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第 02 讲 数列中的新定义综合
（8 类核心考点精讲精练）
新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限
于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具
备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中，有以下几种情况：
1. 新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义
和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。
2. 数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求
考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
3. 数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，
考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
4. 实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问
题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题，考生需要：
熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。
培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。
加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。
注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。
总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识
的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。考点一、 斐波那契数列
1．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列
数： ，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的
一列数所组成的数列 称为“斐波那契数列”，则 是斐波那契数列中的第
项．
2．（2024·贵州遵义·模拟预测）（多选）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数
列，又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即 （ ），则
下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24高三上·河北廊坊·期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，
3，5，8，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即 ，故此数列称为斐波那
契数列，又称为“兔子数列”，其通项公式为 ，设 是不等式
的正整数解，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．91．（2024·河南·模拟预测）我们把由0和1组成的数列称为 数列， 数列在计算机科学和信息技术
领域有着广泛应用，把斐波那契数列 （ ， ）中的奇数换成0，偶数换成1可得
到 数列{a }，若数列{a }的前 项和为 ，且 ，则 的值可能是（ ）
n n
A．100 B．201 C．302 D．399
2．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）在数学上，斐波纳契数列 定义为： ， ，
，斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据 可得 ，所以
，类比这一方法，可得
（ ）
A．714 B．1870 C．4895 D．4896
3．（2024·山东·模拟预测）（多选）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的
一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数
都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用 表示斐波
那契数列的第 项，则数列 满足： ， .则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二、 差数列及阶差数列
1．（23-24高二上·云南昆明·期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提
出了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从
第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶
等差数列．现有二阶等差数列 ，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则 的最小值为
．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：满足 为常数， ）的数列 称为二阶
等比数列， 为二阶公比.已知二阶等比数列 的二阶公比为 ，则使得 成立
的最小正整数 为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024·全国·模拟预测）给定数列 ，称 为 的差数列（或一阶差数列），称数列
的差数列为 的二阶差数列……
(1)求 的二阶差数列；
(2)用含 的式子表示 的 阶差数列，并求其前 项和．
1．（2024·四川自贡·一模）南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的
垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者
高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其
前 项分别为 ，则该数列的第 项（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）对于数列 ，规定 为数列 的一阶差分，其中 ，
规定 为数列 的k阶差分，其中 ．若 ，则
（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
3．（2024·吉林长春·模拟预测）对于数列 ，称 为数列 的一阶差分数列，其中
.对正整数 ，称 为数列 的 阶差分数列，其中
已知数列 的首项 ，且 为 的二阶差分数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的一阶差分数列，对 ，是否都有 成立？并说明理
由；（其中 为组合数）
(3)对于（2）中的数列 ，令 ，其中 .证明： .考点三、 平方数列与类平方数列
1．（23-24高三上·四川绵阳·阶段练习）若数列 满足 则称 为 “平方递推数列”. 已知数列
是 “平方递推数列”， 且 则（ ）
A． 是等差数列 B． 是等差数列
C． 是 “平方递推数列” D． 是 “平方递推数列”
1．（2024·海南·模拟预测）（多选）已知数列{a }满足：① ；② ， ， ， ，
n
则称数列{a }为“类平方数列”，若数列{b }满足：①数列{b }不是“类平方数列”；②将数列{b }中的项
n n n n
调整一定的顺序后可使得新数列成为“类平方数列”，则称数列{b }为“变换类平方数列”，则（ ）
n
A．已知数列 ，则数列{a }为“类平方数列”
n
B．已知数列{a }为：3，5，6，11，则数列{a }为“变换类平方数列”
n n
C．已知数列{a }的前 顶和为 ，则数列{a }为“类平方数列”
n n
D．已知 ， .则数列{a }为“变换类平方数列”
n
考点 四 、 数列的单调性
1．（2024·江西新余·模拟预测）我们规定：若数列 为递增数列且 也为递增数列，则 为“
数列”.
(1)已知： ， ， ，数列 中其中只有一个 数列，它是： ；请从
另外两个数列中任选一个证明其不是 数列.
(2)已知数列{a }满足： ， 为{a }的前 项和，试求{a }的通项并判断数列
n n n是否为 数列并证之.
