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第 01 讲 函数与导数中的新定义综合
（20 类核心考点精讲精练）
新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种。
在新高考数学科目的考察中，函数与导数部分的新定义占据了举足轻重的地位，该部分内容主要检验
学生对函数的基本概念、核心性质及运算技巧的掌握程度，同时也涵盖了对导数概念的理解、计算能力的
展现以及其在多种场景下的应用。试题设计往往紧密贴合现实生活或科学情境，旨在评估学生运用函数与
导数知识体系解决实际复杂问题的能力。
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问
题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义
的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新
知识的获取理解能力，抓住关键点。对于以函数为背景的新定义问题的求解策略要紧扣新定义和用好函数
的性质，分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；同时时要
善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透
彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可
以使用书上的概念.
为此，考生需对基础函数的各种属性、图象特征、运算规律有深入透彻的理解，并熟练掌握导数的基
本定义、其蕴含的几何与物理意义以及多样化的计算方法。进一步地，针对函数与导数在解决实际问题中
的典型应用，如求解最优化问题、分析变化率趋势、确定曲线在某点的切线方程等，考生应具备扎实的分
析思路和有效的解决策略。
综上所述，备考过程中，考生应高度重视基础知识的巩固与深化，同时加强针对实际问题的解题训
练，以提升自身的综合应用能力。考点一、 高斯取整函数
1．（2024·山东青岛·三模）定义 [x] 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是增函数
【答案】B
【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设 表示不超过 的最大整数，可
得 与 的关系，可得 ，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假.
【详解】A选项，取 ，则 ， ，显然 ，所以A不正
确；
B选项，设 表示不超过 的最大整数，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故B正确；
C选项， ，因为 ，
所以 ，所以 不是偶函数，故C错误；
D选项 ，所以 ，所以 不是增函数，故D错误.
故选：B.
2．（2024·河南新乡·二模）函数 被称为取整函数，也称高斯函数，其中 表示不大于实数 的
最大整数．若 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本不等式求解最值，即可根据一元二次不等式求解 ，即可根据取整函数的定义
求解.
【详解】 ，当且仅当 时取等号，
由 可得 ，
所以 ，故 ，
故选：C
3．（2024·重庆·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记 表示不超过x的最大整数，则 称为
“高斯函数”．例如： ， ．
(1)设 ， ，求证： 是 的一个周期，且 恒成立；
(2)已知数列 的通项公式为 ，设
．①求证： ；
②求 的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②88.
【分析】（1）根据新定义的理解，计算可得 ，结合当 时 即可求解；
（2）①：记 ，则 ，利用放缩法可证得 、
，进而 ，即可证明；②：由①知 ，由（1）可得 ，则
，令 ，结合裂项相消法计算可得 ，即可求解.
【详解】（1） ．
故是 的一个周期．
当 时， ， ，故 ．
由于周期为 ，故对任意 ，都有 ．
（2）①记 ．
，则 ．
∵
，∴ ．
而．∴ ．
∴ ，∴ ．
②由①知 ，则 ．
由（1）知：对任意 ，都有 ，
∴ ．∴ ．
∵ ，∴ ．
令 ，
∵ ；
．
∵ ，∴ ．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解
决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落
脚点仍然是数列求通项或求和.
1．（2024·全国·一模）数学上，常用 表示不大于x的最大整数．已知函数 ，则下列正确的是
（ ）．
A．函数 在定义域上是奇函数 B．函数 的零点有无数个
C．函数 在定义域上的值域是 D．不等式 解集是
【答案】B【分析】设 ，A选项，注意到 ，可判断选项正误；B选项，等价于判断方
程 根的个数；
C选项，通过分析方程 根的存在性可判断选项正误；D选项，等价于解不等式 .
【详解】设 ，A选项， ， ，
因 ，则 不是奇函数，故A错误；
B选项，令 ，即函数 的零点有无数个，故B正确；
C选项，若 ，则 ，
但 ，则 ，即函数 在定义域上的值域不是(−1,1)，故C错误.
D选项， ，故D错误.
故选：B
2．（2024·河南开封·二模）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高
斯取整函数为 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ， ．下列命题中正确的有
（ ）
A． ，
B． ， ，
C． ，
D． ，
【答案】BD
【分析】根据给定的定义，结合存在量词命题、全称量词命题的真假判断方法逐项分析即得.
【详解】对于A，当 时， ，当 时， ，而 ，
因此 ，A错误；
对于B， ， ，令 ，则 ， ，
因此 ，B正确；
对于C，取 ， ，则 ， ，显然 ，C错误；
对于D， ，当 时， ，当 时， ，而 ，
因此 ，此时 ，D正确.
故选：BD
【点睛】方法点睛：判断全称量词命题为真、存在量词命题为假必须推理论证；判断全称量词命题为假、
存在量词命题为真只需举例说明.
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）函数 是取整函数，也被称为高斯函数，其中 表示不超过 的
最大整数，例如： ， .若在函数 的定义域内，均满足在区间 上，
是一个常数，则称 为 的取整数列，称 为 的区间数列.下列说法正确的是
（ ）
A． 的区间数列的通项
B． 的取整数列的通项
C． 的取整数列的通项
D．若 ，则数列 的前 项和
【答案】BD
【分析】由在 上，得到 ，可判定A错误；根据 ，可判定B正确；结合
， 可判定C错误；得到 ，
利用乘公比错位相减法求和，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为在 上， ， ，所以 ；
在 上， ，所以 ，
在 上， ， ，所以 ，所以A错误；
对于B中，由选项A知， ，所以B正确.
对于C中，因为 ，
所以 ，所以C错误；
对于D中，由选项A知，可得 ，
则 ，
所以 ，两式相减 ，所以
D正确.
故选：BD.
考点二、 二阶行列式
1．（2024·福建宁德·模拟预测）定义 ，若关于x的不等式 在 上恒成立，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 ，可得 等价于 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
1．（2023·河南·三模）我们称 为“二阶行列式”，规定其运算为 ．已知函数 的
定义域为 ，且 ，若对定义域内的任意 都有 ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是周期函数 D． 没有极值点
【答案】D
【分析】经行列式运算后，得到关系式 ，将 替换为 代入，进而得到函数 的解析式，
逐项判断即可.
【详解】由于 ，则 ，即为： （*），
将 替换为 代入（*）式，得 ，且 ，
得： ，
对于A，取 ，显然满足（*）式，此时 ，故A错误；
对于B， 定义域为 ，
则 成立，
所以 是奇函数，故B错误；
对于C，假设非零常数 为函数 的周期，即 ，
则 ，其中 ，
即得 ， ，这与假设 为非零常数矛盾，
所以 不是周期函数，故C错误；
对于D，由于 ，则 ，显然 没有实数解，
所以 没有极值点，故D正确；
故选：D.
2．（22-23高一下·江西萍乡·期中）把符号 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 ．
已知函数 ．
(1)若 ， ，求 的值域；
(2)函数 ，若对 ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据新定义运算、同角三角函数的基本关系式、二次函数的性质求得 的值域.
（2）先求得 的最小值，由此转化不等式 ，利用换元法，结合二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1） ， ，
则 ，
的开口向下，对称轴为 ，
因为 ，所以 ；
（2） ，
∵ ，∴ ，令 ，则 ，
函数 转化为函数 ， ，
函数 在 上单调递增，故当 时， ，
即函数 的最小值为1，
由题知， ，即 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，则 ，记 ， ，故只要 ，
①当 时， ，解得 ，∴ ，
②当 时， ，解得 ，∴ ，
③当 时， ，解得 ，∴ ．
综合①②③得， ．
【点睛】二次函数在闭区间上取得最值时的 ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点．因此，
影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素:抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置．在这三
大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位
置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键．
考点三、 狄利克雷函数
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数 的结论正确的是（ ）
A． 有零点 B． 是单调函数
C． 是奇函数 D． 是周期函数
【答案】D
【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由 或 均为有理数求解A，根据
即可判断单调性求解B，根据 和 同为有理数或同为无理数，即可求解C，根
据 和 同为有理数或同为无理数即可求解D.
【分析】对于A，因为 或 均为有理数，
所以 ，故 没有零点，A错误，
对于B，因为 ，所以 ，
故 不是单调函数，B错误，
对于C，因为 和 同为有理数或同为无理数，所以 ，
故 是偶函数，C错误，
对于D，设 为任意非零有理数，则 和 同为有理数或同为无理数，
所以 ，故 是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）（多选）狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它
是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就
有很重要的作用，其函数表达式为 （其中 为有理数集， 为无理数集），则关于狄利
克雷函数说法正确的是（ ）
A． B．它是偶函数
C．它是周期函数，但不存在最小正周期 D．它的值域为
【答案】ABC
【分析】根据题意，由狄利克雷函数的性质，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为 ，则 ，故A正确；
若 ，则 ，则 ；若 ，则 ，则 ，所以 为偶
函数，故B正确；
设任意 ，则 ，当 时，则 ，当 时， 或 ，
则 ，即任意非零有理数均是 的周期，任何无理数都不是 的周期，故C正确；
函数 的值域为 ，故D错误；
故选：ABC
1．（2024·广东惠州·三模）（多选）德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人
之一．他提出了著名的狄利克雷函数： ，以下对 的说法正确的是（ ）
A．
B． 的值域为
C．存在 是无理数，使得
D． ，总有
【答案】ABD
【分析】根据狄利克雷函数的定义判断选项A、B、C；分别对 是无理数和有理数进行分类讨论可判断选
项D.
【详解】由 ，可得 的值域为 ，
所以 ，故选项A、B正确；
因为当 是无理数时， 且 是无理数，
所以 ，
所以 ，故选项C错误；
当 是无理数时， 均为无理数，此时有 ，
当 是有理数时， 均为有理数，此时有
所以 ，总有 ，故选项D正确.
故选：ABD
2．（2024·重庆·一模）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中 为实数集， 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数
B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
【答案】ACE
【分析】选项A中注意“若 ，则 ； ，则 ”即可；选项B中注意 ；
选项C中，内层函数 或 ，函数值都是有理数；选项DE取特殊情况判断即可.
【详解】由于 ，对于选项A，设任意 ，则 ， ；设任意
，则 ，
总之，对于任意实数 ，f (−x)=f (x)恒成立，A正确；
对于选项B， 的值域为 ， ，B错误；
对于选项C，当 ，则 ， ；当 ，则， ，
C正确；
对于选项DE，取 ， ， 得到 为等边三角形，D错误E正确.
故选：ACE.
考点 四 、 sgn x 函数
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【分析】理解函数 的性质，举反例说明充分性不成立，再利用指数函数与一次函数的性质说明必要
性成立，从而得解.
【详解】因为 ，
当 时，取 ，则 ， ，
此时 ，则 不成立，即充分性不成立；
当 时， ， ，所以 ，即必要性成立，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
1．（2024·北京·模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用
来表示，其解析式为 .已知函数 ，给出下列结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的单调递增区间为 ；
③函数 的对称中心为 ；
④在 上函数 的零点个数为4.
其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
【答案】①④
【分析】作出函数 的图象，通过图象讨论函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题.
【详解】函数 ，画出函数的部分图象，如图所示：，
结合函数图象可知，函数 的最小正周期为 ，结论①正确；
由 ，结合函数图象可知，函数 的单调递增区间为 ，结论
②错误；
结合函数图象可知，函数 的对称中心为 ，结论③错误；
函数 的零点，即方程 的根， 时方程不成立，
1
方程等价于f (x)= ，
x
函数 与函数 的图象在 上有4个交点，
所以在 上函数 的零点个数为4. 结论④正确.
故答案为：①④
【点睛】方法点睛：由符号函数的定义，把 表示为分段函数，作出函数图象，函数解析式结合图象，
解决函数周期、单调区间、对称中心和零点等问题.
考点 五 、 最大值最小值函数
1．（22-23高三上·阶段练习）已知 表示 ， ， 中的最大值，例如 ，若函数
，则 的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ， 的图象，根据函数的新定义
可得 的图象，由图象即可得最小值.
【详解】如图：在同一平面直角坐标系中作出函数 ， ， 的图象，
因为 ，所以 的图象如图实线所示：由 可得 ，由 可得 ，
由图知 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单
调递增，
所以当 时， ，
当 时， ，
所以 的最小值为 ，
故选：B.
2．（2024·广东韶关·二模）定义 ，对于任意实数 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，构造函数 ，利用导数求
出函数 的最小值进而得 ，化简即可求解.
【详解】设 ，则 ，
得 ，
设 ，则 ，
令 ， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，即 ，
得 ，
所以 ，
得 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在函数中的综合应用，本题解题的关键是由
构造函数 ，利用导数求得 即为题意所求.
1．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据函数定义可知 ， ， ，再由基本不等式可得当 时， 取得
最小值2.
【详解】由 ，得 ， ， ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ；
由基本不等式可得 ，所以 ，
所以 ， ，
当 ，即 时， 取得最小值2.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数定义得出 ， ， ，再结合基本不等式
求得 .2．（2024·湖北·一模）记 ， 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．则
．
【答案】2
【分析】根据题意，由 ，设 为变量，可通过分类讨论求出
，再求出当 时的最小值；或由 在 时的最大值只可能
在 或 或 处取得，结合图象可得原式的最小值．
【详解】由 ，设 为变量，
，
令 ，当 时， ，当 时， ，当 时， ，
最大值只可能在 或 或 处取得，
所以 的最大值为 ，
所以 ，
当 时，原式的最小值为2．
或者由 在 时的最大值只可能在 或
或 处取得，令 ，当 时， ，当 时， ，
当 时， ，结合图象可得原式的最小值为2．
故答案为：2.
