文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第19题,17分 等差数列通项公式的基本量计算 数列新定义
等差数列通项公式的基本量计算
2024年新Ⅱ卷，第12题,5分 无
求等差数列前n项和
等差数列通项公式的基本量计算
2024年全国甲卷，第4题,5分 利用等差数列的性质计算 无
等差数列前n项和的基本量计算
由递推关系证明数列是等差数列
2023年新I卷，第7题,5分 充分条件与必要条件的判定
等差数列前n项和的性质
等差数列通项公式的基本量计算利用
2023年新I卷，第20题,12分 等差数列的性质计算 无
等差数列前n项和的基本量计算
利用定义求等差数列通项公式
2023年新Ⅱ卷，第18题,12分 等差数列通项公式的基本量计算求等 分组 (并项)-奇偶项求和
差数列前n项和
利用 与 关系求通项或项
2022年新I卷，第17题,10分 利用等差数列通项公式求数列中的项
累乘法求数列通项
裂项相消法求和
数学新文化
2022年新Ⅱ卷，第3题,5分 等差数列通项公式的基本量计算
已知斜率求参数
等比数列通项公式的基本量计算
2022年新Ⅱ卷，第17题,10分 等差数列通项公式的基本量计算
数列不等式能成立(有解) 问题
利用定义求等差数列通项公式 由递推数列研究数列的有关性质
2021年新I卷，第17题,10分
求等差数列前n项和 分组 (并项)-奇偶项求和
等差数列通项公式的基本量计算
2021年新Ⅱ卷，第17题,10分 解不含参数的一元二次不等式
求等差数列前n项和2020年新I卷，第14题,5分 求等差数列前n项和 无
2020年新Ⅱ卷，第15题,5分 求等差数列前n项和 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等，小题分值为5-6分，大题13-17分
【备考策略】1.理解等差数列的概念
2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题
4.理解等差数列与一次函数的关系及等差数列通项公式与前n项和的关系
5.熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通
项公式及前n项和。需综合复习
知识讲解
1. 等差数列的定义从第二项开始，后一项与前一项的差为同一个常数，这个数列是等差数列，这个常数是等差数列的公差，
用 表示
2. 数学表达式
3.
通项公式
， ， ，
4.
等差数列通项公式与函数关系
令 ， ， 等差数列 为一次函数
5. 等差中项
若 ， ， 三个数成等差数列，则 ，其中 叫做 ， 的等差中项
6. 等差数列通项公式的性质
（1）若 ，或
（2）若 ， 为等差数列，则 ， 仍为等差数列
7. 等差数列前n项和
或
8. 等差数列前n项和与函数关系
令 ， ，
等差数列 前 项和公式是无常数项的二次函数
9. 等差数列前n项和的性质
（1） ， ， ……仍成等差数列
（2） 为等差数列
推导过程： （一次函数） 为等差数列
（3）
（4）10. 证明数列为等差数列的方法
（1） （ 为常数） 为等差数列
（2）通项公式： （一次函数），前 项和： （无常数项的二次函数）
（3）若 ，则 ， ， 三个数成等差数列
考点一、 等差数列的项、公差及通项公式的求解
1．（2024·安徽池州·模拟预测）在等差数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质计算即可.
【详解】设等差数列的公差为d，因为 ，所以 ，又 ，
所以公差 ．
故选：C
2．（2022·河南南阳·三模）已知数列 为等差数列， ， ，则该数列的公差为
.
【答案】3
【分析】由已知，利用等差数列通项公式列方程求公差即可.
【详解】设公差为d，则 ，又 ，
则 ，可得 .
故答案为：3
3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若等差数列 满足 ，则 （ ）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设等差数列 的公差为 ，由通项公式写出 和 ，都代入
中，化简即可求出 .
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
因为 ，可得 ，所以有 ，解得 ，
故选：B.
4．（2024·山东·二模）已知数列 ．求：
(1)数列 的通项公式；
(2)数列 的前 项和 的最大值．
【答案】(1) ；
(2)28
【分析】（1）根据题目条件得到 是以13为首项， 为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出通项公式，解不等式，得到数列从第5项开始小于0，从而得到数列 的前4项和最大，利用
求和公式求出答案.
【详解】（1）由 ，可知 ，
所以数列 是以13为首项，以 为公差的等差数列，
所以 ；
（2）由（1）可知 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
即数列从第5项开始小于0，所以数列 的前4项和最大，
最大值为 ．
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 满足 ，且 ，则首项 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可.
【详解】设等差数列 的公差为 ，因为 ，且 ，所以 ，所以 .
故选：A
2．（2024·四川雅安·三模）在等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．21 B．24 C．27 D．29
【答案】A
【分析】由等差中项的性质、以及等差数列基本量的计算得公差 ，进一步即可得解.
【详解】在等差数列 中，若 ，即
则公差 ，所以 .
故选：A.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）在公差为 的等差数列 中， ，则 （ ）
A．1或2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用等差数列通项列式求解即得.
【详解】在等差数列 中，
则 ，整理得 ，
所以 .
故选：D
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是递增的等差数列， ， 是方程 的根.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列基本量的计算可得公差，进而即可得解；
（2）直接由等比数列求和公式以及错位相减法即可运算求解.
【详解】（1）因为 是方程 的两个根，且 为递增等差数列，
所以 ，公差 ，所以 .
