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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 32 讲 空间点、直线、平面间的位置关系（精
讲）
题型目录一览
①共面、共线、共点问题的证明
②异面直线
③平面的基本性质
④等角定理
一、知识点梳理
一、四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
二、直线与直线的位置关系
位置关系 相交（共面） 平行（共面） 异面
图形
符号 a∥b公共点个数 1 0 0
特征 两条相交直线确定一个平面 两条平行直线确定一个平面 两条异面直线不同在如何一
个平面内
三、直线与平面的位置关系
位置关系 包含（面内线） 相交（面外线） 平行（面外线）
图形
符号 ∥
公共点个数 无数个 1 0
四、平面与平面的位置关系
位置关系 平行 相交（但不垂直） 垂直
图形
符号
∥ ，
公共点个数 0 无数个公共点且都在 无数个公共点且都在
唯一的一条直线上 唯一的一条直线上
【常用结论】
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
二、题型分类精讲
题型 一 共面、共线、共点问题的证明
策略方法 共面、共线、共点问题的证明【典例1】如图，在长方体 中， 、 分别是 和 的中点．
(1)证明： 、 、 、 四点共面；
(2)对角线 与平面 交于点 ， 交于点 ，求证：点 共线；
(3)证明： 、 、 三线共点．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）证明 ，即可说明 、 、 、 四点共面.
（2）先证明点 面 和 面 ，即点 在面 与面 的交线上在证明面
面 ，即点 ，即可得到答案.
（3）延长 交于 ,由于面 面 ，则 在交线 上.【详解】（1）连接
在长方体 中
、 分别是 和 的中点
、 、 、 四点共面
（2）
确定一个平面
面
面
对角线 与平面 交于点
面在面 与面 的交线上
面 且 面
面 面
即点 共线.
（3）延长 交于
面
面
面
面
面 面
、 、 三线共点.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知空间四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】一条直线和直线外一点确定一个平面，由此可验证充分性成立；“这四个点在同一平面内”时，
可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，从而必要性不成立．
【详解】“这四个点中有三点在同一直线上”，则第四点不在共线三点所在的直线上，
因为一条直线和直线外一点确定一个平面，一定能推出“这四点在同一个平面内”，从而充分性成立；
“这四个点在同一平面内”时，可能有“两点分别在两条相交或平行直线上”，不一定有三点在同一直线
上，从而必要性不成立，
所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）正方体ABCD-ABC D 中，E，F分别是线段BC，CD 的中点，则直线
1 1 1 1 1
AB与直线EF的位置关系是（ ）
1
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
【答案】A
【分析】连接 与 交于点F，易得 是平行四边形，根据平面的基本性质即可判断直
线 与直线 的位置关系.
【详解】如图所示，连接 与 交于点F，
由题意，易得四边形 是平行四边形，
在平行四边形 中，E，F分别是线段 的中点，
∴ ，又 且 共面，则直线 与直线 相交.
故选：A.3．（2023·高三课时练习）在空间四边形ABCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，
若EF∩GH＝P，则点P（ ）
A．一定在直线BD上 B．一定在直线AC上
C．既在直线AC上也在直线BD上 D．既不在直线AC上也不在直线BD上
【答案】B
【分析】由题意可得P∈平面ABC，P∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，则P∈AC，可得答案．
【详解】如图，
∵EF⊂平面ABC，GH⊂平面ACD，EF∩GH＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，即点P一定在直线AC上．
故选：B．
4．（2023·吉林·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）在长方体 中，直线 与平面
的交点为 为线段 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． 三点共线 B． 四点异不共面C． 四点共面 D． 四点共面
【答案】C
【分析】由长方体性质易知 四点共面且 是异面直线, 再根据 与 、面
、 面 的位置关系知 在面 与面 的交线上, 同理判断 , 即可判断各选
项的正误.
【详解】
因为 ,
则 四点共面.
因为 ,
则 平面 ,
又 平面 ,
则点 在平面 与平面 的交线上,
同理, 也在平面 与平面 的交线上,
所以 三点共线;
从而 四点共面,都在平面 内，
而点B不在平面 内，所以 四点不共面，故选项B正确；
三点均在平面 内，
而点A不在平面 内，
所以直线AO与平面 相交且点O是交点，
所以点M不在平面 内，
即 四点不共面，
故选项C错误；
，且 ，
所以 为平行四边形，
所以 共面，
所以 四点共面，
故选项D正确.
