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第二十一章 一元二次方程 基础常考 60 题（15 个考点）专练
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基础常考题一、一元二次方程的定义
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）下列方程中，关于 的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义解答即可．
【详解】解：A.该方程化简后为 ，是一元一次方程，不符合题意；
B.当 时， 不是一元二次方程，不符合题意；
C.该方程化简后为 ，是一元二次方程，符合题意；
D.该方程是分式方程，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：①未知数的最高次数是2，
②二次项系数不为0，③是整式方程，④含有一个未知数，熟练掌握一元二次方程必须满足的四个条件，
是解题的关键．
2．（2023秋·湖北黄冈·九年级统考期末）关于 的方程 是一元二次方程，则 的
值为 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 的方程 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知相关定义是解题的关键：含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程．
3．（2023·上海·八年级假期作业）关于 的方程 ．
(1)当 取何值时，方程为一元二次方程？
(2)当 取何值时，方程为一元一次方程？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令二次项系数不为零即可求解；
（2）令二次项系数为零且一次项系数不为0即可求解．
【详解】（1）要使方程为一元二次方程，
则 ，
即 时，原方程是一元二次方程；
（2）要使方程为一元一次方程，
则 ， ，
即 且 ，
可知 时，原方程是一元一次方程．
【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，解题关键是掌握它们的概念，将一个方程化简
后如果形如 ，则它为一元二次方程，而一元一次方程则应抓住两个关键：①只含有一
个未知数，②未知数的次数是1的整式方程．
基础常考题二、一元二次方程的一般形式
1．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程 化成 的形式，
则 ， ， 的值分别为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出 ， ， 的值．
【详解】解：将原方程化为一般形式得： ，
∴ ， ， ．故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于 的一元二次方程经过整理，
都能化成如下形式 ，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
2．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，
二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ，则 ．
【答案】
【分析】先化为一般形式，根据一元二次方程的一般形式，得出 的值，进而即可求解．
【详解】解：
整理得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．一元二次方
程的一般形式是： （ ，， 是常数且 ）．
3．（2023·上海·八年级假期作业）将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数．
(1) （ 、 是常数，且 ）；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为
，一次项系数为0；常数项为 ；
(2)方程一般形式为 ；方程二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为
，一次项系数为 ；常数项为
(3)一般形式即为 ；方程二次项为 ，二次项系数为2；一次项为 ，一次项系数为 ；常数项为6
【分析】（1）移项，将方程化为一般性质，即可得解；
（2）移项，将方程化为一般性质，即可得解；
（3）利用平方差公式，方程左边为 ，由此方程即为 ，方程展开化为一般形式即
为 ，从而即可得解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴方程一般形式为 ；
∴方程二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为 ，一次项系数为0；常数项为 ；
（2）解：∵ ，
∴方程一般形式为 ；
∴方程二次项为 ，二次项系数为 ；一次项为 ，一次项系数为 ；常数项为 ；
（3）解：∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；方程二次项为 ，二次项系数为2；一次项为 ， 一次项系数为 ；常数项为6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，关于x的方程 ，（ ， a，b，c，
为常数）称为一元二次方程的一般形式， 叫二次项， 是一次项，c是常数项，熟练掌握一元二次方
程的一般形式是解题的关键．
基础常考题三、一元二次方程的解1．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）若 是一元二次方程 的一个实数根，则
的值为（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
【答案】C
【分析】把方程的根代入方程，得到m的代数式，变形计算即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的一个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得方程左右两边相等的未知数的值，变形计算是解题的关键．
2．（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习）关于x的一元二次方程
的一个根是1，则常数 ．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 代入 求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 的一个根是1，
∴把 代入方程 ，
得 ，
解得： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的含义．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）在一元二次方程 中，若 ，则称 是该方程的
中点值．
(1)方程 的中点值是 ．(2)已知 的中点值是 ，其中一个根是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算；
（2）利用方程的中点值的定义得到 ，再把把 代入 计算出 的值，然后计算 ．
【详解】（1）解：∵ ，
∴方程 的中点值为 ；
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴ ，
把 代入 得 ，解得 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
基础常考题四、直接开方法解一元二次方程
1．（2023春·福建福州·八年级校考期末）解一元二次方程： ．
【答案】 ，
【分析】根据直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ， ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．2．（2023·上海·八年级假期作业）用开平方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）先方程两边同时乘以3，变形为 ，再开平方得 ，再解一元一次方程
即可求解．
（2）先把方程变形为 ，再开平方得 ，再解一元一次方程即可求解．
【详解】（1）解：
或 ，
， ；
（2）解：
或
， ．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程： ；【答案】
【分析】使用完全平方公式对方程进行变形，再求得结果．
【详解】解：
∴ ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，其中准确使用完全平方公式进行变形是解题的关键．
基础常考题五、配方法解一元二次方程
1．（2023·上海·八年级假期作业）用配方法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)方程无解
(2)方程无解
【分析】根据完全平方公式 将方程的左边配成完全平方，右边为常数，再利用平方
根的定义解方程即可.
