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专题强化训练：一元二次方程的解法和根与系数的关系
一、单选题
1．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
2．若关于x的一元二次方程(k-1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A．k<5 B．k<5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k>5
3．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，则k的值
（ ）
A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．2
5．定义新运算 ，对于任意实数a，b满足 ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运
算，例如 ，若 （k为实数） 是关于x的方程，则它的根的情况是（ ）
A．有一个实根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数
根
6．关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
7．关于x的一元二次方程 的两实数根分别为 、 ，且 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．0
8．关于 的一元二次方程 有两个整数根且乘积为正，关于 的一元二次方程 同
样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；② ；③
，其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个9．已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同的实数根
，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．不确定
10．已知 分别是 的边长，则一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法判断
11．已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是( )
A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
12．关于 的一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D．
13．下列命题正确的是（ ）
A．若分式 的值为0，则x的值为±2．
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小．
C．若 ，则 ．
D．若 ，则一元二次方程 有实数根．
14．《代数学》中记载，形如 的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为 的正方
形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 的矩形，得到大正方形的面积为 ，则该方程的正
数解为 ．”小聪按此方法解关于 的方程 时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面
积为36，则该方程的正数解为（ ）
A．6 B． C． D．二、填空题
15．一元二次方程 的两根为 ，则 ________________
16．若实数a，b满足(4a＋4b)(4a＋4b－2)－8＝0，则a＋b＝_____．
17．若 是一元二次方程 的两个根，则 ＝___________．
18．已知关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则 的值等于_______．
19．若m，n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为___________．
20．已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，且 ，则 的值为____.
21．设 、 是方程 的两个实数根，则 的值为_____．
22．已知 ABC中，AB=3，AC=5，第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，则该三角形为_____三
角形． △
三、解答题
23．解方程：
（1）
（2）
24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
25．已知关于 的一元二次方程 有实数根．
（1）求 的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求 的值．
26．已知关于x的方程 有两实数根．（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值．
27．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x，x 是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S= + + x+x，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．
1 2 1 2
若不能，请说明理由．
28．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 的值．
29．关于x的一元二次方程 有两个不等实根 ．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根 满足 ，求k的值．
30．阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
问题：解方程 （提示：可以用换元法解方程），
解：设 ，则有 ，
原方程可化为： ，
续解：
31．已知方程 是关于 的一元二次方程．
（1）求证；对于任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是 ，求 的值及方程的另一个根．
32．已知关于 的一元二次方程 ．
（1）若方程有实数根，求实数 的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为 ， ，且满足 ，求实数 的值．参考答案：
1．D【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
2．B【详解】∵关于x的一元二次方程方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，即 ，
解得：k＜5且k≠1．
故选：B．
3．A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．
【详解】解： ，
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得 ，
即 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次
项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．D【详解】解：由根与系数的关系，得：
＝k－1， ，
由 ，得：，
即 ，
所以， ，
化简，得： ，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程 有两个实数根，
所以，△＝ ＝ >0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
5．B【分析】将 按照题中的新运算方法展开，可得 ，所以 可得
，化简得： ， ，可得 ，即可得出答案.
【详解】解：根据新运算法则可得： ，
则 即为 ，
整理得： ，
则 ，
可得：
，
；
，
方程有两个不相等的实数根；
故答案选：B.
【点睛】本题考查新定义运算以及一元二次方程根的判别式.注意观察题干中新定义运算的计算方法，不能出错；
在求一元二次方程根的判别式时，含有参数的一元二次方程要尤其注意各项系数的符号.
