文档内容
第 01 讲 分类加法计数原理与分步乘法
计数原理 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：分类加法计数原理的应用
题型二：分步乘法计数原理
题型三：两个计数原理的综合应用
角度1：与数字有关的问题
角度2：与几何有关的问题
角度3：涂色问题
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法，那
么完成这件事共有 种不同的方法.
知识点二：分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法.
知识点三：分类加法计数原理和分布乘法计数原理推广
（1）完成一件事有 类不同方案,在第1类方案中有 种不同的方法,在第2类方案中有 种不同的方法,
……,在第 类方案中有 种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.
（2）完成一件事需要 个步骤,做第1步有 种不同的方法,做第2步有 种不同的方法,……,做第 步有
种不同的方法,那么完成这件事共有 种不同的方法.第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二课时练习）已知集合 ， ，若从这两个集合中各取一个元
素作为点的横坐标或纵坐标，则可得平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
2．（2022·全国·高二课时练习）某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的
套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ）
A．30 B．14 C．33 D．90
3．（2022·全国·高二课时练习）核糖核酸RNA是存在于生物细胞以及部分病毒、类病毒中的遗传信息载
体．参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示．在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意
次序出现，假设某一RNA分子由100个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二课时练习）某省新高考采用“ ”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，
所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在
思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共
有（ ）
A．4种 B．6种 C．8种 D．12种
5．（2022·重庆·巫山县官渡中学高二阶段练习）从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则
从甲地去丙地可选择的旅行方式有______种
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：分类加法计数原理的应用
典型例题
例题1．（2022·广东珠海·高二期末）书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位
同学从中任取1本，共有（ ）种取法.
A．8 B．7 C．12 D．5
例题2．（2022·陕西西安·高二期末（理））某班有男生13人，女生17人，从中选一名学生为数学课代表，
则不同的选法共有（ ）
A．30种 B．17种 C．221种 D．13种
例题3．（2022·全国·高二课时练习）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（允许数字重复）表
示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数
字相同的信息个数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．7同类题型归类练
1．（2022·湖南·长沙县实验中学高二期末）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位
数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．13
2．（2022·北京东城·高二期末）算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，
取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，
梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两
枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
3．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（理））有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球
6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有__________.
4．（2022·全国·模拟预测）某大学开设选修课，要求学生根据自己的专业方向以及自身兴趣从6个科目中
选择3个科目进行研修．已知某班级a名学生对科目的选择如表所示，则 的一组值可以是______．
市场管 市场营
科目 国际金融 统计学 历史 会计学
理 销
人数 24 28 14 15 19 b
题型二：分步乘法计数原理
典型例题
例题1．（2022·安徽·歙县教研室高二期末）现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，
不同选法的种数是（ ）
A． B． C．24 D．12
例题2．（2022·吉林·辽源市田家炳高级中学校高二期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥
会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰
墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔
排列，则不同的排列方法有多少种？（ ）
A．24 B．12 C．6 D．2
例题3．（2022·广西百色·高二期末（理））某学校推出了《植物栽培》，《手工编织》，《实用木工》，《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲､乙两名同学的选课中恰
有一门课程相同的选法为（ ）
A．16 B．24 C．12 D．36
同类题型归类练
1．（2022·北京师大附中高二期中）2022年4月4日至2022年7月3日期间，北京本地燃油机动车尾号限
行规定为
周一 周二 周三 周四 周五
3和8 4和9 5和0 1和6 2和7
已知甲、乙、丙各拥有一辆本地燃油机动车，车牌尾号分别为1,2,7三人住在同一小区且工作地点相近，故
商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车只用一天，按此限行规定，周一到周五不同的用车
方案种数为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．36
2．（2022·河北石家庄·高二期末）7月3日，甲、乙两人从邢台各自乘坐火车到石家庄，当天从刑台到石
家庄有11个车次，其中有5个车次的发车时间为凌晨1点到凌晨5点，有6个车次的发车时间为早上7点
到晚上6点.已知甲选择凌晨6点以后出发的车次，乙选择凌晨1点到晚上6点出发的车次，则两人车次的
不同选择共有（ ）
A．11种 B．36种 C．66种 D．121种
3．（2022·全国·高二课时练习）7个不同型号的行李箱上分别对应贴有不同的标签以作标记，其中恰有3
个行李箱标签贴错的种数为（ ）
A．49 B．70 C．265 D．1854
4．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，
那么不同的夺冠情况共有（ ）种
A． B． C． D．
