文档内容
第 21 章 四边形 知识清单
21.1 四边形及多边形
1. 四边形及其内角和
基本概念与定理
• 四边形定义：由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• 四边形内角和定理：四边形的内角和等于 360°。
• 四边形外角和定理：四边形的外角和等于 360°。
解题技巧
• 已知四边形中三个内角的度数，可直接用内角和公式求出第四个角。
示例：已知四边形的三个内角分别为80°、100°、110°，求第四个内角的度数。
解：第四个内角 = 360° - (80° + 100° + 110°) = 360° - 290° = 70°。
2. 多边形及其内角和
基本概念与定理
• 多边形定义：由n（n≥3）条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形。
• n边形内角和公式：(n-2)×180∘。
• 多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于 360°。
• 正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形。
解题技巧
内角和
•
已知内角和求边数：n= +2。
180∘
360∘
• 已知正多边形内角求边数：先求外角（180∘-内角），再用 n= 。
外角
易错点拨
• 多边形内角和随边数n的增加而增加，但外角和恒为360°，与边数无关。
示例1：求五边形的内角和。
解：(5-2)×180∘=540∘。
示例2：一个正多边形的每个内角都是135°，求它的边数。
解：每个外角 = 180∘-135∘=45∘。
360∘
边数 n= =8。
45∘
所以这是一个正八边形。
3.探究与发现：用多边形镶嵌平面
基本概念
• 平面镶嵌：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。
• 镶嵌条件：拼接在同一点的各个角的和恰好等于 360°。
解题技巧
• 常见能单独镶嵌的正多边形：正三角形（60°×6）、正方形（90°×4）、正六边形（120°×3）。
21.2 平行四边形
1. 平行四边形及其性质
基本概念与性质
• 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，记作▱ABCD。
• 性质：
边：对边平行且相等（AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC）。
角：对角相等，邻角互补（∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘）。
对角线：对角线互相平分（OA=OC，OB=OD）。
解题技巧
• 利用“对边相等”求边长，利用“对角线互相平分”求线段长度。
示例：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=12，AB=5，求△AOB的周长。
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，
1 1
∴ OA= AC=4，OB= BD=6。
2 2
∴ △AOB的周长 = OA+OB+AB=4+6+5=15。
2. 平行四边形的判定
基本概念与定理
• 判定定理：
边：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等。
角：两组对角分别相等。
对角线：对角线互相平分。
解题技巧
• 证明平行四边形时，优先选择“一组对边平行且相等”或“对角线互相平分”，步骤更简洁。
示例：已知四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形。证明：∵ AB∥CD，且AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
3. 三角形的中位线
基本概念与定理
• 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
• 中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
1
（若DE是△ABC的中位线，则DE∥BC，DE= BC）
2
解题技巧
• 中位线定理是证明线段平行和线段倍分关系的重要工具。
示例：在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若BC=10，求DE的长。
解：∵ D、E是AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线。
1 1
∴ DE= BC= ×10=5。
2 2
21.3 特殊的平行四边形
1. 矩形
基本概念与定理
• 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
• 性质（继承平行四边形性质+特有性质）：
角：四个角都是直角。
对角线：对角线相等且互相平分。
￮ 判定：
定义法：平行四边形 + 一个角是直角。
对角线法：平行四边形 + 对角线相等。
角判定：三个角是直角的四边形是矩形。
解题技巧
• 矩形的对角线将其分割为四个等腰三角形，常结合勾股定理求边长。
示例：矩形ABCD的对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4，求对角线AC的长。解：∵ 四边形ABCD是矩形，
1
∴ OA=OB= AC。
2
又∵ ∠AOB=60°，
∴ △AOB是等边三角形。
∴ OA=AB=4。
∴ AC=2OA=8。
2. 菱形
基本概念与定理
￮ 定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
￮ 性质（继承平行四边形性质+特有性质）：
边：四条边都相等。
对角线：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。
￮ 判定：
定义法：平行四边形 + 一组邻边相等。
边判定：四条边都相等的四边形是菱形。
对角线法：平行四边形 + 对角线互相垂直。
解题技巧
1
• 菱形面积：S=底×高= ×对角线乘积，已知对角线时，后者更简便。
2
示例：菱形ABCD的对角线AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积。
解：∵ 四边形ABCD是菱形，
1 1
∴ AC⟂BD，OA= AC=3，OB= BD=4。
2 2
在Rt AOB中，AB=❑√OA2+OB2=❑√32+42=5。
∴ 周 △ 长 = 4×AB=20。
1 1
面积 S= ×AC×BD= ×6×8=24。
2 23. 正方形
基本概念与定理
￮ 定义：有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形（既是矩形又是菱形）。
￮ 性质：兼具矩形和菱形的所有性质（四条边相等、四个角直角、对角线相等且垂直平分）。
￮ 判定：
矩形 + 一组邻边相等。
菱形 + 一个角是直角。
示例：已知正方形ABCD的边长为2❑√2，求对角线AC的长。
解：在正方形中，对角线与两边构成等腰直角三角形。
由勾股定理：AC=❑√AB2+BC2=❑√(2❑√2) 2+(2❑√2) 2=❑√8+8=❑√16=4。
重难题型突破
题型：四边形中的动点问题
典型试题
如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm。点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动；
同时，点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动。设运动时间为t秒（0