【详解】（1）解：化简得：
，
，
，
∵ ，∴原方程无解；
（2）解：化简得：
，
，
，
∵ ，
∴原方程无解；
【点睛】本题考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解题关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）配方法解方程： ．
【答案】 ，
【分析】方程移项变形后，利用完全平方公式化简，开方即可求出解．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 配方法，熟练掌握配方法的依据：完全平方公式是解本题的关键．
3．（2023春·四川广安·九年级四川省武胜烈面中学校校考阶段练习）根据要求解下列方程：
(1) （直接开平方法）．
(2) （配方法）．【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）根据平方根的定义，原方程变形求解；
（2）根据完全平方公式，将原方程变形为 形式，开方求解．
【详解】（1）解：
∴ ，
（2）解：
∴ 或
∴ ，
【点睛】本题考查直接开平方法，配方法求解一元二次方程，熟练完全平方公式是解题的关键．
基础常考题六、公式法解一元二次方程
1．（2023春·广西南宁·八年级南宁二中校考期末）解方程： ．【答案】 ， ．
【分析】先计算 ，再利用求根公式求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
2．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)方程无解
(2)方程无解
【分析】先把原方程化为一般式，然后判断 的符号，如果 ，则用公式法求解即可，如果 ，则
原方程无解．
【详解】（1）解：
化为一般式得： ，
∴ ，
∴ ，
∴原方程无解；
（2）解： ，
化为一般式得 ，
∴ ，
∴ ，∴原方程无解．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解题的关键．
3．（2023·上海·八年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)方程无实数解
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解： ，
，
则 ，
∴此方程无实数解．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程求根公式
．
基础常考题七、因式分解法解一元二次方程1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）解方程： ．
【答案】 ，
【分析】将方程整理一般形式，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解： ，
整理得： ，
，
或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，首先要将原方程整理为一般形式，再根据方程特点选择合适方法求
解．
2．（2023·上海·八年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ；（2）解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 或 ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）解方程
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解： ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ；
（2） ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ， ．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程．基础常考题八、换元法解一元二次方程
1．（2023春·八年级课时练习）关于 的方程 的解是 （ 均为常数，
），则方程 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据关于 的方程 的解是 ，可知 或 ，进一步求解
即可．
【详解】解：∵关于 的方程 的解是 （ 均为常数， ），
∴在方程 中，可有 或 ，
解得 ．
故选：C．
【点睛】本题考查了用换元法解一元二次方程，找出两方程之间的关系是解题的关键．
2．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）若 ，则
．
【答案】4
【分析】令 ，得到一个关于m的一元二次方程，解此一元二次方程即可得出答案．
【详解】解：设 ，则有 ，
即 ， ．
∴ ， ．
∵ ，∴ 不合题意，舍去．∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法，需要注意
不能是负数．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知 ，求 的值．
【答案】3
【分析】先用换元法令 ，再解关于 的一元二次方程即可．
【详解】解：令 ，则原等式可化为：
，
解得： ，
，
，即 ．
的值为3．
【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意 为非负数是本题的关键．
基础常考题九、配方法的应用
1．（2023秋·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）若关于 的一元二次方程 配方后得到方
程 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方式的特征对 配方可得 ，通过变形可得 的值.
【详解】解：∵对 配方可得到
∴ 变形可得∴
∴
故选：
【点睛】本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键.
