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1991年数学(三)真题解析
一、填空题
(1) 【答案】cosCjcj/) • es,n(T3，) {ydx +zdj/)・
【解】 由二=ycosQy) • es,n，)得
ojc dy
dz = djr + t—dj/ = cos(hj/) • esin(x：y) (j/djr +^dj/)・
OJC oy
(2) 【答案】一1, —1,1.
【解】= 3j:2 + a,g'(H)= 2bjc ,
(—1 — a = 0,
由题意得h + c = 0,
［3 + a = —2b,
解得 Q = -1,6 = -1,C = 1.
(3) 【答案】一(兀+ 1),-----・
e
【解】 厂(工)=(工+1)于，厂(无)=(工+2)丁，由归纳法得于⑺(工)=(工+77)才，
由于(卄1)(工)=(h+x + i)于=o 得工=—G + 1),
当工 <-(n + 1)时，广”+"(工)V 0；当工 >-(77 + 1)时”+】)(工)> 0,
故当工=-(„ + 1)时，/SQ)取极小值，且极小值为/(n)(-w - 1) =
e
B 1
(4)【答案】
O
［解］令 X-= (X" X"
、X21 X
22
'AX?】=E,
AX 22 = O,
得2
BX、\ =(),
E.
BX12 =
/ O B 1 \
从而 Xu = O.X" = B 1 ,X21 = A^1 ,X22 = O,故 X-1 = .
\厂 O '
/— 1 1 3 \
(5)【答案】X〜 .
、0. 4 0. 4 0.2 /
【解】 因为FQ)的图形为阶梯形，所以随机变量X为离散型，其可能的取值为一1,1,3,
P {X = — 1} = F (— 1) — F(— 1 — 0) = 0. 4,
P{X = 1} = F(l)-F(l-0) = 0.8-0. 4 = 0. 4,
P{X = 3} = F(3)-F(3-0) = 1-0. 8 = 0.2,
/_ 1 1 3 \
故X的概率分布为X〜 .
、0.4 0.4 0.2/二、选择题
（1）【答案】（A）.
1
lim ln(l+t)
【解】 由 lim (1 + X z-* li+m°° =ez lim TH e° = 1,
一。+ '
应选（A）.
⑵【答案】（D）.
【解】 由 0V —得 0 £|（—1）"q： \= a2n < _»
n n
oo oo oo oo
因为Y \收敛，所以工；丨（一l）”a门收敛，即级数l）”a：绝对收敛，故工（一1）”几一定收敛，应
n =1 并 ” =1 ” = 1 n = 1
选（D）.
（3）【答案】（B）.
【解】 由AX = AX得A_1X = A_IX.
而 A* = \A\A^ ,于是 A' X = \A \A^}X = A-1 I A |X,
故a*的一个特征根为「Ta I，应选（B）.
⑷【答案】（D）.
【解】 因为A和B不相容，所以AB = 0,
于是 P(A — B) = P(A) — P(AB) = P(A),应选(D).
(5)【答案】(B).
【解】 由 E(XY) = E(X) - E(y)得 Cov(X,Y) = 0,
于是 D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y),应选(B).
三、【解】
1 e" -be" + …-be" —n
_________1_________
e■ r +I e2 -r 十| …十I em 1 + e" + e2j + …+ e" — n ex 4,~ e 2 jc十 . …十. e nx—n
lim '=lim
zfO n 工f 0
lim丄•匚圧士±£ 丄lim壬圧土土^
于〜尸 n
”+i
四、【解】
于是』ydzdy =
D
(t — 1 )4 • 2atdt
R — I)。
=ab2
0 0 0
GW
=ab2= /+/得学=王+ y_
五、【解】方法一 由 Xy
djr y X 9
令"=2,则
X
du
U JC =-----F u ,
dj? u
空，积分得
整理得uAu =
X
u2 = In j:2 + C,
将y =2e代入得C = 2,所求的特解为夕2 =工2山工2+2工2.
