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第 01 讲 函数与导数中的新定义综合
（20 类核心考点精讲精练）
新定义”主要是指新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种。
在新高考数学科目的考察中，函数与导数部分的新定义占据了举足轻重的地位，该部分内容主要检验
学生对函数的基本概念、核心性质及运算技巧的掌握程度，同时也涵盖了对导数概念的理解、计算能力的
展现以及其在多种场景下的应用。试题设计往往紧密贴合现实生活或科学情境，旨在评估学生运用函数与
导数知识体系解决实际复杂问题的能力。
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问
题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，
达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义
的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．
对于新定义的题目，一定要耐心理解定义，新的定义不但考查的是旧的知识点的延伸，更考查对于新
知识的获取理解能力，抓住关键点。对于以函数为背景的新定义问题的求解策略要紧扣新定义和用好函数
的性质，分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；同时时要
善于从试题中发现可以使用的函数的性质的一些因素
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透
彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可
以使用书上的概念.
为此，考生需对基础函数的各种属性、图象特征、运算规律有深入透彻的理解，并熟练掌握导数的基
本定义、其蕴含的几何与物理意义以及多样化的计算方法。进一步地，针对函数与导数在解决实际问题中
的典型应用，如求解最优化问题、分析变化率趋势、确定曲线在某点的切线方程等，考生应具备扎实的分
析思路和有效的解决策略。
综上所述，备考过程中，考生应高度重视基础知识的巩固与深化，同时加强针对实际问题的解题训
练，以提升自身的综合应用能力。考点一、 高斯取整函数
1．（2024·山东青岛·三模）定义 [x] 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（ ）
A． B．
C． 是偶函数 D． 是增函数
2．（2024·河南新乡·二模）函数 被称为取整函数，也称高斯函数，其中 表示不大于实数 的
最大整数．若 ，满足 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
3．（2024·重庆·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，
用其名字命名的“高斯函数”定义为：对于任意实数x，记 表示不超过x的最大整数，则 称为
“高斯函数”．例如： ， ．
(1)设 ， ，求证： 是 的一个周期，且 恒成立；
(2)已知数列 的通项公式为 ，设
．
①求证： ；
②求 的值．
1．（2024·全国·一模）数学上，常用 表示不大于x的最大整数．已知函数 ，则下列正确的是
（ ）．
A．函数 在定义域上是奇函数 B．函数 的零点有无数个
C．函数 在定义域上的值域是 D．不等式 解集是
2．（2024·河南开封·二模）（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一．用其名字命名的高
斯取整函数为 ， 表示不超过x的最大整数，例如 ， ．下列命题中正确的有
（ ）
A． ，
B． ， ，
C． ，
D． ，
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）函数 是取整函数，也被称为高斯函数，其中 表示不超过 的最大整数，例如： ， .若在函数 的定义域内，均满足在区间 上，
是一个常数，则称 为 的取整数列，称 为 的区间数列.下列说法正确的是
（ ）
A． 的区间数列的通项
B． 的取整数列的通项
C． 的取整数列的通项
D．若 ，则数列 的前 项和
考点二、 二阶行列式
1．（2024·福建宁德·模拟预测）定义 ，若关于x的不等式 在 上恒成立，则实
数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·河南·三模）我们称 为“二阶行列式”，规定其运算为 ．已知函数 的
定义域为 ，且 ，若对定义域内的任意 都有 ，则（ ）
A． B． 是偶函数 C． 是周期函数 D． 没有极值点
2．（22-23高一下·江西萍乡·期中）把符号 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 ．
已知函数 ．
(1)若 ， ，求 的值域；
(2)函数 ，若对 ， ，都有 恒成立，求实数 的取值范围．考点三、 狄利克雷函数
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克
雷函数 的结论正确的是（ ）
A． 有零点 B． 是单调函数
C． 是奇函数 D． 是周期函数
2．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）（多选）狄利克雷函数是由著名德国数学家狄利克雷创造的，它
是定义在实数上、值域不连续的函数，它在数学的发展过程中有很重大的研究意义，例如对研究微积分就
