文档内容
第 02 讲 球体的外接与内切问题
（11 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第12题,5分 球体相关计算 正棱锥及圆柱体的相关计算
球的体积的有关计算 锥体体积的有关计算
2022年新I卷，第8题,5分
多面体与球体内切外接问题 由导数求函数的最值 (不含参)
球的表面积的有关计算
2022年新Ⅱ卷，第7题,5分 无
多面体与球体内切外接问题
2021年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的表面积的有关计算 无
2020年新I卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新I卷，第16题,5分 球的截面的性质及计算 无
2020年新Ⅱ卷，第4题,5分 球的截面的性质及计算 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较中等或偏上，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握球体的表面积公式和体积公式
2.熟练掌握不同模型的球体的外接球和内切球的相关计算
3.会利用（二级）结论快速解题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般有特殊几何体、墙角问题、对棱相等、侧棱垂直于底
面、侧面垂直于底面的外接内切问题，需强化复习.知识讲解
1. 球的表面积和体积公式
球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3
2. 球的切接概念
空间几何体的外接球：球心到各个顶点距离相等且等于半径的球是几何体的外接球
空间几何体的内切球：球心到各面距离相等且等于半径的球是几何体的内切球
3. 几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
4. 墙角模型（三条直线两两垂直）
补形为长方体，长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
5. 直棱柱外接球之汉堡模型
（1）补型：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
（2）作图：构造直角三角形，利用勾股定理
直三校柱内接于一球（棱柱的上下底面为直角三角形）R=
√
r2+
(h) 2
2
6. 底面外接圆的半径r的求法
（1）正弦定理
（2）直角三角形：半径等于斜边的一半
（3）等边三角形：半径等于三分之二高
（4）长（正）方形：半径等于对角线的一半
7. 正棱锥类型(h−R) 2+r2=R2, 解出 R
8. 侧棱垂直与底面-垂面型
R=
√
r2+
(h) 2
2
9. 侧面垂直与底面-切瓜模型
如图：平面 PAC⊥ 平面 BAC,AB⊥BC ( AC 为小圆直径)
（1）由图知球心O必为△PAC的外心,即△PAC在大圆面上,先求出小圆面直
径AC的长;
a
（2）在△PAC中,可根据正弦定理 =2R,解出R
sinA
如图：:平面PAC⊥平面BAC,PA=PC,AB⊥AC
（1）确定球心O的位置,由图知P,O,H三点共线;
（2）算出小圆面半径AH=r,算出棱锥的高PH=
ℎ
（3）勾股定理:OH2+AH2=OA2
⇒(ℎ−R) 2+r2=R2，解出R
10.内切球如图：求任意三棱雉的内切球半径(等体积法)
（1）先求出四个表面的面积和整个椎体的体积;
（2）设内切球半径为r,建立等式:V =V +V +V +V
P−ABC O−ABC O−PAB O−PAC O−PBC
1
⇒V = (S +S +S +S )⋅r;
P−ABC 3 ABC PAB PAC PBC
3V
（3）解出r= P−ABC
S +S +S +S
ABC PAB PAC PBC
3V
R=
S
结论：若棱锥的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为 .