故选: C.
5．（2023·全国·高三专题练习）下面几个命题：①两两相交的三条直线共面；②如果两个平面有公共点，
则公共点有无数个；③一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面；④顺次连接空间四边形各
边中点所得的四边形是平行四边形．其中正确命题的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．1个
【答案】B
【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题．
【详解】命题①：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，故①错误；
命题②：如果两个平面有公共点，若两平面重合，则公共点有无数个，
若两平面不重合，则有且仅有一条过该公共点的公共直线，则公共点有无数个，故②正确；
命题③：不妨设 ， ， ，则 、 唯一确定一个平面 ，
所以 ， ，所以 ，又 ， ，所以 ，故一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共面，即③正确；
命题④：空间四边形 中，连接 ， 可得一个三棱锥，
将四个中点连接，得到四边形 ，由中位线的性质知， ， ，
∴四边形 是平行四边形，
故顺次连接空间四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，即④正确．
故选：B
6．（2023·全国·高三专题练习）在正方体中， 、 、 、 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中 、
、 、 四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】对于B，证明 即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明
另外一点不在该平面中即可.
【详解】对于选项 ，如下图，点 、 、 、 确定一个平面，该平面与底面交于 ，而点 不在
平面 上，故 、 、 、 四点不共面；对于选项 ，连结底面对角线 ，由中位线定理得 ，又 ，则 ，故 、 、 、
四点共面
对于选项C，显然 、 、 所确定的平面为正方体的底面，而点 不在该平面内，故 、 、 、
四点不共面；
对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点 、 、 确定的平面，该平面
与正方体正面的交线为 ，而点 不在直线 上，故 、 、 、 四点不共面．
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，
点F，G分别是边BC，CD上的点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
①E，F，G，H四点共面；②EF与GH异面；③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；
④EF与GH的交点M一定在直线AC上．
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理、平面基本事实推理，再逐一判断各个命题作
答.
【详解】在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，则 ，且 ，
点F，G分别是边BC，CD上的点，且 ，则 ，且 ，
因此 ，点E，F，G，H四点共面，①正确，②错误；
因 ， ，即四边形 是梯形，则EF与GH必相交，令交点为M，
点M在EF上，而EF在平面ACB上，则点M在平面ACB上，同理点M在平面ACD上，则点M是平面
ACB与平面ACD的公共点，
而AC是平面ACB与平面ACD的交线，所以点M一定在直线AC上，④正确，③错误，
所以说法正确的命题序号是①④．
故选：B
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知 分别是正方体所在棱的中点，则下列直线
中与直线 相交的是（ ）．
A．直线 B．直线
C．直线 D．直线 ．
【答案】A
【分析】通过空间想象直接可得.
【详解】如图，易知 ，所以 ，且 ，
所以 为梯形，故 与EF相交，A正确；因为 ，所以 ，故B错误；
因为平面CDH 平面EFNL， 平面CDH， 平面EFNL，
所以直线CD与直线EF无公共点，故C错误；
因为 平面ADF， 平面 ，故AD与EF异面，D错误.
故选：A
二、多选题
9．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）如图所示，在正方体 中， 为 的中点，
直线 交平面 于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， ， 三点共线 B． ， ， ， 四点共面
C． ， ， ， 四点共面 D． ， ， ， 四点共面
【答案】ABC
【分析】根据点与线、点与面、线与面的位置关系判断即可；【详解】解：在正方体 中， 为 的中点，直线 交平面 于点 ，
在选项 中， 直线 交平面 于点 ，
平面 ， 直线 ，又 平面 ， 平面 ，
为 的中点， 平面 ，底面 为正方形，所以 为 的中点，
平面 ，且 平面 ，
又 平面 ，且 平面 ，
， ， 三点共线，故选项 正确；
在选项 中， ， ， 三点共线， ， ， ， 四点共面，故 正确；
在选项 中， ， ， 三点共线， ， ， ， 四点共面，故 正确；
在选项 中， 直线 ， ，
， ， ， 四点不共面，故 错误．
故选： ．
10．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在正方体 中， 分别为棱 ，
， 上的一点，且 ， 是 的中点， 是棱 上的动点，则（ ）
A．当 时， 平面
B．当 时， 平面
C．当 时，存在点 ，使 四点共面
D．当 时，存在点 ，使 ， ， 三条直线交于同一点
【答案】BCD
【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.【详解】对于A，当 时，如图1，在 取点 ，使 ,取 中点 ,易知 ，
平面 ，故 平面 ，所以选项A错误；
对于B，如图2，当 时， 分别为 ， ， 的中点，连接 ， ， ， ， 易
知四边形 与 均为平行四边形，则 ， ，所以 ，则A，F，E，C四
点共面， 平面 ，所以选项B正确；
对于C，如图3，延长 与 的延长线交于点M，连接 与 的交点即为点I，则A，F，H，I四
点共面，所以选项C正确；对于D，如图4，连接 并延长与 的延长线交于点N，连接 与 的交点即为点I，则存在点I，
使 ， ， 三条直线交于同一点N，所以选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体 中，O是 中点， 与截面 交于P，那么 、
P、O三点共线，其理由是 ．
【答案】 、P、O是平面 和平面 的公共点，所以它们共平面 与平面 的交线
【分析】确定 、 、 平面 ， 、 、 平面 ，得到结论.
