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1990年数学（三）真题解析
一、填空题
（1）【答案】2.
【解】 lim(—Jn —麻) = lim ----------- -
" " 丿x + 3 VTT + J n — \[n
(2)【答案】a^b.
【解】nmF(.) =lim^2±^L£ =lim +alim = /(Q) +a = a +6,
■r—O T—O X x-*O X x-*O X
F(0) = A ,由F(jc )在工=0处连续得A = a + b.
9
（3）【答案】 y.
y = j:,
【解】 由 得曲线y = x与直线y = x + 2的交点为A (― 1,1) ,B (2,4),
\y =工 + 2
曲线夕=工2与直线，=工+2所围成的平面图形的面积为
A =J (j? + 2 - j;2 * )dj? 9_
I
（4）【答案】 Qi+s+s+s =0.
【解】
1 1 0 0 —5 1 1 0 0 _ Q1、 j 1 0 0 —Q1
A = 0 1 1 0 5 ―A 0 1 1 0 0 1 1 0 s
0 0 1 1 —5 () 0 1 1 —°3 0 0 1 1 —°3
1 0 0 1 S , 0 _ 1 0 1 5 . 0 0 1 1 a} + a2 +
1 1 0 0 一 a
1
0 1 1 0 如
0 0 1 1 —a
3
0 0 0 0 CL 1 +0-2 +5 + Q 4
当 a】 + 02+03+5 = 0 时 r (A) = r (A ) ，即方程组有解.
2
（5）【答案】 y.
【解】 设X为四次射击中命中的次数，则X〜3（4"）,
由 P{X 1} = 1-P{X = 0} = l-Cjp°(l-p)4 = l-(l-p)4 =鲁,
2 9
得P = 丁，即命中率为§・
二、选择题
（1）【答案】（B）.
【解】 取无” =2" +手，显然lim） = +°°,所以f （jc ）为无界函数，应选（B）.
4 ”f 8（2） 【答案】（D）.
【解 1/（1） = a/（0）,
r（i）= lim/ ”小一心）
x->0 X 工—0 X
=«lim = 口厂（0） = ab,
T-*O JC
应选（D）.
（3） 【答案】（C）.
【解】向量组«!，«>,-,«线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量都不可由其余向量线性表示,
应选（C）.
（4） 【答案】（A）.
【解】因为BUA,所以AB = B,
于是 P（A +B） = P（A） + P（B） - P（AB） = P（A）,应选（A）.
（5） 【答案】（C）.
【解】 因为X,丫相互独立，
所以 P{X = —1,Y=—1}=P{X = —1}・P{Y=—1}=+，
4
P{X = 1,Y = 1} = P{X 1}・ P{Y 1} = T
故 P{X=Y} = P{X = —1,Y=—1} + P{X = 1,Y=1} = 应选(C).
In x
三、⑴【解】因为“心产土冷>°（ee<4
所以J（^）在：e,e2］上单调递增，所求的最大值为
In t (±)
M = / (e2)= t2 -2t + 严 In Zd
In t + Z(7^T)dz = 1 2 +
t — 1 e2 - 1
吕+ *也.
（2）【解】如右图所示，
¥ w z w ¥, o w》＜+ °° j
令 D =](工，y ) ，则
jj x e_3( dj? dy = » 0 +8 尹 2 dy • 字 字 乂也=祠 5 f4 。 -00 * - 2 y dy
D
（3）【解】由lim a ”+l =1 得收敛半径为R = 1,
a”
当乂一3 = 士 1时，因为工 (+ D" g收敛，所以当x -3 = +1时，级数绝对收敛，故收敛域为
n2
” =1
—1 W jc — 3 W 1,即 jr G E2 9 4].（4）【解】由一阶非齐次线性微分方程的通解公式得
y = [J(ln工)严 e cos x drdjr + Cl
=(]ln 无 dw + C ) e_sin x = (j: In x — h + C ) e
四、【解】（1）利润函数为
1(工1，乂2)= R — C = 15 + 13j? ] + 31jc 2 — 8 a: x a: 2 — 2x \ — 10 2 ,
I =0. 75,
1.25,
^2
7…,
d2R
—20,
(JJC i
Ai = 0. 75,
因为AC-B2 = 80- 64 = 16 > 0且A V 0,所以当 即电台广告费为0. 75万元、报纸广告费为
\jc2 = 1・ 25,
1. 25万元时，收益最高.