2．（2023春·河北石家庄·七年级统考期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子
或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到
代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．定义：若一个整数能表示成 （a，b为整数）的
形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为 ，所以5是“完美数”．
解决问题：已知40是“完美数”，请将它写成 （a，b为整数）的形式： ．
【答案】
【分析】根据题中的新定义确定出所求即可．
【详解】∵ ，
∴ 是“完美数”，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了配方法的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键．
3．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）先阅读下面的内容，再解答问题．
【阅读】例题：求多项式 的最小值．
解： ，
∵ ，∴
∴多项式 的最小值是4
(1)请写出例题解答过程中把一个三项二次式转化为一个二项式的平方运用的公式是______；
(2)求多项式 的最大值．
【答案】(1)完全平方公式(2)30
【分析】（1）根据完全平方公式的含义可得答案；
（2）把原式化为 ，再利用非负数的性质可得答案．
【详解】（1）解：公式为： ，即：完全平方公式，
故答案为：完全平方公式；
（2）
；
∵ ，
∴ ，
∴ 的最大值是 ．
【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，掌握利用完全平方公式求解代数式的
最值是解本题的关键．
基础常考题十、根据判别式判断一元二次方程根的情况
1．（2023·河南周口·校联考三模）关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．根的情况与实数m的取值有关
【答案】B
【分析】把方程化为一般式，然后计算判别式的值，即可得到解答.
【详解】解：∵方程化为一般式为 ，
则 ，
∴方程有两个相等的实数根．
故选：B．【点睛】 本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式的求法及应用是解题关键．
2．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的方程 无实数解，则m取到的最小正整数值是
．
【答案】
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式列出不等式，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程 无实数解，
当 时，原方程为一元一次方程，有解，
当 时，原方程为一元二次方程，
∴ ，
解得： ，
∴则m取到的最小正整数值是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式
的意义是解题的关键．
3．（2023·北京昌平·统考二模）关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于0，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先求出判别式，利用配方法 变为完全平方式即可，
（2）利用求根公式，先求一元二次方程含k 的根，让其一根小于0，求出范围即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
方程总有两个实数根；（2）解： ，
，
，
方程有一根小于0，
，
．
【点睛】本题考查一元二次方程的判别式与根的范围问题，掌握根的判别式的用途，会用根的判别式解决
方程根的情况，会利用求根公式解方程，会用条件利用不等式，会解不等式是关键．
基础常考题十一、根据一元二次方程的情况求参数
1．（2023春·湖南郴州·八年级校考期末）已知关于x的方程 有两个实数解，求k的取
值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元一次
不等式组，然后求解即可解答．
【详解】解：∵关于x的方程 有两个实数解，
∴ 且 ，
解得： 且 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据二次
项系数非零及根的判别式 ，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
2．（2023春·重庆南岸·八年级校考期末）若关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值是 ．【答案】
【分析】根据一元二次方程根的判别式 ，即可求解．
【详解】解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，即 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解题的
关键．当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；
当 时，一元二次方程没有实数根．
3．（2023·全国·九年级假期作业）已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数
根．
(1)求 的取值范围；
(2)当 取满足要求的最小正整数时，求方程的解．
【答案】(1) 且
(2) ，
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，则根的判别式 ，
且 ，求出 的取值范围即可；
（2）得到 的最小整数，利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1） 一元二次方程 有两个不相等的实数根，
，且 ，
即 ，且 ，
解得： 且 ；
（2） 满足条件的最小正整数是 ，
此时方程为 ，解得： ， ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程
的根与判别式 的关系是解答本题的关键．
基础常考题十二、一元二次方程根与系数的关系
1．（2023春·广东广州·八年级统考期末）若 ， 是一元二次方程 的两个根，则
的值是（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】D
【分析】利用两根之和为 ，两根之积为 ，计算即可．
【详解】解：∵ 、 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系的公式．
2．（2023春·江苏扬州·八年级统考期末）若一元二次方程 的两个根是 、 ，则
的值是
【答案】
【分析】根据 、 是一元二次方程 的两个根，则有 ，求解即可．【详解】解：由题意得
，
，
故答案： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江绥化·八年级校联考期末）已知关于 的一元二次方程 ，