有很重要的作用，其函数表达式为 （其中 为有理数集， 为无理数集），则关于狄利
克雷函数说法正确的是（ ）
A． B．它是偶函数
C．它是周期函数，但不存在最小正周期 D．它的值域为
1．（2024·广东惠州·三模）（多选）德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析数论的创始人
之一．他提出了著名的狄利克雷函数： ，以下对 的说法正确的是（ ）
A．
B． 的值域为
C．存在 是无理数，使得
D． ，总有
2．（2024·重庆·一模）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中 为实数集， 为有理数集，则以下关于狄利克雷函数
的结论中，正确的是（ ）
A．函数 为偶函数B．函数 的值域是
C．对于任意的 ，都有
D．在 图象上不存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
E．在 图象存在不同的三个点 ，使得 为等边三角形
考点 四 、 sgn x 函数
1．（2024·山东临沂·一模）已知函数 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1．（2024·北京·模拟预测）数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用
来表示，其解析式为 .已知函数 ，给出下列结论：
①函数 的最小正周期为 ；
②函数 的单调递增区间为 ；
③函数 的对称中心为 ；
④在 上函数 的零点个数为4.
其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）
考点 五 、 最大值最小值函数
1．（22-23高三上·阶段练习）已知 表示 ， ， 中的最大值，例如 ，若函数，则 的最小值为（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
2．（2024·广东韶关·二模）定义 ，对于任意实数 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）设 为 中最大的数.已知正实数 ，记 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．（2024·湖北·一模）记 ， 分别表示函数 在 上的最大值和最小值．则
．
考点 六 、 欧拉函数
1．（2023·广东广州·模拟预测）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互素的
正整数的个数，例如， ， ．若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数n，欧拉函数
表示小于或等于n且与n互质的正整数的数目．换句话说， 是所有不超过n且与n互素的数的总数．
如： ， ．则以下是真命题的有（ ）
A． 的定义域为 ，其值域也是
B． 在其定义域上单调递增，无极值点
C．不存在 ，使得方程 有无数解D． ，当且仅当n是素数时等号成立
3．（2024·湖北·模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合 ，
欧拉函数 的值等于集合 中与n互质的正整数的个数；记 表示x除以y的余数（x和y均为正
整数），
(1)求 和 ；
(2)现有三个素数p，q， ， ，存在正整数d满足 ；已知对素数a和 ，
均有 ，证明：若 ，则 ；
(3)设n为两个未知素数的乘积， ， 为另两个更大的已知素数，且 ；又 ，
， ，试用 ， 和n求出x的值．
1．（2024·湖北武汉·二模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整
数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则 ；
若 ，则 的最大值为 ．
2．（23-24高三上·河北邢台·开学考试）欧拉是18世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看
到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素(两个数
只有公约数1)的正整数的个数.例如： ， .现从 中任选两个数，
则这两个数相同的概率是 .
考点 七 、 黎曼函数
8．（23-24高三上·河南·阶段练习）（多选）黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数
学家黎曼发现并提出，其基本定义是： （注：分子与分母是互
质数的分数，称为既约分数），则下列结论正确的是（ ）
A．B．黎曼函数的定义域为
C．黎曼函数的最大值为
D．若 是奇函数，且 ，当 时， ，则
1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为： 时，
．若数列 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点 八 、 曲率
1．（2024·广西来宾·模拟预测）曲率是数学上衡量曲线弯曲程度的重要指标，对于曲线 ，其在点
处的曲率 ，其中 是 的导函数， 是 的导函数．则抛物线
上的各点处的曲率最大值为（ ）
A． B．p C． D．
2．（2024·全国·二模）广州小蛮腰是广州市的地标性建筑，奇妙的曲线造型让建筑充满了美感，数学上用
曲率表示曲线的弯曲程度.设函数 的导函数为 的导函数记为 ，则函数 的
图象在(x ,f (x ))的曲率 .
