+1=0 B．x2+ y=1 C．x2+2x+1=0 D．x2+ =1
x
【变式1-2】（2023春·江苏徐州·九年级校考期末）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为
（ ）
3
A．ax2+bx+c=0 B．x2-2=(x+3) 2 C．x2+ -5=0 D．x2-1=0
x
【变式1-3】（2023春·甘肃兰州·九年级统考期中）下列关于x的方程：①ax2+3x2+2=0；②1
x2+x-1=0；③x2+ =0；④x2-2x3+3=0；⑤2x2-1=2(x+1) 2中，是一元二次方程的个数为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型2 由一元二次方程的概念求参数的值】
【例2】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期末）√mx|m-2|+3x-7=0是一元二次方程，则
m=___________．
【变式2-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）若方程xm+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则
m=______．
【变式2-2】（2023春·河南开封·九年级统考期末）若关于x的方程(k-1)x2+2x-3=0是一元二次方程，
则k的值可以是______．（写出一个即可）
【变式2-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）若(m-1)x|m+1|-3x+5=0是关于x的一元二次方程，
则m=__________．
【题型3 由一元二次方程的概念求参数的取值范围】
【例3】（2023春·福建龙岩·九年级统考期中）已知关于x的方程(a-3)x2+√a-1x=3为一元二次方程，
则a的取值范围是__________．
【变式3-1】（2023春·福建莆田·九年级统考期末）若方程kx2-2x+1=0是关于x的一元二次方程，则k的
取值范围是（ ）
A．k>0 B．k≠0 C．k≥0 D．k为实数
【变式3-2】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）关于x的方程（a2＋1）x2＋2ax﹣6＝0是一元二次方程，
则a的取值范围是（ ）
A．a≠±1 B．a≠0
C．a 为任何实数 D．不存在
【变式3-3】（2023春·河南漯河·九年级统考期中）若关于x的方程ax2=(x+1)(x-1)是一元二次方程，则
a的取值范围是（ ）
A．a≠0 B．a≠1 C．a≠-1 D．a≠±1
【知识点2 一元二次方程的一般形式】
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是
一次项系数；c就是常数项。
【题型4 一元二次方程的一般形式】
【例4】（2023春·河北邯郸·九年级统考期中）将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是4，
一次项系数是-7，常数项是2的方程是（ ）A．4x2+2=7x B．4x2-2=7x C．4x2+7x=2 D．-4x2-7x=2
【变式4-1】（2023春·贵州铜仁·九年级统考期末）一元二次方程x2+2x=1的二次项系数、一次项系数与
常数项的和等于______．
【变式4-2】（2023春·云南楚雄·九年级统考期末）一元二次方程2x2+x=3化成一般形式后，二次项的系
数是2，常数项是（ ）
A．2 B．1 C．3 D．-3
【变式4-3】（2023春·湖南株洲·九年级校考期中）若关于x一元二次方程
不含一次项，则 ______．
(2a-4)x2+(3a+9)x+a-8=0 a=
【知识点3 一元二次方程的解】
使一元二次方程左右两边相等得未知数得值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程
的解得定义就是解方程过程中验根得依据。
【题型5 由一元二次方程的解求参数的值】
【例5】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一个根为2，
则a的值为__________．
【变式5-1】（2023春·广东惠州·九年级统考期末）已知关于x的方程4x2-7x+m=0的一个根是2，则m
的值是______．
【变式5-2】（2023春·吉林四平·九年级统考期末）关于x的一元二次方程kx2+2x-3=0的一个根是1，
则k的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无法确定
【变式5-3】（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考开学考试）已知关于x的一元二次方程
x2-2√2x+m-1=0，若方程有一个根是x=√2+1，则m为______．
【题型6 由一元二次方程的解求代数式的值】
【例6】（2023春·山东德州·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的一个根是x=-1，
则2020-a+b的值是( )
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【变式6-1】（2023春·山西朔州·九年级统考期末）已知t为一元二次方程x2-1011x+2023=0的一个解，
则2t2-2022t值为（ ）
A．-2023 B．-2022 C．-4046 D．-4044
【变式6-2】（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）已知a是方程2x2-3x-7=0的一
个根，求代数式(a+1)(a-1)+3a(a-2)的值．【变式6-3】（2023春·黑龙江鸡西·九年级统考期末）设α，β是方程x2+2022x-2=0的两个根，则
__________．
(α2+2022α-1)(β2+2022β+2)=
【题型7 由一元二次方程的解通过降次求代数式的值】
【例7】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，则m3+2m2+2023的值为
______．
【变式7-1】（2023春·湖南永州·九年级校考期末）若m(m≠0)是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式
1
m- 的值为（ ）
m
1 2
A．1 B． C． D．不能确定
2 5
【变式7-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期末）已知a为方程x2+3x-2023=0的根，那么
a3+2a2-2026a+2023的值为_________．
【变式7-3】（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）已知a是方程x2-2021x+1=0的一个根，则
2021
a3-2021a2- = ____．
a2+1
【题型8 由一元二次方程的根求另一方程的根】
【例8】（2023春·新疆·九年级新疆农业大学附属中学校考期中）若关于x的一元二次方程
a
ax2+2bx-2=0的一个根是x=2021，则一元二次方程 (x+2) 2+bx+2b=1必有一根为（ ）
2
A．2020 B．2021 C．2022 D．2019
【变式8-1】（2023·全国·九年级假期作业）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)有一根为
2022，则方程 必有根为（ ）
a(x+1) 2+b(x+1)=-5
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【变式8-2】（2023春·江苏南京·九年级南京外国语学校仙林分校校考阶段练习）关于 的方程
x (x+m) 2=n
的解是 ， （ 、 为常数），则方程 的解是_____．
x =-2 x =1 m n (x+m+3) 2=n
1 2
【变式8-3】（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）关于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，
x2=-6，（a，b，m均为常数，a≠0），则关于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是__________.