（2）由(1)知 ，
所以 ，①
，②
①-②得
，
所以， .
考点二、 等差中项的应用
1．（23-24高二下·北京怀柔·期中）若 ， ， 成等差数列，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用等差中项，即可求出结果.
【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，解得 ，
故选：B.
2．（重庆·高考真题）在等差数列 中，若 =4， =2，则 =
A．-1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【详解】在等差数列 中，若 ，则 ，解得 ，故选B.
1．（23-24高二上·上海宝山·期末） 与 的等差中项为 ．
【答案】3【分析】根据等差中项的定义求解．
【详解】 与 的等差中项为 ．
故答案为：3.
2．（24-25高二上·上海·课前预习）等差数列 的前三项依次为 ， ， ，则x的值为 ．
【答案】
【分析】根据等差中项知识即可求解.
【详解】等差数列 的前三项依次为 ， ， ，
，则 .
故答案为： .
3．（江西·高考真题）设数列{a }，{b }都是等差数列，若a ＋b ＝7，a ＋b ＝21，则a ＋b ＝ ．
n n 1 1 3 3 5 5
【答案】35
【详解】因为{a }，{b }都是等差数列,所以 也成等差数列，根据等差数列的性质，a ＋b ＝7，a ＋
n n 1 1 3
b ＝21, a ＋b 成等差数列，因而a ＋b ＝ .
3 5 5 5 5
考点三、 等差数列的性质
1．（江西·高考真题）已知等差数列 ，若 ，则 .
【答案】
【详解】根据等差数列的性质和题设条件，求得 ，结合 ，即可求解.
【解答】因为等差数列 中，满足 ，
根据等差数列的性质可得 ，解得 ，
又由 .
故答案为： .
2．（北京·高考真题）在等差数列 中，已知 ，那么 等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】设首项为 ，公差为 ，由已知有 ，所以可得 的值．
【详解】解： 为等差数列，设首项为 ，公差为 ，由已知有 ， ，
即 ．
故选：A．
3．（2024·河南郑州·一模）已知数列 为等差数列， ，则
（ ）
A．19 B．22 C．25 D．27
【答案】A
【分析】依题意由等差数列性质计算可得 ，利用等差中项计算可得 ，可求出
.
【详解】根据等差数列性质，由 可得 ，
所以可得 ，
又 可得 ，
所以 .
故选：A
1．（2024·广西柳州·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 （ ）．
A．7 B．12 C．16 D．24
【答案】B
【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解．
【详解】在等差数列 中，
若 ，则 ，
所以 ，所以 ．
故选：B
2．（2023·广西南宁·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 .
【答案】24
【分析】
由等差中项的性质即可求解.
【详解】因为在等差数列 中，有 ，所以由 ，得 ， ，又 ，所以 .
故答案为：24
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则
.
【答案】
【分析】由等差数列前 项和公式可得 ，再根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由 ，得 ，
则 .
故答案为： .
考点 四 、 等差数列前 n 项和的求解
1．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
【答案】95
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式节即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
2．（2024·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 结合等差中项的性质可得 ，即可计算出公差，即可得 的值.
【详解】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.3．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则 （ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列 的公差和首项，再根据前 项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列 的公差，再根据前 项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
4．（2023·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
5．（2021·全国·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在等差数列 中，公差 ， 为其前 项和，若 ，则
（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】B【分析】根据 求出 ，利用等差数列求和公式和性质得到答案.
【详解】 ， .
故选：B.
2．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列 的前 项和记为 ，若 ， ，则 （ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】B
【分析】结合等差数列的性质先求出公差 ，然后结合等差数列的求和公式即可求解．
【详解】等差数列 中， ， ，即 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）设等差数列 的前 项和为 ， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设数列 的前 项和为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出 的公差为 ，利用等差数列通项公式和前 项和公式求解即可；
（2）由（1）判断出 前六项为正，后四项为负，进而利用前 项和公式求解即可.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
， ， ，
解得 ， ，
故 .
（2）由（1）知 ， ，
， ， ，．
4．（2024·吉林·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）利用等差数列基本量求得 和公差，即可写出通项公式；
（2）根据等差数列的前 项和公式求得 ，再解不等式，即可求得结果.
【详解】（1）设 的公差为 ，由题可得： ，
解得 ，故 .
（2）根据（1）中所求可得 ，
由 ，则可得 ，即
解得 （舍去）或 ，
故 的最小值为 .
5．（2024·贵州六盘水·三模）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意建立方程求出等差数列的首项与公差，从而可求解；
（2）先求出等差数列的前n项和，再将恒成立问题参变分离，接着利用数列的单调性求出最值，从而得解．
【详解】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得 ，
解得 ，则 ．（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到 ，
又 恒成立，则 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，则 ，则 ；
则 ，故 ，
故实数λ的取值范围为 ．
考点 五 、 等差数列前 n 项和的性质
1．（辽宁·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．63 B．36 C．45 D．27
【答案】C
【分析】根据等差数列的前 项和的性质，列式求解.
【详解】由等差数列的 项和的性质可知， 成等差数列，
即 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 .
即 .
故选：C
2．（全国·高考真题）等差数列前 项的和为 ，前 项的和为 ，则它的前 项的和为（ ）
A．130 B．170 C．210 D．260
【答案】C
【分析】根据等差数列前 项和的性质，结合已知数据，求解即可.
