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2009年数学（二）真题解析
一、选择题
（1）【答案】（C）.
【解】 函数于（2）的间断点为x =k（.k e z）.
•z —工 i ,
由lim/（j?） = lim---------- 3 = 一，得工=0为/"（工）的可去I可断点;
j--*O 工-*0 TZJC 7t
_ 3 X 一 X 3 jc(1+j;)(1—j?) 2 /曰 =业
由 lim/(j? ) = lim ----— 怛 sin 7T（1 —工） =lim -----------------r------ = 一 9 得 ％ = 1 为
工*- 1 x*i- sm tzx 工〜1 7T ( 1 一 X ) 7T
fG）的可去间断点;
£
_ 3 _ 3 工(1+ )(1 一 X )
由 lim/(j?)= 舸启二—更Uin；t A 一 lim J?
•Z —1 x*~—l 7T(1 +«Z ) 7T
得h = — 1为于Q）的可去间断点；
由lim 得工=k（k G ZM HO9 H 1）为/（工）的第二类间断点，应选（C）.
）=oo,
X*-k-
&0, 土 1
（2）【答案】（A）.
【解】方法一 g(z) = x2 ln( 1 一 bx )〜一 bx3 9
. Q 3
/ ( jc ) = x一sin ax = (1一a )jc + 3 +o(h 3),
3!
因为/（e）〜g（z），所以a=l,6= — 9应选（A）,
o
方法二 g(j?) = j?2ln(l — bx｝〜一虹3，由 /(x )〜g (无)得 lim d = 1，
gkx)
•zfO
t f O I- x 一 sin ax 1 [. 1 一 a cos ax 丿曰
由 lim —-~- =----lim----------:------= 一 —lim----------©-------9 待 a =],
•o g (工) b 工-> 0 hx 3 3b lo x
再由Hm J] = -^lim — c 2 os x =一± = 1,得〃=一刍,
—o gkx) Sb x*o- x bb o
于是a ==1』=—，应选（A）.
6
(3)【答案】(D).
【解】 方法一 因为Z = f ,y )可微，所以z = fCj： ,y )在(0,0)处连续.
由 dz =x6.x + 3/ dj/ = d ( ~ j_ )，得 z = 2 + ^-y2 + C ,
显然（0,0）为z =f（x,y）的极小值点，应选（D）.
3z
方法二 =y，显然（0,0）为z = fCx ,y）的驻点,
d2z 32z
A =1 9 B =0 9 c =1 9
(0,0) 3x3 y (0,0) (0,0)
因为AC-B2 =1〉0且A〉0,所以（0,0）为z 的极小值点，应选（D）.
• 80 •
淘宝店铺：光速考研工作室(4) 【答案】(C).
【解】 令D] = {(工，夕)| 1€工£2,工£夕£2},
D2 = {(x ,y) |^C-Z'C4 — j/,1Cj/<2},
积分区域为0=6+0.
区域D向y轴投影，将D表示成Y型区域为
D = {(jc ,j/) | 1冬攵三4 一 y,lW_yW2},
于是
[dj? f f Cjc , y) dy + [dy[ /'(•z,y)dr=[dj f Cx , y) dx , —(4)
J 1 J X J 1 J y J 1 J 1
应选(C).
(5) 【答案】(B).
【解】 由y = fO 在点(1,1)处的曲率圆为x2 y2 = 2,得曲线》=fCx)在点(1,1)处
与圆x2 y2 = 2相切.
由2# + 2夕学=0,得学 =—1，于是/(I) = 1, /"⑴=—1.
cLc cLx x=\
由fUQ不变号得y=fC^)凹凸性不变，显然夕=g 在[1,2]上为凸函数，从而得
f) < 0.
由K„(1)— 1’得十(工)V — 1 < 0(1 V工V 2),即了 =于(工)在口，2]上单调减少，
V)< 0,
则fO 在(1,2)内无极值点.
由拉格朗日中值定理，存在e e(1,2),使得/(2) -/(I) =/'(£) <-1,即/(2) < 0,
因为/(1)/(2) V0,所以由零点定理,/(jc)在(1,2)内有零点，应选(E).
