1993年数学（三）真题解析
—、填空题
（1）【答案】4-
0
2
sin —
【解】lim 航二 si. A = 21im • 茫? + 5 JC £
z—8 5十 3 x zfg 5«z + 3jc 2
X
⑵【答案】乎
【解】由字=/' / _ 2 \ 3 ( 3jc + 2) — 3 ( — 2) (一 2 \ 12
ax 、3工+2丿 （3工+2屮 工 +2/ '(3工+2屮
得字 3兀
ax o = T
2
（3）【答案】
2 — In 3
【解】 由工z -一-—(—1 V 无 V 1)得
1——x
n = 0
p (In 3)” /In 3 \ ] _ 2
2” In 3 2 — In 3*
1—〒
（4）【答案】 0.
n , r (A ) = n ,
【解】若A为兀阶矩阵，因为r（A*）= .1, r(A) = x — 1,
k
r (A ) < n — 1.
所以当 r (A ) = 2V4 — 1 时,r (A * ) =0.
(5)【答案】(4.804,5. 196).
【解】 总体 X ~ N (〃 91), —~N(0,l),a=0.05 9 u a =%oo25 = l・96,
7
10
则置信度为0. 95的〃的置信区间为（无一召％o.o25，工+命％0.025）=（4・804,5. 196）・
二、选择题
（1） 【答案】（C）.
【解】 因为lim/Xz ） = 0 = f （0）,所以/（z）在工=0连续；
x-*0
因为lim 42二£22 =lim^EEsin 1不存在，所以/Q）在乂 = 0不可导，应选（C）.
x—0 X x-*0 X JC
（2） 【答案】（A）.
【解】F'（z） = /（In x） • ------/ （― ） • （------） = —/（In x） + —7/（ — ），应选（A）.
（3） 【答案】（B）.
【解】 若矩阵的特征值都是单值，则该矩阵一定可以相似对角化；反之，若矩阵可以相似对角化，则特征
值不一定是单值，应选（B）.（4）【答案】（D）.
p (AR )
【解】 由 P(B | A) = 1 得 口 = 1,即 P(A) = P(AB),从而有 A UB,故选(D).
i )
（5）【答案】 (B).
X •4-00
【解】F（-a）= 爭（工）dz = <p(j： ) dx
4-°°
*0 卜 1
=1 - 甲（工）dr = 1 一 (p(x)dx — J o © (j: )d:r =— 2 o 卩(无)dz 9
应选（B）.
三、【解】方法一 z — y — x + jc ez~y~x = 0两边求微分得
dz-dy-dx + C ez~y~x —工 e2_3，"x ) ck —工 ez_3，_J dy + j: ez~y~x dz = 0 ,
整理得
l+xez~y~x - ez~y~x
az =-----------------------------dr + dy.
l+xez~y~x
方法二 z — y — X + jc e~y~x = 0两边分别对x ,y求偏导得
J —1+严-工+工严-匚
0,
J —1 + "—
0,
dy
解得
dz
1 _ l+ze：
Qjc l+xez~y~x
故
l+xez~y~x - ez~y~x
az =-----------------------------dz + dy.
l+xez~y~x
x — a
四、【解】lim lim + e~2a
a + a
•+8 1 *4-00 1 *+°°
.4兴,"乂=瓦 (2j? )2 e_2r d(2jr )=— x2 e " djr
2a
»+°° 2 +°° •+8
j?2d(e~J ) = — + x e~J djr
~2
2a ・ 2a
*-|-OO +°° *+°°
=2a $ e_2" j; d ( e T ) = 2a2 e_2a 一 x e + e_x Ax
2a ・ 2a
=2a2e_2a +2ae~2a e~2a
由 2a2 e~2a + 2a e_2a + e~2a = e~2a 得 a = 0 或 a = — 1.
