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黑卷 2026 年山东省初中学业水平考试
数学试题
本试卷共 8 页。满分 120 分。考试时长 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5 毫米黑色签字笔将答
案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1.在某知识竞赛中，答对一题得 5 分，记为+5 分，答错一题扣 3 分，则应记为
A.+5分 B. -5分 C.+3分 D.-3分
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
3.如图所示的几何体是由 5 个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是
4.2025年，山东省经济运行稳健向好、进中提质，全年地区生产总值达到 10.3 万亿元，成为全国
第三个过 10 万亿元省份.数据“10.3 万亿”用科学记数法表示为
�.0.103×1014 �.1.03×1013
C.1.03×1014 D.10.3×1012
5.下列运算正确的是
A.�3⋅�5=�15 B. −2�24=16�8
C.2a+3b=5ab D. �+�2=�2+�2
6.我国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一个问题，大意是：有人用银子买骆驼和马两种牲口，
买 10 匹马的价钱和买 6 匹骆驼的价钱是一样的，但是每匹骆驼比每匹马贵 8 两银子，问一
匹马、一匹骆驼各值多少两银子?设一匹马值 x 两，一匹骆驼值 y 两，则根据条件所列方程组
为
10�=6�, 10�=6�,
�.{ �.{
�−�=8 �−�=8
6�=10�, 6�=10�,
C.{ D.{
�−�=8 �−�=8
7.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(a,8)与点 B(-5,b)关于 y 轴对称,则 a-b=
A. -13 B. 13 C. 3 D. -3
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8.在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红 0
1”四款载人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果
展示，若每款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率
是
1 1 1 1
12 6 4 3
A. B. D.
C.
9.如图，⊙O 是边长为 2的正六边形 ABCDEF 的外接圆，以点 F 为圆心，AF 长为半径画弧 A
E，则图中阴影部分的面积为
2 4
�. � �. �
3 3
C.8� D.16�
3 3
10.如图①，某游乐园内摩天轮的中心 O 点距地面的高度为24m，摩天轮绕中心 O 按逆时针方向
匀速转动.摩天轮上的一点P自最低点 A 点起，经过 t(min)后，点 P 的高度 h 与 t 的函数图
象如图②所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是
A.当 t>0 时，h 随 t 的增大而增大 B.摩天轮的直径为 45m
C.P点离地面最高为 45m D.P点离地面 35m 时,摩天轮转动了 4min
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分.
11.写出使二次根式 �−3有意义的 x 的一个值为 .
12.分式方程 2 = 1 的解为 .
�−1 2�+1
13.若关于 x 的一元二次方程( �−2�2+2�+1=0有实数根，则实数 m 的取值范围是 .
14.如图,∠MON=45°,点 A 是 OM 上一点,且 OA=1,过点 A 作 OM 的垂线交 ON 于点 B,再过点
B 作 ON 的垂线交 OM 于点 A₁，过点 A₁作 OM 的垂线交 ON 于点B₁，再过点 B₁作 ON
的垂线交 OM于点 A₂，…，按照如此规律操作下去，则� � 的长为 .
2026 2026
15.如图,在 Rt△ABC 中,AB=4,∠ACB=30°,点 D 是斜边 AC 的中点,点 P 是 BC 上一动点,则 AP
+PD的最小值为 .
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三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.(8 分)
(1)计算: 25−−12026+∣−2∣;
�−2 �2−4
(2)先化简，再求值：1− ÷ ,其中 a=-3.
� �2+�
17.(8 分)
如图,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于点D.
(1)尺规作图：作 AE∥BC 交 BD 的延长线于点 E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下,若 AB=2,求 DE 的长.
18.(8 分)
�
在平面直角坐标系 xOy 中，已知一次函数 y=mx+n(m≠0)与反比例函数 �= �≠0满足以下
�
条件：
①一次函数的图象经过点 A(2，6)；
②一次函数与反比例函数图象的一个交点坐标为 B(1,k²-12);
③在反比例函数中，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小.
请解答下列问题：
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)设一次函数与反比例函数图象的另一个交点为 C，求△BOC的面积.
黑卷·数学第 3 页(共 8 页)19. (10分)
为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展
不同的课后服务模式.其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为
主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践
等丰富多样的活动.一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八
年级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分(满分10分).