0 0
(1)求椭圆 在 处的曲率；
(2)证明：函数 图象的曲率 的极大值点位于区间 .1．（22-23高三上·山东·阶段练习）（多选）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转
动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大．曲线 在点 处的
曲率 ，其中 是 的导函数．下面说法正确的是（ ）
A．若函数 ，则曲线 在点 与点 处的弯曲程度相同
B．若 是二次函数，则曲线 的曲率在顶点处取得最小值
C．若函数 ，则函数 的值域为
D．若函数 ，则曲线 上任意一点的曲率的最大值为
考点 九 、 极值点与拐点
1．（2024·湖南长沙·二模）极值的广义定义如下：如果一个函数在一点的一个邻域（包含该点的开区间）
内处处都有确定的值，而以该点处的值为最大（小），这函数在该点处的值就是一个极大（小）值.
对于函数 ，设自变量x从 变化到 ，当 ， 是一个确定的值，
则称函数 在点 处右可导；当 ， 是一个确定的值，则称函数
在点 处左可导.当函数 在点 处既右可导也左可导且导数值相等，则称函数
在点 处可导.
(1)请举出一个例子，说明该函数在某点处不可导，但是该点是该函数的极值点；
(2)已知函数 .
（ⅰ）求函数 在 处的切线方程；
（ⅱ）若 为 的极小值点，求a的取值范围.
2．（2024·贵州·模拟预测）定义：设 是 的导函数， 是函数 的导数，若方程
有实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐
点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数 图象的对称中心为 ，则
下列说法中正确的有（ ）A． ， B．函数 的极大值与极小值之和为2
C．函数 有三个零点 D． 在区间 上单调递减
1．（2024·河南·三模）设函数 的导函数为 的导函数为 的导函数为 .若
，且 ，则 为曲线 的拐点.
(1)判断曲线 是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若 为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
考点 十 、 洛必达法则
1．（20-21高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当
时， 的极限即为 型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在
1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．2
2．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；(2)计算： ；
(3)证明： ， .
1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限的一种重
要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．
考点十一、不动点与复合稳定点
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的不动点定
理，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数 ，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函
数为“不动点”函数．函数 有 个不动点．
2．（2024·广东广州·二模）若 是方程 的实数解，则称 是函数 与
的“复合稳定点”．若函数 且 与 有且仅有两个不同的“复合稳定点”，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·贵州黔西·一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限
维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:
对于满足一定条件的连续函数 ，存在实数 ，使得 ，我们就称该函数为“不动点”函数，
实数 为该函数的不动点.
(1)求函数 的不动点;
(2)若函数 有两个不动点 ，且 ，若 ，求实数 的取值范围.
1．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）对于函数 ，若实数 满足 ，则 称为 的不动点．
已知函数 ．
(1)当 时，求证 ；
(2)当 时，求函数 的不动点的个数；
(3)设 ，证明 ．
2．（2024·河北沧州·一模）对于函数 ， ，若存在 ，使得 ，则称 为函数
的一阶不动点；若存在 ，使得 ，则称 为函数 的二阶不动点；依此类推，可以定
义函数 的 阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数
的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为 和 ，即 ， ．
(1)若 ，证明：集合 中有且仅有一个元素；
(2)若 ，讨论集合 的子集的个数．
考点 十二 、 可移倒数点
1．（2024·江苏苏州·三模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函”， 为“ 的可移 倒数点”.设 ，若函数 恰有3个“可移
1倒数点”，则 的取值范围（ ）A． B． C． D．
1．（2024·山东聊城·二模）对于函数 ，若存在实数 ，使 ，其中 ，则称
为“可移 倒数函数”， 为“ 的可移 倒数点”．已知 ．
(1)设 ，若 为“ 的可移 倒数点”，求函数 的单调区间；
(2)设 ，若函数 恰有3个“可移1倒数点”，求 的取值范围．
考点 十三 、泰勒展开
1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中
为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
2．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了：当函数 在定义域内n
阶可导，则有如下公式：
以上公式称为函数 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， ， 表示
的n阶导数，即 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出 的泰勒展开式（至少有5项）；
(2)设 ，若 是 的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若 ，k为正整数，求k的值．1．（2024·安徽·一模）给出以下三个材料：
①若函数 可导，我们通常把导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似的，函数
的二阶导数的导数叫做函数 的三阶导数，记作 ，函数 的三阶导数的导数叫做函数
的四阶导数……，一般地，函数 的 阶导数的导数叫做函数 的n阶导数，记作
， ；
②若 ，定义 ；
③若函数 在包含 的某个开区间 上具有任意阶的导数，那么对于任意 有
，我们将 称为函数 在点
处的泰勒展开式.