考点一、 特殊几何体外接球
1．（广东·高考真题）棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
2．（天津·高考真题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，
2，3，则此球的表面积为 ．
3．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）在一个半径为2的半球形封闭容器内放入两个半径相同的小球，则这两个
小球的表面积之和最大为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）已知一圆台内切球 与圆台各个面均相切，记圆台上、下底面半径为 ，r 1
若
1=
，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）
r 3
2
A． B． C．2 D．
6．（2024·浙江·模拟预测）已知边长为6的正方体与一个球相交，球与正方体的每个面所在平面的交线都
为一个面积为 的圆，则该球的表面积为（ ）
A．96π B． C． D．
1．（2023·浙江绍兴·模拟预测）已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为（
）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知某圆锥底面半径为1，高为2，则该圆锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏石嘴山·一模）已知正四棱锥的底面边长为2，高为4，它的所有顶点都在同一球面上，则
这个球的表面积是
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知圆柱的底面直径为 ，它的两个底面的圆周都在同一个表面积为
的球面上，该圆柱的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西·模拟预测）已知正四棱柱的底面棱长与侧棱长之比为1：2，且其外接球的表面积为 ，
则该正四棱柱的侧面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
6．（2024·全国·模拟预测）已知圆柱的体积为 ，且圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O
的表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点二、 墙角问题
1．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥 中， ， ， ， 底面 ，且
，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
2．（2023·天津·校考模拟预测）已知三棱锥 的三条侧棱两两互相垂直，且
，则此三棱锥的外接球的体积为A． B． C． D．
3．（2021春·广西柳州·高三柳铁一中校考阶段练习）已知三棱锥 的四个顶点 都在球
的表面上， 平面 ，且 ，则球 的表面积为
A． B． C． D．
1．（2022·四川达州·统考二模）四面体 的每个顶点都在球 的球面上， 两两垂直，且
， ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·石室中学校考三模）若三棱锥P-ABC的所有顶点都在同一个球的表面上，其中PA⊥平
面ABC， ， ， ，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点三、 对棱相等问题
1．（2023·陕西西安·模拟预测）三棱锥 中， ， ， ，那么该三
棱锥外接球的表面积是 ．
2．（2024·重庆·模拟预测）已知四面体ABCD中， ，若四面体ABCD的
外接球的表面积为7 ，则四面体ABCD的体积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
1．（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·甘肃张掖·统考模拟预测）在四面体 中， ，
则四面体 外接球表面积是（ ）A． B． C． D．
考点 四 、 侧棱垂直底面问题
1．（2024·河北·三模）已知三棱锥 ， 平面 ， ， ，若三棱锥外
接球的表面积为 ，则此三棱锥的体积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·湖南常德·一模）已知三棱锥 中， 平面 ， 4， 3， ，
7，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·青海·二模）如图，已知在四棱锥 中，底面四边形 为等腰梯形， ，
，底面积为 ， 且 ，则四棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．1．（2024·福建厦门·模拟预测）已知三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广西柳州·柳州高级中学校联考模拟预测）在三棱锥P－ABC中， ， ，且
， ， ， ，则此三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山东德州·三模）在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面
，点 为 上靠近 的三等分点，则三棱锥 外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
考点 五 、 侧面垂直于底面问题
1．（2024·山东泰安·二模）已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若
，平面 平面 ，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川·模拟预测）已知在三棱锥 中， ， ， ，平面
平面 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知四棱锥 的各顶点在同一球面上，若
， 为正三角形，且面 面 ，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．1．（2024·宁夏固原·一模）已知四面体 的各顶点均在球 的球面上，平面 平面 ，
，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龙江大庆·统考二模）如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，
，N为AF的中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河南开封·统考三模）已知正方体 的棱长为1，P为棱 的中点，则四棱锥P
－ABCD的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
考点 六 、 二面角与球体综合
1．（2024·全国·模拟预测）在菱形 中， ， ，将 沿 翻折，使二面角
的余弦值为 ，则四面体 的外接球的表面积为 .
2．（2024·陕西咸阳·二模）已知三棱锥 中， ，三角形 为正三角形，若
二面角 为 ，则该三棱锥的外接球的体积为 ．
3．（2024·湖北·模拟预测）已知菱形 的边长为 ， ，沿对角线 将菱形 折起，
使得二面角 为钝二面角，且折后所得四面体 外接球的表面积为 ，则二面角
的余弦值为 .1．（2024·河北保定·三模）在三棱锥 中，已知 是边长为2的正三角形，且 .若
和 的面积之积为 ，且二面角 的余弦值为 ，则该三棱锥外接球的表面积为
.