【详解】利用等差数列的性质： 成等差数列，
所以 ，即 ，解得 .
故选：C.
3．（2024·广东深圳·模拟预测）设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 ．【答案】
【分析】由等差数列前 项和公式计算 的等量关系，代入所求即可求出结果.
【详解】设数列 的公差为 ，
， ，
则 ，
故答案为： .
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列通项公式及求和公式可得结果.
【详解】因为 为等差数列 的前 项和，所以可设 ，（等差数列前 项和的二级结论）
同理因为 为等差数列 的前 项和，所以可设 ．
又 ，所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ．
不妨设 ，则 ，则 ，故 ，
故选：D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，满足
，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意，利用得出数列的性质和得出数列的求和公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为数列 均为等差数列，可得 ，
且 ，又由 ，可得 ．因此 .
故选：A．
1．（陕西·高考真题）等差数列 的前 项和为 ，若 则 等于
A．12 B．18 C．24 D．42
【答案】C
【分析】数列每2项构成的等差数列的公差为6，计算得到答案.
【详解】第一个2项和为2，第二个2项和为8，则每2项构成的等差数列的公差为6，
第三个2项和为14，则 ，
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列和的性质，意在考查学生的计算能力和应用能力.
2．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，
则 的值为（ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】B
【分析】利用等差数列的性质，以及前 项和公式，即可求解.
【详解】由 ，得 ①，
因为 ， ，
所以 ，即 ②，
①②两式相加，得 ，即 ，
所以 ，所以 ，解得 .
故选：B.
3．（2024·陕西咸阳·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．30 B．58 C．60 D．90
【答案】D
【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得.
【详解】由数列 为等差数列，
故 、 、 、 、 亦为等差数列，由 ， ，则 ，
故 ， ， ，
即有 ， ， .
故选：D.
4．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则
．
【答案】
【分析】根据 设出 的二次形式，由此求得 ，即可化简得到结果.
【详解】因为等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，
故可设 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
5．（2024·广东佛山·模拟预测）设等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若对任意正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D． E．均不是
【答案】C
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前 项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
考点 六 、 等差数列通项公式与前 n 项和的关系1．（全国·高考真题）设等差数列 的公差是d，如果它的前n项和 ，那么（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】由 与 的关系即可求得数列通项，由等差数列的定义可求得公差.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
符合 的情况，
故 ，所以 ，
，故公差 .
故选：C
2．（2023·全国·统考高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 为
等差数列.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 为正整数，记集合 的元素个数为 ，求数列 的前50项和.
【答案】(1)
(2)2500
【分析】（1）由 为等差数列，得到 ，且 ，再利用数列通项与前n项和 的关系
求解；
（2）根据题意，由 ，得到 ，即 ，从而 求解.
【详解】（1）解： 为等差数列，
，且 ，
当 时， ，可得 ；
当 时， ，
则 ，
由 ，故 ，
所以 是首项为1，公差均为1的等差数列，故 .
（2）由 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 的前50项和为 .
1．（2023·四川达州·统考二模）已知 是数列 前n项和， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记 ， 分别为数列 的前n项和与前n项积，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出 ，当 时，求出 ，检验当 时成立，即可求出通项公式；
（2）由（1）得出 ，可知 为等比数列，根据等比数列前 项和公式求出 ，再将数列 每一项相
乘，底数相同指数相加，指数为等差数列，根据等差数列前n项和公式，计算出指数，求出 ，即可求出
．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ 的通项公式为 ；
（2）∵ ， ，
∴ ，∴ ，
，
∴ ．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用 与 的关系，结合累乘法即可求出数列 的通项公式；
（2）分 和 利用等差数列的求和公式求解即可.
【详解】（1）由 ，则 ，
两式相减得： ，
整理得： ，
即 时， ，
所以 时， ，
又 时， ，得 ，也满足上式．
故 ．
（2）由（1）可知： ．
记 ，设数列 的前 项和 ．
当 时， ；
当 时，综上：
3．（湖南·高考真题）已知数列 的前 项和 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ;(2)
【详解】试题分析:(1)题目已知 之间的关系,令 ,利用 ,即可求的 的值,令 ,利用 与前n
项和之间的关系 即可得到 ,令 检验首项即可得到 的通项公式.
(2)把(1)得到的通项公式代入 可以得到 是由等比数列 ,数列 之和,才用分组求和法,首先利用等
比数列前n项和公式求的等比数列 的前n项和,再利用
对数列 进行分组
即可求的数列 的前n项和
(1)当 时, ;
当 时,
检验首项 符合 ,所以数列 的通项公式为 .
(2)由(1)可得 ,记数列 的前 项和为 ,
则
故数列 的前 项和为
考点：数列前 项和 等差数列 等比数列 分组求和法
考点 七 、 等差数列通项公式与前 n 项和的最值1．（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 的公差为 ，根据题意列出方程组，求得 ，得到 和 ，进而求
得答案.
【详解】设 的公差为 ，因为 ， ，
可得 ，解得 ，所以 ，
可得 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则当 取
最小值时， （ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质求解即可.
【详解】由等差数列的性质知 ， 即 ．
又 ，故 ，则 ， ，则 ，
则当 取最小值时， .