方法点评：本题作为选择题难度较大，涉及的知识点有：曲率圆的概念、导数的几何意
义、单调性与极值的判断、零点的存在性.
有如下几个关键点：
(1) 通过夕=/(工)在(1,1)处的曲率圆可得y =八工)在(1,1)处与圆* +夕2 =2相
切，从而求出于(1) =1,厂(1) =-1；
(2) 根据/"&)不变号且曲率圆位于曲线y=fCx)下侧得y =/(工)为凸函数，从而可
得严(工)< 0,进一步得厂(工)单调减少，从而可确定y =f5)的单调性与极值情况；
(3) 由拉格朗日中值定理得/(2)的符号情况，根据零点定理即可.
(6) 【答案】(D).
【解】 当一1 W z V 0 时，/(工)=1,则 F(z)=J f(t)dt =x ,排除(A),(C)；
因为/'(工)在[—1,3]上只有两个第一类间断点，所以FQ)为连续函数，排除(E),应选(D).
方法点评：本题考查定积分的几何意义、变积分限的函数与可积.这类问题需要注意如下几点：
(1) 若于(工)连续，则FQ)=『f(/)d/可导；
(2) 若/'(工)只有有限个第一类间断点，则/(jr)可积且FQ) = 连续，在
f (^)的第一类间断点处FQ)不可导.
• 81 •
淘宝店铺：光速考研工作室(7)【答案】(B).
- O A I • 1 =
【解】 =(-1严 |A |B 6,则
2
B O
o A\ A) -1 6C B 1 O 6B-1 O 2B
丿 O
o| o
B O 3A O
应选（E）.
方法点评：本题需要熟练掌握如下知识点：
O A
（1）设A 分别为加阶和77阶矩阵，则 =(-l)mn |A | • |B | ；
B O
(2) 设 A 可逆，则 A * = |A \A^
/O AL / O
(3) . .
Vb o>
A O
】
（8）【答案】（A）.
1 0
【解】由Q u »ot , cc =P 1 1
=(a 1 + 2 2 3 )
0 0 V
1 1 0 0 0 1 1 0 0\ /I 0 0
QTAQ = 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0
o 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1
2 1 0
1 1 0
、0 0 2
应选（A）.
二、填空题
（9）【答案】y =2x.
【解】 当x = Q,y = 0时，/=1,
2芒
2/ln(2 — t2)
dj/ _ dj// dz 2 —八
dr dx / d/ 一 e-(1-r)2
切线的斜率为k =2,故切线为y =2工
dj?
1
（10）【答案】 一 2.
【解】 显然k 0，则 •r =丄为最小值点，最小值为
e
_2_
e e
(14)【答案】 2.
F 0 0
因为诃相似于
【解】 0 0，所以ap 的特征值为小 2, A 2 = A 3 = 0.
'o
0 Q'
(a® a® a#3 \
令a = P = P2 ,则 ap T = ag a 2b3
\bj
a 3 .3" a3b2 a 3b3
则P va axbx + CL2b2 + <2363 = tr A = A x + A 2 +入3 = 2・
方法点评：本题考查矩阵相似、矩阵的迹、向量的内积.注意掌握如下性质：
(1) 设A ,B为n阶矩阵，且A〜於，则矩阵A,B的特征值相同，矩阵A,B的迹相等.
(2) 设 a ,0 为"维列向量，令 A =aP ' ,则 tr A = (a ,0) = a 审=0 ' a.