(3)已知数列{a }、{b }均为 数列，且 ， ，求证：数列 也为 数列.
n n
1．（24-25高三上·河南·开学考试）若数列 的相邻两项或几项之间的关系由函数 确定，则称
为 的递归函数．设 的递归函数为 ．
(1)若 ， （ ），证明： 为递减数列；
(2)若 ，且 ， 的前 项和记为 ．
①求 ；
②我们称 为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过 的最大整数，例如 ， ．
若 ，求 ．
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，定义集合
，设 为集合 中的元素个数，特别规定：若 时， ．
(1)若 ，写出 ， 及 的值；
(2)若数列 是等差数列，求数列 的通项公式；
(3)设集合 ， ，求证： 且 ．
考点 五 、 数列的凹凸性
1．（2024·安徽池州·模拟预测）定义：若对 恒成立，则称数列 为“上凸
数列”．
(1)若 ，判断 是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．
(2)若 为“上凸数列”，则当 时， ．
（ⅰ）若数列 为 的前 项和，证明： ；
（ⅱ）对于任意正整数序列 （ 为常数且 ），若恒成立，求 的最小值．
1．（24-25高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列 ，对于任意的 ，都有 ，则称数
列 为“凹数列”．
(1)判断数列 是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列 ，首项为4，公差为 ，且 为“凹数列”，求 的取值范围；
(3)证明：数列 为“凹数列”的充要条件是“对于任意的 ，当 时，有
”．
2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列 ，对于任意的正整数 ，都有 则称数列
是严格凹数列．
(1)若数列 ， 的通项公式分别为 ，判断数列 ， 是否为严格凹数列，无需说
明理由；
(2)证明：“对于任意正整数的 ，当 时，有 ”是“数列 为严格凹数列”
的充要条件；
(3)函数 是定义在正实数集上的严格增函数， 且数列 是严格凹数列，严格增数列
（正整数 为常数且 ）各项均为互不相等的正整数，若 恒成立，求实
数λ的取值范围．
考点 六 、 数列的周期性
1．（2024·上海青浦·二模）若无穷数列 满足：存在正整数 ，使得 对一切正整数 成立，则称
是周期为 的周期数列．
(1)若 （其中正整数m为常数， ），判断数列 是否为周期数列，并说明理由；
(2)若 ，判断数列 是否为周期数列，并说明理由；(3)设 是无穷数列，已知 ．求证：“存在 ，使得 是周期数列”的充要
条件是“ 是周期数列”．
2．（2024·广东珠海·一模）对于数列{a }，若存在常数 ， ，使得对任意的正整数 ，恒
n
有 成立，则称数列{a }是从第 项起的周期为 的周期数列．当 时，称数列{a }为纯周期数
n n
列；当 时，称数列{a }为混周期数列．记[x]为不超过 的最大整数，设各项均为正整数的数列{a }满
n n
足： .
(1)若对任意正整数 都有 ，请写出三个满足条件的 的值；
(2)若数列{a }是纯周期数列，请写出满足条件的 的表达式，并说明理由；
n
(3)证明：不论 为何值，总存在 使得 ．
3．（2024·湖南长沙·一模）对于数列 ，如果存在正整数 ，使得对任意 ，都有 ，那
么数列 就叫做周期数列， 叫做这个数列的周期.若周期数列 满足：存在正整数 ，对每一个
，都有 ，我们称数列 和 为“同根数列”.
(1)判断数列 是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明
理由；
(2)若 和 是“同根数列”，且周期的最小值分别是 和 ，求 的最大值.
1．（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于数列 ，若存在常数 ， ，使得对任意的
正整数 ，恒有 成立，则称数列 是从第 项起的周期为 的周期数列．当 时，称数
列 为纯周期数列；当 时，称数列 为混周期数列．记 为不超过 的最大整数，设各项均为
正整数的数列 满足： .
(1)若对任意正整数 都有 ，请写出三个满足条件的 的值；
(2)若数列 是常数列，请写出满足条件的 的表达式，并说明理由；(3)证明：不论 为何值，总存在 使得 ．
2．（23-24高三上·北京丰台·期末）对于数列 ，如果存在正整数 ，使得对任意 ，都有
，那么数列 就叫做周期数列， 叫做这个数列的周期．若周期数列 ， 满足：存在正整
数 ，对每一个 ，都有 ，我们称数列 和 为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
① ；②
(2)若 和 是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证： ；
(3)若 和 是“同根数列”，且周期的最小值分别是 和 ，求 的最大值．
考点 七 、 数列的新概念
1．（2024·江苏南通·模拟预测）定义：已知数列 的首项 ，前 项和为 .设 与 是常数，
若对一切正整数 ，均有 成立，则称此数列为“ ”数列.若数列 是“
”数列，则数列 的通项公式 （ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）对于无穷数列 ，若对任意 ，且 ，存在 ，
使得 成立，则称 为“ 数列”.