(1)求证：无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）直接根据根的判别式计算即可；
（2），根据根与系数的关系得到 ， ，代入 ，得到关于m的方
程，然后解方程即可．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 ，
∴判别式 ，
∴无论 取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵方程有两个实数根 ， ，
∴ ，
∵
∴解得： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是
解题的关键．
基础常考题十三、用一元二次方程解决问题——增长率问题
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度共生产零件196
万个．设该厂八，九月份平均每月的增长率为x，则可以得到关于x的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】用 分别表示八、九月份的产量，然后根据题意第三季度共生产零件196万个可得出方程．
【详解】解：依题意得八、九月份的产量为 、 ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为
， 为起始时间的有关数量， 为终止时间的有关数量．
2．（2023春·安徽滁州·八年级统考期末）某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，
2021年、2022年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此
类服装的出厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为 元/件．
【答案】
【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为 ，根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为 ，由题意可得：
解得： 或 （舍去）
2021年此类服装的出厂价为 （元）
故答案为：
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出方程．3．（2023春·江苏盐城·八年级校考阶段练习）2023年元宵节，某电影院开展“弘扬家国情怀，彰显中华
气魄”系列活动，对团体购买《流浪地球2》电影票实行优惠，决定在原定零售票价基础上每张降价20元，
这样按原定零售票价需花费3000元购买的门票，现在只花费了1800元．
(1)求每张电影票的原定零售票价；
(2)为了促进消费，该影院决定对网上购票的个人也采取优惠，原定零售票价经过连续两次降价后票价为每
张32元，求平均每次降价的百分率．
【答案】(1)每张门票的原定票价为50元
(2)原定票价平均每次的降价率为
【分析】（1）设每张门票的原定票价为 元，则降价后的价格为 元，根据按原定零售票价需花费
3000元购买的门票，现在只花费了1800元，列出方程，解方程即可；
（2）设原定票价平均每次的降价率为 ，根据原定零售票价经过连续两次降价后票价为每张32元，列出
方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每张门票的原定票价为 元，则降价后的价格为 元，
依题意，得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意．
答：每张门票的原定票价为50元．
（2）解：设原定票价平均每次的降价率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：原定票价平均每次的降价率为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，注意要
对分式方程的解进行检验．
基础常考题十四、用一元二次方程解决问题——营销问题
1．（2023·全国·九年级假期作业）某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．经调查
发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价（ ）
A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元
【答案】A
【分析】根据题意设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，根据每日的总利润 每件商品的
利润 每日的销售量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再结合 即可确定
的值．
【详解】解：设每件商品降价 元，则平均每天可售出 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
又 ，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2023春·浙江·八年级专题练习）深秋时节，甜糯的板栗深受人们的喜爱，某商贩购进时的价格是40
元/千克．根据调查：在一段时间内，销售单价 （元/千克）与销售量 （千克）之间满足的关系如图所示．
（1）写出 关于 的函数关系式 ；
（2）要使该商店销售这种板栗获得8000元的销售利润且让利于顾客，则该板栗的销售单价应定为 ．
【答案】 60
【分析】（1）设 关于 的函数关系式为 ，用待定系数法列方程组求解即可；（2）根据利润＝（售价－进价）×销量，列出方程求解即可得到答案．
【详解】解：（1）设 关于 的函数关系式为 ，
由图可知，点 ， 在 ，
，
解得 ，
关于 的函数关系式为 ，
故答案为 ；
（2）根据题意可得：
，
解得： 或 ，
让利于顾客，
，
板栗的销售单价应定为60元，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和方程解
决问题．
3．（2023·全国·九年级假期作业）某书店销售一本科普读物，进价为每本16元，若按每本30元销售，平
均每月能卖出200本．经市场调研发现，在不亏本的情况下，为减少库存，若每本售价降低1元，则平均
每月可多卖出20本．设每本科普读物的售价降低 元．
(1)小宇说：“既然降价销售，薄利多销，那么就有可能卖出600本．”请判断小宇的说法是否正确，并说
明理由；
(2)若该书店销售此科普读物想平均每月的销售利润为2860元，销售经理甲说：“在原售价的基础上降低3
元，可以完成任务”，销售经理乙说：“在原售价的基础上降低1元即可”，请判断甲、乙两人的说法是
否正确并指出应采取谁的意见．
【答案】(1)不正确，理由见解析
(2)甲、乙两人的说法都正确，应采取销售经理甲的意见【分析】（1）根据题意卖出600本得到销售价格，发现低于成本则不能获利，故不正确；
（2）据题意列出一元二次方程，解出结果后得出结论．
【详解】（1）解：小宇的说法不正确，
理由是：根据小宇的说法可列方程 ，
解得 ，
∵售价为 ，
∴此时亏本销售，与题意不符，
∴小宇的说法不正确．
（2）解：由题意得
解得 ， ，
∴两人的说法都正确．
∵由于增加销售量可以减少库存，