三、解答题
(15)[解]方法一limd-cos.)[.-ln(l +tanE]
x*0- sin4
1 x 一 ln( 1 + tan x ) 1 x 一 tan x . tan x 一 ln( 1 + tan x )
lim
X 2 2 o X 2 X 2
丄 x — tan x . - tan x — ln( 1 + tan x )
lim + lim
j*0?- X 2 •Zf 0 X 2
丄 1 - sec2 jc .[. tan x — ln( 1 + tan x ) t, an 2jc
lim + lim
•*0z- 2工 •r f 0 tan2 j? x2
tan x 一 ln( 1 + tan x ) tan x 1 t — ln( 1 + 才)
㊁忸
tan2 jr t2
］
1 -右「
=4■忸
(1 一 cos jc )[jc 一 ln( 1 + tan jc )] .. (1 一 cos 一 ln( 1 + tan 工)]
方法二 lim =hm
x*0- sin' *-0 X 4
1 - cos x x 一 ln(l + tan x ) 1 v x 一 ln( 1 + tan x )
lim
X—0 _ X 2 X 2 JC 2
sec 2 x
1——-------------
丄lim 1 + tan x = t lim---------------------2- (1 + tan x )cos2jc — 1
4 4 lo (1 + tan x ) cos x x
x*0-
• 84 •
淘宝店铺：光速考研工作室tan x cos 2 x 一 si• n 2x
=—lim
4 x
工
1 [. /tan x
• COS2 J；
(16)【解】令片=/,则_占
j 1 ln(l +O 2 -1----------dz,
于是同+ 宁 dj" = ln( 1 + Z )d
t2 - 1 t2 - 1 (八 一 1)(/ + 1)
令3 —1；1(十1)=(…1)匕1 —亍=名+忌+ G +C 1)2
解得
1
则
— 1)(/ + 1)
2
+ c,
ln(l +/) t + 1 1
+ C
t2 - 1 t — 1 2(/ + 1)
• In 1 + + ~ ln( -) -——z=-----— +C
2 2
jrlnl 1 -|- Hln(yi + j; ) -- x---—+x2 +C.
方法点评：本题考查不定积分的换元积分法和分部积分法.根据被积函数的特点确定
不定积分的方法，注意如下两点：
(1) 被积函数中若含无理函数，一般情况下使用第二类换元积分法将被积函数中的无
理函数部分转化为有理函数；
(2) 被积函数中若含对数函数、指数函数、三角与反三角函数时，不定积分一般使用分
部积分计算.
(17)【解】 方法一 由_ =/i
dz + 亍dy = (fi +/1 +57/3)do- + (/1 一 f； +z/'；)dy.
OX dy
方法二 Z = f G +夕 工一夕 夕)两边求微分得
9 9 2
=/i • d(j? +y) + • d(j? 一 • d(jcj/)
dz y ) +
=/1 • (dr + dy ) + /； • (dr — dy ) + /； • dj/)
(ydx +
=(/1 +/2 + (/I 一 f； 3)dj/.
乙 d . , . d . d . d f
=H(f\ +『 =厂(/ +厂(孑 盯
dn x n y 2 +"3) d y 1) d y 2)+ d y (”3)
<7 y
—f U — /12 + + f 21 — f 22 * f 23 + f 3 y 3\ — f 32 X f 33)
=九〔+ Q + y)九角 + Cz — y)/£ — FL + /；+ gft •
・85・
淘宝店铺：光速考研工作室(18)［解】 方法一 令yf =p .得夕〃=学 贝I」xyf 一 3/ + 2 = 0
9
化* 为 —丄卫 2
dz x X
2 -C
解得“ =P e J^cLz +Ci
x
2
----------2 cLz + C] x = Cxx + 2,
x
工 口
再积分得》 2 +*c 2 +C2.
由丿（0）= 0 得 C2 =0,于是 y =2j: ~h -^-Cj
j?2
再由2 2 + 2
dr = 1 + 丄C
1
,得 C
1
= 6，故 y =2uc + 3jc2.
6
由x = *(丿 3夕+ 1 — 1) (0 W y M 5)，得所求体积为
\2dj/=57r-y 1丿3夕+ 1 —l）'dy=5兀一学 I?兀
V = 5tc 一 7T
6 6
o
方法二 由 xyrf 一 3/ + 2 =。 得 ~~=--- 即（儿 2
9 9
_2
3C X
J 9 1
于是一 =--- 或；y =2 + G工 积分得 y = —Cxxz + 2工 + C2.
x x C19 9 /
（后面步骤同方法一）
方法点评：本题综合性很强，考查可降阶的微分方程、定积分的几何应用.微分方程
与定积分的几何应用相结合是历年考查的热点，先根据已知条件列出微分方程(或题目
中给定微分方程)，再解微分方程，根据给出的或题目中隐含的初始条件求出函数，最后
解决定积分的几何应用.
