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2009年数学（三）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（C）.
【解】z =k（k GZ）为函数fdx）的间断点,
由 lim/（j7）=— ,
7T
x*O-
X（1 — Jt）（l + j?） 2_
X->1 sin［7t（l一工）］ 7C
j? （1 一 ） （1 + J：） £
lim/（jc ） = — lim
sin[7r（ 1 + h ）] 7T
•Zf—1 X—*■—1
得工=0,1,— 1为/（乂）的可去间断点9
当x =k （k G Z）且鼻工0,1，一 1时,lim/（j：） =°°，故/（工）只有3个可去间断点9选（C）.
工fk
（2）【答案】（A）.
【解】 因为gS）〜一处"为3阶无穷小，所以a = 1,
- 3
x 一 sm X =x x 一 — o （工3 ）
6
由/（工）〜g（z）得〃=—，应选（A）.
6
（3）【答案】（A）.
【解】令 /（^ ） = J dt — In j:（工〉0），
1: 1 一 sin t ,
则心）= ------------&
显然当0 ＜工＜ 1时，/'（工）〉0；当工鼻1时，/Q） £ 0,故工的范围为（0,1），选（A）.
（4） 【答案】（D）.
【解】当一lgzW 0 时，/'（工）=1,则 F（_z）=［ ,排除（A）, （C）；
J 0
因为于Cz）在［―1,3］上只有一个第一类间断点，所以FCz）为连续函数，排除（B）,应选（D）.
（5） 【答案】（B）.
【解】；：=（—］）"川・血=6,则
O A\
丿
B O B OI Vb o' \a_1 o '
应选（E）.
方法点评：本题考查逆矩阵与伴随矩阵的性质.
设A为"阶可逆矩阵，涉及A »时注意使用如下性质：（1） AA » =*AA = \A \E，尤其A = \A\A^ ,当A可逆时，A* 的问题往往转化为
（2） 设A,〃为兀阶可逆矩阵.则（AB）* =| AB |・（AB）t A\
（3）设分别为加与n阶可逆矩阵.则
O 'A _ f| B | A * O \
O B> —（ O |A |*B *
B
A O A厂=（_］）” O UW
O B O> \\ B \ A* O
（6）【答案】（A）.
I1 0 0
【解】 由 Q = Si +ot2，a2，a3）=P 1 1 0
'o
0 1
QTAQ =fo 1 0\ I1 0 0
得 1 0 PtAP 1 1 0
'o 11 'o
0 0 1
5; 1 0
1 0
0 2/ 'o 0 2
应选（A）.
（7）【答案】（D）.
【解】 若A与B互不相容，则AB =0 ,
于是 P（A U B）=P（AB） =1-P（AB） =1,应选（D）.
（8）【答案】（B）.
【解】 Fz（z） = F{Z < z} = P{XY
= P{Y = 0}P{XY< z | Y = 0} + P{Y = l}P{XY£z | Y = l}
= P{Y= 0}P{z^Q} +P{Y= 1}P{X 0}+yP{X<2},
当 N<0 时，Fz（Z）= +①（Z）；
当 时，Fz（z）=* + +①（Z ）,
㊁①（z）, z V 0,
即Fz（N）=丿 显然Fz（z）只有一个间断点，应选（E）.
1 1 7
—+ , z N 0,
二、填空题
3 p
（9）【答案】 j.
_______________ 丄 2
【解】由 \/1 + 2 — 1 = （1+力2）3 — 1 ~ 务
9e匸 — 匸e cos e——ecos . e COS X —1 — T1
得 lim ------= 31im---------- =一 3elim-------------
-0 -1 … 鼻 2*0- X
=—3elim 沔上£二丄=3elim 1 — cos x 3e
x->0 X x->0 x 2 I •
(10)【答案】21n 2 + 1.
【解】2 = +「尸=小皿+宀
则—=于|皿+宀
山…)十卡
dx
于是M eIn 2 • (in 2 H— ) = 21n 2 + 1.
ox (1,0)
(11)【答案】
e
e"" _ (— ])"+】
a 5 + 1)2 — e 卫+1 _ (_ ])”+1
【解】由lim n+l lim lim
n—^°° a 8 en - (- l)n ”一>8 e" - (- 1)"
n2
(―1)"+1
1——
e”+1
elim ------------=e,
w*°°- I (_1)”
1--- ;_
e
1
得幕级数的收敛半径为R
e
(12)【答案】8 000.
【解】收益函数为L(P) =PQ,
所求的量为L'(P) =Q + PQf,
dQ
因为
dpQ PQf
——0. 2，所以 PQf
,
= — 0. 2Q 9
Q
戸
于是 L'(P) =0. 8Q ,
将Q = 10 000代入，得LZ(P) =8 000,即价格每增加1元会使产品收益增加8 000元.
(13)【答案】 2.