例如 在点 处的泰勒展开式为
根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的泰勒展开式 ；
(2)用 在点 处的泰勒展开式前三项计算 的值，精确到小数点后4位；
(3)现已知 ，试求 的值.
考点 十四 、 麦克劳林展开
1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式， 的麦克劳林
展开式为： ，其中 表示 的n
阶导数在0处的取值，我们称 为 麦克劳林展开式的第 项．例如：
．
(1)请写出 的麦克劳林展开式中的第2项与第4项；(2)数学竞赛小组发现 的麦克劳林展开式为 ，这意味着：当 时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当 时，若 ，求整数 的最大值．
1．（2024·河南周口·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间(0,1)上的极值点的个数．
(2)“ ”是一个求和符号，例如 ， ，等等．英国数学家布鲁克·
泰勒发现，当 时， ，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当 时，对 ，都有 ；
（ii） ．
考点 十五 、拉格朗日中值定理
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，且
在 处取得极大值．
(1)求 的值与 的单调区间．
(2)如图，若函数y=f (x)的图像在 连续，试猜想拉格朗日中值定理，即一定存在 ，使得
，求 的表达式〔用含 的式子表示〕．(3)利用这条性质证明：函数 图像上任意两点的连线斜率不大于 ．
2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工
具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；
(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
1．（23-24高二下·江西九江·阶段练习）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的在点 处的切线；
(2)若函数 在区间 上单调递减，求 的取值范围；
(3)若函数 的图象上存在两点 ， ，且 ，使得 ，则称
为“拉格朗日中值函数”，并称线段 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数
是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说
明理由.
2．（2024·广东·二模）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数 在闭区间
上的图象连续不断，在开区间 内的导数为f′(x)，那么在区间 内存在点 ，使得
成立．设 ，其中 为自然对数的底数， ．易知，
在实数集 上有唯一零点 ，且 ．(1)证明：当 时， ；
(2)从图形上看，函数 的零点就是函数 的图象与 轴交点的横坐标．直接求解
的零点 是困难的，运用牛顿法，我们可以得到 零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个 作为 的初始近似值，使得 ，然后在点(x ,f (x ))处作曲线y=f (x)的切线，
0 0
切线与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的一次近似值；在点(x ,f (x ))处作曲线y=f (x)的切线，切线
1 1
与 轴的交点的横坐标为 ，称 是 的二次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列 ．
①当 时，证明： ；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得： 为递减数列，且 ．请以此为前提条件，证
明： ．
考点 十六 、 帕德近似
1．（22-23高二下·山东济南·期中）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数
的方法，给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为 ，且
满足： .. .已知 在 处的 阶
帕德近似为 .注： ，
(1)求实数 的值；
(2)求证： ；(3)求不等式 的解集，其中，
2．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，在
计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…， .已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明： .
1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）帕德近似是法国数学家亨利 帕德发明的用有理多项式近似特定函
数的方法.给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ， ，
，注： ， ， ， ，
已知函数 .
(1)求函数 在 处的 阶帕德近似 ，并求 的近似数 精确到
(2)在（1）的条件下：
①求证： ；
②若 恒成立，求实数 的取值范围.
2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数 ， ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且
满足： .（注： ，
为 的导数）已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数 的值；
(2)证明：当 时， ；
(3)设 为实数，讨论方程 的解的个数.
