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第 32 讲 计数原理
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m 种不同的方法，第二类
1
办法中有m 种不同的方法……第n类办法中有m 种不同的方法，那么完成这
2 n
件事共有N＝m ＋ m ＋ … ＋ m 种不同的方法.
1 2 n
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m 种不同的方法，做第
1
二步有m 种不同的方法……做第n步有m 种不同的方法.那么完成这件事共有
2 n
N＝m × m ×…× m 种不同的方法.
1 2 n
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”
问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步
乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤
都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
名称 定义
并按照一定的顺序排成一列，称为从n
排列
从n个不同对象中取出 个不同对象中取出m个对象的一个排列
m(m≤n)个对象 并成一组，称为从n个不同对象中取出
组合
m个对象的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出 m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同
对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同对象中取出 m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同
对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
公式 (2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1(1)0！＝1；A＝ n ！ .
性质
(2)C＝C；C＋C＝C
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝ C a n ＋ C a n － 1 b ＋ … ＋ C a n － k b k ＋ … ＋ C b n (n∈N*)；
(2)通项公式：T ＝ C a n － k b k，它表示第 k ＋ 1 项；
k＋1
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即 C ＝ C
二项式系 当k＜(n∈N*)时，是递增的
增减性
数C 当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式 当n为偶数时，中间的一项 取得最大值
系数最大值
当n为奇数时，中间的两项 与 相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝ 2 n .
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝
C＋C＋C＋…＝ 2 n － 1 .
二、考点和典型例题
1、基本计数原理
【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择
到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有
人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【答案】D
【详解】
若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有 种参观方式；
若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处，有 种参观方式；
若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处，
有 种参观方式，
综上：共有 种参观方式.
故选：D
【典例1-2】（2023·山西大同·高三阶段练习）高中数学新教材有必修一和必修二，选择性
必修有一､二､三共5本书，把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排
列方法种数是（ ）
A．72 B．144 C．48 D．36
【答案】A
【详解】
先将选择性必修有一､二､三这三本书排成一排，有 种方法，
再将必修一､必修二这两本书插入两个空隙中，有 种方法，
所以把这5本书放在书架上排成一排，必修一､必修二不相邻的排列方法种数是：
.
故选：A.
【典例1-3】（2023·全国·高三专题练习（理））2010年世界杯足球赛预计共有24个球队
参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个
组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行
淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（ ）场次．
A．53 B．52 C．51 D．50
【答案】C
【详解】
第一轮分成6个组进行单循环赛共需要 场比赛，淘汰赛有如下情况：16进8需要
8场比赛，8进4需要4场比赛，4进2需要2场比赛，确定冠亚军需要1场比赛，共需要
场比赛
故选：C．
【典例1-4】（2022·河南·濮阳一高高三阶段练习（理））某医院从7名男医生（含一名主
任医师），6名女医生（含一名主任医师）中选派4名男医生和3名女医生支援抗疫工作，
若要求选派的医生中有主任医师，则不同的选派方案数为（ ）
A．350 B．500 C．550 D．700
【答案】C
【详解】
所选医生中只有一名男主任医师的选法有 ，所选医生中只有一名女主任医师的选法有 ，
所选医生中有一名女主任医师和一名男主任医师的选法有 ，
故所选医师中有主任医师的选派方法共有 种，
故选：C
【典例1-5】（2023·全国·高三专题练习）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是
汉末徐岳所著.该书记述了我国古代 种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪
算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算
和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、
了知算、成数算和把头算等 种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算
法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有（
）种.
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
分以下两种情况讨论：
①若甲只收集一种算法，则甲有 种选择，将其余 种算法分为 组，再分配给乙、丙、
丁三人，
此时，不同的收集方案种数为 种；
②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算 种算法中选择 种，其余 种
算法分配给乙、丙、丁三人，
此时，不同的收集方案种数为 种.
综上所述，不同的收集方案种数为 种.