6．D【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，∴ 且△≥0，即 ，
解得 ，
∴m的取值范围是 且 ．
故选：D．
7．A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到x+x=4，代入代数式计算即可．
1 2
【详解】解：∵x+x=4，
1 2
∴x+3x=x+x+2x=4+2x=5，
1 2 1 2 2 2
∴x= ，
2
把x= 代入x2-4x+m=0得：（ ）2-4× +m=0，
2
解得：m= ，
故选A．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：
x+x=- ，x•x= 是解题的关键．
1 2 1 2
8．D【分析】设方程 的两根为x、x，方程 同的两根为y、y．①根据方程解的
1 2 1 2
情况可得出x•x=2n＞0、y•y=2m＞0，结合根与系数的关系可得出x+x=-2m、y+y=-2n，进而得出这两个方程
1 2 1 2 1 2 1 2
的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，将（m-1）2+
（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y+1）（y+1）-1、2n-2m=（x+1）
1 2 1
（x+1）-1，结合x、x、y、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得出结论．
2 1 2 1 2
【详解】设方程 的两根为x、x，方程 同的两根为y、y．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也
有两个整数根且乘积为正，
∴x•x=2n＞0，y•y=2m＞0，
1 2 1 2
∵x+x=-2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也
有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；③∵y•y=2m，y+y=-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y+y+y=（y+1）（y+1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y、y 均为负整数，
1 2
∴（y+1）（y+1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x•x=2n，x+x=-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x+x=（x+1）（x+1）-1，
1 1 2 1 2
∵x、x 均为负整数，
1 2
∴（x+1）（x+1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系
是解决本题的关键,也是解决问题的难点．
9．A【分析】把x=a代入3个方程得出a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，3个方程相加即可得出
（a+b+c）（a2+a+1）=0，即可求出答案．
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：
（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
10．A【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而 =（2c）2-4
（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． △
【详解】解： =（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）．
∵a，b，c分别△是三角形的三边，
∴a+b＞c．
∴c+a+b＞0，c-a-b＜0，
∴△＜0，
∴方程没有实数根．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解．
11．B【详解】解：∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，
∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，
解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1
∵x2＋y2>0
∴x2＋y2=1
故选B．
【点睛】本题考查了多项式的乘法，解二元一次方程，关键是熟练运用整体思想．
12．A【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+2≠0且△≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（-3）2-4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a≤ 且a≠-2，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方
程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
13．D【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；
B选项：1的算数平方根还是1；
C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；
根据根的判别式可得到结论．
【详解】A选项：当x=2时，分式无意义，故A选项错误；
B选项：1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项错误；
C选项：可以假设b=2，a=1，满足 ，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项错误；
D选项： ，当 时， ，一元二次方程有实数根，故D选项正确．
故本题选择D．
【点睛】本题主要考查分式值为0时的条件、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式问题，掌握
分式的意义、算数平方根、不等式的性质及一元二次方程根的判别式的知识是解答本题的关键．
14．B【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为 ，先计算出大正方形的面积=阴影部分的
面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】x2+6x+m=0，
x2+6x=-m，
∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x=36，
4x=6，
x= ，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 x的矩形，得到大正方形的
面积为36+（ ）2×4=36+9=45，则该方程的正数解为 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了解一元二次方程的几何解法，用到的知识点是长方形、正方形的面积公式，解题关键是要读
懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
15． 【分析】根据根与系数的关系表示出 和 即可；
【详解】∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
= ，
= ．
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键．
16． 或1【详解】解：设a+b=x，则由原方程，得 4x（4x﹣2）﹣8=0，
整理，得16x2﹣8x﹣8=0，即2x2﹣x﹣1=0，
分解得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x=﹣ ，x=1．
1 2
则a+b的值是﹣ 或1．
故答案为： 或1．17．3【分析】根据韦达定理可得 ， ，将 整理得到 ，代入即可．
【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查韦达定理，掌握 ， 是解题的关键．
18．2.【分析】根据“关于x的一元二次方程ax2+2x+2﹣c＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得
到关于a和c的等式，整理后即可得到的答案．
【详解】解：根据题意得：
＝4﹣4a（2﹣c）＝0，
△整理得：4ac﹣8a＝﹣4，
4a（c﹣2）＝﹣4，
∵方程ax2+2x+2﹣c＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
等式两边同时除以4a得： ，
则 ，
故答案为2．
【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
19．3【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出
m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴ ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x，x 是一元二次方程 ( )的两根时， ，
1 2．也考查了一元二次方程的解．
20．-2【分析】根据根与系数的关系即可求解.
【详解】∵x+x=-2，x.x=k-1,
1 2 1 2
=4-3(k-1)
=13,
K=-2.
故答案为:-2.
【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系及应用.