2．（2024·四川南充·二模）已知菱形 中，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角
为 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 .
3．（2024·河南·一模）在四棱锥 中，已知平面 平面
， ，若二面角 的正切值为 ，则四棱锥
外接球的表面积为 ．
考点 七 、 数学文化与球体综合
1．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴“有用脚蹴､踢的含义，
“鞠”最早系外包皮革､内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动，类似今日的踢足
球活动.已知某“鞠”的表面上有四个点P､A､B､C，其中 平面 ，
，则该球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三·全国·专题练习）三星堆古遗址作为“长江文明之源“，被誉为人类最伟大的考古发现之一．
3号坑发现的神树纹玉琮，为今人研究古蜀社会中神树的意义提供了重要依据．玉琮是古人用于祭祀的礼器，有学者认为其外方内圆的构造，契合了古代“天圆地方”观念，是天地合一的体现，如图，假定某玉
琮形状对称，由一个空心圆柱及正方体构成，且圆柱的外侧面内切于正方体的侧面，圆柱的高为12cm，圆
柱底面外圆周和正方体的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为
3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料
蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状
多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个
球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为6 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积为
．
4．（2024·辽宁葫芦岛·一模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道
形状的几何体，如图，羡除 中，底面 是正方形， 平面 ， 和 均为
等边三角形，且 ．则这个几何体的外接球的体积为 ．
1．（23-24高一下·浙江·期中）《九章算术》是我国古代的数学专著，是“算经十书”（汉唐之间出现的
十部古算书）中非常重要的一部．在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已
知“堑堵” 的所有顶点都在球 的球面上，且 ．若球 的表面积为 ，则这个
三棱柱的表面积是（ ）
A．2+2√2 B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部
分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积 （如上图，这
里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被
一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球
冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为 ，则该工艺品的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川雅安·模拟预测）如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正
三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 ，则该多面体外接球的表面积
为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双
双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某
重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相
切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体 棱长为 ，则模型中九个球的表面
积和为（ ）
A． B． C． D．21π
考点 八 、 最值与球体综合1．（2024·河南·模拟预测）已知体积为 的正四棱锥 的所有顶点均在球 的球面上，则球 的
表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·浙江温州·模拟预测）不计容器壁厚度的有盖立方体容器的边长是1，向其中放入两个小球，则
这两个小球的体积之和的最大值是 .
3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）在四棱锥 中，底面 是直角梯形，
， .若 ，且三棱锥 的外接球的表面积为
，则当四棱锥 的体积最大时， 长为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2023·河南·三模）已知四棱锥 的高为 ，底面 为菱形， ， 分别为
的中点，则四面体 的体积为 ；三棱锥 的外接球的表面积的最小值为
．
5．（2024·广东广州·二模）用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅
原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积 ，其中 分别是两个
平行平面截球所得截面圆的半径， 是两个平行平面之间的距离．已知圆台 的上、下底面的圆周都在
球 的球面上，圆台 的母线与底面所成的角为 ，若圆台 上、下底面截球 所得的球台的体积
比圆台 的体积大 ，则球O的表面积 与圆台 的侧面积 的比值 的取值范围为 ．
1．（23-24高三上·福建龙岩·阶段练习）2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准列入第
一批国家级非物质文化遗产名录.“蹴”有用脚蹴､踢的含义，“鞠”最早是外包皮革､内饰米糠的球，因而
“蹴鞠”就是指古人以脚蹴､踢皮球的活动.如图所示，若将“鞠”的表面视为光滑的球面，已知某“鞠”
的表面上有四个点 ，满足 平面 ，若 的面积为2，则制作该
“鞠”的外包皮革面积的最小值为（ ）A． B． C． D．
2．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知圆台的上、下底面中心分别为 ，且 ，上、下底面半
径分别为2，12，在圆台容器内放置一个可以任意转动的球，则该球表面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．248π
3．（2024·江苏南通·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为 ，则该正四棱
台内半径最大的球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河南·模拟预测）在四棱锥 中，若 ，其中 是边
长为2的正三角形，则四棱锥 外接球表面积的最小值为（ ）
32√3π
A． B． C． D．
27
5．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知A，B，C，D是体积为 的球体表面上四点，若 ，
， ，且三棱锥A－BCD的体积为 ，则线段CD长度的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点 九 、 内切球综合
1．（2024高三上·全国·竞赛）若底面边长为2的正六棱柱存在内切球，则其外接球体积是 .