•z — 1 = rcos 9
9 ,
(19)【解】方法一 令
.介
贝【J
y — 1 = rsin 0
9
（厂 厂 W V2- }
D = 9O W 9
于是』(工一夕)dz dy x 一 1） 一 （y 一 1）]djr dj/
D D
'近
r2 （cos 0 一 sin 9）dr
0
'42
j : （cos 9 - sin 0）d0 r2dr
o
2V2 ,5k
:（cos 0 一 sin 0）d3
T
5n
铮（sin 0 十 cos 0） T 8_
~3
T
• 86 •
淘宝店铺：光速考研工作室A [x = rcos 0 9则 D = (r ) | 厂 £2( sin 0 + cos 0) ] 9
方法二令 • A
\y = rsin t)，
/.3k 2(sin &+cos O')
于是 11 x 一 dy = r2 (cos 0 一 sin 9)dr
0
D
j : (cos 9 - sin 0)66 2(sin 0+cos O')
r 2 dr
0
8 ,3k
:(sin d + cos 0 )3 (cos 9 — sin 0 )d0
T
§ ,3n
:(sin 0 + cos 0)3d(sin 9 + cos 9)
I
T
3n
O 1 T 8
—• —(sin 9 + cos 0)4 I
7
方法点评：本题的二重积分区域的边界曲线含工'+ —般使用极坐标变换.
对圆域D,Qx -aY + Cy~b)2 =R2作极坐标变换一般有两种形式：
— rcos 9 9 x — a — rcos 9，
及
\y == rsin 9 y — b = rsin d ,
确定0及厂的范围方法不同，前者从坐标原点确定范围，后者从圆心确定范围.
(20)【解】 根据题意，当一兀Vz V0时，曲线y = 上任意一点(工，夕)的法线方程为
Y 一 y =----(X - 2).
因为法线Y — y =-----(X —工)过原点9将(X,Y) = (0,0)代入得y =-------yx
y y
2 I 2 \
即 x djr ydy = 0，或 d -~~)=。9 解得/ + y2 = C1・
由y 得 C] = 7t2，于是工 2 + y2 =7t2 或 3/ = a/tt2 — x2
当0三工 ＜兀时，3/' + 3/+无=0的通解为夕=C2cos x + C3sin x — x.
因为曲线y =夕(工)在x = 0处连续9所以j/(0 — 0)=夕(0) =C2 =兀9即
y = ttcos x + C3 sin x 一 x ;
又因为y =3/ (jc )光滑，所以y = yCx)在h = 0处可导，
V/ 7T 2 一 F 一 7T 一
X X
夕1(0) = lim --------------------=lim -- 0,
X---------工— 丿兀 —工 +兀
0_ 2 2---
屛(0) = lim - 7 - t - c - o -- s - - j - c - - + --- - C -: 3 - - s - i - n -- - x -- - 一 -- - x -- -- 一 -- - 兀 - =li , m 7T - c - o -- s - - X - 二 + G 叫—1)= C3 — 1,
■I—0+ X •0+ X X '
由 y-(0) =y +(0)得 C3 = 1,
—TT V H V 0 9
故夕(工)=
兀 cos X sin x JC 9 0 W JC V 7T ・
方法点评：本题综合考查导数的几何意义与微分方程.首先按不同范围列出微分方程，
其次在不同范围内解出微分方程，在分段函数交界点处，因为函数y — 光滑，所以y =
y(z)在2=0处连续可导，从而可确定待定常数求出分段函数表达式.
• 87 •
淘宝店铺：光速考研工作室（21）【证明】（I ）令= f {jc ） — /（a ） — 了 'b、 （jc — q ） 9
b 一 a
显然卩Q）在［a,b］上连续，在（a，b）内可导9
又卩⑺）=卩（/0 =0,所以由罗尔定理，存在E 6 （a,b）,使得/（£） =0.