∴应采取销售经理甲的意见．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和一元二次方程的应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是
解题的关键．
基础常考题十五、用一元二次方程解决问题——图形有关的问题
1．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）如图，把一块长为 ，宽为 的矩形
硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖
纸盒．若该无盖纸盒的底面积为 ．设剪去小正方形的边长为 ，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】设剪去小正方形的边长为 ，由题意易得该无盖纸盒的底面长为 ，宽为
，再根据等量关系 “该无盖纸盒的底面积为 ”即可解答．
【详解】解：设剪去小正方形的边长为 ，则由题意可列方程为 ．
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，审清题意、正确找到等量关系是解题的关键．
2．（2023·安徽·九年级专题练习）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三
部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，则该矩
形荒地的长为 ．
【答案】
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【详解】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得： ，
解得： （不符题意，舍去），
∴ m，
故答案为：26m．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
3．（2023春·江苏·八年级期末）如图，公园里有两块边长分别为a，b的正方形区域A、B，其中阴影部分
M为雕塑区，面积为m，其他部分种植花草．(1)用含a，b，m的代数式表示种植花草的面积______；
(2)若正方形A的一个顶点恰为正方形B的中心，a比b大20，M的面积是A的 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)60
【分析】（1）根据两个正方形区域的面积和雕塑区的面积之间的关系求解即可；
（2）根据M的面积是A的 列方程求解即可．
【详解】（1）解：种植花草的面积 ；
（2）依题意得， ， ， ．
列方程得， ，
解得 ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
基础常考题十六、一元二次方程的基础题型汇总（共15道题）
1．（2023春·北京房山·八年级统考期末）用配方法解方程 ，配方后得到的方程是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先移项，再配方，即可得出选项；
【详解】解： ， ，
配方得： ，
，
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确的配方是解答该题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 ，若 ，则此方
程必有一个根为（ ）
A．0 B．1 C．-1 D．±1
【答案】B
【分析】将 代入方程 中的左边，得到 ，由 得到方程左右两边相等，
即 是方程的解．
【详解】将 代入方程 中的左边得： ，
∵ ，
∴ 是方程 的根．
即方程的一个根为 ．
故选：B
【点睛】题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．掌握方程的解的定义是解题的关键．
3．（2023秋·河南许昌·九年级许昌市第一中学校联考期末）对于实数a，b，定义新运算： ，
若关于x的方程 有两个相等的实数根，则k的值是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义得到 ，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到，再解方程即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
整理得 ，
而关于x的方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得 ．
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数根．
4．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）若一元二次方程 的两个根分别为 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可得两根互为相反数，进而得到 ，进行求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程 的两个根分别是 与 ，
∴ ，
解得 ，
∴方程的两根为 、 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
故选：A．
【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握直接开方法解一元二次方程，互为相反数的两数之和为0，
是解题的关键．
5．（2023春·浙江杭州·八年级校联考期中）已知关于 的方程， ，则下列说法正确的是( )
A．不存在 的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个 的值，使得方程没有实数解
C．无论 为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论 为何值，方程有两个不相等的实数根
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】解：由题意得： ，
A．存在k的值，使得方程有两个相等的实数根；故错误，不符合题意；
B．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
C．∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根，正确，符合题意；
D．无论k为何值，方程总有实数根；故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
6．（2023春·河南周口·八年级统考期末）关于x的一元二次方程的解 的解为 ．
【答案】 ，
【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得 ， ，
故答案为： ， ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
7．（2023秋·江西赣州·九年级统考期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则
．
【答案】