（2）即求匸（工］,工2）= 15 + 13工1+312 2—8工1工2—2才一10云 在xx + x2 =1・5下的条件极值，
令 F = 15 + 13乂1 + 31 j: 2 一 8jc ! jr 2 — 2才一IOjc \ + 入(工】 jc 2 — 1・5),
-——13 — 4 无 1 — 2 + 入=0 9
ox 1
由V务=31 — 8工1 一 20工2 +入=0, 得 G =0,工2 = 1.5,
°兀
2
x 1 x 2 — 1.5 = 0,
即在广告费为1.5万元下，全部投放报纸广告，可使得利润最大.
五、【证明】 由拉格朗日中值定理，存在“ 6 （O,ez）,f2 E （b,a+b）,使得
/（a） — /（0） = _f'（Ei）a ,
f （a +6） — /（6） = （£2）a，
因为?! fy 从而/'（“）a
即 /(a) -/(0) A /(a +6) -f(6),整理得 /(a +6) < /(a) +/(6).
1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 a
3 2 1 1 -3 0 0 1 2 2 6 b
六、【解】 A = A
9
0 1 2 2 6 b 0 0 0 0 0 b -—3a
5 4 3 3 一 1 2 0 0 0 0 0 2 --2a
[b — 3a =0,
(1)当 即 a = 1,6 = 3时，方程组有解.
【2 — 2a =0,
(2)当 a = l,b =3时9
a 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 ri 0 -1 -1 -5 —2、
3 2 1 1 -3 0 0 1 2 2 6 3 （） 1 2 2 6 3
由入= ->■ —A
0 1 2 2 6 b 0 0 0 0 0 0 （） 0 0 0 0 0
<5 4 3 3 -1 2, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ‘
得导出方程组的基础解系为
⑺=(1, —2,1,0,0)丁， §2 =(1，— 2,0,1,0)丁， 6,0,0,1)T.七、【证明】 令AX =入X,则AkX = XkX = 0,因为XH0,所以右=0,
从而矩阵A的特征值为入1 = A2 =…=入” =0,于是E — A的特征值全是1,
故 | E -A | = 1H0,即 E—A 可逆.
由 E = E-Ak = (E — A) (E + A -------A*-1 )得
(E -AL = E+A-\-------A'-1.
八、【证明】(反证法)不妨设A； +X2是矩阵A的属于特征值入3的特征向量，
即 A(Xi +X?) = A3(Xi +X2).
显然 AX)= “Xi ,AX2 =入2X2，从而 4Xi +A2X2 =入3X1 +A3X2，整理得
(入 1 一入3)X] +(& —入3 )X2 = 0,
因为Xi ,X2线性无关，所以入1 一入3 = 0,入2—入3 = 0,即入1 =入2,矛盾，
故X] + x2不是矩阵A的特征向量.
C； 7 2C； — C； 14 Cl 7
九、【解】 P4)「厂 15' ca 飞’PS)「厂 3。
(1 —e",工 $0,
十、【解】 (1) FxQ) = F(x , +s)=
【0, 工V 0,
fl-e-°'5y , y^O,
Fy(j/) = F(+°°,;y) = \
10, 3/ < 0,
因为FQ,y) = FxQ) • Fy(y),所以X和Y独立.
(2)因为x和y独立，所以
a = p{x > 0. i,y > 0.1} = p{x > 0.1} • p{y > 0.1}
=[l-Fx(0. D] • 口一 Fy(0. 1)]=严.
X — 79
十一、【解】 设考生成绩为X,则X〜N(72,/),从而-------〜N(o,l),
a
由 P{X > 96} = P (--y— > y J = 1 一①(¥)= 0. 023 得①(¥)= 0. 977,
查表得一 =2,即(7 = 12.
CT
故 P{60< X < 84} = = 20(1) - 1 = 0.682.