【点睛】关键点睛：读懂题意，分析 ，最大值只可能在 或 或
处取得，所以 的最大值为 .
考点 六 、 欧拉函数1．（2023·广东广州·模拟预测）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的
正整数的个数，例如， ， ．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据欧拉函数的定义结合 可求得 的值，再结合欧拉函数的定义可求得 的值.
【详解】与 互素且不超过 的正整数为 ，与 互素且不超过 的正整数为 、 ，
与 互素且不超过 的正整数为 、 ，与 互素且不超过 的正整数为 、 、 、 ，
与 互素且不超过 的正整数为 、 、 、 ，
因为 ， ， ， ， ，
所以， ，则 ，
因为与 互素且不超过 的正整数为 、 、 、 ，所以， .
故选：B.
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数
表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说， 是所有不超过n且与n互素的数的总数．
如： ， ．则以下是真命题的有（ ）
A． 的定义域为 ，其值域也是
B． 在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在 ，使得方程 有无数解
D． ，当且仅当n是素数时等号成立
【答案】ACD
【分析】根据欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系进行判断选项.
【详解】对于A，根据欧拉函数的定义，可得欧拉函数的定义域为 ，其值域也是 ，所以A正确；
对于B，欧拉函数在其定义域上不是单调递增的，如 ，所以B错误;
对于C，由于 的值域为 ，所以不存在 ，使方程 有无数解,故C正确;
对于D，因为 的素因数都是大于1，，所以 ，当且仅当 时素数时等号成立，故D正确.
故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键点是理解欧拉函数的定义和性质，以及与素数的关系.
3．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合 ，
欧拉函数 的值等于集合 中与n互质的正整数的个数；记 表示x除以y的余数（x和y均为正
整数），
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数p，q， ， ，存在正整数d满足 ；已知对素数a和 ，
均有 ，证明：若 ，则 ；
(3)设n为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ；又 ，
， ，试用 ， 和n求出x的值．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析；
(3) .
【分析】（1）利用欧拉函数 的定义直接求出 和 .
（2）分析求出x与n不互质的数的个数，求得 ，设 ， ，结合二
项式展开式证明 ，再按 与 分类求证即得.
（3）利用 的定义，记 ， ，令 ，那么 ，且 ， ，
使 ，则 ，再探求数列 项数及递推关系即可求得答案.
【详解】（1） 中，与6互质的数有1和5，则 ；
中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则 8.
（2）因为 ，p和q为素数，则对 ，仅当 或 时，x和n不互质，
又 ，则 ， ，… ，或 ， ，… 时，x与n不互质，
则 ，
设 ， ，可知s，t不全为0，下证 时， ；
由题知， ，
又 ，
所以 ，同理有 ；
于是记 ， ，即 ，同理 ，记 ，于是 ，
则 ，因为 ，所以 ，所以 ，
即 ；
（i） 时，记 ，则 ，
记 ，又 ，而 ，则 ，
即 ，即 ；
（ii）若 ，不妨设 ，于是 ，
所以 ，又 ， ，
所以 ；
综上， ，得证：
（3）因为 ，所以 ，则 ，则 ，
假设存在 ， ，使得 ；记 ， ，
令 ，那么 ，且 ，于是 ，使 ，则 ，
从而数列 有且仅有 项，
考虑使 成立，
则对于相邻项有 ，
将两式相加并整理得： ，
令 ，得 ，又由于 ， ，…， 及 均由 和 确定，
则数列 的各项也可根据n和 确定，
由上知 ， ，
则 ，
即 ，其中 是根据n和 唯一确定的.
【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知
识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.
1．（2024·湖北武汉·二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整
数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则 ；
若 ，则 的最大值为 ．
【答案】 4
【分析】由欧拉函数定义，确定 中与8互质的数的个数求 ，且 ，应用作差法判断
的单调性，即可求最大值.
【详解】由题设 ，则 中与8互质的数有 ，共4个数，故 ，
在 中，与 互质的数为范围内的所有奇数，共 个，即 ，
所以 ，则 ，
当 时 ，当 时 ，即 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：4，
2．（23-24高三上·河北邢台·开学考试）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看
到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数
只有公约数1)的正整数的个数.例如： ， .现从 中任选两个数，
则这两个数相同的概率是 .
【答案】
【分析】根据函数新定义求出 的值，然后结合组合知识利用古典概型概率公
式求解即可.
【详解】根据欧拉函数的定义知， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，从 中任选两个数有 种结果，
其中这两个数相同的有
共8种结果，
所以根据古典概率公式得所求的概率为 .
故答案为：
考点 七 、 黎曼函数
8．（23-24高三上·河南·阶段练习）（多选）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数
学家黎曼发现并提出，其基本定义是： （注：分子与分母是互
质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．
B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若 是奇函数，且 ，当 时， ，则
【答案】BC
【分析】根据函数的定义计算特殊值判断A选项，根据定义域判断B选项，根据值域判断C选项，结合对
称性及周期性判断D选项.
【详解】 ， 错误.
因为 是既约真分数， 或 上的无理数，所以黎曼函数的定义域为 正确.
又 为既约真分数，所以 的最大值为 正确.
因为 ，所以 .所以 .
因为 是奇函数，所以 ，所以 ，即 是以2为周期的周期函数，
，
所以 错误.
故选: .
1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为： 时，
．若数列 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【分析】根据黎曼函数的定义和性质逐项分析.
【详解】对于①， 时， ，故①错误；
对于②， ， ， ，故②正确；
对于③，
，故③正确；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即当 时 ， ，
，
当 时， ， ， ，故④正确.
故选：②③④.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型
来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，
实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义
的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
考点 八 、 曲率
1．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线 ，其在点
处的曲率 ，其中 是 的导函数， 是 的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
【答案】C
【分析】先求出函数的导函数f′(x)及导函数的导函数 ，再根据公式求出各点处的曲率 ，并解出最
大值即可.
【详解】由题可知抛物线方程为： ，则 ， ，
则该抛物线在各点处的曲率 ，
当 时， 取最大值 .
故选：C.
2．（2024·全国·二模）广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用
曲率表示曲线的弯曲程度.设函数 的导函数为 的导函数记为 ，则函数 的
图象在(x ,f (x ))的曲率 .
0 0
(1)求椭圆 在 处的曲率；
(2)证明：函数 图象的曲率 的极大值点位于区间 .【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导得出函数值再计算曲率；
（2）先求二阶导数得出曲率函数，再设变量构造新函数求导得出函数单调性继而得出极值即可判断证明
区间.
【详解】（1）当 时，由 ，得 ，
则
即椭圆 在 处的曲率为
（2）由 ，
得 ，
令 ，则 ，
令 ， .
令 ，在区间 上单调递减， ，
故存在 ，使 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 .
为 的极大值点，由 ，知 ，
，即 的极大值点位于区间 .
【点睛】方法点睛：设变量构造新函数求导得出函数单调性继而得出极值即可判断证明区间.
1．（22-23高三上·山东·阶段练习）（多选）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转
动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 在点 处的
曲率 ，其中 是 的导函数．下面说法正确的是（ ）
A．若函数 ，则曲线 在点 与点 处的弯曲程度相同
B．若 是二次函数，则曲线 的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数 ，则函数 的值域为
D．若函数 ，则曲线 上任意一点的曲率的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据曲率的定义求出曲率，由曲率函数为偶函数判断A，计算二次函数曲率，可知 时有
最大值判断B，求出函数的曲率函数，换元后求值域即可判断C，求出 的曲率利用均值不等
式求最大值判断D.
【详解】对于A， ， ，则 ，
又 ，所以 为偶函数，曲线在两点的弯曲长度相同，故A正确；
对于B，设 ， ，则 ，当且仅当 ，
即 时，曲率取得最大值，故B错误；
对于C， ，
，令 ，则 ，
当 时， ；当 时， 单调递增且 ， 单调递减
且 ， 单调递增且 ，
根据复合函数的单调性知 在 时单调递减，
所以可知 在 时单调递增，
所以 的最大值为 ，所以 ，即 ，故C正确；
对于D， ，
，
当且仅当 时，等号成立，故D正确．
故选：ACD．
考点 九 、 极值点与拐点
1．（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）
内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数 ，设自变量x从 变化到 ，当 ， 是一个确定的值，
则称函数 在点 处右可导；当 ， 是一个确定的值，则称函数
在点 处左可导.当函数 在点 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数
在点 处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；(2)已知函数 .
（ⅰ）求函数 在 处的切线方程；
（ⅱ）若 为 的极小值点，求a的取值范围.
【答案】(1) ，说明见解析
(2)（ⅰ）切线方程为 ，（ⅱ）
【分析】（1）根据题意，求出函数 的左导数和右导数，即可说明；
（2）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线；
（ⅱ） ，通过利用导数研究函数 的性质，解决 的极小值问题，从而
求a的取值范围.
【详解】（1） ， 为该函数的极值点，
当 ， ，
当 ， ，
则该函数在 处的左导数为 ，右导数为1，
所以该函数在 处不可导.
（2）（ⅰ）根据题意， ，则切点 ，
又 ，则 ，
所以切线方程为 ；
（ⅱ） ，
因为当 时， ，故 与 同号，
，先考察 的性质，
由于 为偶函数，只需分析其在 上的性质即可，
， ，
设 ，
则 ， ，
则必有 ，即 .①否则，若 ，即 ，
则必存在一个区间 ，使得 ，
则 在 单调递减，又 ，
则 在区间 内小于0，则 在 单调递减，
又 ，故 在区间 内小于0，
故 在区间 内小于0，
则 不可能为 的极小值点.
②当 时， ，
令 ， ，
令 ，
则 ，
易知 在区间 上单调递增，
对 ， ，
则 在区间 上大于0，
故 在区间 上单调递增.
故 在区间 上单调递增.
又 ，故 ，
故 在区间 上单调递增，
又 ，故 ，故 在区间 上单调递增，
又 ，故 ， ，
则 ， ，故当 时， ，
由偶函数知 时， ，
故 为 的极小值点，
所以a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：最后一问中由 ，通过利用导数研究函数 的性质，解
决 的极小值问题，从而求a的取值范围.
2．（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则
下列说法中正确的有（ ）
A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
【答案】AB
【分析】根据题意，对函数进行二次求导，可得“拐点”，而“拐点”同时也满足函数解析式，这样就可
以得到参数 的值，进而根据三次函数的图象与性质，可得正确答案.
【详解】由 ，可得 ， ，
令 ，得 ，
因为函数 图象的对称中心为 ，
因此 ，解得 ， ，故选项A正确；
由以上过程可知 ， ，
且当 或 时， ；当 时， .
于是 在 和 上都是增函数，在 上是减函数，
故选项D错误；
因为 关于点 对称，所以 的极大值与极小值之和为 ，故选项B正确；
因为函数 极小值 ，
由三次函数的性质知， 只有一个零点，所以选项C错误，
故选：AB.
1．（2024·河南·三模）设函数 的导函数为 的导函数为 的导函数为 .若
，且 ，则 为曲线 的拐点.
(1)判断曲线 是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若 为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
【答案】(1)没有拐点，理由见解析
(2)单调递增区间为 ；单调递减区间为 ，极大值为2，极小值为 .
【分析】（1）根据题意，求得 ，结合新定义，即可得到答案；
（2）求得 ，得到 ，列出方程求得 ，
得到 ，求得 的单调性，进而求得函数的极值.
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
由 ，得 ，又由 ，得 ，所以曲线 没有拐点.
（2）解：由函数 ，
可得 ，
因为 为曲线 的一个拐点，所以 ，所以 ，解得 ，经检验，当 时， ，
所以 .
当 或 时， ，则 的单调递增区间为 ；
当 时， ，且 不恒成立，则 的单调递减区间为 ，
故当 时， 取得极大值，且极大值为 ；
当 时， 取得极小值，且极小值为 .
考点 十 、 洛必达法则
1．（20-21高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】 ，
故选：D
2．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【答案】(1) 不是区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造 ，再结合 即可得到结果；
（3）通过换元令令 ，则原不等式等价于 ，再通过构造函数
，根据题干中函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义证出
，即可证明结论.
【详解】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，得 .（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关
限制条件的转化.
1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
【答案】(1)
(2)仅在 时存在1个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数 ，结合 的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出 的表达式，然后结合 ，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2） ， ，
所以 ， ．
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
， ，
当 时， ，所以仅在 时存在1个零点．
（3） ，所以 ， ，…，将各式相乘得 ，
两侧同时运算极限，所以 ，
即 ，
令 ，原式可化为 ，又 ，
由（1）得 ，
故 ，由题意函数 的定义域为 ，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数 ，
从而利用洛必达法则求极限.
考点十一、不动点与复合稳定点
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定
理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函
数为“不动点”函数．函数 有 个不动点．
【答案】1
【分析】由题意可知即求函数 的零点个数，当 时， ,当 时，
，当 时，对 求导可得 的单调性和值域，即可求出 的零点个数.