而心u-zy 所以 r（o-/（^~/（a）
=0,即
b 一 a b 一 a
y（b）—y（a）=y'（w）a — a）.
（U）取工w（o,&）,因为于（工）在［0,5］上连续，在（o,&）内可导，所以由拉格朗日中值定
理，存在e e（o,工），使得
/（J7 ） 一 /（0） = f'工,
3
即 皿=心），两边取极限得哼
X
・ z_o+ X
■rf。+
因为 lim fr (j: ) = A 9 所以 lim/*'(£) = lim/7 (^) =A ,
x—0+ 工一()+ g~*o+
于是lim =A,即 /；(0) =A.
H f ()+ 工 lo+
-r
1 — 1 — 1
/ 1 — 1 — 1 ; — 1\
i
i “ 1
(22) ( I )【解】 由 (A ： § 1)= \ -1 1 1 : 1 > 0 1 — 2 T
\ 0 -4 一2 ——2/
o .
0 0 0
丄 丄 丄紅一丄
1 0
2 1 2
0 1 丄 7 丄 7 ，解得§ 2 _1 2 a 1十 +丄 2 （铝为任意常数）.
10 0 o o
-1 -1 -1 ，1 0
A2 -1 1 1 -1 0
o
' 0 -4 -2 、 0
1
1 2 2 0 _1、 1 1 0
~2
由（A?弋J = -2 -2 0 1 —>
0 0 0 0
\ 4 4 0 一 2/
.0 0 0 0 .
1 1
1 0 —k2 —
_ ~2
得 g 3 = k 2 1 丨+ + 0 k2 (怡 2， k 3 为任意常数）.
0
.0 . 、 叽
丄
-1
7
（U）【证明】方法一 由 1,
12，<9 3 1 —— 2 k 1 】 — 十 I—— 2 k2
2 1
-2 k, ^3
• 88 •
淘宝店铺：光速考研工作室0 0
2
1
—2 k! k3
得线性无关.
方法二 设 局⑺十展5+孔s=o， ①
式①两边左乘A得4 A§ 1 + k2A^ 2 + 3=0’由A§ i = 0得
+ 怡 = 0 , ②
& 2 § 1 3 3
式②两边左乘A得k3A2^3 =0,即k3^i =0.
由§ 1工0得怡 = 0,代入式②得怡 =0,再代入式①得4=0,
3 2
故gl，§2，S线性无关.
方法点评：本题第一问考查非齐次线性方程组，属于基础知识范畴.
第二问考查向量组的无关性，向量组线性相关性一般有如下重要思路：
(1) 利用向量组相关性定义证明；
(2) 利用向量组相关性性质证明.本题向量组的个数与向量组的维数相等，则向量组线
性无关的充分必要条件是该向量组构成的行列式不等于零.
/a 0 1
(23)【解】(I )二次型的矩阵A = 0 a 一 1
4 - 1 a — 1
A — a 0 -1
由 |AE-A | = 0 A — a 1
—1 1 A — a + 1
=（A — a）［入一（a + 1）］［入一（a — 2）］=0,
得A的特征值为入i=a, A 2 =a + 1, A3 =a — 2.
Z1 0 °\
(n)
方法一 由于/•的规范形为嶄+疋，所以A合同于0 1 0，其秩为2,于是
'o
0 o'
|/1|=入1入 2入 3 = 0,故<2 = 0或0 = —1或(2 = 2.
当a=0时，入1=0,入2=1’入 2,此时f的规范形为y\ — y｝，不合题意;
3= —
当a = — 1时，入1 = — 1,入2 — 0, A 3 = — 3,此时f的规范形为一y \ —龙，不合题意;
当a = 2时，入1 = 2,入2 = 3,入3 = 0,此时f的规范形为砒+ y\.
综上可知，a = 2.
方法二 由于/的规范形为屛+龙，所以A的特征值有2个为正数，1个为零,
因为 a — 2
