文档内容
白卷 2026 年山东省初中学业水平考试
数 学试 题
本试卷共 8 页。满分 120 分。考试时长 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指
定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔将答
案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.下列实数中，属于无理数的是
A. 2 B. 8 C.3.1415 D.22/7
2.石鼓(如图)是中国古代文化的瑰宝，象征着万物丰茂、财丰物足.下列图形中，属于石鼓的俯视图
的是
3.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超 5000000 件的国家，
PCT 国际专利申请量连续 6 年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为
A.50×106 B.5×107 C.5×106 D.0.5×107
4.下列计算正确的是
A.�2⋅�3=�6 B.2�2−�2=1 C. 2�23=6�6 D . 10�4÷ −5�3 =−
2�
5.如图,AB∥CD,点 E 为 AC 上一点,连接 DE,∠AED的平分线交 AB于点F,若∠A=110°,∠D=28°,
则∠AFE=
A.21° B.23° C.25° D.28°
6.我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“有两尖田一段，其尖长不等，两大
斜三十九步，两小斜二十五步，中广三十步.欲知其积几何?”其大意为：如图，在四边形 ABCD
中，AB=AD=39 步,CB=CD=25 步,BD=30 步,则四边形 ABCD的面积为
A.820 平方步 B.840平方步 C.860 平方步 D.900 平方步
7.紫色石蕊试剂是化学领域一种常用的酸碱指示剂，通常情况下石蕊试剂遇酸溶液变红，遇碱溶液变
蓝，遇中性溶液不变色.现有三个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有三种无色溶液：
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蒸馏水(中性)、白醋溶液(酸性)、食用碱溶液(碱性).甲、乙两人分别随机选择这三个滴瓶的其中一
个取适量的溶液分别与紫色石蕊试剂混合，求甲、乙两人混合后溶液都变红的概率为
1 1 1 1
A.9 B. 6 C. 3 2
D.
8.如图,△ABC 内接于⊙O,连接 AO 并延长交⊙O 于点 D,若∠ABC=60°,AC=6,则劣
弧 CD 的长为
A.2 3 B.2π
C. 3� D.23�
3 3
�
9.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为函数�= �≠0�0)的图象上一点，连接 OA，点 B
�
�
为 OA 的中点，将点 B 向右平移到函数 �= �≠0�0)图象上的点 C 处.若△ABC 的面积为
�
2，则 k 的值为
A.8 B.4
3
C. 1 3 6 D. 6
10.数学课上，两位同学讨论关于 x 的方程mx-4=2x+n(m，n 为整数)的解的情况，对话如下：
甲同学：“这个方程有唯一解，且解为 x=2.”
乙同学.“我发现，当正整数 m 取最大值时，n=4；当正整数 m 取最小值时，n=-2.”
给出下列三个结论：①n≠-4；②m 的最小值是 1；③满足条件的正整数 m 共有 4 个.上述结
论中，所有正确结论的序号是
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.
11.因式分解:99−�2=________.
12.若分式�−1的值为 0，则实数 x 的值为 .
�+4
13. 已知方程 x(3x-2)-k=0 的一个根是 2,则方程的另一个根为 .
14.如图，将偶数从 2 开始按如下方向排列，2 位于第 1 层，数字 4~10 分布在第 2 层，数字 12~
24 分布在第 3 层，数字 26~44 分布在第 4 层，…，按此规律继续排列下去，数字 2026 出现
在第 层.
15.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ADE,点 B,C 的对
应点分别为点 D,E,连接 BD 并延长交CE 于点F,若 AC=4,则 EF 的长为 .
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三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (8 分)
(1)计算: 2× 8−1−1+−20260;
2
�−1
<2,
(2)解不等式组：{ 3
4�−5≥2(�−1).
17.(8 分)
如图，在▱퐴퐵 (퐴퐵<퐴 )中设计了以下作图方案.
第一步：在 AB 上取一点 � ,以点 A 为圆心，以 퐴� 的长为半径作弧，交 AD 于点 � ;再
1 1 2
分别以 � ,� 为圆心，以大于1� � 的长为半径作弧，两弧交于点 P.连接 AP 并延长，交 BC
1 2 2 1 2
于点 E.
第二步：在 BE上取一点 � ,以点 B 为圆心，以 �� 的长为半径作弧，交 AB 于点 � ;再
3 3 4
以 E 为圆心，以.�� 的长为半径作弧，交 EC 于点 � ;再以 � 为圆心，以� � 的长为半径作
3 5 5 3 4
弧，两弧交于点 Q，连接 EQ并延长，交 AD 于点F.
第三步:连接 BF,CF.
某同学按照方案利用无刻度的直尺和圆规作图如下.
(1)判断四边形 ABEF 的形状，并说明理由；
(2)经测量,∠퐴퐵 =28∘,∠퐶� =77∘,,求∠EFC 的度数.
白卷·数学第 3 页(共 8 页)18. (8分)
为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田的玉米株高进行抽样分
析，从两块田地中各随机选取20株玉米测量株高，将株高(用h表示，单位：cm)
划分为A，B，C，D四个等级，株高h≥90 cm为长势优秀，对数据整理分析后得
到如下信息：
【信息整理】
a.等级划分：
等级 A B C D
株高h(cm) 95≤x≤100 90≤x<95 85≤x<90 x<85
b.试验田株高的条形统计图、对照田株高的扇形统计图如下：
试验田抽取玉对米照株田高抽条取形玉统米计株图高扇形统计图
c.试验田B,C两组株高分别为:94,94,93,92,92,89,89,88,85;
对照田C组株高为:89,89,88,88,88,88,88,87,86.