【详解】令 ，即 ，由题意可知即求函数 的零点个数，
当 时， ，此时不存在零点；
当 时， ，此时不存在零点；
当 时， ，
令 ， ，因为 ，解得： ，
令 ， ，因为 ，解得： ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ，
故 在 上有且仅有一个零点，
综上所述， 仅有一个不动点．
故答案为：1.
2．（2024·广东广州·二模）若 是方程 的实数解，则称 是函数 与
的“复合稳定点”．若函数 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 即 有两个不同实根，令 ，则 在(0,+∞)
上有两个不同实根，利用二次方程根的分布即可．
【详解】 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
，即 有两个不同实根，
令 ，则 在(0,+∞)上有两个不同实根，
，
则 的取值范围为 ．
故选：D．
3．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:
对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不动点”函数，
实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点;
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ，若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据不动点定义求解即可；
（2）根据题意问题转化为方程 有两个不等的实数根 ，令 ，利用导数判断单
调性极值，可得 ，且 的值随着 的值减小而增大，列式求出 时的 值，得解.
【详解】（1）设 的不动点为 ，则 ，解得 ，
所以函数 的不动点为 .
（2）函数 有两个不动点 ，即方程 ，即 有两个不等的实数根 ，
令 ，则 ，
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，当x∈(1,+∞)时，φ′(x)<0，
所以函数φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
，且 时， ， 时， ，
作出φ(x)的大致图象如下：
所以 ，且 的值随着 的值减小而增大，
当 时，有 ，两式相减得 ，
解得 ，即 ，代入 ，解得 ，
所以此时 ，所以满足题意的实数 的取值范围为 .
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数 ，若实数 满足 ，则 称为 的不动点．
已知函数 ．
(1)当 时，求证 ；
(2)当 时，求函数 的不动点的个数；
(3)设 ，证明 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)2
(3)证明见解析
【分析】（1）将 代入函数解析式，对函数求导，求出函数最小值即可证明 ；
（2）将 代入函数解析式，得方程 解的个数即为函数 的不动点的个数，构造函
数 ，对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，即相应点的函数值，
求出函数 零点的个数，即为函数 的不动点的个数；
（3）结合（1）换元后 ，再由待证式子，设 ，结合结论恰当变形，利用相
加相消即可证明.
【详解】（1）当 时，有 ，
所以 ，
所以
当且仅当 ， ，即 时，等号成立，
所以当 时，f′(x)≥0， 单调递增，
所以 ，所以 得证.
（2）当 时， ，
根据题意可知：方程 解的个数即为函数 的不动点的个数，化 为 ，令 ，
所以函数 的零点个数，即为函数 的不动点的个数，
，令 ，即 ，解得 ，
单调递减 单调递增
因为g(0)=1>0， ，
所以 在 上有唯一一个零点，
又 ，
所以 在 上有唯一一个零点，
综上所述，函数 有两个不动点.
（3）由（1）知， ，
令 ，则 ，即 ，
设 ，则满足 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即
.
【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于对于第一问的灵活运用，借助第一问结论，恰当换元 ，
得出 后，再次适时换元 ，是本题的关键点，也是难点，突破换元后裂项
相消即可得解.
2．（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类推，可以定
义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
答案见解析
【分析】（1）令 ，求导，可得函数 的单调性，进而可得函数 有唯一零点，
可得结论；
（2）由题意可知只需研究 的不动点即可，令 ，求出其导数，判断其单调性，然
后分类讨论 的取值范围，判断 的零点情况，即可判断 的稳定点个数.，进而可得集合 的子集
的个数.
【详解】（1）令 ，求导得 ，
令 ，可得 ，
当 ， ，当 ， ，
所以 ，所以 有唯一零点，
所以集合 中有且仅有一个元素；
（2）当 时，由函数 ，
可得导函数 ，所以 在 上单调递增，
由反函数的知识， 稳定点在原函数与反函数的交点上，
即 稳定点与 的不动点等价，
故只需研究 的不动点即可；
令 ，
则 ，则 在 上单调递减，
①当 时， 恒成立，即 在 上单调递增，当x无限接近于0时， 趋向于负无穷小，
且 ，
故存在唯一的 ，使得 ，即 有唯一解，
所以此时 有唯一不动点；
②当 时，即 时， ，
当 趋向无穷大时， 趋近于0，此时 ，
存在唯一 ，使得 ，
此时 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，
当 趋近于0时， 趋向于负无穷大，当 向正无穷大时， 趋向负无穷大时，
设 ，则 在 上单调递增，
且 ，
又 在 时单调递增，
故（i）当 时，即 ，
此时 ，方程 有一个解，即 有唯一不动点，所以集合 的子集有2个；
（ii）当 ，即 ，
此时 ，方程 无解，即 无不动点，所以集合 的子集有1个；
（iii）当 时，即 ，此时 ，方程 有两个解，即 有
两个不动点，所以集合 的子集有4个；
综上，当 时或 时，集合 的子集有2个；
当 时，集合 的子集有1个；当 时，集合 的子集有4个.
【点睛】方法点睛：本题属新定义题型，读懂题意是关键；研究方程根的个数问题常转化为判断函数零点
的个数问题，利用导数研究含参函数的单调性，从而判断方程根（或函数零点）的个数问题．注意分类讨
论思想的应用．
考点 十二 、 可移倒数点
1．（2024·江苏苏州·三模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函”， 为“ 的可移 倒数点”.设 ，若函数 恰有3个“可移
1倒数点”，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用定义转化为求方程 恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.
【详解】依题意， ，
由 恰有3个“可移1倒数点”，得方程 恰有3个不等实数根，
①当 时， ，方程 可化为 ，解得 ，
这与 不符，因此在 内 没有实数根；
②当 时， ，方程 可化为 ，
该方程又可化为 ．
设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 内单调递增，
又因为 ，所以当 时， ，
因此，当 时，方程 在 内恰有一个实数根；
当 时，方程 在 内没有实数根．③当 时， 没有意义，所以 不是 的实数根．
④当 时， ，方程 可化为 ，
化为 ，于是此方程在 内恰有两个实数根，
则有 ，解得 ，
因此当 时，方程 在 内恰有两个实数根，
当 时，方程 在 内至多有一个实数根，
综上， 的取值范围为 ．
故选：A
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问
题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子
求出参数的取值范围．
1．（2024·山东聊城·二模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函数”， 为“ 的可移 倒数点”．已知 ．
(1)设 ，若 为“ 的可移 倒数点”，求函数 的单调区间；
(2)设 ，若函数 恰有3个“可移1倒数点”，求 的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为 ，递减区间为 ；
(2) .
【分析】（1）根据给定的定义，列式求出 值，再利用导数求出函数 的单调区间.
（2）利用定义转化为求方程 恰有3个不同的实根，再借助导数分段探讨零点情况即可.
【详解】（1）由 为“ℎ(x)的可移 倒数点”，得 ，即 ，整理 ，即 ，解得 ，
由 的定义域为R，求导得 ，
当 时， 单调递增； 时， 单调递减；
时， 单调递增，
所以φ(x)的单调递增区间为 ，递减区间为 ．
（2）依题意， ，
由 恰有3个“可移1倒数点”，得方程 恰有3个不等实数根，
①当 时， ，方程 可化为 ，解得 ，
这与 不符，因此在(0,+∞)内 没有实数根；
②当 时， ，方程 可化为 ，
该方程又可化为 ．
设 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 内单调递增，
又因为 ，所以当 时， ，
因此，当 时，方程 在 内恰有一个实数根；
当 时，方程 在 内没有实数根．
③当 时， 没有意义，所以 不是 的实数根．
④当 时， ，方程 可化为 ，
化为 ，于是此方程在 内恰有两个实数根，
则有 ，解得 ，
因此当 时，方程 在 内恰有两个实数根，
当 时，方程 在 内至多有一个实数根，综上， 的取值范围为 ．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问
题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子
求出参数的取值范围．
考点 十三 、泰勒展开
1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中
为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）首先设 ，利用导数判断函数的单调性，转化为求函数的最值问题；
（2）首先由泰勒公式，由 和 ，再求得 和 的解析式，即可证明；
（3）分 和 两种情况讨论，求出 在 附近的单调区间，即可求解.
【详解】（1）设 ，则 .
当 时， ：当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， ，即 .
（2）由泰勒公式知 ，①于是 ，②
由①②得
所以
即 .
（3） ，则
，设 ，
由基本不等式知， ，当且仅当 时等号成立.
所以当 时， ，所以 在 上单调递增.
又因为 是奇函数，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因此， 是 的极小值点.
下面证明：当 时， 不是 的极小值点.
当 时， ，
又因为 是 上的偶函数，且 在 上单调递增,
所以当 时， .
因此， 在 上单调递减.
又因为 是奇函数，且 ，所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因此， 是 的极大值点，不是 的极小值点.
综上，实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：第三问是本题的难点，关键是分 和 两种情况，利用导数判断 附近的
单调性.
2．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了：当函数 在定义域内n
阶可导，则有如下公式：
以上公式称为函数 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， ， 表示
的n阶导数，即 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出 的泰勒展开式（至少有5项）；
(2)设 ，若 是 的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若 ，k为正整数，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用泰勒展开式求解即可；
（2）先求出 ，从而可得 ，由 是 的极小值点，得 ，当 时，f′(x)≥0，当
时， ，进而可得出答案；
（3）先利用泰勒展开式求出 的取值范围，再将其写成整数部分加上小数部分的形式，再利用二项式定
理求出 的范围，进而可得出答案.
【详解】（1）当 时， ，
由泰勒展开式可得 ；
（2）因为 ，
，
所以 ，则 ，
因为 是 的极小值点，且 ，
则当 在 的附近时， 即可，
即可，所以 ，
综上所述， ；
（3）因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
即 ，
令 ，则 ，则 ，
由二项式定理可知
，
，
所以 ，即 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：用导数研究函数的单调性是导数的一个只要应用，在导数解答题中，单调性问题是
绕不开的一个问题，因为单调性是解决后续问题的关键，利用导函数求解函数单调性步骤，先求定义域，
再求导，根据导函数的正负号，确定函数的单调区间，若不能直接求出，可能需要多次求导.
1．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料：
①若函数 可导，我们通常把导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似的，函数
的二阶导数的导数叫做函数 的三阶导数，记作 ，函数 的三阶导数的导数叫做函数的四阶导数……，一般地，函数 的 阶导数的导数叫做函数 的n阶导数，记作
， ；
②若 ，定义 ；
③若函数 在包含 的某个开区间 上具有任意阶的导数，那么对于任意 有
，我们将 称为函数 在点
处的泰勒展开式.
例如 在点 处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的泰勒展开式 ；
(2)用 在点 处的泰勒展开式前三项计算 的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知 ，试求 的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用 阶泰勒展开式的定义，可求 ，
（2）由（1）可求 ；
（3）由（1）可得 ，进而可得
，结合已知可得结论.
【详解】（1） ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
由
所以
（2）由（1）可得（3）因为 ①，
对 ，
两边求导可得： ，
所以 ，
所以 ②，
比较①②中 的系数，可得：
，
所以 .
【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确 阶泰勒展开式的具体定义；第
三问关键在于用 阶泰勒展开式表示 .
考点 十四 、 麦克劳林展开
1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式， 的麦克劳林
展开式为： ，其中 表示 的n
阶导数在0处的取值，我们称 为 麦克劳林展开式的第 项．例如：
．
(1)请写出 的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；
(2)数学竞赛小组发现 的麦克劳林展开式为 ，这意味着：当 时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？(3)当 时，若 ，求整数 的最大值．
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)3
【分析】（1）根据泰勒展开式得出第2项及第4项；
（2）构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式；
（3）先根据特殊值法得出 的范围，再应用麦克劳林的结论证明成立即可.
【详解】（1）因为
所以第2项 .
（2）设 ，
，
因为 所以 单调递增，
所以 ，
所以 .
（3）当x=1时， 成立，得出 ， 的最大整数不超过3.
当 时，因为 ，所以 ，
所以 ，
令
当 单调递增，则 ，
所以 ，
故当 时， ，所以整数m的最大值为3.
【点睛】方法点睛：构造函数，应用函数的导函数得出函数的单调性证明不等式.1．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间(0,1)上的极值点的个数．
(2)“ ”是一个求和符号，例如 ， ，等等．英国数学家布鲁克·
泰勒发现，当 时， ，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当 时，对 ，都有 ；
（ii） ．
【答案】(1)0
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）函数 在区间(0,1)上的极值点的个数等价于其导函数在(0,1)上的变号零点的个数，即可
求出其导函数，再借助导数研究其导函数的单调性即可得解；
（2）（i）构造函数 ，借助导数结合题意可得
，在构造相应函数多次求导即可得解；（ii）由
，可将原问题转化为证明 ，结合（1）中及（i）中所得，可得
， ，即可得证.
【详解】（1） ，
令 ，则 ，
当x∈(0,1)时， ， ，则 在(0,1)上恒成立，
故 在(0,1)上单调递减，即有f′(x)在(0,1)上单调递减，
则 ，
故函数 在区间(0,1)上没有极值点；（2）（i）令 ，其中 ， ，
则 ，
又当 时， ，
则
，
即 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
由 ，故 ，又 ，
故 恒成立，即 在(0,+∞)上单调递增，
故 ，即 在(0,+∞)上恒成立，
即 在(0,+∞)上单调递增，故 ，
即ℎ ′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
则 ，即 ；
（ii）由 ， ，
故要证 ，即证 ，即证 ，只需证 ，
由（1）知，当x∈(0,1)时， ，
则可令 ，此时 ，
则 ，即 ，
即 ，即 ，
故只需证 ，
令 ，x∈(0,+∞)，则 ，
由（i）知，当x∈(0,+∞)时， ，
即 ，即 ，故 在(0,+∞)上单调递增，
故 ，即 ，即得证.