(1)若数列{b }的通项公式为 ，试判断数列{b }是否为“ 数列”，并说明理由；
n n
(2)已知数列{a }为等差数列，
n
①若{a }是“ 数列”， ，且 ，求 所有可能的取值；
n
②若对任意 ，存在 ，使得 成立，求证：数列{a }为“ 数列”.
n
3．（2024·辽宁·三模）若实数列 满足 ，有 ，称数列 为“ 数列”.
(1)判断 是否为“ 数列”，并说明理由；(2)若数列 为“ 数列”，证明：对于任意正整数 ，且 ，都有
(3)已知数列 为“ 数列”，且 .令 ，其中 表示 中的较大者.证
明： ，都有 .
4．（2024·福建泉州·模拟预测）若无穷数列 满足：对于 ，其中 为常数，则称
数列 为 数列．
(1)若一个公比为 的等比数列 为“ 数列”，求 的值；
(2)若 是首项为1，公比为3的等比数列，在 与 之间依次插入数列 中的 项构成
新数列 ，求数列 中前30项的和 ．
(3)若一个“ 数列" 满足 ，设数列 的前 项和为 ．是否存在正整数 ，
使不等式 对一切 都成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
1．（2024·北京东城·二模）设无穷正数数列 ，如果对任意的正整数 ，都存在唯一的正整数 ，使得
，那么称 为内和数列，并令 ，称 为 的伴随数列，则（ ）
A．若 为等差数列，则 为内和数列
B．若 为等比数列，则 为内和数列
C．若内和数列 为递增数列，则其伴随数列 为递增数列
D．若内和数列 的伴随数列 为递增数列，则 为递增数列
2．（2024·湖北荆州·三模）“ 数列”定义：数列 的前 项和为 ，如果对于任意的正整数 ，总存
在正整数 使 则称数列 是“ 数列”.
(1)若数列 的前 项和为 求证：数列 是“ 数列”；
(2)已知数列 是“ 数列”，且数列 是首项为 ，公差小于 的等差数列，求数列 的通项公式；
(3)若数列 满足： 求数列 的前 项和 .
3．（2024·黑龙江·二模）如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都大于3，则称这个数列为“
型数列”．(1)若数列 满足 ，判断 是否为“ 型数列”，并说明理由；
(2)已知正项数列 为“ 型数列”， ，数列 满足 ， ， 是等比数列，公比
为正整数，且不是“ 型数列”，求数列 的通项公式．
4．（2024·全国·模拟预测）定义：若对于任意的 ，数列 满足 ，则称这个数列是“
数列”．
(1)已知首项为1的等差数列 是“ 数列”，且 恒成立，求 的取值范围．
(2)已知各项均为正整数的等比数列 是“ 数列”，数列 不是“ 数列”．记 ，若数列
是“ 数列”．
①求数列 的通项公式．
②是否存在正整数 ，使 成等差数列？若存在，求出 的所有值；若不存在，请
说明理由．
考点 八 、 数列的新性质
1．（2024·山东青岛·三模）（多选）若有穷整数数列 满足：
，且 ，则称 具有性质 .则（ ）
A．存在具有性质 的
B．存在具有性质 的
C．若 具有性质 ，则 中至少有两项相同
D．存在正整数 ，使得对任意具有性质 的 ，有 中任意两项均不相同
2．（2024·河南·三模）已知数列 的前 项和为 ，若存在常数 ，使得 对任意
都成立，则称数列 具有性质 ．
(1)若数列 为等差数列，且 ，求证：数列 具有性质 ；
(2)设数列 的各项均为正数，且 具有性质 ．
①若数列 是公比为 的等比数列，且 ，求 的值；
②求 的最小值．1．（23-24高二下·安徽六安·期末）如果无穷数列 满足“对任意正整数 ，都存在正整数 ，
使得 ”，则称数列 具有“性质 ”.
(1)若等比数列 的前 项和为 ，且公比 ，求证：数列 具有“性质 ”；
(2)若等差数列 的首项 ，公差 ，求证：数列 具有“性质 ”，当且仅当 ；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列 具有“性质 ”，且 四个数中恰有两个出现在数
列 中，求 的所有可能取值之和.
