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2022-2023 学年人教版数学九年级上册章节考点精讲精练
第 21 章《一元二次方程》
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知识点1：一元二次方程的有关概念
1. 一元二次方程的概念：
通过化简后，只 含有一个未知数 ( 一元 )，并且未知数的 最高次数是 2 ( 二次 )的整式方程，叫做一元二次
方程．
2. 一元二次方程的一般式：
3.一元二次方程的解：
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做 一元二次方程的根 .
细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再
将整式方程整理化简使方程的 右边为 0 ，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为
2.
对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．
知识点2：一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
细节剖析：
解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解
法，再考虑用公式法．
知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
ax2 bxc 0(a 0) b2 4ac ax2 bxc 0(a 0)
一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根
的判别式，通常用“”来表示，即 b2 4ac
（1）当△>0时，一元二次方程有 2 个不相等 的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有 2 个相等 的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
ax2 bxc 0(a 0) x，x
如果一元二次方程 的两个实数根是 1 2，
b c
x x x x
那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
细节剖析：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
知识点4：列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；
二是把握问题中的等量关系；
三是正确求解方程并检验解的合理性.
2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.
3.解决应用题的一般步骤：
审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；
设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；
列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；
解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；
验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；
答 (写出答案，切忌答非所问).
4.常见应用题型
数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.
细节剖析：
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际
问题的解决.
考点提优练考点01：一元二次方程的解
1．（2022•南岸区校级模拟）若 m是关于x的一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，则3﹣2m2+2m的值是（
）
A．2 B．1 C．4 D．5
解：∵m是关于x的二元二次方程x2﹣x﹣1＝0的根，
∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1．
∴3﹣2m2+2m
＝3﹣2（m2﹣m）
＝3﹣2×1
＝3﹣2
＝1．
故选：B．
2．（2022春•岚山区期末）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（
）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2
解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：
k2﹣4＝0，
解得k＝2，k＝﹣2，
1 2
而k﹣2≠0，
所以k＝﹣2．
故选：A．
3．（2022春•沙坪坝区校级期末）关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论
中正确的有（ ）个．
①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；
②不论x取何值，总有M≥N；
③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x＝t2，x＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；
1 2
④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，
若M•N中不含x2项，则a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正确；
当x＝0时，N＝﹣1，M＝﹣2，
此时M＜N，故②错误；
若关于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的两个解分别为x＝t2，x＝2t﹣3，则t2+2t﹣3＝ ，
1 2
∴a＝2（t+1）2﹣8，
∴当t＝﹣1时，a的最小值是﹣8，故③正确；
由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，
∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，
由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，
Δ＝（1﹣a）2+48＞0，
∴M+N﹣3＝0有两个不相同的实数根，
由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，
Δ＝（1﹣a）2+8＞0，
∴M+N+2＝0有两个不同的实数根，
∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解，
故④正确，
∴正确的有①③④，共3个，
故选：C．
4．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程 的根为±3，那么关于y的一元二
次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝ ﹣ 2 和 2 ．
解：∵关于x的一元二次方程 的两个根为±3，
∴关于y的一元二次方程 （y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2＝9，
解得y＝﹣2 和2 ．
故答案为：﹣2 和2 ．
5．（2022春•兰考县期中）x＝1 是 （填“是”或“不是”）方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
解：把x＝1分别代入方程4x2﹣9＝2x﹣7的左右两边，
得：左边＝4×12﹣9＝﹣5，右边＝2×1﹣7＝﹣5，左边＝右边，
则x＝1是方程4x2﹣9＝2x﹣7的解．
故答案为：是．
6．（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：
（1）2a2﹣4040a﹣3的值；
（2）代数式a2﹣2019a+ 的值．
解：（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，
∴a2＝2020a﹣1，
∴a2＝2020a﹣1，
∴2a2﹣4040a﹣3
＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3
＝4040a﹣2﹣4040a﹣3
＝﹣5；
（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+
＝a+ ﹣1
＝ ﹣1
＝ ﹣1
＝2020﹣1
＝2019．
7．（2022•海淀区校级一模）已知x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，求m（2m+1）的值．
解：∵x＝1是关于x的方程x2﹣mx﹣2m2＝0的一个根，
∴1﹣m﹣2m2＝0．
∴2m2+m＝1．
∴m（2m+1）＝2m2+m＝1．
考点02：解一元二次方程8．（2022春•江阴市校级月考）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0；
（2）解不等式组： ．
解：（1）x2﹣4x﹣3＝0，
移项，得x2﹣4x＝3，
配方，得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
开方，得x﹣2＝ ，
解得：x＝2+ ，x＝2﹣ ；
1 2
（2） ，
解不等式①，得x≥ ，
解不等式②，得x＜2，
所以不等式组的解集是 ≤x＜2．
9．（2022•蒙阴县校级开学）用配方法解方程：（2x﹣1）2＝4x+9．
解：整理，得 4 x 2 ﹣ 8 x ﹣ 8 ＝ 0 ，
移项，得 4 x 2 ﹣ 8 x ＝ 8 ，
二次项系数化为1得 x 2 ﹣ 2 x ＝ 2 ，
配方，得 x 2 ﹣ 2 x + 1 ＝ 2+ 1 即（ x ﹣ 1 ）2＝ 3 ，
开方，得 x ﹣ 1 ＝ ，
x＝ 1+ ，x＝ 1﹣ ．
1 2
解：（2x﹣1）2＝4x+9，
整理，得4x2﹣8x﹣8＝0，
移项，得4x2﹣8x＝8，
二次项系数化为1，得x2﹣2x＝2，
配方，得x2﹣2x+1＝2+1，即（x﹣1）2＝3，
开方，得x﹣1＝ ，
解得：x＝1+ ，x＝1﹣ ，
1 2
故答案为：4x2﹣8x﹣8＝0，4x2﹣8x＝8，x2﹣2x＝2，x2﹣2x+1＝2+1，x﹣1，3，x﹣1＝ ，1+
，1﹣ ．
10 ． （ 2022 春 • 下 城 区 校 级 期 中 ） 对 于 实 数 m ， n ， 先 定 义 一 种 运 算 “ ⊗ ” 如 下 ：
，若x （﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
解：分两种情况： ⊗
当x≥﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴x⊗2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x＝﹣4（舍去），x＝3，
1 2
当x＜﹣2时，
∵x （﹣2）＝10，
∴（⊗﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
11．（2022春•琅琊区校级月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2﹣3|x|﹣10＝0．
解：分两种情况：
（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣3x﹣10＝0，解得x＝5，x＝﹣2（舍去）；
1 2
（2）当x＜0时，原方程化为x2+3x﹣10＝0，解得x＝﹣5，x＝2（舍去）；
1 2
综上所述，原方程的解是x＝5，x＝﹣5．
1 2
问题：仿照上面的方法，解方程：x2﹣2|2x+3|+9＝0．解：（1）当2x+3≥0，即x≥﹣ 时，原方程化为x2﹣2（2x+3）+9＝0，
整理，得：x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1，x＝3；
1 2
（2）当2x+3＜0，即x＜﹣ 时，原方程化为x2+2（2x+3）+9＝0，
整理，得：x2+4x+15＝0，
∵Δ＝42﹣4×1×15＝﹣44＜0，
此一元二次方程无实数根，
综上所述，原方程的解是x＝1，x＝3．
1 2
考点03：根的判别式