【点睛】关键点点睛：（i）问中关键点在于借助题目所给条件：当 时， ，从
而构造函数 ，得到 ，即可借助导数求单
调性；（ii）问中关键点在于将原问题转化为证明 ，从而结合（1）中与（i）中所得证明
与 .
考点 十五 、拉格朗日中值定理
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且
在 处取得极大值．(1)求 的值与 的单调区间．
(2)如图，若函数y=f (x)的图像在 连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在 ，使得
，求 的表达式〔用含 的式子表示〕．
(3)利用这条性质证明：函数 图像上任意两点的连线斜率不大于 ．
【答案】(1) ， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
(2)猜想 ，
(3)证明见解析
【分析】（1）根据 在 处取得极大值得 ，求出 ，利用导数求出函数 的单调区
间；
（2）由斜率公式求出 连线的斜率，结合函数图像及导数的几何意义可得结果；
（3）求出 ，利用基本不等式求出 的最大值，根据（2）的结论可得结果.
【详解】（1）由 ，得 ．
由题意，得 ，解得 ，
则 ．
令 ，即 ，解得 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 和 上分别单调递增，在 上单调递减．
所以 满足题意， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ．
（2）猜想如下： ．
因为 表示 的图像上两端点 连线的斜率，
所以由图像可知，曲线 上至少存在一点 且 ，使得曲线在该点处的切线与 的图像上两端点 的连线平行．
设切线的斜率为 ，即 ，
故一定存在 ，使得 ．
（3）证明：由（1）可知 ，
则 ，
当且仅当 时取等号．由猜想可知，对于函数 图像上任意两点 ，在 之间
一定存在一点 ，使得 ．
又 所以 ．
【点睛】方法点睛：利用导数求函数 单调性的一般步骤：（1）求函数定义域；（2）求导数
；（3）令导数 解不等式，（4）结合定义域写出单调递增区间和递减区间.
2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工
具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；
(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意 ，解得即可；
（2）不妨设 ， ， ，则 ，求出函数的导函数，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明 ，再结合拉格朗日中值定理证明即可；
（3）由拉格朗日中值定理可知只需证明 ，即证明f′(x)在 上单调递减，求出导函数，
再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证.
【详解】（1）当 时 ，则 ，
因为 为函数 在 上的“拉格朗日中值点，
则 ，
即 ，解得
（2）当 时 ，
不妨设 ， ， ，则 ，
又 ，令 ，
则 ，
又 ，所以 恒成立，
所以当 时 ，当 时 ，
所以F(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以F(x)在 处取得极大值，即最大值，
所以 ，所以 ，
由拉格朗日中值定理可知必存在 使得 ，
即 ，又 ，所以 ，
即函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
（3）当 时 ，
由拉格朗日中值定理知，存在 和 ，
使得 ， ，所以只需证明 ，即证明f′(x)在 上单调递减，
又 ，
令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
当 时 ，
令 ， ，则 ，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在 使得 ，
所以当 时 ，则 ，即 单调递增，
当 时 ，则 ，即 单调递减，
所以 在 处取得极大值，即最大值，
所以
，
所以 ，所以 在 上单调递减，
即f′(x)在 上单调递减，命题得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤
（1）作差或变形；
（2）构造新的函数ℎ(x)；
（3）利用导数研究ℎ(x)的单调性或最值；
（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
问题．
1．（23-24高二下·江西九江·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的在点 处的切线；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(3)若函数 的图象上存在两点 ， ，且 ，使得 ，则称
为“拉格朗日中值函数”，并称线段 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数
是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说
明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)当 时，函数 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当 时，
不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.
【分析】（1）利用导数的几何意义求得函数 的在点 处的斜率即可求解；
（2）利用导数的几何意义可得 在 上恒成立，参变分离可得 即
可，求 在 上的最小值即可得解；
（3）假设函数 是“拉格朗日中值函数”， 设 ， 是 上不同的两点，且
，代入 ，当 时，整理得 ，设 ，上式
化为 ，然后构造函数 ，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否
成立.
【详解】（1）由题意可知当 时， ， ， ，
所以函数 的在点 处切线的斜率 ，所以函数 的在点 处的切线为 .
（2）由题意可得 ，
若函数 在区间 上单调递减，则 在 恒成立，
即 在 恒成立，只需 即可，
又因为当 时 ，
所以 .
（3）假设函数 是“拉格朗日中值函数”，
设 ， 是 上不同的两点，且 ，
由题意可得 ， ，
则 ，
函数 在拉格朗日平均值点处的切线斜率 ，
由 整理可得 ，
当 时， 恒成立，
则函数 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；
当 时， 即 ，
令 ，上式化为 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 恒成立，所以 在 上单调递增， 恒成立，
所以在 上不存在 使得 ，即不存在这样的 两点使得 ；
综上所述，当 时，函数 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当
时， 不是“拉格朗日中值函数”.2．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数 在闭区间
上的图象连续不断，在开区间 内的导数为f′(x)，那么在区间 内存在点 ，使得
成立．设 ，其中 为自然对数的底数， ．易知，
在实数集 上有唯一零点 ，且 ．
(1)证明：当 时， ；
(2)从图形上看，函数 的零点就是函数 的图象与 轴交点的横坐标．直接求解
的零点 是困难的，运用牛顿法，我们可以得到 零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个 作为 的初始近似值，使得 ，然后在点(x ,f (x ))处作曲线y=f (x)的切线，
0 0
切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的一次近似值；在点(x ,f (x ))处作曲线y=f (x)的切线，切线
1 1
与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的二次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列 ．
①当 时，证明： ；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得： 为递减数列，且 ．请以此为前提条件，证
明： ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【分析】（1）因为 在R上单调递增，所以任意 ，有 ，另一方面，注意到
，即 ，根据拉格明日中值定理，即可证明结论.
（2）①利用导数的几何意义进行证明即可；②根据① ，及前面的结论， ，
，构造函数求导数，结合拉格朗日中值定理证明结论.【详解】（1）由 在R上单调递增，得任意 ，有 ，
又由 ，得 ，根据拉格明日中值定理，
存在 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以
（2）①先证 ，
在 处，曲线 的切线方程为 ，
令 ，得 ，即 ，
由于 ， 在R上单调递增，则 ，
而 ，则有 ，所以 ，即 ；
再证： ，
由于 在R上单调递增，只需证 ，
曲线 的切线方程为 ，即 ，
根据 的定义， ，
令 ， ，
， ，
于是 在 上单调递减，而 ，
因此 ，又 ，即 ，所以 ，
综上 .
②由 在R上单调递增， ，得 ，
则 ，由① ，及前面的结论， ， ，
令 ，则 ，记 ，则当 时，
，根据拉格朗日中值定理，
， ， ，
即 ，于是 ，累乘得 ，所以
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程
为： .
考点 十六 、 帕德近似
1．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数
的方法，给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为 ，且
满足： .. .已知 在 处的 阶
帕德近似为 .注： ，
(1)求实数 的值；
(2)求证： ；
(3)求不等式 的解集，其中，
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由 ，利用待定系数法，即可求解；（2）根据（1）的结果，即证明 ，利用换元 ，转化为证明 时
，再构造函数 ，再利用导数证明函数的单调性和最值，即可
证明不等式；
（3）首先由不等式确定 或 ，由（2）的结果说明 ，求解不等式，再求解不等式
，转化为 ，再构造函数 ，利用导数求解不等式.
【详解】（1）∵ ∴
∵ ，则 ，
由题意得：
∴ 解得： ；
（2）由（1）知，即证
令 ，则 且
即证 时 ，记
则
∴ 在 上单调递增，在 和 上单调递增
当 时， ，即 ，即 成立，
当 时， ，即 ，即 成立，
综上所述， 时，
∴ 成立，即 成立.
（3）由题意得：欲使得不等式 成立，则至少有 ，即 或首先考虑 ，该不等式等价于 ，即 ，
又由（2）知 成立，
∴使得 成立的 的取值范围是
再考虑 ，该不等式等价于 ，
记 ，则 ，
∴当 时， 时，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时由 ，可知 成立；
当 时由 ，可知 不成立；
所以使得 成立的 的取值范围是
综上可得：不等式 的解集为 .
【点睛】关键点点睛：本题第1问的关键是理解题意，利用待定系数法求解；第2问的关键是换元后构造
函数 ，第3问的关键是由不等式构造函数，利用导数解不等式.
2．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在
计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…， .已知
在 处的 阶帕德近似为 .(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3) ，证明见解析
【分析】（1）结合题意，利用导数计算即可得；
（2）由题意可得 ，借助导数研究其单调性即其正负即可得解；
（3）设 ，借助导数，分 及 进行讨论，结合函数单调性与零点的存在性定理计算可得
当且仅当 时， 存在三个不等实根，且满足 ，且 ，结合（2）中
所得，代入计算并化简即可得解.
【详解】（1）依题意可知， ，因为 ，所以 ，
此时， ，因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ；
（2）依题意， ，
，
故 在 单调递增，
由 ，故 ， ， ， ，
综上， ， ；
（3）不妨设 ，令 ，
，
当 时， ，此时 单调递增， 不存在三个不等实根；
当 时，令 ，其判别式 ，若 ，即 ， 恒成立，即 ，
此时 单调递减， 不存在三个不等实根；
若 ，即 ， 存在两个不等正实根 ，
此时有当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又因为 ，且 ，故 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以存在 ，满足 ，
又因为 ，
故存在 ，满足 ，
故当且仅当 时， 存在三个不等实根，
且满足 ，且 ，
由（2）可知，当 时， ，
因此， ，
故 ，
化简可得： ，
因此 ，命题得证.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助导数与零点的存在性定理得到当且仅当 时，
存在三个不等实根，且满足 ，且 后，结合（2）中所得，从而得到 ，再进行化简即可得.
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函
数的方法.给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ， ，
，注： ， ， ， ，
已知函数 .
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似 ，并求 的近似数 精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证： ；
②若 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)① 证明见解析；②
【分析】（1）先写出 阶帕德近似 ，然后求导得到 ， ，令
得 ，所以 ，求导得到 求解即可；
（2） 令 ， ，求导得到
判断F(x)在 及 上均单调递减，按照 和
分类讨论求解即可；
由已知令 ，且 ，所以 是ℎ(x)的极大值点，求导得到
，故 ， ，得到 之后写出 ，然后求
导判断单调性证明即可.【详解】（1）由题可知函数 在 处的 阶帕德近似，
则 ， ， ，
由 得 ，所以 ，
则 ，又由 得 ，所以 ，
由 得 ，所以 ，
所以 .
（2）①令 ， ，
因为 ，
所以F(x)在 及 上均单调递减.
当 ， ，即 ，
而 ，所以 ，即 ，
当 ， ，即 ，
而 ，所以 ，即 ，
所以不等式 恒成立；
②由 得 在 上恒成立，
令 ，且 ，所以 是ℎ(x)的极大值点，
又 ，故 ，则 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ， ，则ℎ ′(x)>0，故ℎ(x)在 上单调递增，所以当 时， ，
当 时， ，
令 ，因为 ，所以φ(x)在 上单调递减，
所以 ，又因为在 上 ，
故当 时， ，
综上，当 时， 恒成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.
给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且
满足： .（注： ，
为 的导数）已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：当 时， ；
(3)设 为实数，讨论方程 的解的个数.
【答案】(1) ；
(2)证明见解析；
(3)答案见解析.
【分析】（1）根据 列方程组求解可得；
（2）构造函数 ，利用导数求单调性，由 即可得证；
（3）构造函数 ，分 ， 利用导数讨论单调性，利用单调性判断零点个数.当时，分单调区间讨论，结合零点存在性定理判断即可.
【详解】（1）由 ，有 ，
可知 ，
由题意， ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知， ，
令 ，
则 ，
所以φ(x)在其定义域 内为增函数，
又 ，
时， ，得证.
（3） 的定义域是 ，
.
①当 时， ，所以ℎ(x)在 上单调递增，且 ，
所以ℎ(x)在 上存在1个零点；
②当 时，令 ，
由 ，得 .
又因为 ，所以 .
+ 0 - 0 +
单调递 极小值
ℎ(x) 极大值 单调递减 单调递增
增当 时，因为 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点，
且 ；
当 时，因为 ，
，而ℎ(x)在 单调递增，且 ，
而 ，故 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点；
当 时，因为 ，
，而ℎ(x)在 单调递增，且 ，而 ，
所以 ，所以ℎ(x)在 上存在1个零点.
从而ℎ(x)在 上存在3个零点.
综上所述，当 时，方程 有1个解；
当 时，方程 有3个解.
【点睛】思路点睛：关于零点个数问题，一般从以下方面入手：
（1）转化为两个函数图象相交问题进行讨论；
（2）利用导数求极值，根据极值符号，结合单调性以及变化趋势进行判断；
（3）利用导数讨论单调性，结合零点存在性定理进行判断.