2．（2024·湖北·模拟预测）若项数为 的数列 满足两个性质： ；
①
存在 ，使得 ，并记 是数列 的最大项，
②
．则称数列 具有性质 ．
(1)若 ，写出所有具有性质 的数列 ；
(2)数列 具有性质 ,若 ，求 的最大项的最大值；
(3)数列 具有性质 ,若 ，且 还满足以下两条性质：（ⅰ）对于满足 的
项 和 ，在 的余下的项中，总存在满足 的项 和 ，使得 ；（ⅱ）对于
满足 的项 和 ，在 的余下的项中，总存在满足 的项 和 ，使得
．求满足上述性质的 的最小值．
一、填空题
1．（2023·陕西铜川·一模）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常
数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列 是等和数列，且 ，公和
为1，那么这个数列的前2024项和 .
2．（2024·北京通州·三模）若数列 、 均为严格增数列，且对任意正整数n，都存在正整数m，使得
，则称数列 为数列 的“M数列”．已知数列 的前n项和为 ，则下列结论中正确的是 ．
①存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
②存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
③存在等差数列 ，使得 是 的“M数列”
④存在等比数列 ，使得 是 的“M数列”
3．（2024·全国·模拟预测）将正整数n分解为两个正整数 ， 的积，即 ，当 ， 两数差的绝
对值最小时，我们称其为最优分解.如 ，其中 即为12的最优分解，当 ， 是n
的最优分解时，定义 ，则数列 的前2024项的和为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏镇江·三模）若对项数为 的数列 中的任意一项 ， 也是该数列中的一项，则称这样
的数列为“ 可倒数数列”.已知正项等比数列 是“ 可倒数数列”，其公比为 ，所有项和为 ，
写出一个符合题意的 的值 .
5．（2024·江苏南通·模拟预测）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ 数列”.已知数列 （
）的前 项和为 ，且满足 ， .设 为正整数.若存在“ 数列” （
），对任意正整数 ，当 时，都有 成立，则 的最大值为 .
二、多选题
6．（2024·江苏南通·模拟预测）在数列 中，若对 ，都有 （ 为常数），则称数列
为“等差比数列”， 为公差比，设数列 的前 项和是 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A．等差数列 是等差比数列
B．若等比数列 是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同
C．若数列 是等差比数列，则数列 是等比数列
D．若数列 是等比数列，则数列 等差比数列
7．（23-24高三上·上海普陀·期末）对于无穷数列 ，给出如下三个性质：① ；②对于任意正整数
，都有 ；③对于任意正整数 ，存在正整数 ，使得 定义：同时满足性质①和②的
数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若 为“s数列”，则 为“t数列”B．若 ，则 为“t数列”
C．若 ，则 为“s数列”
D．若等比数列 为“t数列”则 为“s数列”
8．（2024·河北承德·二模）对于给定的数列 ，如果存在实数 ，使得 对任意 成
立，我们称数列 是“线性数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．等差数列是“线性数列”
B．等比数列是“线性数列”
C．若 且 ，则
D．若 且 ，则 是等比数列 的前 项和
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在股票市场中，股票的价格是有界的，投资者通常会通过价格的变化来确
保自己的风险，这种变化的价格类似于我们数学中的数列，定义如果存在正数 ，使得对一切正整数 ，
都有 ，则称 为有界数列，数列收敛指数列有极限，我们把极限存在（不含无穷大）的数列称
为收敛数列，如数列 ，显然对一切正整数 都有 ，而 的极限为 ，即数列 既有界也收
敛.如数列 ，显然对一切正整数 都有 ，但不存在极限，即数列 有界但不收敛.下列数列
是有界数列但不收敛的数列有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·河南·一模）对于数列 （ ），定义 为 ， ，…， 中最大值（ ）（
），把数列 称为数列 的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，
7，7，则（ ）
A．若数列 是递减数列，则 为常数列
B．若数列 是递增数列，则有
C．满足 为2，3，3，5，5的所有数列 的个数为8
D．若 ，记 为 的前n项和，则三、解答题
11．（2024·内蒙古包头·二模）已知数列 为有穷数列，且 ，若数列 满足如下两个性质，则
称数列 为 的 增数列：
① ；
②对于 ，使得 的正整数对 有 个.
(1)写出所有4的1增数列；
(2)当 时，若存在 的6增数列，求 的最小值.
12．（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再
把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第
二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第 次得到的数列的所有项之和记为 .