12．（2022秋•岳麓区校级月考）一元二次方程x2+2mx+m2﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
解：∵Δ＝（2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
13．（2022秋•通州区校级月考）关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
（ ）
A．m＜﹣1 B．m≤﹣1 C．m＞﹣1 D．m＞1
解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＞0，
解得：m＞﹣1，
故选：C．
14．（2022•西藏）已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0 有实数根，则 m 的取值范围是
（ ）
A．m≥ B．m＜ C．m＞ 且m≠1 D．m≥ 且m≠1
解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有实数根，
∴ ，解得：m≥ 且m≠1．
故选：D．
15．（2022•安徽）若一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝ 2 ．
解：∵一元二次方程2x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝16﹣8m＝0，
解得：m＝2．
∴m＝2．
故答案为：2．
16．（2022春•洞头区期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+
（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 1 0 ．
解：根据题意得Δ＝（a+2）2﹣4（6﹣a）＝0，
解得a＝﹣10（负值舍去），a＝2，
1 2
在等腰△ABC中，
①4为底时，则b＝a＝2，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形；
②4为腰时，b＝4，
∵2+4＞4，
∴能组成三角形，
∴△ABC的周长＝4+4+2＝10．
综上可知，△ABC的周长是10．
故答案为：10．
17．（2022春•百色期末）已知a、b、c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝
0有两个相等的实数根．
（1）请判断△ABC的形状；
（2）当a＝5，b＝3时，求一元二次方程的解．
解：（1）∵关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，
即（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形；
（2）∵a＝5，b＝3，
∴c＝ ＝4，
∴方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0可整理为9x2+6x+1＝0，
解得：x＝x＝﹣ ．
1 2
18．（2022春•湖南期中）某班“数学兴趣小组”对函数y＝|x﹣1|的图象和性质进行了研究．探究过程如
下，请补全完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 4 m 2 1 0 1 2 3 4 …
其中，m＝ 3 ；
（2）根据上表的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该
函数图象的另一部分．
（3）进一步探究函数图象发现：
①方程|x﹣1|＝0的解是 x ＝ 1 ；
②方程|x﹣1|＝1.5的解是 2. 5 或﹣ 0. 5 ；
③关于x的方程|x﹣1|＝k有两个实数根，则k的取值范围是 k ＞ 0 ．
解：（1）x＝﹣2时，y＝|x﹣1|＝3，故m＝3，
故答案为：3；
（2）函数图象如图所示：（3）①方程|x﹣1|＝0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为：x＝1；
②方程|x﹣1|＝1.5，
此时x﹣1＝1.5或x﹣1＝﹣1.5，
解得：x＝2.5或﹣0.5．
故答案为：x＝2.5或﹣0.5；
③设函数y＝k，
由|x﹣1|＝k有两个实数根得，直线y＝k与函数y＝|x﹣1|的图象有两个交点，
由图象可知，k＞0，
故答案为：k＞0．
19．（2022春•东台市期中）已知关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x＝2是该方程的一个根，求代数式﹣3m2+12m+2021的值．
（1）证明：Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣1）＝4＞0，
所以对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：将x＝2代入原方程中，得4﹣4m+m2﹣1＝0，
即m2﹣4m＝﹣3，
∴﹣3m2+12m+2021＝﹣3（m2﹣4m）+2021＝﹣3×（﹣3）+2021＝2030．
考点04：根与系数的关系
20．（2022•三水区开学）若x，x 是方程2x2﹣6x+3＝0的两个根，则 的值为（ ）
1 2A．2 B．﹣2 C． D．
解：
＝
＝
＝2．
故选：A．
21．（2022•松山区模拟）若 m，n是一元二次方程 x2+x﹣3＝0的两个实数根，则 m3﹣4n2+17的值为
（ ）
A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4
解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，
∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，
∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，
∴m3﹣4n2+17
＝4m﹣3﹣12+4n+17
＝4（m+n）+2
＝4×（﹣1）+2
＝﹣4+2
＝﹣2，
故选：A．
22．（2022•肥西县模拟）设a、b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，则a3+2022b﹣2021＝ 202 2 ．