考点 十七 、莱布尼茨
1．（23-24高二下·贵州安顺·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，
莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 .当 时，就是双曲余弦函数 ，类似的
我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求 与 的导数；
(2)证明： 在 上恒成立；
(3)求 的零点.【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）借助导数公式计算即可得；
（2）构造函数 后，借助导数研究其单调性即可得；
（3）多次求导最终判断函数 在 内单调递增，结合奇函数的定义得到 为奇函数，又
，即可得其具有唯一零点 .
【详解】（1） ， ；
（2）构造函数 ， ，
由（1）知， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 在 上单调递增，则 ，
故 在 上恒成立，即得证；
（3）由 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时，由（2）可知， ，
则 ，
令 ，则 ，故 在 内单调递增，
则 ，故 在 上单调递增，
则 ，故 在 上单调递增，
则 ，故 在 上单调递增，
则 ，故 在 上单调递增，
由 ，且 定义域为 ，则 为奇函数，
由 ，则 在 上单调递增，
故 具有唯一零点 .
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助导数多次求导最终判断函数 在 上的单调性，
再结合奇函数的性质得到 在 上的单调性.
2．（2024·甘肃酒泉·三模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法
的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为 ，3表示为 ，5表示为 ，发现若 可表示为二进制表达式
，则 ，其中 ， 或 ．
(1)记 ，求证： ；
(2)记 为整数 的二进制表达式中的0的个数，如 ， ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求 （用数字作答）．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ） ；（ⅱ）
【分析】（1）借助二进制的定义计算可得 ， ，即可得证；
（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出 ，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从 到
中， 、 、 ， 的个数，即可得 .
【详解】（1）因为 ，
，
，
，
；
（2）（ⅰ） ，
；
（ⅱ） ，
，故从 到 中，有 、 、 、 共 个，
有 个，由 ，即共有 个，
有 个，由 ，即共有 个，
……，
有 个，
.
【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到 ，
，通过组合数的计算得到 、 、 、 的个数，再结合组合数的性
质计算得到结果.
1．（22-23高一上·江苏南通·期末）对于任意两个正数 ，记曲线 与直线 轴围成
的曲边梯形的面积为 ，并约定 和 ，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早
发现 ．关于 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据所给新定义运算即可判断AB，取特殊值判断C，根据曲边梯形与梯形面积大小判断D.
【详解】由题意 ，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 或 时， 也成立，综上， ，
对A， ， ，即 ，故A正确；
对B， ，而 ，所以 ，故
B正确；
对C，取 ，则 ，故C错误；
对D，如图，
因为 ，所以 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD
2．（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线 年，
莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲余弦函数，
记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满
足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系： ．
定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析(2) ，
(3)存在实数 ，使得 成立．
【分析】（1）①求导数，②用二倍角公式，③利用平方关系；证明即可；
（2）构造函数 ，求导数，利用导数讨论函数的单调性，求 的取值范围即可；
（3）方法一、求出 ， ， ，猜想 ，用数学归纳法证明即可．方法二、构造数列 ，根据
，利用递推公式求解即可．
【详解】（1）①导数： ， ，证明如下：
，
②二倍角公式： ，证明如下：
；
③平方关系： ，证明如下：
；
（2）令 ， ， ，
①当 时，由 ，
又因为 ，所以 ，等号不成立，
所以 ，即 为增函数，
此时 ，对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ， ，则 ，可知 是增函数，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
所以当 时， ，则 在 上为减函数，
所以对任意 ， ，不合题意；
综上知，实数 的取值范围是 ；（3）方法一、由 ，函数 的值域为 ，
对于任意大于1的实数 ，存在不为0的实数 ，使得 ，
类比双曲余弦函数的二倍角公式 ，
由 ， ， ，
猜想： ，
由数学归纳法证明如下：①当 时， 成立；
②假设当 为正整数）时，猜想成立，即 ，则
，符合上式，
综上知， ；
若 ，
设 ，则 ，解得： 或 ，
即 ，所以 ，即 ．
综上知，存在实数 ，使得 成立．
方法二、构造数列 ，且 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
因为 在 上单调递增，所以 ，即 是以2为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，解得 或 ，
所以 ，
综上知，存在实数 ，使得 成立．
【点睛】方法点睛：对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，
更考查对于新知识的获取理解能力，抓住关键点，解题不是事.考点 十八 、函数凹凸性
1．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也
可导，则称 在D上存在二阶导数，记 .若 在D上恒成立，则称 在D上为
凸函数.以下四个函数在 上不是是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给出的导数新定义逐项判断即可.
【详解】对于A： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故A错误；
对于B： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故B错误；
对于C： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故C错误；
对于D： ， ， ，
则 在 上恒有 ，故D正确.
故选：D.
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，设 是
的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
(1)若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；(2)若 ，判断 在区间 上的零点个数.
【答案】(1)
(2)1个
【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式 在 恒成立即可求得 的取值
范围；
（2）易知 ，由导函数求得其在 上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为
1个.
【详解】（1）由 可得其定义域为 ，且 ，
所以 ，
若 在 上为“凸函数”可得 在 恒成立，
当 时，显然符合题意；
当 时，需满足 ，可得 ；
综上可得 的取值范围为 ；
（2）若 ，可得 ，所以 ，
令 ，则 ；
易知 在区间 上恒成立，
因此可得 在 上单调递减；
显然 ， ；
根据零点存在定理可得存在 使得 ，
因此可知当 时， ，即 在 上为单调递增；
当 时， ，即 在 上为单调递减；
又 ，显然在 上 不存在零点；
而 ，结合单调性可得在 上 存在一个零点；
综上可知， 在区间 上仅有1个零点.1．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性
与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在
上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值
为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】记函数 ，先判断函数的凹凸性，然后利用琴生不等式得
，即可求解.
【详解】记函数 ，首先证明其凹凸性：
，
在(0,1)上为“凹函数”.
由琴生不等式，得 ，
即 .
所以 ，
即当 时， 取最小值 ，所以 .
故选：B.
2．（2024·福建福州·模拟预测）阅读以下材料：
①设 为函数 的导函数.若 在区间D单调递增；则称 为区 上的凹函数；若 在区间 上单调递减，则称 为区间 上的凸函数.
②平面直角坐标系中的点 称为函数 的“ 切点”，当且仅当过点 恰好能作曲线 的 条切
线，其中 .
(1)已知函数 .
（i）当 时，讨论 的凹凸性；
（ii）当 时，点 在 轴右侧且为 的“3切点”，求点 的集合；
(2)已知函数 ，点 在 轴左侧且为 的“3切点”，写出点 的集合（不需要写出求解过
程）.
【答案】(1)（i）答案见解析；（ii） 或
(2)点 的集合为 或 或
【分析】（1）（i）利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数 的单调性，可得其凹凸性；
（ii）根据“ 切点”的定义，由切点个数转化成方程根的个数即可得出点 的集合；
（2）根据函数 利用“ 切点”的定义，得出单调性即可得出结论.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，
所以 .
（i）当 时， ，令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
故 为区间 上的凹函数，为区间 上的凸函数；
当 时，令 ，解得 ，
令 ，解得 或 ，
故 为区间 上的凹函数，为区间 和 上的凸函数；
当 时， ，故 为区间 上的凸函数；.当 时，令 ，
解得 ，
令 ，解得 或 ，
故 为区间 上的凹函数，为区间 和 上的凸函数；
综上所述，当 时， 为区间 上的凹函数，为区间
和 上的凸函数；
当 时， 为区间 上的凸函数；
当 时， 为区间 上的凹函数，为区间 和
上的凸函数；
当 时， 为区间 上的凹函数，为区间 上的凸函数；
（ii）当 时， ，
故在点 处的切线方程为 .
设 为 的“3切点”，
则关于 的方程 有三个不同的解，
即关于 的方程 有三个不同的解，
令 ，
所以直线 与曲线 恰有三个不同的交点.
.
当 时， 随 变化情况如下：
1
0 0
减 极小值 增 极大值 减
故 ；
当 时， 单调递减，不符合题意；当 时， 随 变化情况如下：
1
0 0
减 极小值 增 极大值 减
故 ；
综上所述，点 的集合为
或
（2）点 的集合为 或 或
【点睛】关键点点睛：本题在求解“ 切点”问题时，关键是利用其定义将切线问题转化成求解方程根的
个数，再利用导数求得函数单调性即可得出结论.
考点 十九 、 切线问题
1．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数 的图像上有两个不同点 处的切线重合，则称该切
线 为函数 的图像的“自公切线”.
(1)试判断函数 与 的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；
(2)若 ，求函数 的图像的“自公切线”方程；
(3)设 ，求证：函数 的图像不存在“自公切线”
【答案】(1)答案见详解
(2)
(3)证明见详解
【分析】（1）对于函数 ：结合其图象分析判断即可；对于函数 ：结合 的单调性分析
判断；
（2）求出函数 的导数，并设出切点 ，求出 处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程；
（3）假设存在，设切线方程 ，根据导数求切线方程，列方程组 ，结合题意
分析该方程组解的个数即可判断.
【详解】（1）对于函数 ：
由函数 的图象可知： 和 为函数 的“自公切线”，
所以函数 的图像存在“自公切线”；
对于函数 ：则 ，可知 在R上单调递增，
可知 ，可知 ，即任意不同两点的切线斜率不相等，
所以函数 的图像不存在“自公切线”.
（2）函数 ，求导得 ，
显然函数 在 上单调递增，函数 在(0,+∞)上单调递减，
设切点 ，则存在 ，使得 ，
则在点 处的切线方程为 ，在点 处的切线方程为 ，
因此 ，消去 可得 ，
令 ，求导得 ，
则函数 在 上单调递增，又 ，函数 的零点为 ，因此 ，
所以曲线y=g(x)的“双重切线”的方程为 .
（3）假设函数y=f (x)的图像存在“自公切线”，设为 ，
因为f (x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则 ，
则 ， ，
可知y=f (x)在 处的切线方程为 ，
整理得 ，
则 ，即 ，可知方程 有两个不相等的根 ，则 ，
且 也为方程 的根，
则 ，
整理得 ，
且 ，即 ，
可得 ，即 ，
可得 ，整理得 ，
则 ，整理得 ，解得 ，
即此时方程 只有一个解，
这与题意相矛盾，即假设不成立，
所以函数y=f (x)的图像不存在“自公切线”.
【点睛】方法点睛：根据过某点切线方程（斜率）或其与某线平行、垂直或重合等求参数问题的解法：利
用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着
重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工
具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决
实际问题：
(1)对于函数 ，分别在点 处作函数 的切线，记切线与 轴的交点分
别为 ，记 为数列 的第 项，则称数列 为函数 的“切线 轴数列”，
同理记切线与 轴的交点分别为 ，记 为数列 的第 项，则称数列 为函数
的“切线 轴数列”.
①设函数 ，记 的“切线 轴数列”为 ；
②设函数 ，记 的“切线 轴数列”为 ，
则 ，求 的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法
求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，曲线在点 处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；曲线
在点 处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值.一般地，曲
线 在点 处的切线为 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的
次近似值.已知二次函数 有两个不相等的实根 ，其中 .对函数 持续实施牛顿迭代法得
到数列 ，我们把该数列称为牛顿数列，令数列 满足 ，且 ，证明：
.（注：当 时， 恒成立，无需证明）
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合导数的几何意义分别求出函数 ， 在 时的切线方程，由此可求 ，再
利用错位相减法求 ；
（2）结合导数的几何意义证明 ，由此可得 ，证明 为等比数列，结合所给结
论，利用放缩法和等比数列求和公式证明结论.
【详解】（1）由题意 则 .
设切点为
则过切点的切线为
令 ，整理得 ，
所以 .
由题意 则 .
设切点为 则过切点的切线为 .
令 整理得
所以 .
对于 当 是正奇数时 ；当 是正偶数时 即.
所以
两式相减，得
所以 .
（2）因为二次函数 有两个不等实根 ,
所以不妨设 ，
则 ，
因为 所以
所以在横坐标为 的点处的切线方程为
令 则
即 ，
因为
所以 .
因为 所以 所以 .
令 则 ，又
所以 ，
数列 是公比为2的等比数列.
.由 因为 所以 即 .
【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，数列求和，证明不等式，第一问解题的关键在于结合导
数的几何意义求出切线方程，进一步求出 ，利用错位相减法求和，第二问解决的关键在于结合所给结
论，通过适当放缩，证明结论.
1．（2024·上海黄浦·二模）若函数 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数
的图象的“自公切线”，称这两点为函数 的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数 与 的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若 ，求证：函数 有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设 ， 的零点为 ， ，求证：“存在 ，使得点
与 是函数 的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ 是数列 中的项”.
【答案】(1)函数 的图象存在“自公切线”； 函数 的图象不存在“自公切线”，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）由直线 切 的图象于点 判断 ，由导数确定意见性判断
.
（2）利用导数探讨单调性结合零点存在性定理推理即得唯一零点，再假定存在“自公切线”，利用导数
的几何意义求出切线方程，证明 在 上无解即得.
（3）求出在点 与 处的切线方程，利用（2）的结论，结合诱导公式，及充要条件的证明方法
推理即得.
【详解】（1）显然直线 切 的图象于点 ，
直线 是 的图象的一条“自公切线”，因此函数 的图象存在“自公切线”；对于 是严格减函数，则 在不同点处的切线斜率不同，
所以函数 的图象不存在“自公切线”.