考点 十七 、莱布尼茨
1．（23-24高二下·贵州安顺·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，
莱布尼茨等得出“悬链线”方程为 .当 时，就是双曲余弦函数 ，类似的
我们可以定义双曲正弦函数 .它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)求 与 的导数；
(2)证明： 在 上恒成立；
(3)求 的零点.
2．（2024·甘肃酒泉·三模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法
的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为
，2表示为 ，3表示为 ，5表示为 ，发现若 可表示为二进制表达式
，则 ，其中 ， 或 ．
(1)记 ，求证： ；
(2)记 为整数 的二进制表达式中的0的个数，如 ， ．
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）求 （用数字作答）．1．（22-23高一上·江苏南通·期末）对于任意两个正数 ，记曲线 与直线 轴围成
的曲边梯形的面积为 ，并约定 和 ，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）最早
发现 ．关于 ，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·福建泉州·模拟预测）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线 年，
莱布尼茨等得出悬链线的方程为 ，其中 为参数．当 时，该表达式就是双曲余弦函数，
记为 ，悬链线的原理常运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．已知三角函数满
足性质：①导数： ；②二倍角公式： ；③平方关系： ．
定义双曲正弦函数为 ．
(1)写出 ， 具有的类似于题中①、②、③的一个性质，并证明该性质；
(2)任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围；
(3)正项数列 满足 ， ，是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出 的
值；若不存在，请说明理由．
考点 十八 、函数凹凸性
1．（2024·安徽·模拟预测）给出定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也
可导，则称 在D上存在二阶导数，记 .若 在D上恒成立，则称 在D上为
凸函数.以下四个函数在 上不是是凸函数的是（ ）A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）记函数 的导函数为 ， 的导函数为 ，设 是
的定义域的子集，若在区间 上 ，则称 在 上是“凸函数”.已知函数
.
(1)若 在 上为“凸函数”，求 的取值范围；
(2)若 ，判断 在区间 上的零点个数.
1．（2024·安徽·三模）丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性
与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若 为 上任意 个实数，满足
，则称函数 在 上为“凹函数”.也可设可导函数
在 上的导函数为 在 上的导函数为 ，当 时，函数 在
上为“凹函数”.已知 ，且 ，令 的最小值
为 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建福州·模拟预测）阅读以下材料：
①设 为函数 的导函数.若 在区间D单调递增；则称 为区 上的凹函数；若 在区
间 上单调递减，则称 为区间 上的凸函数.
②平面直角坐标系中的点 称为函数 的“ 切点”，当且仅当过点 恰好能作曲线 的 条切
线，其中 .
(1)已知函数 .
（i）当 时，讨论 的凹凸性；
（ii）当 时，点 在 轴右侧且为 的“3切点”，求点 的集合；
(2)已知函数 ，点 在 轴左侧且为 的“3切点”，写出点 的集合（不需要写出求解过程）.
考点 十九 、 切线问题
1．（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数 的图像上有两个不同点 处的切线重合，则称该切
线 为函数 的图像的“自公切线”.
(1)试判断函数 与 的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；
(2)若 ，求函数 的图像的“自公切线”方程；
(3)设 ，求证：函数 的图像不存在“自公切线”
2．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着
重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工
具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决
实际问题：
(1)对于函数 ，分别在点 处作函数 的切线，记切线与 轴的交点分
别为 ，记 为数列 的第 项，则称数列 为函数 的“切线 轴数列”，
同理记切线与 轴的交点分别为 ，记 为数列 的第 项，则称数列 为函数
的“切线 轴数列”.