解：∵a，b是方程x2﹣x﹣2021＝0的两实数根，
∴a2＝a+2021，a+b＝1，
∴a3+2022b﹣2021
＝a（a+2021）+2022b﹣2021＝a2+2021a+2022b﹣2021
＝a+2021+2021a+2022b﹣2021
＝2022（a+b）
＝2022×1
＝2022．
故答案为：2022．
23．（2022春•绍兴期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一
个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 ②③ （填序
号）．
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程．
解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得x＝2，x＝﹣1，得x≠2x，
1 2 1 2
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x＝2，
1
因此x＝1或x＝4，
2 2
当x＝1时，m+n＝0，
2
当x＝4时，4m+n＝0，
2
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，
∴px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x＝﹣ ，x＝﹣q，
1 2
∴x＝﹣q＝﹣ ＝2x，
2 1
因此是倍根方程，
故③正确．
故答案为：②③．
24．（2022 春•崇川区校级月考）已知 α，β 是方程 x2+2021x+1＝0 的两个根，则（α2+2022α+1）
（β2+2022β+1）＝ 1 ．解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
25．（2022秋•江岸区校级月考）关于x的方程 有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于12？若存在，求k；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴k≠0，Δ＝[﹣（k﹣2）]2﹣4k• ＝k2﹣4k+4﹣k2＞0，
∴k＜1且k≠0，
∴实数k的取值范围为k＜1且k≠0；
（2）关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0（a≠0，Δ＞0），它们对应的根是倒数关系，即
若ax2+bx+c＝0的两根为x.x，则cx2+bx+a＝0的两根为 ， ，
1 2
∵方程的两个实数根的倒数和等于12，
∴关于x的方程 kx2﹣（k﹣2）x+k＝0，
根据题意有，﹣ ＝12，
∴ ，
∴k＝﹣1，显然k＜1且k≠0，
∴存在实数k，k＝﹣1．
26．（2022春•安庆期末）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣9x+18＝0的两个根是
3和6，则方程x2﹣9x+18＝0就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程x2﹣6x+k＝0是“倍根方程”，则k＝ 8 ；
（2）若一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，求 的值；
解：（1）设一元二次方程x2﹣6x+k＝0两根为α和2α，
则 ，
解得 ，
故答案为：8；
（2）由一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0得（nx﹣m）（x﹣2）＝0，
∴x＝ 或x＝2，
∵一元二次方程nx2﹣（2n+m）x+2m＝0（n≠0）是“倍根方程”，
∴ ＝4或 ＝1，
当 ＝4时，m＝4n，
∴ ＝ ＝ ，
当 ＝1时，m＝n，
∴ ＝ ＝2，
综上所述， 的值为 或2．
27．（2022•南充）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根．
（1）求实数k的取值范围．
（2）设方程的两个实数根分别为x，x，若（x+1）（x+1）＝﹣1，求k的值．
1 2 1 2
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
解得k≤ ，即k的取值范围是k≤ ；
（2）∵方程x2+3x+k﹣2＝0的两个实数根分别为x，x，
1 2
∴x+x＝﹣3，xx＝k﹣2，
1 1 1 2
∵（x+1）（x+1）＝﹣1，
1 2
∴xx+（x+x）+1＝﹣1，
1 2 1 2
∴k﹣2+（﹣3）+1＝﹣1，
解得k＝3，
即k的值是3．
考点05：一元二次方程的应用
28．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程 x2+ax＝b2的解：在Rt ABC中，∠C＝90°，AC
△
＝ ，BC＝b，以点A为圆心作弧交AB于点D，使AD＝AC，则该方程的一个正根是（ ）
A．CD的长 B．BD的长 C．AC的长 D．BC的长
解：∵AD＝AC＝ ，
∴AB＝AD+BD＝ +BD，
在Rt ABC中，∠C＝90°，
∴AC△2+BC2＝AB2，
∴（ ）2+b2＝（ +BD）2，
∴ +b2＝ +aBD+BD2，
∴BD2+aBD＝b2，∵BD2+aBD＝b2与方程x2+ax＝b2相同，且BD的长度是正数，
∴BD的长该方程x2+ax＝b2的一个正根，
故选：B．
29．（2022春•福州期末）我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下 9899万农村贫困人口全部脱贫，
创造了又一个彪炳史册的人间奇迹！某贫困村从 2018年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该
村2018年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2020年该村乡村民宿旅游收入达到 3380万元，则该村
2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．20% B．25% C．30% D．35%
解：设该村2018年到2020年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：2000（1+x）2＝3380，