（2）由 恒成立，且仅当 时 ，
则 是 上的严格增函数，可得它至多有一个零点，
令 ，
由 的图象是连续曲线，且 ，
因此 在 上存在零点，即在 上 存在零点，所以 有唯一零点；
假设 的图象存在“自公切线”，则存在 且 ，
使得 的图象在 与 处的切线重合，即 ，有 ，不妨设 ，
切线 ， ，
有相同截距，即 ，而 ，
则 ，即 ，
则有 ，即 ，令 ， ，
即函数 在 上单调递增， ，因此当 时， ，
即 在 上无解，
所以 的图象不存在“自公切线”.
（3）对给定的 ，由（2）知 有唯一零点，即 唯一确定，
又 在点 处的切线方程为 ，即 ，
在点 处的切线方程为 ，
若存在 ，使得点 与 是函数 图象的一对“同切点”，
则 ，又 ，则 ，
所以 ， 且 ，从而存在 ，
使得 ，代入 ，可得 ，则 ，即 是数列 中的项；反之，若 是数列 中的项，则存在 ，使得 ，即 ，
由（2）中的 严格增，可知 严格增，又 且 ，可知 ，
令 ，则 且 ，
即 ，可得 ，所以存在 ，
使得点 与 是函数 的图象的一对“同切点”.
所以存在 ，使得点 与 是函数 图象的一对“同切点”的充要条件是“ 是数
列 中的项”.
【点睛】结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点 处的切线方程
为： .
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 为实数，函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)定义：若函数 的图象上存在两点 ，设线段 的中点为 ，若 在点 处的
切线 与直线 平行或重合，则函数 是“中值平衡函数”，切线 叫做函数 的“中值平衡切线”．
试判断函数 是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数 的“中值平衡切线”的条数；若不是，
说明理由；
(3)设 ，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)当 时，函数 是“中值平衡函数”，且函数 的“中值平衡切线”有无数条；当 时，
不是“中值平衡函数”，理由见解析；
(3)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；
（2）先利用“中值平衡函数”的定义将其化为 能否成立，再讨论 与 ，构
造函数，利用导数研究函数的单调性，进而判定函数是否是“中值平衡函数”，是否存在“中值平衡切
线”；
（3）将 化为 ，构造函数 ，求导，通过研究导数的符号
得到函数的单调性进而求最值，得到参数 的范围．
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ，∴在 处的切点坐标为 ，切线斜率为 ，切线方程为 ．
（2）若函数 是“中值平衡函数”，则存在 ，
使得 ，即 ，
（※）
①当 时，（※）对任意的 都成立，
∴函数 是“中值平衡函数”，且函数 的“中值平衡切线”有无数条；
②当 时，有 ，设 ，则方程 在区间 上有解，
记函数 ，则 ，∴函数 在区间 单调递增，
∵ ，∴当 时， ，
即方程 在区间 上无解，即函数 不是“中值平衡函数”；
综上所述，当 时，函数 是“中值平衡函数”，且函数 的“中值平衡切线”有无数条；当
时， 不是“中值平衡函数”；
（3）由 ，得 ，
记 ， ，
∴当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增；
∴ ，
，记 ，
， ，
，
时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增；
， ，
故实数 的取值范围为 ．
考点 二十 、 类型函数1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.
(1)判断函数 是否为“ 旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数 是“ 旋转函数”，求 的最大值；
(3)若函数 是“ 旋转函数”，求 的取值范围.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可.
（2）将已知条件转化为函数与直线 最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关
系，分离 ，构造新函数，转化为新函数在 上单调，进而求解.
（3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在 上单调，求导，分离参数，转化为
恒成立问题求最值即可.
【详解】（1）函数 不是“ 旋转函数”，理由如下：
逆时针旋转 后与 轴重合，
当 时，有无数个 与之对应，与函数的概念矛盾，
因此函数 不是“ 旋转函数”.
（2）由题意可得
函数 与函数 最多有1个交点，
且 ，
所以 最多有一个根，
即 最多有一个根，
因此函数 与函数 R 最多有1个交点，即函数 在 上单调，
因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，
即 ， ，即 的最大值为 .
（3）由题意可得函数 与函数 最多有1个交点，
即 ，
即函数 与函数 最多有1个交点，
即函数 在 上单调，
，当 时，
所以 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调减，且 ，
所以存在 ，使 ，
即 ，
所以 在 单调递增， 单调递减，
所以 ，
即 .
【点睛】方法点睛：利用函数的零点与对应方程的根的关系，我们经常进行灵活转化：
函数 的零点个数 方程 的根的个数 函数 与 图象的交点
的个数；
另外，恒成立求参数范围问题往往分离参数，构造函数，通过求构造函数的最值来求出参数范围，例：若
恒成立，只需 ， 恒成立，只需 .
2．（2024·黑龙江·三模）若函数y=f (x)满足：对任意的实数 ，有 恒成立，则称函数y=f (x)为“ 增函数”.
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若曲线y=g(x)在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
y=g(x)是“ 增函数”.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）利用给定新函数定义，举反例即可证明.
（2）结合新函数定义得 恒成立，利用不等式求解范围即可.
（3）借助导数的几何意义，对该函数求导后，令导数函数值为1，可得该方程的根，且时其中 一个
根，结合导数可证明该函数严格单调递增，故有且仅有 ，而后设出 ，根
据 在(0,+∞)上是严格增函数，可得 在(0,+∞)上是严格增函数，又
，则 ，即可证明.
【详解】（1）取 ，则 ，因为 ，
故函数 不是“ 增函数”.
（2）因为函数 是“ 增函数”，
故任意的 ，有 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立，
又 ，故 ，则 ，
则 ，即 .
（3） ，
根据题意，得 ，可得方程的一个解 ，
令 ，则 ，故 在(0,+∞)上是严格增函数，所以 是唯一解，
又 ，此时在 处的切线方程即为 ，故 ；
设 ，其中 ，
，由 在(0,+∞)上是严格增函数以及 ，
得 ，
即 ，
所以 在(0,+∞)上是严格增函数，
因为 ，则 ，故 ，得证，
所以函数y=g(x)是“ 增函数”.
【点睛】关键点点睛：本题时给出函数的新定义，由此去判断求解问题，解答本题的关键是要理解函数的
新定义，明确其含义，依此取判断解决问题.
1．（2024·贵州六盘水·三模）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“k类函数”
(1)若 ，判断 是否为 上的“4类函数”；
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”且 ，证明： ， ， .
【答案】(1)是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由新定义可知，利用作差及不等式的性质证明 即可；
（2）由已知条件转化为对于任意 ，都有 ，对函数求导后进行分离参数，利用导函数
研究函数的单调性和最值即可；
（3）分 和 两种情况进行证明， ，用放缩法
进行证明即可.
【详解】（1）函数 是 上的“4类函数”，理由如下：不妨设 ，所以 ，
，
所以 是 上的“4类函数”；
（2） ， ，
由题意知，对于任意不同的 都有 ，
不妨设 ，则 ，
故 且 ，
所以 为 上的增函数， 为 上的减函数，
所以对任意的 ，即 ，
由 ，令 ，则 ， ，
令 得 在 上单调递增， ，
由 ，令 ，
只需 ， ，
令 得 在 单调递增，
所以 ，
综上所述，实数a的取值范围为 ；
（3）证明：因为 为 上的“2类函数”，所以 ，
不妨设 ，当 时， ；
当 时，因为 ，
所以
，
综上所述， ， ， .
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：①分离参数 恒成立 或 恒成立 ；②数形结合（ 的图象在 上方即可）；③讨论最值 或
恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2．（2024·新疆喀什·三模）已知定义域为 的函数 满足：对于任意的 ，都有
，则称函数 具有性质 ．
(1)判断函数 ， 是否具有性质 ；（直接写出结论）
(2)已知函数 （ ， ），判断是否存在 ， ，使函数 具有性质 ？
若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数 具有性质 ，且在区间 上的值域为[f (0),f (2π)]．函数 ，满足
，且在区间 上有且只有一个零点．求证：f (2π)=2π．
【答案】(1) 具有性质
(2)存在， ，
(3)证明见解析
【分析】（1）利用定义直接判断即可；
（2）假设函数 具有性质 ，可求出 ，进而得到 ，再根据定义验证即可；
（3）分析可知函数 在 的值域为 ，由 在区间 上有且仅有一个零点可知 时
不合题意，再求解当 时，与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，由此可得 ，进而得证．
【详解】（1）因为 ，则 ，又 ，
所以 ，故函数 具有性质 ；
因为 ，则 ，又 ，
，故 具有性质 ．
（2）若函数 具有性质 ，则 ，即f(0)=sinφ=0，
因为 ，所以 ，所以 ；
若f(2π)≠0，不妨设f(2π)>0，由 ，
得 （*），
只要 充分大时，kf(2π)将大于1，而 的值域为 ，
故等式（*）不可能成立，所以必有f(2π)=0成立，
即sin(2ωπ)=0，因为 ，所以 ，所以2ωπ=4π，则 ，此时 ，
则 ，
而f(x)+f(2π)=sin2x+sin4π=sin2x，即有 成立，
所以存在 ， 使函数 具有性质 ．
（3）证明：由函数 具有性质 及（2）可知， ，
由 可知函数 是以 为周期的周期函数，则 ，
即sin(f(2π))=sin(f(0))=0，所以f(2π)=kπ， ；
由 ，f(2π)=kπ以及题设可知，
函数 在 的值域为 ，所以 且 ；
当 ， 及 时，均有 ，
这与 在区间 上有且只有一个零点矛盾，因此 或 ；
当 时，f(2π)=π，函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为[0,1]，
而 ，于是函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为[−1,0]，
函数 在当 时和 时的取值范围不同，
与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，
故 ，即 ，命题得证．
【点睛】方法点睛：对于以函数为背景的新定义问题的求解策略：
1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程
中；
2、用好函数的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素.
1．（2024·江苏苏州·模拟预测） 表示大于或者等于 的最小整数， 表示小于或者等于 的最大整数．
已知函数 ，且 满足：对 有 ，则 的可能取值是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】由题意得 在 上单调递减，结合题意得出当 时， 要单调递减，且
，分别代入 的值进行判断即可．
【详解】由 得 在 上单调递减，
当 时， ，
当 时， 要递减，且 ，
对于A，当 时， ，不合题意，故A错误；
对于B，当 时， ，不合题意，故B错误；
对于C，当 时， ，符合题意，故C正确；
对于D，当 时， ，不合题意，故D错误；
故选：C．
【点睛】方法点睛：对于定义 表示大于或者等于 的最小整数，应用与函数 中，函
数图象不易判断，可将选项中的 值代入进行判断可简化问题．
2．（2024·山东菏泽·二模）（多选）函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如，
．下列结论正确的有（ ）
A．函数 与函数 无公共点
B．若 ，则
C．
D．所有满足 的点 组成区域的面积为
【答案】ABD
【分析】作出函数 与函数 的图像，即可判断 ；根据 的取值范围，分别求出， 的值，判断B；对 的取值分类讨论，即可判断C；对 的取值分类讨论，求
出点 组成区域的面积，判断D．
【详解】对于A：函数 与函数 的图象如图所示，
由图可得函数 与函数 无公共点，A正确；
对于B：若x∈(0,1)，则 ，则 ，
，
即 ，B正确；
对于C：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，C错误；对于D：当 时， ，此时 组成区域的面积为1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为 ，
综上点 组成区域的面积为 ，D正确．
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考
查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题．
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函
数：定义在 上的函数 .后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处
不可导．根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A．
B． 的图象关于 轴对称
C． 的图象关于 轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在 的图象上
【答案】BCD
【分析】特殊值代入验证A，D；利用偶函数定义判断B，C.
【详解】对于A，当 ， 时， ， ，
，故A错误；
对于B，因为 的定义域为 ，关于原点对称，
若 是无理数，则 是无理数，所以 ， ；
若 是有理数，则 是有理数，所以 ， ；
所以 ，
故 是偶函数，图象关于 轴对称，B正确；
对于C，由B可知， ，所以 ，
故 是偶函数，图象关于 轴对称，C正确；对于D，设 ， ，C(0,1)，
则 ，所以 是等边三角形，
又因为 ， ， ，所以 的顶点均在 的图象上，D正确.
故选：BCD
4．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数 的最小数为 ，若
，则函数 的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到 的图象，结合图像易得
函数 的最大值．
【详解】
如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数 的图象，
而 的图象即是图中勾勒出的实红线部分，
要求的函数 的最大值即图中最高点 的纵坐标.
由 联立解得， ，故所求函数 的最大值为 ．
故答案为： ．
5．（2024·江苏苏州·模拟预测）（多选）定义 表示 中的最小者，设函数
，则（ ）
A． 有且仅有一个极小值点为 B． 有且仅有一个极大值点为3
C． D． 恒成立【答案】ACD
【分析】根据函数的新定义得到 分段函数 的解析式，画出函数 的图象，结合函数的图象和
选项，逐项判定，即可求解．
【详解】由题意，函数 作出函数 的图象，如图所示，
由图象知， 有且仅有一个极小值点为 ，所以A正确；
函数有两个极大值点1和3，所以B错误；
令 ，可得 或 或 ，解得 或 ，
即当 时， ，所以C正确；
由图象知，当 时，函数 的最大值 ，
所以存在实数 ，使得 恒成立，所以D正确.
故选：ACD．
6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知 ，定义： ，设
.若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】用分段函数表示出函数 ，利用函数零点的意义变形，构造函数并画出函数图象，数形结合求
出 的范围.