故选：B．
3．（2024·海南海口·模拟预测）已知首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，若
，则（ ）
A．
B．
C．当 时， 取最大值
D．当 时， 的最小值为27
【答案】ABD
【分析】由等差中项的性质判断AB；由A和等差数列的前n项和判断C；由等差数列的前n项和和等差中项判断D.
【详解】A：首项为正数的等差数列 的前 项和为 ，
所以 ，
若 ，则 一定大于零，不符合题意，
所以 ， ，故A正确；
B：由A可知 ，
，故B正确；
C：由A可知，因为 ， ，可知 ，故 ， 取最大值，故C错误；
D： ， ，故D正确.
故选：ABD.
4．（2024·黑龙江吉林·二模）已知数列 是公差为d的等差数列， 是其前n项的和，若 ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由题意可得 ，从而可求出 ，即可判断A；再结合等差数列的性质及前
项和公式即可判断BCD.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故A正确；
，故B错误；
，故C正确；
因为 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：在等差数列中，求 的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；
（2）借助二次函数的图象及性质求解.
5．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
1．（2024·辽宁葫芦岛·二模）等差数列 中， ， ，则使得前n项的和最大的n值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据条件，可得数列 为递减数列，且 ， ，可判断得解.
【详解】在等差数列 中， ，由 ，可得 ，
， ，且数列 为递减数列，
所以使得前n项的和最大的n值为8.
故选：B.
2．（上海·高考真题）设数列 为等差数列， 是其前n项和，且 ，则下列结论不正
确的是（ ）
A． B． C． D． 与 均为 的最大值
【答案】C
【分析】由 可判断B；由 ，分析可判断A；由 可
判断C；由 ， 可判断D.
【详解】根据题意，设等差数列 的公差为 ，依次分析选项：
是等差数列，若 ，则 ，故B正确；
又由 得 ，则有 ，故A正确；
而C选项， ，即 ，可得 ，
又由 且 ，则 ，必有 ，显然C选项是错误的.
∵ ， ，∴ 与 均为 的最大值，故D正确；
故选：C
3．（2024·辽宁·二模）设 是等差数列， 是其前n项的和.且 ， ，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与 均为 的最大值 D．满足 的n的最小值为14
【答案】BCD
【分析】由 可判断A错误；由A可得B正确；由 ， 可得C
正确；由等差中项和前 项和的性质可得D正确.
【详解】A：因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
B：由A的解析可得B正确；
C：因为 ， ，所以 与 均为 的最大值，故C正确；
D：因为 ，由 ， ，
故D正确；
故选：BCD.
4．（2024·福建泉州·模拟预测）等差数列 中， ， ，若 ，
，则（ ）
A． 有最小值， 无最小值 B． 有最小值， 无最大值
C． 无最小值， 有最小值 D． 无最大值， 有最大值
【答案】AD
【分析】
先利用等差数列的通项公式求得基本量 ，从而得到 ，利用它们的表达式进行分析即可得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
依题意，得 ，解得 ，
，
，
当 时， 有最小值 无最大值，
而 ，
易得 ， ，且 ，
当 时， ，当 时， 有最大值， 无最小值.
故选：AD.
5．（全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ，最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得 ，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列 的公差为 ，由 得， ，解得： ，所以 ．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列 通项公式为 ，易得 ，由 ，即 ，即 ，解得：
，所以 ．
（2）[方法1]：邻项变号法
由 可得 ．当 ，即 ，解得 ，所以 的最小值为
，
所以 的最小值为 ．
[方法2]：函数法
由题意知 ，即 ，
所以 的最小值为 ，所以 的最小值为 ．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项
公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程
组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求 ，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求 ，再根据二次函数性质求最值．
考点 八 、 等差数列中的数学文化1．（2024·辽宁·三模）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每
人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女
做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止……，根据这些信息第三个孩子
分得（ ）斤棉花？
A．99 B．116 C．133 D．150
【答案】A
【分析】先将问题情境转化为等差数列模型解决，其中996为其前 项的和， 为其公差，再由等差数列
的通项公式及其前 项和公式求解即可.
【详解】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，
设该等差数列为 ，公差为d，前n项和为 ，第一个孩子所得棉花斤数为 ，
则由题意得： ，
解得： ，
所以 ．
故选：A
2．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多 块，向外每环依次也增加 块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则
上层有扇形石板 块．
【答案】
【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为 ，则 是等差数列，且公差为 ， ，设每层有
环，则 ， ，根据等差数列前 项和公式求出 ，再求出 即可.
【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为 ，则 是等差数列，且公差 ， ，
设每层有 环，则 ， ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，
即上层有扇形石板 块.
故答案为： ．
3．（2024·内蒙古·三模）假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.
若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为 .
【答案】 /131072
【分析】设经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，则 ， ，由等比数列的
性质求出 的通项公式，再证得 是与首相和公差均为 的等差数列，即可求出 的通项公式，进
而求出答案.
【详解】设经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，
则 ， .
又 ， ，所以 ， ，
则 ，所以 ，
所以 是首项和公差均为 的等差数列，
所以 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）“孙子定理”又称“中国剩余定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学
著作《孙子算经》，该定理是中国古代求解一次同余式组的方法，它凝聚着中国古代数学家的智慧，在加
密､秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列 单调递增，且由被2除余数为1的所有正整数构成，现
将 的末位数按从小到大排序作为加密编号，则该加密编号为（ ）
A．1157 B．1177 C．1155 D．1122
【答案】A
【分析】由题意可知 ，求出 ，即可求解.