方法二
由与字2得宁
山
也
7 2 +八2
ax 2
du 2 小
令』2 u ,贝 U ----------u = 2 工,
ax X
解得
2x • e卜dz + C •#轨=(21心+0/,
由y =2e 得 C = 2,即 J/' = 2(ln + l)j72
六、【解】 如右图所示,
I"'得一T-
由 丿
V = ax2 Q + ]
曲线= 1—工2(0 Wz £ 1)与两坐标轴围成的面积为
S=[：(1—兴)山=#
曲线 Lx ：y = 1 — x2 与L2：y = ax2围成的位于第一象限上方的面积为
S1 = [ (1 — x2 — ax2 )djr
J 0
1
1 (a + 1) 3 2
丿 x
a + ] 3 0 3 5/a + T
4 =-^-得 Q = 3.
由2Si = S得
3 Ja + T
七、【解】收入函数为
R = P\q\ + “292 = 24^1 — 0. 2p\ + 10p2 一0.05就，
利润函数为
L = R — C = p}q} + P2Q2 = 24pj — 0. 2pi +10p2 _ 0. 05/>2 ~ [35 + 40(5 + q2
=32p! — 0. 2/+12/?2 — 0・ — 1395,
3L
32 — 0. 4pj = 0,
°P\
由 得 pi = 80,p2 = 120,
3L
12 ― 0. 1 p2 = 0
dp2
故当p、= 80,加=120时，总利润最大，最大利润为
Lmax = 605.八、【证明】八工)=e 工 In (、1+丄 1 )
)
xln(l+—) ln(1 + T
f⑺
e
' x
=(1+l).［皿1十+)_廿,
记 g (乂)— In (1 + T)_ITT g'(z) -1
所以g(H)在(0, +oo)上单调减少.
因为lim g(z) =。9所以对任意工G (0,+°°),有g(z)>0,
■Zf+°°
于是当z >0时，F(z) >0,即函数心)=(1 +十) 在(0, +oo)内单调增加.
九、【解】 令工15 +工2。2 +広3。3 = 0，
| A | = \a I ,a2 ,a3 \ = (A + 3)A2,
(1)当入工一3 ,A工0时，方程组| a 1 + x2a2 + t 3a3 =P有唯一解,
即0可由a1,a2,a3线性表示，且表达式唯一；
(2)当入=0 时；厂(A) = r (A ) = 1 < 3,
方程组xYax +x2a2 + ^3a3 =“有无数个解，
即“可由a>,a2,a3线性表示，且表达式不唯一
(3)当 A = -3 时，
-2 I 1 0 -2 1 _ 3 1 -2 1 -3
A 1 -2 1 -3 -3 3 _ 6 0 1 -1 2
1 1 -2 9 / 'o 3 -3 12 0 0 0 6
由r(A) H r(A)得方程组厂心+ x2a2 十 乂3°3 =P无解,
即P不可由,a2 ,a3线性表示.
十、【解】令人= ，则于=xtax ,
二次型f = xtax为正定二次型的充分必要条件是
1 _ 1
1 A
1 > 0, > 0, I A | = 4 2 > 0,
A 4
-1 2 4
解得一2 < A < 1.
«1T«1 Ta2 «iT az,
T a T2 a 2 «2T a
十一、【证明】令人= ((X 1 9 a 2 9 …,
aTfla1 T a Tri a
则向量组a】，。2 , 线性无关的充分必要条件是r(A) n ,
因为 r(A ) = r(ATA),所以 a】,a2 ,…，a”线性无关的充分必要条件是r(ATA) n ,
即 \AtA I 工 0.十二、【解】X的可能取值为0,1,2,3,
丄
P{X 0} I
1 丄
P{X 1} Tx T
1 丄
P{X =2}= Tx X ~8
1 _1_ 1 1
P{X =3}= Tx 5 =飞
0 1 2 3
则X 丄 丄 1_ 丄
7 ~8
十三、【解】 (X,Y) 的联合密度函数为
兴宀
1
/（无，』）=
7tr2
0, 工2 + J/?〉厂？，
“8
心（乂）= /(■r )dy ,
当 \x\^ r 时，/x（无）=0
] 2 Jr1 —工 2
当 \x\