【详解】令函数 ，显然函数 在 上单调递增，
而 ，则当 时， ，当 时， ，
于是函数 ，则 ，
令函数 ，由 ，得 ，因此函数 的零点，即函数 的图象与直线 交点的横坐标，
当 ，恒有 ，在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，如图，
观察图象知，当 ，即 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，
如图，直线 过点 ，它与 的图象交于两点 ，当x<2时， ，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象只有一个交点，
当 ，即 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
所以函数 有两个零点，实数 的取值范围是(0,1).
故选：A
7．（2024·江西南昌·三模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数
的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则数列 的前
项和为 .
【答案】
【分析】由已知定义先求出 ， ，代入后结合等比数列的求和公式即可求解.
【详解】由题意可知，小于 的所有正奇数都与 互质，共有 个，所以 ，
小于 且大于0的所有与 不互质的数是3的倍数，故与 互质的数共有 ，即
，所以
则其前 项和为
故答案为： .
8．（2024·贵州黔南·二模）欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有1）的正整
数的个数.已知 ，其中 ， ，…， 是 的所有不重复的质因数（质
因数：因数中的质数）.例如 .若数列 是首项为3，公比为2的等比数列，
则 .
【答案】
【分析】计算出等比数列的通项公式后，结合欧拉函数 计算即可得解.
【详解】由题意可得 ，则 ，
当 时， ，
则 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于分 及 进行讨论，结合题中公式求 的通项公式.
9．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：
由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个
关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 ，令 ，若存在正
整数k使得 ，且当 时， ，则称 是 的一个周期为k的周期点．若 ，
写出一个 周期为1的周期点 ．
【答案】1
【分析】根据新定义可知直线 与 存在交点，即可求解.
【详解】对于 ，令 ，若存在正整数k使得 ，且当 时 ，则称 是 的一个周期为k的周期点.
若 ， ，
当 时， ，
因为直线 与 只有一个交点 ，
所以 是 的一个周期为1的周期点.
故答案为：1
10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个
定理：
如果函数 满足如下条件：
① 的图象在闭区间 上是连续不断的；
② 在区间 上都有导数.
则在区间 上至少存在一个数 ，使得 .
这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中 称为拉格朗日中值.
请阅读以上内容，回答以下问题:
(1)函数 在区间 上的拉格朗日中值 为____________；
(2)下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间 ?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上
____________.
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
【答案】(1)1
(2)存在，①③⑤
【分析】(1)根据“拉格朗日中值定理”中值的条件对函数进行分析计算可得 值.
(2)先对每个函数进行求导，然后根据“拉格朗日中值定理”中值的条件对函数进行分析计算，然后再进行
判断，详细见详解.
【详解】(1)由题意知 在区间 上的拉格朗日中值 ，
所以 ， ， ，
根据“拉格朗日中值定理”可得 ，解得 ，又因 ，
故 .
(2)根据题意知① ，故 ，
所以 ，代入可得 ，若 ，则 ，即 ，存在区间 ；
根据题意知② ，故 ，
所以 ，代入 ，
若 ，则 ，即 ，不存在以0为拉格朗日中值的区间；
根据题意知③ ，故 ，
所以 ，代入可得 ，
若 ，则 ，变形可得 ，
可设 ，即 ，则 ，令 可得 ，
当 时， ，所以 单调递减，
当 时， ，所以 单调递增，
， 连续不间断函数，所以存在 使得
故存在 .
根据题意知④ ， ，
，代入 ，
若 ，则 ，变形可得 ，
可设 ， ，则 ，所以 单调递减，
故不存在 .
根据题意知⑤ ，故 ，
所以 ，代入 ，
变形可得 ，可设 ， ，
令 ，可得 ，
当 时， ，则 单调递增，
当 时， ，则 单调递减，
， 连续不间断函数，所以存在 使得
存在 .
故填：①③⑤
11．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积 ，其中 ， ．如果平面图形由两条曲线围成
（如图2所示阴影部分），曲线 可以表示为 ，曲线 可以表示为 ，那么阴影区域的
面积 ，其中 ．
(1)如图，连续函数y=f (x)在区间 与 的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间 与
[0,2]的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设 ．求 的值；
(2)在曲线 上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为 ，求切线方程；
(3)正项数列{b }是以公差为d（d为常数， ）的等差数列， ，两条抛物线 ，
n
记它们交点的横坐标的绝对值为 ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为 ，求
证： ．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据所给新定义、公式计算即可；
（2）利用导数求出切线方程，根据公式计算面积，据此求出切线方程中参数，得解；（3）根据所给面积公式及定积分的运算得出 ，利用裂项相消法求和即可得证.
【详解】（1）由题意可知 ， ，
.
（2）设切点为 ， ，切线的斜率为 ，
则切线方程为 ，所以切线与轴的交点为 ，
所以由题意可知围成的面积： ,
所以切点坐标为 ，切线方程为 .
（3）联立 ，
由对称性可知，两条抛物线围成的封闭图形的面积为
,
令 ， （C为常数）,
，
， ，
则 .
12．（2024·山西临汾·三模）记 为函数 的 阶导数， ，若
存在，则称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在 附近 阶可导，则可构造
（称其为 在 处的 次泰勒多
项式）来逼近 在 附近的函数值．下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C． 在 处的3次泰勒多项式为
D． （精确到小数点后两位数字）
【答案】ABC
【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，按照泰勒多项式直接求解可知；对于
D，求出 在 处的 次泰勒多项式，然后计算 即可.
【详解】对于A，若 ，则 ，
，
所以 ，A正确；
1
对于B，若f (x)= ，则 ，
x
，
观察可知 ，B正确；
对于C， 的的 阶导数 ，
得 ，C正确；
对于D，记 ，则 ，
因为 ，
所以 在 处的 次泰勒多项式 ，，D错误.
故选：ABC
【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解 次泰勒多项式的定义及作用，求出 在 处
的 次泰勒多项式，据此进行估算.
13．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格朗日
系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
【答案】(1) ， ；
(2) ；
(3)①证明见解析；②4.
【分析】（1）根据给定条件，对变量 求导并求值.
（2）利用拉格朗日乘数法求出极值，再判断并求出最大值.
（3）①利用换元法，结合平方数是非负数推理即得；②利用二次函数、均值不等式求出最小值.
【详解】（1）函数 ，对变量 求导得： ，
当 时， .
（2）令 ，则 ，解得 或 ，
于是函数 在约束条件 的可能极值点是 ， ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
当 时，函数 的一个极值为函数 ，
方程 视为关于x的方程： ，则 ，解得 ，
视为关于y的方程： ，则 ，解得 ，
因此函数 对应的图形是封闭的，而 ，
所以 的最大值为 .
（3）①由 ， ，设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 .
②当 时，
，当且仅当 时取等号，
所以 时， 取得最小值4.
【点睛】方法点睛：利用基本不等式最值的方法与技巧：
①在运用基本不等式时，要特别注意“拆”、“拼”、“凑”等技巧，使用其满足基本不等式的“一正”、
“二定”、“三相等”的条件；
②利用基本不等式求最值时，要从整体上把握运用基本不等式，有时可乘以一个数或加上一个数，以及“1”的代换等应用技巧.
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）记 ，若存在 ，满足：对任意
，均有 ，则称 为函数 在 上的最佳逼近直线.
已知函数 ， .
(1)请写出 在 上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数 在 上的最佳逼近直线.
【答案】(1) ，理由见解析
(2) .
【分析】（1）结合 的单调性求出最值，从而得到 ，再由所给定义及 图象
的特征得到 ，讨论 ， 的大小，即可求出 ；
（2）设 ，令 ，结合（1）可得φ(x)最佳逼近直线，从而得到 的最佳
逼近直线.
【详解】（1） 在 上的最佳逼近直线为 .
由已知易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，
进而有 （*），
由 的图象特点可知，对任意 ，
均有
，
下面讨论 ， 的大小：
①若 ， 至少有一个大于等于 ，则 ，
②若 ， 两个都小于 ，则 ， ，
所以 ，进而 ，所以 ，即 ；
由①②以及（*）式可知 成立，且当 时等号成立.
所以 在 上的最佳逼近直线为 ；
（2）易知点 ，(1,0)在函数 的图象上，
设 ，再令 ，则 ，
由（1）问可知 在 上的最佳逼近直线为 ，
所以 ，
，
所以 在 上的最佳逼近直线为 .
【点睛】关键点点睛：对于新定义型问题，解答的关键是理解所给定义，第二问关键是设 ，
从而与第一问联系上.
15．（2024·上海·模拟预测）设定义域为 的函数y=f (x)在 上可导，导函数为y=f′(x).若区间 及实数
满足： 对任意 成立，则称函数y=f (x)为 上的“ 函数”.
(1)判断 是否为(0,+∞)上的 函数，说明理由；
(2)若实数 满足： 为 上的 函数，求 的取值范围；
(3)已知函数y=f (x)存在最大值．对于： ：对任意 与 恒成立， ：对任意正整数
都是 上的 函数，问： 是否为 的充分条件？ 是否为 的必要条件？证明你的结论.
【答案】(1)是；理由见解析
(2) 且 ．
(3)是，是，证明见解析
【分析】（1）根据 函数的定义求解可得；
（2）由题意可得 ，即 ，令 ，求出 的单调性即可
求出 ，再由 求出 ，即可得出答案.（3）先推导出 为 的充分条件，若 成立，即对任意正整数 ，有： ②，记
函数y=f (x)的最大值为 ．用反证法证明 与 恒成立，从而可证明 也为 的必要条件．
【详解】（1）因为 ，根据题意可知，
等价于 在(0,+∞)时恒成立，
所以 是(0,+∞)上的 函数．
（2）实数 满足： ，
即 ．①
特别地，在①中取 ，可知 ，
反之，当 时，①成立．
令 ，由于 ，且满足 的 为离散的数，
故 为严格减函数，又 ，所以 ．
又 ．
从而 的取值范围是： 且 ．
（3）若 成立，则对任意正整数 ，有： ，
即y=f (x)为 上的 函数， 成立．故 为 的充分条件．
若 成立，即对任意正整数 ，有： ②，
记函数y=f (x)的最大值为 ．
先证明 恒成立．
反证法，假如存在 使得 ，则取正整数 ，使得 ，
此时有 ，与②矛盾．
这意味着y=f (x)为 上的严格减函数．
再证明 恒成立．
取 为y=f (x)的一个最大值点，
则当 时，由单调性知 ，但 ，所以 ，
于是 ．
对任意 ，可取一个与 有关的正整数 ，使得 ，
由②知： ．
于是 成立．故 也为 的必要条件．
【点睛】方法点睛：函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使
用书上的概念.
16．（2024·河南信阳·二模）已知函数 ，其中 ， .若点 在函数 的
图像上，且经过点 的切线与函数 图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”，
现有函数 图像上的点列 ， ，…， ，…，使得对任意正整数 ，点 都是点 的一个
“上位点”.
(1)若 ，请判断原点 是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点 的坐标为 ，请分别求出点 、 的坐标；
(3)若 的坐标为 ，记点 到直线 的距离为 .问是否存在实数 和正整数 ，使得无穷数列
、 、…、 …严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)原点 不存在“上位点”，理由见解析
(2)点 的坐标为 ，点 的坐标为
(3)存在，
【分析】（1）先求得函数经过点 的切线方程，再根据“上位点”的定义判断即可；
（2）设点 的横坐标为 ， 为正整数，再根据导数的几何意义结合“上位点”的定义化简可得
，进而可得 、 的坐标；
（3）由（2） ，构造等比数列可得 ，由题意 ，再根据导数与
单调性的关系分析判断即可.
【详解】（1）已知 ，则 ，得 ，故函数经过点 的切线方程为 ，
其与函数 图像无其他交点，所以原点 不存在“上位点”.
（2）设点 的横坐标为 ， 为正整数，
则函数y=f (x)图像在点 处的切线方程为 ，
代入其“上位点” ，得 ，
化简得 ，
即 ，
故 ，
因为 ，得 （*），
又点 的坐标为 ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 .
（3）将 代入y=f (x)，解得 ，
由（*）得， .
即 ，又 ，
故 是以2为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，即 ， .
令 ，则 严格减，
因为 ，所以函数 在区间(0,1)上严格增.
当 时， ，于是当 时， 严格减，符合要求
当 时， .
因为 时 ，
所以当 时， ，从而当 时 严格增，不存在正整数 ，
使得无穷数列 ， ，…， 严格减.
综上， .
【点睛】方法点睛：
（1）题中出现新定义时，根据新定义内容与数列与导数的基本方法求解分析；
（2）根据数列的递推公式，构造等比数列求解通项公式.
17．（23-24高二下·江西九江·期末）记 为函数 的 阶导数，
，若 存在，则称 阶可导.英国数学家泰勒发现：若
在 附近 阶可导，则可构造
（称其为 在 处的 次泰勒多项式）来逼近 在 附近的函数值.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 在 处的3次泰勒多项式为 D．
【答案】BCD
【分析】对于AB，根据求导公式求导，然后观察规律即可；对于C，求出 在 处的 次泰
勒多项式；对于D，求出 在 处的3次泰勒多项式为 ，再令 代入计算可得.
