文档内容
第 12 讲 同底数幂的乘法与幂的乘方和积的乘方（2 个知识点
+5 种题型+分层练习）
知识导图
知识清单
知识点1．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
知识点2．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
题型强化
题型一．同底数幂的乘法
1．（2023秋•掇刀区校级期末）已知 ， ，则 的值为
A．9 B．18 C．3 D．2
2．（2024春•杏花岭区校级期中）已知 ， ，求 的值为 ．
3．（2024春•工业园区校级期中）规定 ，求：
（1）求 ；
（2）若 ，求 的值．
题型二．幂的乘方与积的乘方
4．（2024春•临湘市期中）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
5．（2024春•白银区校级期末）已知 ， ，则 的值是 ．
6．（2024春•苍梧县期中）在幂的运算中规定：若 且 ， ， 是正整数），则 ．利用上面的结论解答下列问题：
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求 的值．
题型三、同底数幂的相乘
7．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算的 结果是 ；
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）下列各式中，计算结果等于 的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八年级上·全国·专题练习）为了求 的值，可令
，然后两边同乘2变成 ，再让两式相减，
因此有 ，所以 ，即 ．
仿照上面的计算 的值．
题型四、幂的乘方运算10．（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则 的值为 （ ）
A．16 B．−16 C．8 D．4
11．（23-24八年级上·福建厦门·期中）直接写出计算结果：
（1） ；（2） ．
12．（23-24八年级上·全国·单元测试）（1）若 ， ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
题型五、积的乘方运算
13．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）下列计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）计算 的结果是 ．
15．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算．
(1) ．
(2) ．分层练习
一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6 B．（a2）3＝a6
C．（2x2）3＝6x6 D．（﹣ab）2＝﹣a2b2
4．计算 的结果为（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．（a3）5＝a8 C． D．a7÷a3 ＝a4
6．已知 ， ，若 ，则x的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．计算（ ） ×5 的结果就（ ）
A． B．5 C．1 D．5
8．已知 ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
9．一个正方体的棱长为 ，则它的体积是（ ）
A． B． C． D．10．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
12．化简 所得的结果是 ．
13．计算： ＝ .
15．计算： .
16．若 ， ，则 .
17．若 ， ，则用含 的式子表示 ．
18．如果 、 、 、 ，那么 、 、 、 的大小关系为 ．（用“ ”连
接）
三、解答题
19．已知 ，且 ，求 的值．
20．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)21．计算：
(1) ；
(2) ．
22．光年一般被用于衡量天体之间的距离， 光年是指光在宇宙真空中沿直线一年所经过的距离，如果光
的速度为每秒 千米，一年约为 秒，那么 光年约为多少千米？23．土星可以近似的看做是球体，它的半径约为 ，试求土星的体积．（ 取 ）
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么(a,b)=c，例如：因为23=8，所以
(2,8)=3．
（1）根据上述规定，填空：
_____， _____；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象， ，小明给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
∴ ，即 ，
∴
请你尝试用这种方法证明下面这个等式：
25．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”，
“幂的乘方”，“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为 ， ，
；（m，n为正整数）．请运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题：
(1)已知 ， ， ，请把a，b，c用“<”连接起来：______；
(2)若 ， ，求 的值；
(3)计算： ．
26．规定两数a，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么 ．例如∶因为 ，所以
．
(1)根据上述规定，填空∶ ______； ______； ______；
(2)小明在研究这种运算时发现一个特征； ，并作出了如下的证明∶
∵设 ，则 ，
∴ ，即 ，
∴
∴
试参照小明的证明过程，解决下列问题∶
①计算 ；
②请你尝试运用这种方法，写出 之间的等量关系．并给予证明．