(1)设第 次构造后得的数列为 ，则 ，请用含 的代数式表达
出 ，并推导出 与 满足的关系式；
(2)求数列 的通项公式 ；
(3)证明：
13．（2024·贵州贵阳·二模）给定数列 ，若满足 且 ，对于任意的 ，都有
，则称数列{a }为“指数型数列".
n
(1)已知数列{a }满足 ，判断数列 是不是“指数型数列"？若是，请
n
给出证明，若不是，请说明理由;
(2)若数列{a }是“指数型数列”，且 ，证明:数列{a }中任意三项都不能构成等差数列.
n n
14．（2024·湖北·模拟预测）若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个
正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作 ，例如 ，
．
(1)求 ， ， ；
(2)设 ， ，求数列{a }的前 项和 ；
n
(3)设 ， ，数列{b }的前 项和为 ，证明： ，
n
15．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习） 表示正整数a，b的最大公约数，若，且 ， ，则将k的最大值记为 ，例如：
， ．
(1)求 ， ， ；
(2)设 ．
（i）求数列 的通项公式，
（ii）设 ，求数列 的前n项和 ．
16．（2024·全国·模拟预测）设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“曼德拉数
列”：
① ；② .
(1)若某 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项 （ ，用 表示）；
(2)若某 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项 （ ，用 表示）；
(3)记 阶“曼德拉数列” 的前 项和为 ，若存在 ，使 ，试问：
数列 能否为 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.
17．（2024·广东梅州·二模）已知{a }是由正整数组成的无穷数列，该数列前 项的最大值记为 ，即
n
；前 项的最小值记为 ，即 ，令 （
），并将数列 称为{a }的“生成数列”．
n
(1)若 ，求其生成数列 的前 项和；
(2)设数列 的“生成数列”为 ，求证： ；
(3)若 是等差数列，证明：存在正整数 ，当 时， ， ， ， 是等差数列．
18．（2024·山东潍坊·二模）数列 中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列 称为
的一阶差数列，记为 ，依此类推， 的一阶差数列称为 的二阶差数列，记为 ，…．
如果一个数列 的p阶差数列 是等比数列，则称数列 为p阶等比数列 ．
(1)已知数列 满足 ， ．
（ⅰ）求 ， ， ；
（ⅱ）证明： 是一阶等比数列；(2)已知数列 为二阶等比数列，其前5项分别为 ，求 及满足 为整数的所有n值．
19．（2024·贵州·模拟预测）若给定一个数列 ，其连续两项之差构成一个新数列： ， ，
，…， ，…，这个数列称为原数列 的“一阶差数列”，记为 ，其中 .再
由 的连续两项的差得到新数列 ， ， ，…， ，…，此数列称为原数列 的
“二阶差数列”，记为 ，其中 .以此类推，可得到 的“p阶差数列”.如果数列 的
“p阶差数列”是非零常数数列，则称 为“p阶等差数列”.
(1)证明由完全立方数 组成的数列 是“3阶等差数列”；
(2)若 （ 且 ， ），证明数列 是“k阶等差数列”，并且若将 的“k阶差数
列”记作 ，则 .
20．（2024·河南郑州·模拟预测）设任意一个无穷数列 的前 项之积为 ，若 ， ，则
称 是 数列．
(1)若 是首项为 ，公差为 的等差数列，请判断 是否为 数列？并说明理由；
(2)证明：若 的通项公式为 ，则 不是 数列；
(3)设 是无穷等比数列，其首项 ，公比为 ，若 是 数列，求 的值．
21．（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正整数数列
，满足①②：
① ；
② ．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若 是“漂亮数”，证明： 是“漂亮数”；
(3)在全体满足 的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数” ，求 是质数的概率．
22．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）对于一个正项数列 ，若存在一正实数 ，使得 且
，有 ，我们就称 是 -有限数列.
(1)若数列 满足 ， ， ，证明：数列 为1-有限数列；
(2)若数列 是 -有限数列， ，使得 且 ， ，证明：.
23．（2024·北京门头沟·一模）已知数列 ， 数列 ， 其中 ， 且
， ． 记 的前 项和分别为 ， 规定 ．记
，且 ， ， 且
(1)若 ， ，写出 ；
(2)若 ，写出所有满足条件的数列 {a }， 并说明理由；
n
(3)若 ， 且 ． 证明： ， 使得 ．
24．（2024·湖北荆州·三模）对于数列 ，如果存在一个正整数 ，使得对任意 ，都有
成立，那么就把这样的一类数列 称作周期为 的周期数列， 的最小值称作数列 的最小
正周期，简称周期.
(1)判断数列 和 是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，
说明理由.
(2)设（1）中数列 前 项和为 ，试问是否存在 ，使对任意 ，都有 成立，
若存在，求出 的取值范围，若不存在，说明理由.