①设函数 ，记 的“切线 轴数列”为 ；
②设函数 ，记 的“切线 轴数列”为 ，
则 ，求 的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法
求方程的近似解.具体步骤如下：设 是函数 的一个零点，任意选取 作为 的初始近似值，曲线
在点 处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的1次近似值；曲线
在点 处的切线为 ，设 与 轴交点的横坐标为 ，称 为 的2次近似值.一般地，曲
线 在点 处的切线为 ，记 与 轴交点的横坐标为 ，并称 为 的
次近似值.已知二次函数 有两个不相等的实根 ，其中 .对函数 持续实施牛顿迭代法得到数列 ，我们把该数列称为牛顿数列，令数列 满足 ，且 ，证明：
.（注：当 时， 恒成立，无需证明）
1．（2024·上海黄浦·二模）若函数 的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数
的图象的“自公切线”，称这两点为函数 的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数 与 的图象是否存在“自公切线”，并说明理由；
(2)若 ，求证：函数 有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”；
(3)设 ， 的零点为 ， ，求证：“存在 ，使得点
与 是函数 的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“ 是数列 中的项”.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知 为实数，函数 ．
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)定义：若函数 的图象上存在两点 ，设线段 的中点为 ，若 在点 处的
切线 与直线 平行或重合，则函数 是“中值平衡函数”，切线 叫做函数 的“中值平衡切线”．
试判断函数 是否是“中值平衡函数”？若是，判断函数 的“中值平衡切线”的条数；若不是，
说明理由；
(3)设 ，若存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
考点 二十 、 类型函数
1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，如果将函数 的图象绕坐标原点逆时针旋转
后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称 为“ 旋转函数”.
(1)判断函数 是否为“ 旋转函数”，并说明理由；
(2)已知函数 是“ 旋转函数”，求 的最大值；(3)若函数 是“ 旋转函数”，求 的取值范围.
2．（2024·黑龙江·三模）若函数y=f (x)满足：对任意的实数 ，有 恒成立，
则称函数y=f (x)为“ 增函数”.
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若曲线y=g(x)在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
y=g(x)是“ 增函数”.
1．（2024·贵州六盘水·三模）若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有
，则称 为 上的“k类函数”
(1)若 ，判断 是否为 上的“4类函数”；
(2)若 为 上的“2类函数”，求实数a的取值范围；
(3)若 为 上的“2类函数”且 ，证明： ， ， .
2．（2024·新疆喀什·三模）已知定义域为 的函数 满足：对于任意的 ，都有
，则称函数 具有性质 ．
(1)判断函数 ， 是否具有性质 ；（直接写出结论）
(2)已知函数 （ ， ），判断是否存在 ， ，使函数 具有性质 ？
若存在，求出 ， 的值；若不存在，说明理由；
(3)设函数 具有性质 ，且在区间 上的值域为[f (0),f (2π)]．函数 ，满足
，且在区间 上有且只有一个零点．求证：f (2π)=2π．
1．（2024·江苏苏州·模拟预测） 表示大于或者等于 的最小整数， 表示小于或者等于 的最大整数．已知函数 ，且 满足：对 有 ，则 的可
能取值是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2024·山东菏泽·二模）（多选）函数 的函数值表示不超过 的最大整数，例如，
．下列结论正确的有（ ）
A．函数 与函数 无公共点
B．若 ，则
C．
D．所有满足 的点 组成区域的面积为
3．（2024·全国·模拟预测）（多选）著名的德国数学家狄利克雷在19世纪提出了这样一个“奇怪的”函
数：定义在 上的函数 .后来数学家研究发现该函数在其定义域上处处不连续、处处
不可导．根据该函数，以下是真命题的有（ ）
A．
B． 的图象关于 轴对称
C． 的图象关于 轴对称
D．存在一个正三角形，其顶点均在 的图象上
4．（2024·广西柳州·模拟预测）记实数 的最小数为 ，若
，则函数 的最大值为 ．
5．（2024·江苏苏州·模拟预测）（多选）定义 表示 中的最小者，设函数
，则（ ）
A． 有且仅有一个极小值点为 B． 有且仅有一个极大值点为3
C． D． 恒成立
6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知 ，定义： ，设.若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·江西南昌·三模）欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数
的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如： ， ，则数列 的前
项和为 .