2．（2023·湖北·二模）已知直三棱柱 存在内切球，若 ，则该三棱柱外
接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形 为平行四边形， ， ， ，现将沿直线 翻折，得到三棱锥 ，若 ，则三棱锥 的内切球表面积为
．
4．（22-23高一下·安徽·阶段练习）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙
处各放入一个小球，则这样一个小球的表面积最大为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·甘肃金昌·模拟预测）在底面是边长为4的正方形的四棱锥 中，点 在底面的射影
为正方形 的中心，异面直线 与 所成角的正切值为 ，则四棱锥 的内切球与外接球
的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·湖北·二模）已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为6，则圆
锥PO的内切球表面职与圆锥侧面积之和为（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三上·福建·阶段练习）已知正三棱锥 中，侧面与底面所成角的正切值为 ， ，
这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·湖南郴州·三模）已知三棱锥 的棱长均为4，先在三棱锥 内放入一个内切球 ，
然后再放入一个球 ，使得球 与球 及三棱锥 的三个侧面都相切，则球 的表面积为.
4．（2024·河南开封·二模）已知经过圆锥SO的轴的截面是正三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO分成
两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），则上、下两部分几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球．在四棱锥 中，侧面 是边长为1的等边三角形，底面 为矩形，且平面 平面
V
1
．若四棱锥 存在一个内切球，设球的体积为 ，该四棱锥的体积为 ，则 的值为
V
2
（ ）
A． B． C． D．
考点 十 、 球心不确定类型
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，则该
三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示，在六面体 中， ，
， ，则该六面体的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖北荆州·模拟预测）三棱锥 的四个顶点在球O的球面上， ， ， ，
顶点P到 的三边距离均等于4，且顶点P在底面的射影在 的内部，则球O的表面积等于
（ ）
A． B． C． D．1．（2024·山西朔州·一模）在三棱锥 中， ，若
是等边三角形，则三棱锥 的外接球的体积是（ ）
A． B．8√6π C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在三棱锥 中， ， ， 为 的
中点， ， 与平面 所成的角为 ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知正方体 的棱长为2，P，Q分别是 ， 的中
点，则经过点 ，Q，C，D，C 的球的表面积为（ ）
1
A． B． C． D．
考点 十一 、 球体多选题综合
1．（2023·云南·一模）已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则下列
结论正确的是（ ）
A．正四棱锥的体积为 B．正四棱锥的侧面积为16
C．外接球的表面积为 D．外接球的体积为
2．（2023·安徽合肥·模拟预测）已知半径为R的球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为r 和r，母线长为l，球的表面积与体积分别为S 和V，圆台的表面积与体积分别为S 和V.则下列说
1 2 1 1 2 2
法正确的是（ ）
A．l=r +r B．
1 2
C． D． 的最大值为
3．（2023·河北·模拟预测）已知正三棱锥 的侧面均为等腰直角三角形，动点 在其内切球上，动
点 在其外接球上，且线段 长度的最小值为 ，设该正三棱锥内切球的球心为 ，外接球的球心
为 ，则（ ）
A． ， ， 三点共线
B． 平面
C．正三棱锥 外接球的体积为
D．正三棱锥 内切球的表面积为
4．（2023·安徽淮南·二模）如图，棱长为2的正四面体 中， ， 分别为棱 ， 的中点，
为线段 的中点，球 的表面与线段AD相切于点 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． 平面
√2
B．球 的体积为 π
3
C．球 被平面 截得的截面面积为
8√3
D．球 被正四面体 表面截得的截面周长为 π
3
5．（2023·全国·模拟预测）与那些英雄们的墓志铭相比，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅．他们的
墓碑上往往只是刻着一个图形或写着一个数，这些形和数，展现着他们一生的执着追求和闪光的业绩．古