(3)若数列 和 满足 ，且 ，是否存在非零常数 ，使得 是周
期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数 ；若不存在，请说明理由.
25．（2024·安徽芜湖·三模）若数列 的各项均为正数，且对任意的相邻三项 ，都满足
，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项 ，都满足 则
称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列 是一个“凸数列”，且 ，（其中 为自然常数， ），证明：数列 是
一个“对数性凸数列”，且有 ；
(2)若关于 的函数 有三个零点，其中 ．证明：数列 是
一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列 是一个“对数性凸数列”，求证：26．（2024·新疆·二模）我们把满足下列条件的数列{a }称为 数列：
n
①数列{a }的每一项都是正偶数；
n
②存在正奇数m，使得数列{a }的每一项除以m所得的商都不是正偶数．
n
(1)若a，b，c是公差为2的等差数列，求证：a，b，c不是 数列；
(2)若数列{b }满足对任意正整数p，q，恒有 ，且 ，判断数列 是否是 数列，
n
并证明你的结论；
(3)已知各项均为正数的数列 共有100项，且对任意 ，恒有
，若数列 为 数列，求满足条件的所有两位
数k值的和．
27．（2024·浙江·模拟预测）已知正整数 ，设 ， ，…， ， ， ，…， 是 个非负实数，
.若对于任意 ，取 ， ， ，都有 ，则
称这 个数构成 —孪生数组.
(1)写出8个不全相等的数，使得这8个数构成 —孪生数组；
(2)求最小的 ，使得 ， ，…， ， ， ，…， 构成 —孪生数组；
(3)若 ，且 ， ，…， ， ， ，…， 构成 —孪生数组，求 的最大值.
参考公式：（i） ，当且仅当 时取等；（ii）当正偶数 时，
设 ，有 ；当正奇数 时，设
，有 .
28．（2024·吉林·模拟预测）对于数列 ，若 ，对任意的 ，有 ，则称数列 是有
界的.当正整数n无限大时，若 无限接近于常数a，则称常数a是数列 的极限，或称数列 收敛于
a，记为 .单调收敛原理：“单调有界数列一定收敛”可以帮助我们解决数列的收敛性问题.
(1)证明：对任意的 ， ， 恒成立；
(2)已知数列 ， 的通项公式为： ， ， .
（i）判断数列 ， 的单调性与有界性，并证明；
（ii）事实上，常数 ，以 为底的对数称为自然对数，记为 .证明：对任意的 ，恒成立.
29．（2024·广东江苏·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去
两项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：
．
30．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
1．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）设m为正整数，数列 是公差不为0的等差数列，若从中删去两
项 和 后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列
是 可分数列．
(1)写出所有的 ， ，使数列 是 可分数列；
(2)当 时，证明：数列 是 可分数列；
(3)从 中任取两个数 和 ，记数列 是 可分数列的概率为 ，证明：．
2．（2024·北京·高考真题）已知集合
．给定数列 ，和序
列 ，其中 ，对数列 进行如下变换：将 的第 项均
加1，其余项不变，得到的数列记作 ；将 的第 项均加1，其余项不变，得到数列记作
；……；以此类推，得到 ，简记为 ．
(1)给定数列 和序列 ，写出 ；
(2)是否存在序列 ，使得 为 ，若存在，写出一个符
合条件的 ；若不存在，请说明理由；
(3)若数列 的各项均为正整数，且 为偶数，求证：“存在序列 ，使得 的各项都相
等”的充要条件为“ ”．
3．（2023·北京·高考真题）已知数列 的项数均为m ，且 的前n
项和分别为 ，并规定 ．对于 ，定义 ，
其中， 表示数集M中最大的数.
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，且 ，求 ；
(3)证明：存在 ，满足 使得 ．
4．（2022·北京·高考真题）已知 为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的 ，
在Q中存在 ，使得 ，则称Q为 连续可表数列．
(1)判断 是否为 连续可表数列？是否为 连续可表数列？说明理由；
(2)若 为 连续可表数列，求证：k的最小值为4；
(3)若 为 连续可表数列，且 ，求证： ．
5．（2021·北京·高考真题）设p为实数.若无穷数列 满足如下三个性质，则称 为 数列：
① ，且 ；
② ；
③ ， ．
（1）如果数列 的前4项为2，-2，-2，-1，那么 是否可能为 数列？说明理由；
（2）若数列 是 数列，求 ；（3）设数列 的前 项和为 .是否存在 数列 ，使得 恒成立？如果存在，求出所有的p；
如果不存在，说明理由．