【详解】由题可知数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
所以 ，得 ， ，
所以 的末位数依次为 ，故加密编号为1157.
故选：A.
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）《算学启蒙》是元代著名数学家朱世杰的代表作之一．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，可以利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有143根相同的圆形小木
棍，小军模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最
下面一层开始，每一层比它上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）
A．2 B．9 C．11 D．13
【答案】ACD
【分析】设该“等腰梯形垛”最上面一层有 根木棍，共有 层，由等差数列的前 项和可得
，分类讨论 ， 或 ，解方程即可得出答案.
【详解】设该“等腰梯形垛”最上面一层有 根木棍，共有 层，则 ，
即 ．因为 ，
所以 或 或 ，
解得 或 或 .
故选：ACD．
3．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图为
某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段 ，作一个等边三
角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），再
以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时针
画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
【答案】
【分析】根据题意分析可得：每段圆弧的圆心角为 ，半径 满足 ，结合等差数列的通项
公式和求和公式分析运算.
【详解】由题意可知：每段圆弧的圆心角为 ，
设第 段圆弧的半径为 ，则可得 ，
故数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
则 ，则“蚊香”的长度为
.
故答案为： .
考点 九 、 等差数列奇偶项的和
1．（21-22高二上·上海徐汇·期末）设等差数列的项数 为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前 项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有 项，偶数项有 项，
奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为 ，
故选：D
2．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列 共有 项，奇数项之和为60，偶数项之和为
54，则 ．
【答案】10
【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解.
【详解】奇数项有 项，偶数项有 项，所以奇数项和为 ，偶数项和为
，
故 ，解得 .
故答案为：10
3．（2023·重庆·二模）已知等差数列 的前30项中奇数项的和为 ，偶数项的和为 ，且 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为 ，首项为 ，
则 ，所以 ，
因为 ，即 ，则 ，
等差数列的奇数项是以 为首项， 为公差的等差数列，等差数列 的前30项中奇数项有15项，所以
，得 ，
所以 .
故选：B
4．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ， ，则
（ ）
A． B．
C． D． 为奇数时，
【答案】ABD
【分析】由题设有 ，讨论 的奇偶性，结合等差数列定义、前n项和公式判断各项正误.
【详解】由 ，则 ，两式作差，得 ，
，当 为奇数， 是首项为1，公差为3的等差数列，即 ；
，当 为偶数， 是首项为2，公差为3的等差数列，即 ；
所以 ，A对，
，B对；
，C错；
为奇数时，
，D对.故选：ABD
5．（2023·山东威海·一模）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)
(2)当 为偶数时, ; 当 为奇数时, ;
【分析】（1）根据 的关系可得 ，进而根据等差数列的性质即可求解，
(2)数列 的前 项的和分奇偶求和,先求 ，
又 ， ， ， 是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.
【详解】（1）由 得 时，
两式相减得 ,整理得
因为 ，所以 ,所以数列 是以 为公差的等差数列
在 中令 解得
所以 .
（2）当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以
当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，故 ．所以
当 为偶数时, ; 当 为奇数时, ;
1．（22-23高一下·四川·阶段练习）已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和
为261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【分析】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可
【详解】奇数项共有 项，其和为 ，
∴ ．
偶数项共有n项，其和为 ，
∴ ．
故选：B．
2．（2021·山东济南·二模）已知等差数列 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为 ，所有偶数项之
和为 ，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题可设等差数列 共有 项，然后通过 即可得出结果.
【详解】设等差数列 共有 项，
则 ， ，中间项为 ，
故
，
，
故选：B.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的前40项和为
.【答案】
【分析】根据题中递推式可求得 ， ，即 的奇数项为首项为1公差为5的等
差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解.
【详解】因为 ， ，又 ，所以 ，
即 ，所以数列 的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列；
同理，由 知，数列 的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列．
所以 前40项和为 ．
故答案为： .
4．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知数列 满足 ，且当 时，有 .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）由题可知 ，从而数列 为等差数列；
（2）根据 的奇偶性可得 ，从而可得 .
【详解】（1）证明：由题易知数列 的各项都不为0，
当 时， ，
∴ .
∴数列 是首项 ，公差 的等差数列.
（2）由（1）得 ，
∴ .，
，
…
，其中 .
∴当 为偶数时， ；
当 为奇数时， 为偶数，
∴ .
5．（21-22高三上·湖北·期中）已知数列 的各项均为正数，其前 项和为 ，且 .
(1)求 ， ；
(2)设 ，求数列 的前8项和 .
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据题意，将原式化简得 ，当 时，求得 ，当 时，由 和
的关系得出 ，由等差数列的定义可知 是首项为1，公差为2的等差数列，最后根据等差数
列的通项公式和前 项和公式求出 ， ；
（2）根据题意，化简得 ，从而得出
，代入计算即可得出结果.
【详解】（1）解：由原式可得： ，
当 时， ；
当 时， ，
两式作差可得： ，
所以 ，又因为 ，则 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，
∴ ， ，
∴ ， ；
（2）解： ，
即 ，
所以
，
即数列 的前8项和 .