8．（2024·贵州黔南·二模）欧拉函数 表示不大于正整数 且与 互素（互素：公约数只有1）的正整
数的个数.已知 ，其中 ， ，…， 是 的所有不重复的质因数（质
因数：因数中的质数）.例如 .若数列 是首项为3，公比为2的等比数列，
则 .
9．（23-24高三下·北京海淀·阶段练习）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：
由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个
关键概念，定义如下：设 是定义在R上的函数，对于 ，令 ，若存在正
整数k使得 ，且当 时， ，则称 是 的一个周期为k的周期点．若 ，
写出一个 周期为1的周期点 ．
10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个
定理：
如果函数 满足如下条件：
① 的图象在闭区间 上是连续不断的；
② 在区间 上都有导数.
则在区间 上至少存在一个数 ，使得 .
这就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中 称为拉格朗日中值.
请阅读以上内容，回答以下问题:
(1)函数 在区间 上的拉格朗日中值 为____________；
(2)下列函数，是否存在以0为拉格朗日中值的区间 ?若存在，请将函数对应的序号全部填在横线上
____________.
① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤
11．（2024·湖北·一模）我们知道通过牛顿莱布尼兹公式，可以求曲线梯形（如图1所示阴影部分）的面积 ，其中 ， ．如果平面图形由两条曲线围成
（如图2所示阴影部分），曲线 可以表示为 ，曲线 可以表示为 ，那么阴影区域的
面积 ，其中 ．
(1)如图，连续函数y=f (x)在区间 与 的图形分别为直径为1的上、下半圆周，在区间 与
[0,2]的图形分别为直径为2的下、上半圆周，设 ．求 的值；
(2)在曲线 上某一个点处作切线，便之与曲线和x轴所围成的面积为 ，求切线方程；
(3)正项数列{b }是以公差为d（d为常数， ）的等差数列， ，两条抛物线 ，
n
记它们交点的横坐标的绝对值为 ，两条抛物线围成的封闭图形的面积为 ，求
证： ．
12．（2024·山西临汾·三模）记 为函数 的 阶导数， ，若
存在，则称 阶可导．英国数学家泰勒发现：若 在 附近 阶可导，则可构造
（称其为 在 处的 次泰勒多
项式）来逼近 在 附近的函数值．下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 ，则
C． 在 处的3次泰勒多项式为
D． （精确到小数点后两位数字）
13．（2024·江苏盐城·模拟预测）根据多元微分求条件极值理论，要求二元函数 在约束条件
的可能极值点，首先构造出一个拉格朗日辅助函数 ，其中 为拉格朗日
系数．分别对 中的 部分求导，并使之为0，得到三个方程组，如下：
，解此方程组，得出解 ，就是二元函数 在约束条件
的可能极值点． 的值代入到 中即为极值．
补充说明：【例】求函数 关于变量 的导数．即：将变量 当做常数，即：
，下标加上 ，代表对自变量x进行求导．即拉格朗日乘数法方程组之中的 表示
分别对 进行求导．
(1)求函数 关于变量 的导数并求当 处的导数值．
(2)利用拉格朗日乘数法求：设实数 满足 ，求 的最大值．
(3)①若 为实数，且 ，证明： ．
②设 ，求 的最小值．
14．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）记 ，若存在 ，满足：对任意
，均有 ，则称 为函数 在 上的最佳逼近直线.
已知函数 ， .
(1)请写出 在 上的最佳逼近直线，并说明理由；
(2)求函数 在 上的最佳逼近直线.
15．（2024·上海·模拟预测）设定义域为 的函数y=f (x)在 上可导，导函数为y=f′(x).若区间 及实数
满足： 对任意 成立，则称函数y=f (x)为 上的“ 函数”.
(1)判断 是否为(0,+∞)上的 函数，说明理由；(2)若实数 满足： 为 上的 函数，求 的取值范围；
(3)已知函数y=f (x)存在最大值．对于： ：对任意 与 恒成立， ：对任意正整数
都是 上的 函数，问： 是否为 的充分条件？ 是否为 的必要条件？证明你的结论.