五、【解】(1)利润函数为
L = pq — C = (d — eq)q — (aq2 -bq c) = (d — b)q — Ce + a)q2 — c
由芈=Cd — b) — 20 + a )q = 0 得 q = f J ,
dq 2(e + a)
因为哄 =—2(e + a) VO,所以当产量g = 时利润最大，
dq 2(幺十a )
Cd-bV
那么最大利润为
4(e + a ) C
⑵需求对价格的弹性为汁弊=专(3)由 | 少 | = — —---- = 1 得 g = $.
eq 厶e
六、【解】 点P)和P2的坐标为点P,z,/(z)),P2(z，er -1),
\P,P2 | = eJ -1-/(^), S =
0
由题意得e" — 1 — /(jc )= f(t)dt,
o
上式两边对t求导得/'（工）+ f〈工）=e",
从而讥/'（工）+y（z）］=詐，即［打（工）了 = e2x ,
于是 ex f （x） = -^-e2j + C ,或 f （x ） = + Ce~T ,
1 eJ — e_x
由 y（o）= 0得。=—寿，故/（工）=「一
七、【证明】 由拉格朗日中值定理，存在6 e（o,c,c2 e（c,i）,使得
—、/（c）-/（0）宀 /（l）-/（c）
f（C1）= -----------------， 八C2）= -------------------
c — 0 1 — c
因为点A,C,B在同一条直线上，所以f'g = /'（C2）,
再由罗尔定理，存在e e（C）,C2）u（o,i）,使得f'® = o.
八、【解】
1 1 k
-1 k 1 =(k + 1)(4 — ^),
1 -1 2
（1）当k^-l,k H 4时，方程组有唯一解，根据克拉默法则，得解为:
k2 +2k &2 +2怡 +4 -2k
X 1 k + 1 乂2 k + 1 工3 k + 1
（2）当怡=-1时, :川
1 1 -1 1 -1 4
A = -1 -1 1 _2 3 -8
1 _ 1 2 —4/ '0 0 0 5
因为r（A） H r（A）,所以当怡 -1 时方程组无解
（3）当 & = 4 时， :口
1 1 4 Xf 1 4 0 3 0
-1 4 1 1 1 1 1 4
1 -1 2 —4/ 'o 0 0 oz 'o 0 0 0
当k = 4时，方程组有无数个解，且通解为
(-3
X =创一1 I十pj，其中k为任意常数.
1
九、【解】令人= ，则 f = XtAX,
因为y = X AX经过正交变换化为f = y\+2y\,
所以A的特征值为入i = 0 ,A 2 = 1 ,A 3 = 2.1 a 1
由 | A | = a 1 B = —(a — 0)2=入1入2入3= 0 得 a=0,
1 0 1
/ 0 — a — 1
E — A = 1 — a 0 一 a
—1 — a 0
0 一 a — 1
由 I E-A\ = 一 a 0 — a =—2a 2 = 0 得 a = 0 = 0.
一 1 一 a 0
十、【解】(1)因为X,Y同分布，所以P(A) = P(B).
又因为X,Y相互独立，所以P(AB) = P(A)P(B).
3
于是玄=P(A U B) = P(A) + P(B)-P(AB) = 2P(A)-PS),
3 1
即 P2(A)-2P(A) + — - 0,解得 P(A)=—,
4 2
再由+ = P{X>a} = 1 — P {X a} = 1—J 辛工2 Ax = 1 —寻得 a" = 4,
解得a = W.
H 、【解】(l){N(t) = k }表示任意时间长度为t的时间段内故障发生b次，
(Xf)k
贝 I」 P{N(t) = k} = ——e^'Ck = 0,1,2,-).
k !
T表示连续两次事故之间的时间间隔，设F(t)表示T的分布函数，
当 t<0 时,F(t) = P{T < z} = 0；
当 时，F(t) = P{T£t} = l —P{T>t} = l — P{N(t)=0} = 1 — ,
(0, t <0,
故T的概率分布函数为F(t)=
\ 1 — e " , t $ 0 ,
即 T 〜E(Az).
(2)由指数分布的无记忆性得
Q = P{T 16 | T > 8} = P{T 8} = 1 一 P{T<8} = 1 - F(8) = e_8\