21．-2017【分析】根据根与系数的关系可得出 ， ，将其代入 中即
可得出结论．
【详解】∵ 、 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为-2017．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键．
22．直角或等腰##等腰或直角【分析】先解方程，再根据三角形的三边关系定理求得第三边的范围，即可得出第
三边，再根据勾股定理的逆定理得出该三角形的形状．
【详解】解： x2﹣9x+20=0，解得：x=4或5，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜7，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2﹣9x+20=0的一个根，
∴BC=4或5，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形；
当BC=5时，BC=AC，△ABC是等腰三角形；
故答案为：直角或等腰．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的判定、勾股定理的逆定理，注意分类讨论思想的应用．
23．（1） ， ；（2） ， ．【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可
求出解；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．【详解】解：（1）方程移项得： ，
开方得： ，
解得： ， ；
（2）方程移项得： ，
分解因式得： ，
解得： ， ．
【点睛】此题考查了解一元二次方程 因式分解法，以及直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
24．（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2，x=0，x=2．【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）
1 2
＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．
【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得：k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，
解得：x=0，x=2．
1 2
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关
系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
25．（1） ；（2） 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即 求解即可；
（2）由韦达定理把 和 分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将 变形为
，再代入计算即可解出答案．
【详解】（1）由题意可得：
解得：
即实数m的取值范围是 ．
（2）由 可得：
∵ ；
∴
解得： 或
∵
∴即 的值为-2．
【点睛】本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当 时，方程有实数根；（2）掌握
根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键．
26．（1）k≤3；（2） ．【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得．
（2）利用根与系数的关系可用k表示出x＋x 和xx 的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意
1 2 1 2
利用根的判别式进行取舍．
【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△≥0，即 ≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3．
（2）由根与系数的关系可得 ，
由 可得 ，
代入x＋x 和xx 的值，可得：
1 2 1 2
解得： ， （舍去），
经检验， 是原方程的根，
故 ．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不
相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了
解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．
27．（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【分析】（1） 本题二次项系数为(k－1)，可能为0，
可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把
此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
【详解】（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,
x=-1有一个解；
②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ² ＋4＞0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝ ,x ₁ x ₂=
∴S= + + x+x
1 2
=
=
=
=
=2k-2=2，
解得k=2，
∴当k=2时，S的值为2
∴S的值能为2，此时k的值为2．
考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．
28．（1）见解析；（2） ．【分析】（1）求出△的值即可证明；
（2），根据根与系数的关系得到 ，代入 ，得到关于m的方程，然后解方程即
可．
【详解】（1）证明：依题意可得
故无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）由根与系数的关系可得：
由 ，得 ，解得 ．
【点睛】本题考查了利用一元二次方程根的判别式证明根的情况以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：x，x 是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x+x=− ，xx= ．
1 2 1 2 1 2
29．（1）k﹥ ；（2）k=2【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得 ＞0，代入求得k的取值范围即可；
△
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到 ，结合k的取值范围解方程即可．
【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根
∴
解得：k﹥ ；
故答案为：k﹥ .
（2）∵k﹥ ，
∴ ＜0
又∵
∴ ，
∴ ,
∵ ,
∴2k+1=k2+1，
解得：k=0,k=2
1 2
又 ∵k﹥
∴k=2．
故答案为：k=2．
30． ， ．【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t=-5，t=1，再解方程
1 2
，然后进行检验确定原方程的解．
【详解】续解： ，
，
解得 ， （不合题意，舍去），，
， ，
，
经检验都是方程的解．
【点睛】本题考查了换元法解方程，涉及了无理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解决本题的关键．换元
法的一般步骤：设元、换元、解元、还元．
31．（1）见详解；（2） ，另一个根是 .【分析】（1）直接利用一元二次方程根的判别式进行判断，即可
得到结论成立；
（2）直接把 代入方程求出k，然后利用根与系数的关系，即可得到另一个根.
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴对于任意实数 ，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵ ，
当 时，有
，
解得： ；
∴原方程为： ，
设另一个根为 ，则
，
∴ ，
∴原方程的另一个根是 .
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及方程的解，解题的关键是熟练掌握根的判
别式和根与系数的关系进行解题.
32．（1） ；（2） 【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；（2）由韦达定理把x+x 和xx 分别用含m的式子表达出来，然后根据完全平方公式将 变形，即可求
1 2 1 2
解．
【详解】（1）∵方程有实数根，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
（2）∵方程两实数根分别为 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
，
解得： ， ，
∵ ，
∴ ．