/3 0 0、
1
的特征值为
【解】 0 0 0 1 A, 3,A =入
2 3 =09
'o 0 0丿
八0 0
1
妙「= 1 1 0 ，因为apr与| 0 - 相似 9 所以apT的特征值也为入 1=3, 入 2 =入 3=0,
4 o 0
再由 tr aB' =1+ k =Aj + A2 + A3 = 3，得 k =2.
方法点评：本题考查矩阵特征值性质与矩阵相似.
设a ,0为n维列向量，令A = a0「，则tr A =A ! + A 2 + ••• + A rt ・(14) 【答案】np2.
【解】 因为总体X〜B(n,p)，所以E(X) =np, D(X)=力(1 - p),
又因为 E&) =E(X) =np, E(S?) =D(X) =“p(l —p),
所以 E(T) ^E(X) -E(S2) =np -np(l- p) =np2.
三、解答题
(15) 【解】 y；(工，y) = 2z (2 + )2 ) , f'y^x ,y) =2,x2 y + In y + 1.
厅；(j; ) = 2_z (2 + ) = 0 , / 1 \
令； ， 解得唯_驻点0,-.
\fy (j： , y) = 2x y + lny + l=0. ' e，
因为A =/<(0,丄)= 2(2 + /) =2(2 + g) ‘
、e ' (o,l) ' e '
—几：(0,£)=4川(是)=0,
C"(0，+)=(2宀 *) L)=e,
所以B2 —AC = —2e(2 + g)<0,又A >0,于是(0,十)是fCx,y)的极小值点，极小
1
(16)【解】令 X
— -7-------------
t2 — 1
ln(l +刀彳八1 j ln(l+f)
于是In ——— ----------dt ,
t2 - 1 (八 一1)(/ + 1)
1 C
令 (—1)-(/ + 1)匕—IL+(卄1严
+ C ,
山=容+和召—启1 +c
故 In 1 +
1 + JC i _________ i T
jrln
x
+工
1 +无
j?ln + 1ii(a/1 x +\/^~ —qj 工 2 +C.
X
jc
— 1 = rcos 9 ?
(17)【解】方法一如图所示(见下页)，令
y — 1 = r sin 9 ,
则D = ](厂90)|于W&W乎，oW厂W于是 jj(z — y)dzdy = [: d0 ^r2(cos 6 — sin 0)dr ,5 [ tc (cos 9 一 sin 0)d0
o 3 ■
d T T
_ 4_ 5 T n cos(e + *)d (0 + 晋7t §
I
4
T
x = rcos 0 , / 壬 W0W 竺，OW 厂《2( sin 9 + cos 9)
方法二令
.y = rsin 0 ' 4 4
II "" — = ,3k *2(sin 0+cos O')
r2 (cos 0 一 sin(9)dr
则
T 0
D
§ ,3k
:(cos 9 一 sin 0)( sin 6 + cos 0)3
I
T
8 ,3n
；(sin 9 + cos 0 )3 d(sin 9 + cos 9)
I
T
= f(Sln^ +cos 〃|3；jv = 8
I
T
(18)【证明】(I )取FQ)=于(工)_ 〃厂—八— a)，由题意知FQ)在［a,b］上连
b 一 a
续，在(a,b)内可导，且 F(a)=/(a)—理二^^(a—a)=y(a),
b — a
F(6) =f(b)-fCb［~f(a\b-a) =/Xa).
b — a
根据罗尔定理，存在£ 6 (a,b)，使得F'(W)=厂(£) 八耳=0,即
b 一 a
/(&) -/(a) =y'(£)(b —a).
(n)对于任意的t e(o,&)，函数/q)在［o,/］上连续，在(0丿)内可导，由右导数定义
及拉格朗日中值定理
fl (0) = lim ft'----f(°)= lim 了 "E" = ljmy, (^)，其中 £ G (0,0
t — 0
lo+ lo+ £ lo+
由于 lim/z(i) =A，且当 / — 0+ 时，lim/^e) =A，故 f； (0)存在，且 (0) =A .
lo+ lo+
(19)【解】 曲线与直线夕=0，工=1及#=/(/> 1)所围成的曲边梯形绕工轴旋转
一周所得的立体的体积为V&)=兀［严(工)dz ,
曲边梯形的面积为Sd)=『yQ)clz ,
由题意得兀j" f2 (jc )djr = tc^J /(re )d^:，即j _/2(工)<1工=寸/'(•z)dz '两边求导数得
f2 Ct) = J /(j; )djc + tf(t),
两边再求导数得
则y = f It)满足的微分方程为(2j — t)y，= 2y，整理得--- h -—t = 1,片 戸訊=C「+彳八
解得 dy+c)
在 f2 Ct) — J /(J7)dz +不合题意
当a=2时，入i=2,入2=3,入3=0,此时/的规范形为记+気.
综上可知，a =2.
方法二 由于/■的规范形为〃+迓，所以A的特征值有2个为正数，1个为零.
又 a — 2Va 0 时，/x (je )=［亍 dy =xe~T ,
则心(亠匸 •z〉0，
•Z W 0 9
x > 0,0