【详解】O是 中点，则O是 中点，故 平面 ，
与截面 交于P，故 ，故 平面 ，又 平面 ，
故 、 、 平面 ，又 、 、 平面 ，故 、 、 在平面 和平面 的交线上.
故答案为： 、P、O是平面 和平面 的公共点，所以它们共平面 与平面 的交线.
12．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱的中点，则A、
B、C、D四点共面的图形 （填上所有正确答案的序号）．
【答案】①③④
【分析】四点共面主要通过证明两线平行说明，本题利用中位线、平行四边形的性质结合平行线的传递性
进行说明，证明平行时绝不能凭直观感觉或无理论依据．
图①：证明AB∥EF，CD∥EF，可得AB∥CD；
图③：证明BD∥EF，AC∥EF，可得BD∥AC；
图④：证明GH∥EF，AC∥EF， BD∥GH，可得BD∥AC．
【详解】图①：取GD的中点F，连结BF、EF，
∵B、F均为相应边的中点，则： ∥
又∵ ∥ ，则 ∥ 即ABFE为平行四边形
∴AB∥EF
同理: CD∥EF
则AB∥CD即A、B、C、D四点共面，图①正确；
图②：显然AB与CD异面，图②不正确；
图③：连结AC,BD,EF,∵BE∥DF即BDFE为平行四边形
∴BD∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图③正确；
图④：连结AC,BD,EF,GH,
∵GE∥HF即GEFH为平行四边形，则GH∥EF
又∵A、C分别为相应边的中点，则AC∥EF
同理：BD∥GH
∴BD∥AC即A、B、C、D四点共面，图④正确．
故答案为：①③④．
13．（2023春·河南许昌·高三鄢陵一中校考阶段练习）如图，已知四棱锥 的底面ABCD为平行
四边形，M是棱 上靠近点D的三等分点，N是 的中点，平面AMN交 于点H，则，
.【答案】
【分析】将四棱锥补为三棱柱 ，由 求解.
【详解】解：如图所示：
补全四棱锥为三棱柱，作 ，且 ，
因为ABCD为平行四边形，所以 ，
则 ，且 ，
所以四边形 和四边形 都是平行四边形，
因为N为中点，则延长AN必过点E，
所以A，N，E，H，M在同一平面内，
因为 ，所以 ，
又因为M是棱 上靠近点D的三等分点，
所以 ，则 ，故答案为：
14．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）如图所示，在直四棱柱 中， ，
， ，P为棱 上一点，且 （ 为常数），直线 与平面 相交于点
Q．则线段 的长为 ．
【答案】
【分析】根据题意作辅助线，根据平行关系可得 ，取 ，根据平行关系可得 // ，
进而可知点 即为直线 与平面 的交点，即可得结果.
【详解】∵ ，所以 ，
分别过 作 ，垂足分别为 ，分别过 作 ，垂足分别为
，
可得 均为平行四边形，则 ，
过点 作 // ，交直线 于点 ，则 ，
可得 ，即 ，
在 上取点 ，使得 ，∵ // ， // ，则 // ，
可知： // ， ，即 为平行四边形，
∴ // ， ，
又∵ 为平行四边形，则 // ， ，
可得 // ， ，
故 为平行四边形，则 // ，
又∵ // ，则 // ，
即 四点共面，故点 即为直线 与平面 的交点，
∴ .
故答案为： .
【点睛】方法点睛：在处理截面问题时，常常转化为平行关系问题，根据线、面平行关系的判定定理以及
性质定理分析判断.