希腊数学家阿基米德就是这样，他的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球．这个球的直径恰与圆柱
的高相等．这个称为“等边圆柱”的图形如图所示，记内切球的球心为 ，圆柱上、下底面的圆心分别为
， ，四边形 是圆柱的一个轴截面， 为底面圆 的一条直径，若圆柱的高为4，则（ ）A．内切球的表面积与圆柱的表面积之比为2：3
B．圆柱的外接球的体积与圆柱的体积之比为4：3
C．四面体 的体积的最大值为
D．平面 截得球 的截面面积的取值范围为
1．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图，球 的半径为 ，球面上的三个点 的外接圆为圆 ，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．球 的表面积为
B．若 的面积为
C．若 ，则三棱锥 的体积是
D．三棱锥 体积的最大值为
2．（2023·广东·二模）如图所示，四边形 是边长为4的正方形， 分别为线段 上异于点
的动点，且满足 ，点 为 的中点，将点 沿 折至点 处，使 平面 ，则下
列判断正确的是（ ）A．若点 为 的中点，则五棱锥 的体积为
B．当点 与点 重合时，三棱锥 的体积为
C．当点 与点 重合时，三棱锥 的内切球的半径为
D．五棱锥 体积的最大值为
3．（23-24高三下·江西·开学考试）化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八
面体），如六氟化硫（化学式SF ）､金刚石等的分子结构.将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体
6
（如图1），已知正八面体 的（如图2）棱长为2，则（ ）
A．正八面体 的内切球表面积为
B．正八面体 的外接球体积为
C．若点 为棱 上的动点，则 的最小值为
D．若点 为棱 上的动点，则三棱锥 的体积为定值
4．（2023·湖南长沙·一模）如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， 为圆柱
上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆 的一条直径，若球的半径 ，则下列各选项正确的是
（ ）A．球与圆柱的体积之比为
B．四面体 的体积的取值范围为
C．平面 截得球的截面面积最小值为
D．若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 的取值范围为
5．（2024·江西上饶·一模）空间中存在四个球，它们半径分别是2，2，4，4，每个球都与其他三个球外切，
下面结论正确的是（ ）
A．以四个球球心为顶点的四面体体积为
B．以四个球球心为顶点的四面体体积为
C．若另一小球与这四个球都外切，则该小球半径为
D．若另一小球与这四个球都内切，则该小球半径为
一、单选题
1．（2024·安徽安庆·三模）已知圆锥 的轴截面是等边三角形，则其外接球与内切球的表面积之比为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，它的两个底面的圆周在同一个球
的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为 ，母线与轴所在直线的夹角是 ，且上、
下底面的面积之比为 ，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·青海海西·模拟预测）如图，圆柱形容器内部盛有高度为 的水，若放入3个相同的铁球（球
的半径与圆柱底面半径相等）后，水恰好淹没最上面的铁球，则一个铁球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·山西太原·二模）已知圆锥的顶点为P，底面圆的直径 ， ，则该圆锥内切
球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示，某同学制作了一个工艺品.该工艺品可以看成是一个球被一个棱
长为8的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合）.若其中一截面圆的周长为 ，
则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·安徽合肥·模拟预测）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆面叫做球冠的底，垂直于
圆面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圆弧绕过它的一个端点的直径旋转一周所成的曲面．
假设球面对应球的半径是R，球冠的高是h，那么球冠的表面积公式为 ．据中国载人航天工程办公
室消息，北京时间2023年12月21日21时35分，经过约7.5小时的出舱活动，航天员汤洪波、唐胜杰已
安全返回天和核心舱，神舟十七号航天员乘组第一次出舱活动取得圆满成功．若航天员汤洪波出仓后站在
机械臂上，以背后的地球为背景，如图所示，面向镜头招手致意，此时汤洪波距离地球表面约为400km
（图中的点A处），设地球半径约为Rkm，则此时汤洪波回望地球时所能看到的地球的表面积为（ ）A． B． C． D．
二、填空题
8．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知正方体 棱长为2，若点 是线段 的中点，则三棱
锥 的外接球的表面积为 .