【数据收集与整理】
一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表：
分数(分) 6 7 8 9 10
一班人数(人) 4 11 ▲ 10 3
二班人数(人) 1 7 ▲ 13 5
【数据分析与运用】
为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本
数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表：
众数 中位数 平均数 方差
一班 7.925 1.219
m n
二班 8 8 P 0.978
(1)表中 m 的值为 ,n 的值为 ,p 的值为 ;
(2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是 班；(填“一”或“二”)
(3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综
合素质进行评分，已知全班同学的评分只有 7 分、8 分、9 分、10 分四种，且中位数为 8.5，
众数为 9，则评分为 10 分的同学最多有多少人?
黑卷·数学第 4 页(共 8 页)20.(10 分)
如图,▱ABCD 的顶点 A,B,D 在⊙O 上,边 BC 与⊙O相切于点 B,对角线 AC 经过圆心 O,与
⊙O 交于点 E,连接 DE,BO.
(1)求证:CD 是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为 4,求▱ABCD 的面积.
21.(9 分)
【实验主题】大型滑梯滑道长度检测
【实验背景】某游乐场计划为大型滑梯更换耐磨防滑垫，由于滑梯落差很大(超过 8 米)，且
滑道表面有弧度，工程人员无法直接使用软尺贴合测量，为此，项目组设计了一个“高度—
—角度辅助测量法”，利用三角函数间接计算滑道长度.
【实验原理】如图①，将滑梯的滑道简化为直角三角形的斜边 AC，已知滑梯平台的垂直高
度 AB=h(固定值)，滑道与水平地面的夹角∠ACB=α.在Rt△ABC 中，利用正弦函数关系，可
由 h 和α推算出滑道长度 L(即斜边 AC 的长).
【实验数据与任务】已知该系列滑梯平台的垂直高度 h=10 米.
(1)【模型建立】设滑道长度 AC=L(米),滑梯平台的垂直高度 AB=h(米),坡角∠ACB=α,请用含
h，α的代数式表示 L；
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(2)【数据检测】工程师对两个不同坡度的滑梯进行了测量，数据如下表：
滑梯编号 坡角α 标准滑道长度L(米)
滑梯A 30° 20
滑梯B 45° 20
请通过计算判断：哪个滑梯的滑道长度不符合标准?(参考数据： 2≈1.414)
(3)【误差探究】工程师在现场测量时发现，滑梯底部并非直接着地，而是与水平地
面有一个倾斜的缓冲坡道(如图②)，若工程师在计算时，未考虑缓冲坡道的影响，仍
错误地将滑梯主体 AC 的垂直高度 H 按 h 代入进行计算.
请分析：①由于缓冲坡道占据了一定高度，滑梯主体的实际垂直高度 H h；(填
“>”“<”或“=”)
②这样计算出的滑道长度 L 会比滑梯主体的真实长度 .(填“偏大”或“偏小”)
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22. (11 分)
二次函数�=−�2+�+1�+�2−2�+4的图象与 y 轴的交点为 A.
(1)若点 A 的坐标为(0，3)，求该二次函数的表达式；
(2)在(1)的条件下,若��−1� ,�2� � 在函数图象上，总有� <�,求 t 的取值范围；
1 2 1 2
(3)判断二次函数�=−�2+�+1�+�2−2�+4的图象与 x 轴正半轴是否一定有交点?
黑卷·数学 第 7 页(共 8 页)23.(11 分)
如图①,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,点D是 AB的中点,过点D作 DE∥BC交 AC于点E.
(1)求证:� = 2� ;
(2)在同一平面内，将△ADE绕公共顶点 A 逆时针旋转，连接 BD，CE.
①如图②，当点D 在△ABC 内部时，判断(1)中的结论是否仍然成立?
②如图③,当 ED⊥BD 时,设线段 CE 交 BD于点F,连接 AF,判断四边形 AEDF的形状,并说
明理由；
③如图④,当点 D 在△ABC 内部时,设射线 BD 与线段 CE 交于点G,且 CG=2EG,若 BC=4,
求线段CE 的长.
黑卷·数学 第 8 页(共 8 页)