考点 十 、 等差数列的证明
1．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，
最终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
2．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,
∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等差数列；
(2)设 ，求 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2) ．
【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明；
（2）根据（1）问，求出数列 的通项公式，从而求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通
项公式，最后利用裂项相消求和法求得
【详解】（1）证明：令 ，又 ，则有
，
又 ，所以
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列
（2）由（1）知， ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以
2．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知数列 的前n项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 是等差数列；(2)数列 的每一项均为正数， ，数列 的前n项和为 ，当 时，求n的
最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)2024．
【分析】（1）由 与等差数列的定义，可证结论成立.
（2）先利用裂项求和法求 ，再解不等式可得n的最小值.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
所以 ，所以 （常数），
故数列 是以 为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）知， ，得
所以
，
当 时，即 ，所以n的最小值为2024．
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知数列 是等差数列， ，则 （ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用下标和性质计算可得.
【详解】因为 ，则 ，又 ，则 ，
解得 ，
所以 .
故选：C
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在等差数列 中， ，则 （ ）
A．130 B．260 C．320 D．520
【答案】B
【分析】根据等差数列前n项和公式计算即可.
【详解】根据等差数列求和 .
故选：B.
二、多选题
3．（2024·云南·二模）记数列 的前 项和为 为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在常数A、B，使数列 是等比数列 D．对任意常数A、B，数列 都是等差数列
【答案】ABC
【分析】根据 与 的关系求得 可判断A；由 可判断B；取 可得
是公比为1的等比数列，可判断C；当 时，根据等差数列定义验证，可判断D.
【详解】对于A，若 ，则 ，A正确；
对于B，若 ，则 ，B正确；
对于C，由 得 ，
当 时， ，
所以，当 时，数列 是公比为1的等比数列，C正确；
对于D，由上知，当 时 ，若 ，则 ，
此时，数列 不是等差数列，D错误.
故选：ABC三、填空题
4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）在等差数列 中， ，则 的前19项和 ．
【答案】76
【分析】根据等差数列通项公式，化简表达式可得 ，再由等差数列的求和公式求得 ．
【详解】设 的公差为d，则 ，即 ．
故 ．
故答案为：76.
5．（2024·河南开封·三模）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ．
【答案】20
【分析】利用等差数列的性质可得 ，再利用等差数列前n项和公式即可求解.
【详解】由 ，
，
故答案为：20
四、解答题
6．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】（1）由题意 (1)
由(1)(2)可得
所以
（2） ， ，
，故 为等差数列，.
7．（2024·山西·三模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意得到关于 、 的方程组，解得 、 ，即可求出通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ，则 ；
（2）由（1）可得 ，
所以
.
8．（2024·湖南·模拟预测）已知公差不为0的等差数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 是数列 的前 项和，证明: .
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）设 ，再用已知条件列出两个方程并解出其中的参数；
（2）直接求出 ，再用裂项法即可.
【详解】（1）设 ，则由已知有 ， .
将第一个等式展开化简可得 ，故由 知 .
再代入第二个等式可得 ，解得 ，从而 .
故 的通项公式是 .
（2）由于 ，
故
.
9．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，且 也是等差数列．
(1)求数列 的公差；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出公差，根据 为等差，得到 ，求出公差；
（2）得到 ，裂项相消法求和，得到答案.
【详解】（1）设数列 的公差为d，则 ．
因为 是等差数列，所以 为常数．
，
所以 ，解得
（2）因为 ，所以 ．
，故 ．
10．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 求数列 的前20项和 .
【答案】(1)数列 的通项公式为 ；
(2)数列 的前20项和 为 .
【分析】（1）根据等差中项求出 ，再根据 求出公差 ，最后根据等差数列的通项公式，求
出 的通项公式；
（2）先写出 ，对 为偶数的情况进行裂项，再用分组求和法求出 .
【详解】（1）因为 为等差数列，且 与 的等差中项为5，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由题知，
即
所以
，故数列 的前20项和 为 .
一、单选题
1．（2024·江苏泰州·模拟预测）等差数列 中，其前n项和为 ，则“ ”是“ 为递减数
列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，化简条件 ，确定 的正负，由此判断数列的单调性，
判断充分性，再由数列的单调性推出 ，由此判断 的大小关系，判断必要性，由此可
得结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 ，可得 ，
所以 ，即 ，
所以 为递减数列，
所以“ ”是“ 为递减数列”的充分条件，
若 为递减数列，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以“ ”是“ 为递减数列”的必要条件，
所以“ ”是“ 为递减数列”的充分必要条件，
故选：C.
2．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，分 和 两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的
定义分析判断即可.【详解】当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．
D． 中最小项为
【答案】BD
【分析】根据题意，结合条件即可得到 ，即可判断AC，结合等差数列的求和公式即可
判断B，再由 ，或 时， ； 时， 即可判断D,
【详解】根据题意： ，即 ，
两式相加，解得： ，当 时， 最大，故A错误
由 ，可得到 ，所以 ，
，
所以 ，故C错误；
由以上可得： ，
，而 ，
当 时， ；当 时， ；
所以使得 成立的最小自然数 ，故B正确.当 ，或 时， ；当 时， ；
由 ，
所以 中最小项为 ，故D正确.
故选：BD.
三、填空题
4．（2024·四川内江·模拟预测）数列 满足 ， ，若数列 的前 项的和
为 ，则 的 的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得 ，令 ，通过裂项相消求得 ，
然后代入即可求解.
