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\ + 丄卩‘2， 3x d2z / 、 • z \ H 〃 1 / 工 〃 cos(zy) — -----(p i2-------(P 2-------
4~°° ~2 由V(a) = 4- Km V(e),即善(1 一厂加)=手得a = £山2. 2 l+°° L 4 L ⑵设切点为(a,e~a),曲线在该点的切线方程为y —・=-e—"(H — a), 令 z = 0 得 y = e~a (a + 1);令 jy = 0 得工= a + l, 则 S(a) = *(a + l)2e"a. 由 S'(a) = -^- (1 — a2 )e~a = 0得a = 1, 又当 0 < a < 1 时，S'(a) > 0；当 a > 1 时，S'(a) < 0, 2 故当a = 1时所围成的面积最大，最大面积为S(l)=—. e 九、【解】（1）因为A与〃相似，所以A,B 的特征值相同，显然入］=—1,入2 = 2为特征值, _ 1 0 0 由 | — E — A \ = — |E + A I = _ 2 •Z + 1 2 =2(工 + 1) — 2 = 0 得工=0, 3 1 2 由 | AE - A | = |AE-B | 得一 2(工一2) —2』，解得y = — 2. (2)显然A的特征值为入1 = — 1»A2 = 2»A3 = — 2. 1 0 0 2丨得小=—1对应的线性无关的特征向量为心=（—2） 由E+A 0 1 0 0 0 1 0 0 由 2E-A 0 1 —1得入2 = 2对应的线性无关的特征向量 0 0 0 1 0 1 由 2E+A 0 1 0得心=—2对应的线性无关的特征向量为5 0 0 0 0 0 _ 1 令 P = - 2 1 0 ，贝I」P^AP = B. 1 1 1十、【解】(1)令人= 因为B的列为方程组AX = 0的解，所以AB = O 由 AB = O 得 r(A) + r(B) < 3,再由 r(B) $ 1 得 r(A) < 2 < 3,于是 | A | = 0, 解得入=1. (2)因为 r(A) ^2,所以由 r(A) + r(B) < 3 得 r(B)£l<3,故 | B| = 0. H■一、【解】 由 Ar = A,BT = B 得 CT=C, 设A的特征值为A ! ,A 2, ••• ,Am ,B的特征值为pi，#2,…，“”， 因为A,B为正定矩阵，所以入1 >0,入2 >0,…，入，” >0,pi >0,〃2 >0,…，“” >0, 又因为 | AE - C | = |AE-A | • |AE-B | , 所以C的特征值为小>0,入2 >0,…，入，” >0,〃1 >0,“2 > 0, 故C为正定矩阵. 十二、【解】 设事件A = {测量误差绝对值大于19.6}, V 由X〜N(0,102)得花 N(O,1), p = p(A) = p{ | X |〉19. 6} = 1 - P {- 1. 96 < 召 V 1. 96 =1 - [^(1. 96) -0(- 1. 96)] = 2 — 2①(1.96) = 0. 05. 设Y表示100次试验中A出现的次数，则Y〜5(100,0.05), 令X =计=5,则Y近似服从参数为5的泊松分布, 故 P{YN3} = 1-P{Y< 3} = 1-P{Y = 0} -P{Y = 1} -P{y = 2} 1 —芥5° —齐5】 —芥52 一 o s?. 1, 第i台设备需要调整， 十三、【解】令X,= (I = 1,2,3), 0, 第0台设备不需要调整 则 xi ~ ( ° 1 ) ,X2 ~ ( ° 1 ) ,X3 ~ ( ° 1 ),且 ,X2，X3 相互独立, \o. 9 0.1/ \o. 8 0. 2/ \o. 7 0.3/ X = X】+x：2 + X3 ,x的可能取值为0,1,2,3, P{X = 0}= P{X1 = o,x2 = O9X3 = 0} = P{Xi =0} P {X2 = 0} P {X3 = 0} = 0. 504 P{X = 1}= P{X1 = 1,X2 = 0,x3 = 0} + P{X1 =0,X2 = 19X3 = 0} + P{X| = o,x2 =0 ,X3 = 1} =P{X] = 1}P{X2 = 0}P{X3 = 0}+P{X1 = 0}P{X2 = 1}P{X3 = 0} + P {X] = 0}P {X2 = Q} P {X3 = 1} = 0. 398, P{X = 3} = P{Xj = 1,X2 = 1,X3 = 1} = P{X, = 1}P{X2 = 1}P{X3 = 1} = 0.006, P{X = 2} = 1 —P{X = 0}—P{X = 1}—P{X = 3} = 0.092, / 0 1 2 3 \ 即X〜 ，故 、0. 504 0. 398 0. 092 0.006/ E (X )== 0 X 0. 504 + 1 X 0. 398 + 2 X 0. 092 + 3 X 0. 006 = 0. 6, D(X) = E(X2) -(EX)2 = 0.46.十四、【解】(l)/x(工)，y)dy. 当工 W 0 时，/'x Q ) = 0; r+8 当工〉0 时，/x(z)=J e^dj/ = — e_, |+°° = . (0, _r W 0, 故 fx Q)= _ ° f 1 le " 9 z > 0. (2)P{X+YW1}= J /Q,y)cLzdy 十四题图 ■r+yWl =f2 dj? [ e_J dj; = [2 ( e_T — eJ_1 ) dz J o J T J o 丄 2 _1 =-e~x J -ex_1 \J = 1 + e"1 - 2e 7