【分析】把 代入方程 得到关于 的一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
8．（2023春·北京平谷·八年级统考期末）公园里有一个边长为6米的正方形花坛，现在想扩大花坛的面积．
要使花坛的面积增加28平方米后仍然是正方形，设边长延长 米，则可列方程为 ．
【答案】 /
【分析】设边长应该延长x米，根据题意得到改造后花坛的边长为 米，则其面积为 平方米，
然后根据正方形的面积为 平方米可得到答案．
【详解】解：设边长应该延长x米，根据题意，得
，
整理得：
故答案为：
【点睛】本题考查运用一元二次方程解决实际问题，解题的关键是能够找到等量关系．9．（2023·山东泰安·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
a的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若
，则方程有两个不相等的实数根，若 ，则方程有两个相等的实数根，若
，则方程没有实数根．
10．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的
实数根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 /
【分析】由题意可得 ，然后解不等式即可．
【详解】解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
整理得：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根得判别式的应用，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
11．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）解方程：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）原方程运用配方法求解即可；
（2）方程移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】（1） ，
，
，
，
，
∴ ；
（2） ，
，
，
，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用求解方法是解答本题的关键．
12．（2023春·江西抚州·八年级校考阶段练习）如图，用1张边长为 的正方形纸片，2张边长为 的正方
形纸片，3张长、宽分别为b，a的长方形纸片拼成新的长方形（无缝隙），通过不同的方法计算面积，探
求相应的等式．(1)你得到的等式是______；
(2)借助拼图的方法，将多项式 因式分解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）观察图形发现该长方形的长为 ，宽为 ，计算长方形的面积即可得到结论
（2）类似的可以用一张边长为a的正方形纸片，4张边长为b的正方形纸片，5张长、宽分别为b、a的长
方形纸片拼接成新的长方形，结合长方形的面积公式即可得到分解的结果．
【详解】（1）拼接的长方形的长为 ，宽为 ，
面积为 ，
∴得到的等式为 ．
（2）类似的可以将面积为 的长方形看做是由一张边长为a的正方形纸片，4张边长为b的正
方形纸片，5张长、宽分别为b、a的长方形纸片拼接成新的长方形，其长为 ，宽为 ，
∴ ．
【点睛】本题考查了几何图形的面积，整式的乘法与因式分解的关系，关键是确定拼成的长方形的长和宽
的长度．
13．（2023春·重庆渝北·八年级礼嘉中学校考期末）今年春季是甲流病毒的高发期．为了遏制甲流病毒的
传播，建议市民朋友们在公共场合要佩戴口罩，现在，有一个人患了甲流，经过两轮传染后共有 个人患
了甲流．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)某药房最近售出了 盒口罩．已知售出的 医用口罩的数量不超过普通医用口罩的4倍，每盒医用口罩的单价为 元，每盒普通医用口罩的价格为 元，则售出 医用口罩和普通医用各多少盒时，
总销售额最多？请说明理由．
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了8个人
(2)售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多，理由见解析
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得 ，进行计算即可得；
（2）设售出 医用口罩a盒，则普通医用口罩 盒，总销售额为W元，
则 ，进行计算得 ， ，
根据一次函数的性质得W随a的增大而增大，即当 时，W有最大值，算出普通口罩盒数即可得．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
，
，
，
，
， （舍），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人；
（2）售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多，理由如下：
解：设售出 医用口罩a盒，则普通医用口罩 盒，总销售额为W元，
则 ，
，
，
，
，
∵ ，
∴W随a的增大而增大，当 时，W有最大值，
则普通医用口罩盒数为： （盒），
即售出 医用口罩 盒，普通医用 盒时，总销售额最多．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．
14．（2023春·山东济宁·八年级统考期中）已知关于x的一元二次方程 有两
个实数根 ，
(1)求k的取值范围；
(2)若 ， 满足 ，求k的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可得到 的范围；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，由题意得出关于 的方程，则可求出答案．
【详解】（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
的取值范围是 ．
（2）根据题意得 ， ，
， 满足 ，
，
，
，，
经检验 是原方程的根，
，
．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了根的判别式的意义．
15．（2023春·安徽六安·八年级统考期末）利用完全平方公式，可以将多项式 变形为
的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法．我们已学习了用配方法解一元二次方程，除此
之外，利用配方法还能解决二次三项式的最值问题．阅读如下材料，完成下列问题：
材料：对于二次三项式求最值问题，有如下示例：
．因为 ，所以 ，所以，当 时，原
式的最小值为2．
完成问题：
(1)求 的最小值；
(2)若实数 满足 ．求 的最大值．
【答案】(1) 的最小值是
(2) 最大值是
【分析】（1）根据题意计算得 ，根据 得 ，即可得；
（2）将 代入 得 ，根据 即可得．
【详解】（1）解： ，∵ ，
∴ ，
∴ 的最小值是 ；
（2）解：将 代入 得：
∵
∴ 最大值是 ．
【点睛】本题考查了配方法，解题的关键是理解题意，掌握多配方法．