【详解】对于A，若 ，则 ， ，
， ，
所以 ，故A错误；
1
对于B，若f (x)= ，则 ，
x
， ，
观察可知 ，故B正确；
对于C， ，则 ，
因为 ，所以 在 处的 次泰勒多项式 ，故C正确
对于D， 的 阶导数 ，
得 ，
则 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：对于D选项，关键在于理解 次泰勒多项式的定义及作用，求出 在 处的
次泰勒多项式，据此进行估算.
18．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过
函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数 和 ，虽然它们
都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性
的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有
，则称 为 上的凹函数；若 ，则 为凸函数.
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间
上的凹函数，则对任意的 ,有不等式
恒成立（当且仅当 时等号成立）. 小组成员通
过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是
构造函数.小组成员选择了反比例型函数 和对数函数 ，研究函数的凹凸性.
(1)设 ，求W= 的最小值.
(2)设 为大于或等于1的实数，证明 （提示：可设 ）
(3)若a>1，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3) ．
【分析】（1）先证明 在(0,1)为凹函数，再利用琴生不等式求解；（2）证明 在 为凹函数再结合琴生不等式得证；
（3）分离参数，求函数最值得解.
【详解】（1）记函数 ，首先证明其凹凸性：
,则
所以 在(0,1)为凹函数.
由琴生不等式，得 ，
即
所以 ，当 时，W的最小值为 .
（2）设 ,因为 故
要证 只需证
由琴生不等式，只需证 在 为凹函数.
设 ，
下证 ，即证 ，
即证 ,
化简得 .
即证式显然成立，所以 成立，ℎ(x)在 为凹函数，则
得证.
（3）当 时，不等式 恒成立，即 ，因为 ,即 恒成
立，
可得 在 时恒成立．
因为 ，所以 ， ，所以 ．
由 ，及 ，可得 ，所以 ．
故 ．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来.
19．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：若 是 的导数， 是 的导数，则曲线
在点 处的曲率 ；已知函数 ， ，
曲线 在点 处的曲率为 ；
(1)求实数a的值；
(2)对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根为 ，…比较 与 的大小，
并证明．
【答案】(1)
(2)
(3) ，证明见解析
【分析】（1）根据曲率的定义求解即可；
（2）分 及 两种情况讨论，分别判断导数的符号即可；
（3）令 ，利用导数分析可知 ，，由 单调递减即可得出结论．
【详解】（1）由已知 ，
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ；
（2）由（1）得 ， ，
则 ，
对任意的 ， ，即 恒成立，
令 ，则 ，不等式恒成立，
当 时， ，原不等式化为 ，
令 ，
则
，
所以ℎ(x)在区间 单调递增，所以 ，
所以 ，
综上所述，实数m的取值范围为 ；
（3） ，证明如下：
由已知方程 可化为 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以φ′(x)<0，所以φ(x)在区间 上单调递减，
故，
，
所以存在唯一 ，使得 ，
又 ， ，
则
由φ(x)单调递减可得 ，
所以 .
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
20．（2024·浙江绍兴·二模）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给
定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， . 已知 在 处的 阶帕
德近似为 .注： ， ， ， ，…
(1)求实数 的值；
(2)当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)定义数列 ： ， ，求证： .
【答案】(1) ， ；
(2) ，证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）根据帕德近似定义，列式求解，即得答案.
（2）由题意知只需比较 与 的大小，即比较比较1与 的大小，从而构造函数 ，
利用导数，即可求解；
（3）结合题意得 ，令 ，结合（2）可得
，进而推出 ，另一方面 ，令
，利用导数，即可证明结论.
【详解】（1）由题意得 ， ，
，故 ， ，
解得 ， .
（2）由上可得 ，要比较 与 的大小，
，只需比较1与 的大小，
令 ， ，
所以 ，从而可得 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
（3）设 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故 ，即 ，当且仅当 时等号成立；
由题意知 ， ， ，
则 ，故可得 ；
，令 ， ，故该函数在 上递减，故可得 ，即 ，可得 ；
一方面：由（2）可得 ，
又因为 ，所以可得 ，即 ，即 ，
即 ，
故 ，即 ，所以 .
另一方面： ，
令 ， ，
所以 在 单调递增，所以 ，得证.
【点睛】难点点睛：本题考查了导数新定义问题，解答的关键是要理解导数的新定义，并由此取解决问题，
难点在于（3）中不等式的证明，解答时要结合 ，进行放缩，并结合构造函数进行证明.
21．（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的
方法．给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，
且满足： ， ， ，…， ．注： ，
， ， ，…； 为 的导数）．已知
在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较 与 的大小；
(3)若 有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1) ， ．
(2)答案见解析
(3)【分析】（1）求出f′(x)，f″(x)， ， ，根据 ， 列方程组即可求解；
（2）令 ，利用导数研究φ(x)的单调性即可比较大小；
（3） ，ℎ(x)除1外还有2个零点，设为 ， ，
，由导数由函数零点个数求m的范围．
【详解】（1）由 ， ，
知 ， ， ， ，
由题意 ， ，
所以 ，所以 ， ．
（2）由（1）知， ，令 ，
则 ，
所以φ(x)在其定义域 内为增函数，
又 ，
∴ 时， ；
时， ，
所以 时， ； 时， ．
（3）由（1）知， ，
注意到ℎ(1)=0，则ℎ(x)除1外还有2个零点，设为 ， ，
，
令 ，
当 时，g(x)<0在(0,+∞)上恒成立，则ℎ ′(x)<0，
所以ℎ(x)在(0,+∞)上单调递减，不满足，舍去，
当 时，ℎ(x)除1外还有2个零点，设为 ， ，则ℎ(x)不单调，
所以 存在两个零点，∴ ，解得 ，当 时，设 的两个零点分别为s， ，
则 ， ，
∴ ，当 时，g(x)>0，ℎ ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增，
当 时，g(x)<0，ℎ ′(x)<0，则ℎ(x)单调递减；
当 时，g(x)>0，ℎ ′(x)>0，则ℎ(x)单调递增，
又ℎ(1)=0，不妨设 ， ，
而 ，且 ， ，且 ，
所以存在 ， ，满足 ，
即 有3个零点 ，1， ，
综上所述，m的取值范围为 ．
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
22．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出
了一个定理，具体如下.如果函数 满足如下条件：①在闭区间 上的图象是连续的；②在开区
间 上可导.则在开区间 上至少存在一个实数 ，使得 成立，人们称此定理为
“拉格朗日中值定理”.
(1)已知 且 ，
（i）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（ii）当 时，求证： .
(2)已知函数 有两个零点，记作 ，若 ，证明：【答案】(1)（i） ；（ii）证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（i）法一：构造函数 ，利用函数单调递增，则
在 上恒成立，然后转化为分离参数求最值即可求解；法二：利用拉格朗日中值
定理知， 恒成立 ，使得 ，将问题转化为 恒成
立，在对其进行求解即可；
（ii）将 ，再结合拉格朗日中值定理进
行证明即可；
（2）由函数 有两个零点，转化为方程 有2个根，构造函数
，即函数φ(x)有两个零点，然后求导借助函数的单调性和最值确定两个零点的范围，
即可求解.
【详解】（1）（i）解：法一：由 ，且 化简得 ，即
，
令 ，可知 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，显然ℎ(x)在 上单调递减，
所以 ，即 ，故实数 的取值范围为 .
法二：由拉格朗日中值定理可知， ，使得 ，
故问题转化为 恒成立.
又 ，则 恒成立，即 恒成立，
因为 ，
故令 ，显然 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故实数 的取值范围为 .（ii）证明：要证 ，即证 ，
即证 ，
又 ，
由拉格朗日中值定理可知，存在 ，
，
.
由题意知 ，当 时，f′(x)在 上单调递增，
则 ，故 ，
即 ，所以命题得证.
（2）函数 有两个零点，即方程 有两个根，即方程
有2个根.
令 ，
所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增，且 ，即方程 有2个根，且这两根即为方程
的根，
所以 ，则 ，则由 ，得 ，
所以 ，则 ，
要证 ，即证 ，
又 ，令 ，令 ，
又 ，所以 ，故 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，故 在 上单调递减，所以 ，
即 ，
即 ，所以不等式得证.
【点睛】关键点点睛：
（1）对于第一问和第二问关键是理解拉格朗日中值定理，借助定义进行求解即可；
（2）第三问是函数“隐零点”问题，解决这类题的方法是对零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结
合题目中的条件解决问题.
23．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann
Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的
个不同的信封，他把这 封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉
（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装
正确的情况种数，结合容斥原理可得公式： ，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该公式也称
麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出 的值；
(2)估算 的大小（保留小数点后2位），并给出用 和 表示 的估计公式；
(3)求证： ，其中 ．
【答案】(1)
(2) ；
(3)证明见解析
【分析】（1）分别代入公式 计算即可；（2）由麦克劳林公式中取 ，计算即可；
（3）首先利用麦克劳林公式猜想 和 ，再构造函数求导证明猜想；然后得到
，最后令 ，代入上式经过拆项可得 ，即可证明.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
，
，
所以 ．
（2）由麦克劳林公式，令 ，有
再取 ，可得 ，
所以估算值为 ．
在 中，取 ，可得 .
（3）证明：由麦克劳林公式，当 时，令 ，有 ，猜想：
令 ，有 ，猜想：
令 ，由 ，所以 ，即 ．
令 ，由 ，
再令 ，则 恒成立，
所以 在 上为增函数，且 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ，即 ．又 时， ， ，所以 .
令 ， 当 ，有 ，
则 ，命题得证．
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是能根据麦克劳林公式得到当 时，得到 ，
再令 ，裂项证明.
24．（2024·山东潍坊·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形
成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程
，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地双曲正弦函数
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当 时，双曲正弦函数 图象总在直线 的上方，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明：
【答案】(1)答案见解析，证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；
（2）构造函数 ，x∈(0,+∞)，求导，分 和 两种情况，结合基本不等式，隐零
点，得到函数单调性，进而得到答案；
（3）结合新定义将所证变为 ，设函数 ，即证，先利用导数求得 在(0,+∞)上单调递增，再设
，利用导数得其单调性及ℎ(x)>0，从而 ，
得证.
【详解】（1）平方关系： ；
倍角公式： ；
导数： .
理由如下：平方关系， ；
倍角公式： ；
导数： ， ；
以上三个结论，证对一个即可.
（2）构造函数 ，x∈(0,+∞)，由（1）可知 ，
①当 时，由 ，
又因为 ，故 ，等号不成立，
所以 ，故 为严格增函数，
此时 ，故对任意 ， 恒成立，满足题意；
②当 时，令 ，
则 ，可知 是严格增函数，
由 与 可知，存在唯一 ，使得 ，
故当 时， ，则 在 上为严格减函数，
故对任意 ， ，即 ，矛盾；
综上所述，实数 的取值范围为 ；
（3）因为 ，
所以原式变为 ，
即证 ，设函数 ，即证 ， ，
设 ， ，
时 ， 在(0,+∞)上单调递增，即 在(0,+∞)上单调递增，
设 ，则 ，
由于 在(0,+∞)上单调递增， ，
所以 ，即ℎ ′(x)>0，故ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
又 ，所以 时，ℎ(x)>0，
所以 ，即 ，
因此 恒成立，所以原不等式成立，得证.
【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：
（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点
（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件
（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.
三、解答题
25．（2024·山东菏泽·模拟预测）如果三个互不相同的函数 ， ， 在区间 上恒有
或 ，则称 为 与 在区间 上的“分割函
数”．
(1)证明：函数 为函数 与 在 上的分割函数；
(2)若函数 为函数 与 在 上的“分割函数”，求实数 的取值
范围；
(3)若 ，且存在实数 ，使得函数 为函数 与 在区间
上的“分割函数”，求 的最大值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ；
(3) .
【分析】（1）根据给定的定义，利用导数证明不等式 和 恒成立即可.
（2）由“分割函数”定义得 恒成立，借助导数及二次函数性质求解即得.
（3）利用导数求出函数 的极值，再利用“分割函数”的定义确定 图象的切线及切
点横坐标范围，然后求出直线 被函数 图象所截弦长，利用不等式性质及导数求出最
大值即得.【详解】（1）设 ，则 ，当 时， 在 上单调
递增，
当 时， 在 单调递减，则 在 处取得极大值，即为最大值，
即 ，则当 时， ；
设 ，则 ，当 时， 在 上单调递咸，
当 时， 在 上单调递增，则 在 处取得极小值，即为最小值，
即 ，则当 时， ，
于是当 时， ，
所以函数 为函数 与 在 上的“分割函数”.
（2）因为函数 为函数 与 在 上的“分割函数”，
则对 ， 恒成立，
而 ，于是函数 在 处的切线方程为 ，
因此函数 的图象在 处的切线方程也为 ，又 ，
则 ，解得 ，
于是 对 恒成立，
即 对 恒成立，
因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（3）对于函数 ，
当 和 时， ，当 和 时， ，
则 为 的极小值点， 为极大值点，
函数 的图象如图，由函数 为函数 与 在区间 上的“分割函数”，
得存在 ，使得直线 与函数 的图象相切，
且切点的横坐标 ，
此时切线方程为 ，即 ，
设直线 与 的图象交于点 ，
则 消去y得 ，则 ，
于是
令 ，则 ，
当且仅当 时， ，所以 在 上单调递减， ，
因此 的最大值为 ，所以 的最大值为 .
【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单
调性、最值是解决问题的关键.