9．（2024·贵州贵阳·三模）在三棱锥 中， 面 ，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
10．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）圆台 中，圆 的半径是圆 半径的2倍，且 恰为该圆台外接球
的球心，则圆台的侧面积与其外接球的表面积的比值为 ．
一、单选题
1．（2024·江西南昌·三模）已知三棱锥 中， 是边长为2的正三角形， 是以 为斜
边的等腰直角三角形， 分别是线段 的中点，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川内江·模拟预测）如图，四边形 是一个角为 且边长为 的菱形，把 沿BD折
起，得到三棱锥 .若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·江西鹰潭·三模）在菱形 中， ， ，将 沿对角线 折起，使点 到
达 的位置，且二面角 为直二面角，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知正方形ABCD的顶点均在表面积为 的球O的球面上，则当四棱锥
的体积取得最大值时，点O到平面ABCD的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2024·山东泰安·模拟预测）圆台内有一个球，该球与圆台的侧面和上下底面均相切，球的球心为 .已
知圆台上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为 ，母线与底面所成的角为 ，且 .若该圆台
的上下两个底面都在同一个球的球面上，该球的球心为 ，记圆台的表面积为 ，体积为 ，球 的表面
积为 ，则V = ， .
6．（2024·湖北武汉·模拟预测）在三棱锥中 ， ，且 .记直线 ， 与平
面 所成角分别为 ， ，已知 ，当三棱锥 的体积最小时，则三棱锥 外接
球的表面积为 .
7．（2024·青海海南·二模）已知直四棱柱 的侧棱长为3，底面ABCD是边长为2的菱形，
为棱 上的一点，且 ，若以 为球心的球经过 点，则该球与直四棱柱的公共部
分的体积为 .
8．（2024·湖南衡阳·模拟预测）某冷饮店为了吸引顾客，特推出一款蛋仔冰淇淋，其底座造型如图所示，
外部为半球型蛋壳，内有三个特制的球型蛋仔，蛋仔两两相切，且都与蛋壳相切，蛋仔的顶端正好与半球
型的蛋壳的上沿处于同一水平面，如果球型蛋仔的半径为 ，求这个蛋壳型的半球的容积为 .
9．（2024·全国·模拟预测）已知空间四面体 满足 ，则该四面体外
接球体积的最小值为 ．
10．（2024·广西·二模）在三棱锥 中， ， ，△PAC，△ABC的面积分别3，4，
12，13，且∠APB=∠BPC=∠APC，则其内切球的表面积为 ．1．（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，
且 ，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·天津·高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为 ，
两个圆锥的高之比为 ，则这两个圆锥的体积之和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为 （轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为 的球，其上点A的纬度是指 与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为 ，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为 （单位： ），则S占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26% B．34% C．42% D．50%
5．（2020·天津·高考真题）若棱长为 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
7．（2020·全国·高考真题）已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面
积为 ， ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国·高考真题）已知△ABC是面积为 的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的
表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
9．（2019·全国·高考真题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为
2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为A． B． C． D．
10．（2017·江苏·高考真题）如图，在圆柱O1 O2 内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．
V
1
记圆柱O1 O2 的体积为V1 ,球O的体积为V2 ，则 的值是
V
2