【详解】数列 满足 ①，
当 时， ，即 ，
当 时， ②，
由② ①得 ，
数列 的所有奇数项， ，
数列 的所有偶数项， ，
综上，数列 的通项公式为 .
记 ，
所以数列 的前 项和为：
，由 得 ，即 ，
因为 , 随着 的增大而增大，
故当 时，刚好满足 ，
所以 , 的最小值为 .
故答案为： .
5．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列 是等差数列， ，记 ， 分别为 ，
的前 项和，若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据已知条件得到关于 、 的二元一次方程组，解方程组，求出 、 ，即可求出数列 的
通项公式， ，由此可得数列 的通项公式，分组求和即可求解.
【详解】设等差数列 的公差为 ．由 ，得 ①，
由 得 ②，
联立①②， ，解得 ，
所以 ．
则 ，
所以
．
故答案为：
四、解答题
6．（2024·河北衡水·模拟预测）记各项均为正数的数列 的前 项和为 ，已知 是 与 的
等差中项.
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）由 是 与 的等差中项,可得 ，化简得 ，可得
，作差可得 ，则可得 的通项公式；
（2）由（1）得 ， ，分组求 ，可得 ，可得
，即可得证.
【详解】（1）由题意，得 ，
即 ，即 ①，
所以 ②，
①-②，得 ，
即 .
又 ，所以 .
由 是 与 的等差中项，得当 时，
，解得 ，
所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
故 .
（2）由（1）得 ，则
，
所以
，
所以 ，
所以 .7．（2024·福建厦门·三模）设 为数列 的前 项和，已知 ，且 为等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列定义可得 ，利用 与 之间关系可证得数列 通的项公式；
（2）采用分组求和法，分别对奇数项和偶数项求和，结合等差数列求和公式和裂项相消法可求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，满足上式，所以 .
（2）由（1）知
则
所以数列 的前 项和为 .
8．（2024·江苏宿迁·三模）在数列 中， ．
(1)求数列 的通项公式；(2)已知数列 满足 ；
①求证：数列 是等差数列；
②若 ，设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②证明见解析
【分析】（1）变形得到 ，结合 ，故 ，从而得到 ；
（2）①化简得到 ，利用 得到 ，同理可得
，证明出 是等差数列；
②求出 ，结合 ，得到公差，得到通项公式 ，所以
，裂项相消法求和证明出结论.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以n=1时， ，
所以数列 是各项为0的常数列，即 ，
所以 ．
（2）①由 得
所以 ①
所以 ②
②-①得： ③
所以 ④
④-③得 ，所以
即所以数列 是等差数列．
②当 时，由 得 ，所以 ，
又 ，故 的公差为1，所以 ，
所以 ，
即
．
【点睛】方法点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型： ， ，
等；
指数型： ， 等，
根式型： 等，
对数型： ， 且 ；
9．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列 满足 ，且对任意 均有
．
(1)设 ，证明 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)已知 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）令 ，变形递推关系，结合等差数列定义即可得出证明；
（2）由等差数列通项公式得出 ，再由累加法得出 ，结合赋值可得 ，即可得出通项公式；
（3）分组求和得出 ，再由裂项相消法求出 的前n项和.
【详解】（1）因为 ， ，令 ，
所以当 时， ，即 ，
所以 ，
所以 为等差数列.
（2）由（1）知， ，
所以 ，
即 ，
所以
， ，
所以 ， ，
再由 ，令 ，可得 ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
当 时， ，满足上式.
所以数列 的通项公式为 .
（3）因为 ，
所以 ，
设 ，
则 ，
，
所以 ， ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于利用等差数列通项公式及累加法求出 后，表达式中 的求值，首先对所求的式子中 赋值得出 ， .其次要对原式 恰当赋值，联
立方程求出 ，具有很强的技巧性.
10．（2024·广西来宾·模拟预测）已知数列 满足： ， ，其中 为数列 的前n项
和．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设m为正整数，若存在首项为1且公比为正数的等比数列 （ ），对任意正整数k，当 时，
都有 成立，求m的最大值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）由题意利用递推关系式讨论可得数列 是等差数列，据此即可确定其通项公式；
（2）求出 ，将原问题进行等价转化，构造函数，结合导函数研究函数的性质即可求得 的最大值．
【详解】（1）因为 ，所以 ，
由 ， 得 ，则 ， ，
由 ，得 ，
当 时，由 ，得 ，
故
整理得 ，
所以数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以 ；
（2）由（1）知 ， ,
因为数列 为首项为1且公比为正数的等比数列，设公比为q，所以 ， ，
因为 ，所以 ，其中 ，2，3，…，m．
当 时，有 ；
当 ，3， ，m时，有 ．设 （ ），则 ，
令 ，得 ，列表如下：
x
极大
单调递增 单调递减
值
因为 ，所以 ．
所以 ，故 ，故 ，
令 （ ），则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
∴ 在 上单调递减，
即 时， ，则 ，
下面求解不等式 ，
化简得 ，
令 ，则 ，
由 得 ， ，∴ 在 上单调递减，
又由于 ， ，
∴存在 使得 ，所以 ，
∴m的最大值为5．
【点睛】方法点睛：等差数列的三种判定方法：
（1）定义法： （常数） 数列 为等差数列；
（2）等差中项法： 数列 为等差数列；
（3）通项公式法： （ 、 为常数， ） 数列 为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
1．（2024·全国·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成 和 来处理，亦可用等差数列的性质进行
处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由 ，根据等差数列的求和公式， ，
又 .