解得：x＝0.3＝30%，x＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
30．（2021秋•岳池县期末）我县某村从2018年开始大力发展文旅产业，打造农家生态文化旅游．据统计，
该村2018年农家生态文化旅游收入约为200万元，2020年该村农家生态文化旅游收入达到288万元．
据此估计该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
解：设该村从2018年到2020年农家生态文化旅游收入的年平均增长率为x，
依题意得：200（1+x）2＝288，
解得：x＝0.2＝20%，x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
1 2
故选：C．
31．（2022春•福山区期末）德尔塔（Delta）是一种全球流行的新冠病毒变异毒株，其传染性极强．某地
有1人感染了德尔塔，因为没有及时隔离治疗，经过两轮传染后，一共有 144人感染了德尔塔病毒，如
果不及时控制，照这样的传染速度，经过三轮传染后，一共有 172 8 人感染德尔塔病毒．
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：
1+x+x（1+x）＝144，
整理得：x2+2x﹣143＝0，
解得：x＝11，x＝﹣13（不合题意，舍去）．
1 2
144+11×144＝1728（人）．
答：经过三轮传染后，一共有1728人感染德尔塔病毒．
故答案为：1728．
32．（2022春•蜀山区期末）如图，某生物兴趣小组要在长40米、宽30米的矩形园地种植蔬菜，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽小路，若蔬菜种植面积为 1008平方米，则小路的宽为 2
米．
解：小路的宽为x米．
由题意可得：（40﹣2x）（30﹣x）＝1008，
解得：x＝2，x＝48（不合题意，舍去），
1 2
答：小路的宽为2米，
故答案为：2．
33．（2022•天府新区模拟）给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长
和面积的2倍，则我们称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，当已知矩形的长和宽分别为3和1时，
其“加倍矩形”的对角线长为 2 ．
解：设“加倍”矩形的长为x，则宽为[2×（3+1）﹣x]，
依题意，得：x[2×（3+1）﹣x]＝2×3×1，
整理，得：x2﹣8x+6＝0，
解得：x＝4+ ，x＝4﹣ ，
1 2
当x＝4+ 时，2×（3+1）﹣x＝4﹣ ＜4+ ，符合题意；
当x＝4﹣ 时，2×（3+1）﹣x＝4+ ＞4﹣ ，符不符合题意，舍去．
∴“加倍矩形”的对角线长为 ＝2 ．
故答案为：2 ．
34．（2021秋•尧都区期末）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是
135cm2，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 9 cm2．
解：设小长方形的长为xcm，宽为 xcm，
根据题意得：（x+2× x）•x＝135，解得：x＝9或x＝﹣9（舍去），
则 x＝3．
所以3×3＝9（cm 2）．
故答案为：9．
35．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5
万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万
人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的
知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月
后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣ （舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
36．（2021秋•雁塔区校级期末）某汽车销售公司2月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价
与销售量有如下关系：
若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低
0.1万元．月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？
（2）如果汽车的售价为每辆31万元，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈
利＝销售利润+返利）解：（1）若该公司当月售出7辆汽车，则每辆汽车的进价为：30﹣0.1×（7﹣1）＝29.4万元
（2）设需要售出x辆汽车，
由题意可知，每辆汽车的销售利润为：
[31﹣（30.1﹣0.1x）]x+0.5x＝12，
整理，得x2+14x﹣120＝0，
解这个方程，得x＝﹣20（不合题意，舍去），x＝6．
1 2
答：需要售出6辆汽车．
37．（2022•台儿庄区一模）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，
以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动，当一个点到达终点时，另
一个点也随即停止运动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
解：如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S ＝ •PB•QE．
PQB
△
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝（6﹣t）cm，QB＝2t（cm），QE＝t（cm）．
根据题意， •（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t＝2，t＝4．
1 2
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