16．（2024·河南信阳·二模）已知函数 ，其中 ， .若点 在函数 的
图像上，且经过点 的切线与函数 图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”，
现有函数 图像上的点列 ， ，…， ，…，使得对任意正整数 ，点 都是点 的一个
“上位点”.
(1)若 ，请判断原点 是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点 的坐标为 ，请分别求出点 、 的坐标；
(3)若 的坐标为 ，记点 到直线 的距离为 .问是否存在实数 和正整数 ，使得无穷数列
、 、…、 …严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由.
17．（23-24高二下·江西九江·期末）记 为函数 的 阶导数，
，若 存在，则称 阶可导.英国数学家泰勒发现：若
在 附近 阶可导，则可构造
（称其为 在 处的 次泰勒多项式）来逼近 在 附近的函数值.下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 在 处的3次泰勒多项式为 D．
18．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过
函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数 和 ，虽然它们
都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性
的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为 ，如果对于 内任意两数 ，都有
，则称 为 上的凹函数；若 ，则 为凸函数.
对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间
上的凹函数，则对任意的 ,有不等式恒成立（当且仅当 时等号成立）. 小组成员通
过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是
构造函数.小组成员选择了反比例型函数 和对数函数 ，研究函数的凹凸性.
(1)设 ，求W= 的最小值.
(2)设 为大于或等于1的实数，证明 （提示：可设 ）
(3)若a>1，且当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
19．（23-24高三下·重庆·阶段练习）定义：若 是 的导数， 是 的导数，则曲线
在点 处的曲率 ；已知函数 ， ，
曲线 在点 处的曲率为 ；
(1)求实数a的值；
(2)对任意 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)设方程 在区间 内的根为 ，…比较 与 的大小，
并证明．
20．（2024·浙江绍兴·二模）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给
定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足：
， ， ，…， . 已知 在 处的 阶帕
德近似为 .注： ， ， ， ，…
(1)求实数 的值；
(2)当 时，试比较 与 的大小，并证明；
(3)定义数列 ： ， ，求证： .
21．（2024·广西柳州·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的
方法．给定两个正整数m，n，函数 在 处的 阶帕德近似定义为： ，且满足： ， ， ，…， ．注： ，
， ， ，…； 为 的导数）．已知
在 处的 阶帕德近似为 ．
(1)求实数a，b的值；
(2)比较 与 的大小；
(3)若 有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
22．（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出
了一个定理，具体如下.如果函数 满足如下条件：①在闭区间 上的图象是连续的；②在开区
间 上可导.则在开区间 上至少存在一个实数 ，使得 成立，人们称此定理为
“拉格朗日中值定理”.
(1)已知 且 ，
（i）若 恒成立，求实数 的取值范围；
（ii）当 时，求证： .
(2)已知函数 有两个零点，记作 ，若 ，证明：
23．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Johann
Bernoulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了 封不同的信及相应的
个不同的信封，他把这 封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉
（Leonhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错 封信的情况为 种，可以用全排列 减去有装
正确的情况种数，结合容斥原理可得公式： ，其中 ．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 在 处 阶可导，则有：
，注 表示 的 阶导数，该公式也称
麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出 的值；
(2)估算 的大小（保留小数点后2位），并给出用 和 表示 的估计公式；(3)求证： ，其中 ．
24．（2024·山东潍坊·三模）一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形
成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程
，其中 为参数.当 时，就是双曲余弦函数 ，类似地双曲正弦函数
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当 时，双曲正弦函数 图象总在直线 的上方，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明：
25．（2024·山东菏泽·模拟预测）如果三个互不相同的函数 ， ， 在区间 上恒有
或 ，则称 为 与 在区间 上的“分割函
数”．
(1)证明：函数 为函数 与 在 上的分割函数；
(2)若函数 为函数 与 在 上的“分割函数”，求实数 的取值
范围；
(3)若 ，且存在实数 ，使得函数 为函数 与 在区间
上的“分割函数”，求 的最大值．