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质， ，由 ，根据等差数列的求和公式，
，故 .
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差 ，则 ，则 .
故选：D
2．（2023·全国·高考真题）已知等差数列 的公差为 ，集合 ，若 ，则
（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理
作答.
【详解】依题意，等差数列 中， ，显然函数 的周期为3，而 ，即 最多3个不同取值，又
，
则在 中， 或 或
于是有 或 ，
即有 ，解得 ；
或者 ，解得 ；
所以 ， 或
.
故选：B
3．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
4．（2023·天津·高考真题）已知 是等差数列， ．
(1)求 的通项公式和 ．
(2)设 是等比数列，且对任意的 ，当 时，则 ，
（Ⅰ）当 时，求证： ；
（Ⅱ）求 的通项公式及前 项和．
【答案】(1) ， ；
(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) ，前 项和为 .
【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得 ，据此可求得数列的通项公式，然
后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前 项和公式计算可得 .
(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当 时， ，
取 ，当 时， ，取 ，即可证得题中的不等式；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前 项
和公式即可计算其前 项和.【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
则数列 的通项公式为 ，
求和得
.
（2）(Ⅰ)由题意可知，当 时， ，
取 ，则 ，即 ，
当 时， ，
取 ，此时 ，
据此可得 ，
综上可得： .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知： ，
则数列 的公比 满足 ，
当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ，
其前 项和为： .
【点睛】本题的核心在考查数列中基本量的计算和数列中的递推关系式，求解数列通项公式和前 项和的
核心是确定数列的基本量，第二问涉及到递推关系式的灵活应用，先猜后证是数学中常用的方法之一，它
对学生探索新知识很有裨益.
5．（2023·全国·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距
离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中 是举，
是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已知
成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【分析】设 ，则可得关于 的方程，求出其解后可得正确的选项.
【详解】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
7．（2022·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 ．
【答案】2
【分析】转化条件为 ，即可得解.【详解】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
8．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求 的范围.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，
，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
10．（2022·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴11．（2021·北京·高考真题）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗
面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种.这五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，
对应的宽为 (单位: cm),且长与宽之比都相等，已知 ， ， ，则
A．64 B．96 C．128 D．160
【答案】C
【分析】设等差数列 公差为 ，求得 ，得到 ，结合党旗长与宽之比都相等和 ，
列出方程，即可求解.
【详解】由题意，五种规格党旗的长 (单位:cm)成等差数列，设公差为 ，
因为 ， ，可得 ，
可得 ，
又由长与宽之比都相等，且 ，可得 ，所以 .
故选：C.
12．（2021·全国·高考真题）已知数列 满足 ，
（1）记 ，写出 ， ，并求数列 的通项公式；
（2）求 的前20项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列 的特征，然后求和其通项公式即可；
(2)方法二：分组求和，结合等差数列前 项和公式即可求得数列的前20项和.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然 为偶数，则 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是 ．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知 ，所以 ．
由 （ 为奇数）及 （ 为偶数）可知，
数列从第一项起，
若 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以 ，则 ．
[方法三]：累加法
由题意知数列 满足 ．
所以 ，
，
则 ．
所以 ，数列 的通项公式 ．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列 满足 ，
所以 ．
所以数列 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由 知数列 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列 的前20项和为：
．
【整体点评】(1)方法一：由题意讨论 的性质为最一般的思路和最优的解法；
方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；
方法三：写出数列 的通项公式，然后累加求数列 的通项公式，是一种更加灵活的思路.
(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前 项和是一种常规的方法；
方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前 项和公式和分组的方法进行求和是一
种不错的选择.
13．（2020·全国·高考真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则 ．
【答案】【分析】因为 是等差数列，根据已知条件 ，求出公差，根据等差数列前 项和，即可求得答
案.
【详解】 是等差数列，且 ，
设 等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前 项和公式：
可得：
.
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前 项和，解题关键是掌握等差数列的前 项和公式，考查了分析
能力和计算能力，属于基础题.
14．（2020·山东·高考真题）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和
为 ．
【答案】
【分析】首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以
及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.
【详解】因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等
差数列求和公式，属于简单题目.
15．（2020·全国·高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块
圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一
环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【分析】第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，则 是以9为首项，9为公差的等差数列，
设 为 的前n项和，由题意可得 ，解方程即可得到n，进一步得到 .
【详解】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，
所以 .
故选：C
【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.
16．（2020·浙江·高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0， ．记b =S ，bn+ =S2n+ –
1 2 1 2
S n， ，下列等式不可能成立的是（ ）
2
A．2a =a +a B．2b =b +b C． D．
4 2 6 4 2 6
【答案】D
【分析】根据题意可得， ，而 ，即可表示出题中 ，
再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 可得，，A正确；
对于B，由题意可知， ， ，
∴ ， ， ， ．
∴ ， ．
根据等差数列的下标和性质，由 可得 ，B
正确；
对于C， ，
当 时， ，C正确；
对于D， ，
，
．
当 时， ，∴ 即 ；
当 时， ，∴ 即 ，所以 ，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