【数据分析】两块田地株高的统计量统计表(部分数据缺失)：
田地类型 平均数 中位数 众数 优秀率 方差
试验田 88 a 95 m% 28.25
对照田 88 88 b 35% 32.10
(1)填空:a= ,b= ,m= ;
(2)请根据题中提供的信息，评估试验田的玉米生长情况；
(3)为评估试验田和对照田的玉米综合品质，研究人员从株高、产量、抗倒伏、抗
病性四个维度进行百分制评分，综合得分由株高、产量各占 30%，抗倒伏、抗病
性各占 20%计算加权平均分.两组玉米的评分如下表：
玉米类型 株高 产量 抗倒伏 抗病性
试验田 80 t 90 95
对照田 90 80 85 90
若试验田玉米的综合得分不低于对照田，求整数 t 的最小值.
白卷·数学第 4 页(共 8 页)19.(9 分) 20.(10 分)
【活动背景】某兴趣小组要测量公园里一个凉亭(如图①)的高度，经实地查看，同学们发现凉亭位于一个人工湖 金秋时节
上，周围仅一条曲折的两侧带有栏杆的步道，设计了如下方案. A 型 车
【测量工具】测角仪、皮尺. 和
【图纸设计】如图②，AB 为凉亭，CD 及 C'D'为测角仪的支架，点C 和 C'处为测角仪的位置. 运送 80
(1)1 辆
(2)已知
与安全，
金 100(
关系式
【方案设计】
要求一名同学在步道上正对凉亭站立，利用测角仪测得凉亭顶端的仰角，将测角仪向凉亭移动一段距离，再次测得
凉亭顶端的仰角.
【方案评价】
测角仪在本方案中发挥了重要作用，其规范使用会使得结果更加精确.
【规范建议】
组员：测角仪的支架的高度要适当，避开两侧栏杆的影响.
组长：测角仪的支架的高度移动前后要确保高度相同.
教师：移动测角仪时要保证前后位置与凉亭顶端所在的直线在同一平面内.
21. (
【方案实施】
女
测量数据：测角仪的支架高度 CD=C'D'=1.5 米，凉亭顶端的仰角分别为∠ACE=35°，∠AC'E=39°,测量点 D,D'之
间的距离 DD'=0.8 米,CE⊥AB,CD⊥BD,C'D'⊥BD,AB⊥BD,所有点在同一平面内.
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
(1)求凉亭 AB的高度；(保留一位小数，参考数据：s sin35∘≈0.57,cos35∘≈0.82,tan35∘≈0.70,sin39°≈0.63,cos3
9°≈0.78,tan39°≈0.81)
【方案反思】
(2)在小组讨论决定测量方案时，某组员提出了“利用物体在阳光下的影子测量凉亭的高度”的方案没有被采纳，你
认为其原因可能是什么?(写出一条即可)
白卷·数学 第 5 页(共 8 页)万唯中考《黑白卷》助你明确中考新方向
20.(10 分)
金秋时节，硕果飘香，某石榴种植基地采摘了一批优质石榴准备运往某地销售，经测算：用
2 辆 A型车和 1 辆 B 型车载满石榴一次可运送 100 吨；用 1 辆 A 型车和 2 辆 B 型车
载满石榴一次可运送 80 吨.
(1)1 辆 A型车和 1 辆 B型车都载满石榴一次可分别运送多少吨?
(2)已知这批优质石榴共 500 吨，计划同时租用 A 型车和 B型车一次运送完.为确保运输效
率与安全，要求所有车辆都载满石榴，且 A 型车数量不超过 B型车数量的 2 倍，若 1 辆
A型车租金 1000 元/次，1 辆 B 型车租金 600 元/次，设 A 型车租用 x 辆，求租车费用
W 与 x 之间的函数关系式，并写出最少租车费用和费用最少时的租车方案.
21.(10 分)
如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,BC 是⊙O的直径,延长 AB 到点 D,∠CBD 的平分线交⊙O于
点 E,过点E 作 AD 的垂线,垂足为 F,连接 CE.
(1)求证:EF 为⊙O的切线;
(2)若 EF=3,CE=5,求⊙O的半径.
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22. (11 分)
【问题情境】数学兴趣小组开展了一次折纸活动.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=6，BC=
8，点 E 在边CD 上,且 CE=2,点 P 是边 BC 上的一个动点(不与点 B,C 重合).
小组进行了如下操作:将△ABP沿 AP折叠,得到△AB'P;再将△ECP沿EP折叠,得到△EC'P.
【操作发现】(1)如图①，当点 B'恰好落在边 AD 上时，求线段 B'C'的长；
【探究证明】(2)如图②，在点 P 的运动过程中，小组成员发现存在特殊位置，使得点 P，B
'，C'恰好落在同一条直线上.
①求证:AP⊥PE;
②求此时 BP 的长；
【拓展应用】(3)如图③，连接 AE，AC'.在点P的运动过程中，△AEC'的形状和大小随之改
变，请直接写出△AEC'面积的最大值.
白卷·数学第 7 页(共 8 页)