故选：C.
2、排列与组合
【典例2-1】（2023·全国·高三专题练习）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文
艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【详解】
因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种
排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插
入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同
学共有： 种不同的排列方式，故选：B
【典例2-2】（2023·全国·高三专题练习（理））教育部于2022年开展全国高校书记校长
访企拓岗促就业专项行动，某市3所高校的校长计划拜访当地企业，共有4家企业可供选
择.若每名校长拜访3家企业，每家企业至少接待1名校长，则不同的安排方法共有（
）
A．60种 B．64种 C．72种 D．80种
【答案】A
【详解】
解：3名校长在4家企业任取3家企业的所有安排情况为： 种
又每家企业至少接待1名校长，故3名校长选的3家企业，不全相同，
因为3名校长选的3家企业完全相同有 种，
则不同的安排方法共有： 种.
故选：A.
【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）某校在高一开展了选课走班的活动，已知该校提
供了3门选修课供学生选择，现有5名同学参加选课走班的活动，要求这5名同学每人选
修一门课程且每门课程都有人选，则5名同学选课的种数为（ ）
A．150 B．180 C．240 D．540
【答案】A
【详解】
先把5名同学分为3组：（3人,1人,1人）或（2人,2人,1人），
再把这3组同学分配给3门选修课即可解决.
则5名同学选课的种数为 （种）
故选：A
【典例2-4】（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥
会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校
决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与
一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装.若小明和小李必须安装不同的吉
祥物，则不同的安排方案有（ ）
A．6种 B．12种 C．18种 D．24种
【答案】B
【详解】
由题意可知：应将志愿者分为三人组和两人组.
先将小李､小明之外的三人分为两组，有 种分法，再将小李､小明分进两组，有
种分法，最后将两组分配安装两个吉祥物，有 种分法，所以共计有 种.
故选：B
【典例2-5】（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））贵阳一中体育节中，乒乓球球单
打12强中有4个种子选手，将这12人平均分成3个组（每组4个人）、则4个种子选手
恰好被分在同一组的分法有（ ）
A．21 B．42 C．35 D．70
【答案】C
【详解】
4个种子选手分在同一组，即剩下的8人平均分成2组，方法有 种，
故选:C．
3、二项式定理
【典例3-1】（2022·河南洛阳·模拟预测（理）） 的展开式中各二项式系数之和
为64，则展开式中的常数项为（ ）
A． 540 B．135 C．18 D．1215
【答案】B
【详解】
由题意得 ，所以 ，所以 展开式的通项
，
令 ，得 ，
所以展开式中的常数项为 ．
故选：B．
【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习） 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项
是（ ）
A．第 项和第 项 B．第 项
C．第 项和第 项 D．第 项
【答案】B
【详解】因为 的展开式通项为 ，
其中第 项和第 项的二项式系数最大，但第 项的系数为正，第 项的系数为负，
故 按 降幕排列的展开式中，系数最大的项是第 项.
故选：B.
【典例3-3】（2022·全国·高三专题练习）若 的展开式中，某一项的系数为7，则展
开式中第三项的系数是（ ）
A．7 B．21 C．35 D．21或35
【答案】B
【详解】
解：由题意，展开式的通项为 ，
所以某一项的系数为7，即 ，解得n＝7，r＝1或n＝7，r＝6，
所以展开式中第三项的系数是 ．
故选：B．
【典例3-4】（2023·全国·高三专题练习）二项式 的展开式
中，含 项的二项式系数为（ ）
A．84 B．56 C．35 D．21
【答案】B
【详解】
解：因为二项式为 ，
所以其展开式中，含 项的二项式系数为：
，
，
，
，
，
.
故选：B
【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，
若 ，则 （ ）
A．992 B．－32 C．－33 D．496【答案】D
【详解】
由题意知： ，则 ，解得 ；令 ，则
，
令 ，则 ，两式相加得 ，
则 .
故选：D.