5．（2022·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（理））将6封信投入4个邮筒，且6封信全部投完，不
同的投法有（ ）
A． 种 B． 种 C．4种 D．24科
题型三：两个计数原理的综合应用
角度1：与数字有关的问题
典型例题
例题1．（2022·辽宁·二模）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了
“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：
“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；
“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；
“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适
合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，
若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（ ）
A．108 B．36 C．9 D．6
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在某运动会的百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、
乙、丙3人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共
有________种．
例题3．（2022·山东聊城·高二期末）数字2022具有这样的性质：它是6的倍数并且各位数字之和为6，称
这种正整数为“吉祥数”.在所有的三位正整数中，“吉祥数”的个数为___________.
例题4．（2022·湖南·高二期中）从0，1，2，3，4五个数字中任取四个数字组成无重复数字的四位数．
(1)一共可以组成多少个？
(2)其中偶数有多少个？
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）将摆放在编号为 五个位置上的 件不同商品重新摆放，则恰有一
件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用数字作答）
2．（2022·重庆·高二阶段练习）从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
(1)可以组成多少个四位偶数？
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
3．（2022·山东烟台·高二期中）（1）将标有1，2，3，4，5号的小球依次放入标号为1，2，3，4，5的
五个方格，每个方格一个小球，若3号小球不放在3号方格，则共有多少种不同的放法？
（2）由数字1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字，并且比34000大的正整数？
角度2：与几何有关的问题
典型例题
例题1．（2022·湖北咸宁·高二期末）方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲
常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大
小相同的竹棍构造一个大正方体（由 个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从 点出发，沿着竹棍
到达 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种例题2.（多选）（2022·全国·高二期末）在某城市中， ， 两地之间有如图所示的道路网．甲随机沿路
网选择一条最短路径，从 地出发去往 地．下列结论正确的有（ ）
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有61条
C．若甲途经 地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经 地，且不经过 地，则不同的路径共有9条
同类题型归类练
1．（2022·山东潍坊·高二阶段练习）如图所示，若从正六边形 的六个顶点中任取三个顶点构成
一个三角形，则直角三角形的个数为（ ）
A．6个 B．8个 C．12个 D．16个
2．（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）将一些小于10的正整数填入如下 的方格 中，使得每
行和每列中的数的乘积都等于10，共有__________种不同的填法．
3．（2022·江苏南通·高二期中）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个 的长方体框架（如图），
小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近的路线共有_________．（结果用数字作答）角度3：涂色问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高二单元测试）用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色
只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
例题2．（2022·全国·高三专题练习（文））汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是
我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜
色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A． B．1020 C．1180 D．1560
例题3．（2022·全国·高三专题练习）如图，有 、 、 、 四块区域需要植入花卉，现有 种不同花卉
可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（ ）A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
例题4．（2022·江苏江苏·高二阶段练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区
域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有( )种
A．540 B．360 C．300 D．420
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二期末）现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不
同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法
有（ ）
A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的
颜色：湖蓝色、米白色、橄榄绿、薄荷绿，欲给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，
且橄榄绿与薄荷绿也不涂在相邻的区域内，则共有______种不同的涂色方法.3．（2022·河南·郑州四中高二阶段练习（理））现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域
不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_______种．
4．（2022·重庆市万州第二高级中学高二阶段练习）给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区
域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则共有_________种不同的方案．
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·全国·高考真题（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a，a，…，a .设1≤i