题型二 异面直线
策略方法 1．平移法求异面直线所成角的一般步骤2．坐标法求异面直线所成的角
当题设中含有两两垂直的三边关系或比较容易建立空间直角坐标系时，常采用坐标法．
注：如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才
是要求的角．
【典例1】如图所示，在正方体 中， ， 分别是 ， 的中点，则异面直线 与
所成的角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，在三角形中求解即可.
【详解】如图，连接 ， ，则 ,
， 分别是 ， 的中点，
，
是异面直线 与 所成的角，且 是等边三角形，.
故选： .
【典例2】在直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用勾股定理的逆定理及直棱柱的定义，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标及直线 与
的方向向量，利用向量的夹角公式，结合向量夹角与线线角的关系即可求解.
【详解】因为
所以 ，
所以 ,
又因为侧棱与底面垂直，
所以以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，如图所示
易得 ，
所以 ,
设异面直线 与 所成角为 ，则所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
故选：A.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考二模）在三棱锥 中， 两两垂直，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将三棱锥 放在一个长方体中，建立空间直角坐标系，求出向量 ，代入夹角公式即
可求解.
【详解】依题意，把三棱锥放在长方体中，如图所示：
因为 ，
以 为空间直角坐标系原点， 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，则有：
， ， ， ，
所以 ， ，所以 .
故选：D.
2．（2023春·河南·高三阶段练习）如图，在四棱台 中，正方形 和 的中心
分别为 和 平面 ，则直线 与直线 所成角的正切值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作出直线 与直线 所成角，解直角三角形求得其正切值.
【详解】连接 ，作 ，
垂足为 即直线 与直线 所成的角.
.故选：B
3．（2023·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ， 为
的中点， 为 的中点， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】在直三棱柱 中 ， ，
所以 ，即 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
如图建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
即异面直线 与 所成角的余弦值为 .故选：B
4．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，
且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接 与 交于点 ，连接 ，以 点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量 和
的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.
【详解】连接 与 交于点 ，连接 ，
由题意得， ，且 平面 ，
以 点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥 各棱长均为2，则 ， ，
可得 ，
则 ，
设异面直线 与 所成角为 ，
则 ．
故选：A．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知三棱锥 中， 平面ABC， ， ， ，
，D为PB的中点，则异面直线AD与PC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取BC的中点E，则 ， 或其补角即为异面直线AD与PC所成的角，求出所需边长，
利用余弦定理求 即可.
【详解】如图所示，取BC的中点E，连接AE，DE，则 ， 或其补角即为异面直线AD与PC所成的角．
由 ， ， ，则有 ，所以 ，
E为BC的中点，则 ，
平面ABC， 中， ，∴
中， ，∴ ，
在 中，根据余弦定理可得 ．
所以异面直线AD与PC所成角的余弦值为 .
故选：D
6．（2023秋·湖北·高三校联考开学考试）在直三棱柱 中， 分别
为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设 ，取 的中点 ，连接 ，则可得 为异面直线 与 所成的角
或补角，然后在 中求解即可.
【详解】设 ，取 的中点 ，连接 ，则
因为 分别为 的中点，所以 ∥ ， ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ，
所以 为异面直线 与 所成的角或补角.
因为 分别为 的中点，
所以 ，
所以 .
故选：D
7．（2023·陕西汉中·统考二模）如图，在棱长为2的正方体 中， 分别为
的中点，则 与 所成的角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，分别求得 ，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：
，
则 ，
，
，
故选：C
8．（2023·江苏·高三专题练习）在长方体 中， ， ， ，则 与
所成角的余弦值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，求得 和 ，利用空间向量法求解即可.
【详解】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则由题意可得 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 与 所成角的余弦值为 ，
故选：A
9．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）钟鼓楼是中国传统建筑之一，属于钟楼和鼓楼的合称，是主要用于报
时的建筑.中国古代一般建于城市的中心地带，在现代城市中，也可以常常看见附有钟楼的建筑.如图，在
某市一建筑物楼顶有一顶部逐级收拢的四面钟楼，四个大钟对称分布在四棱柱的四个侧面（四棱柱看成正
四棱柱，钟面圆心在棱柱侧面中心上），在整点时刻（在0点至12点中取整数点，含0点，不含12点），
已知在3点时和9点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线相互垂直，则在2点时和8点时，相邻两钟
面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】在正四棱柱 中，以 为原点，以 的方向分别为 轴建立空间直角
坐标系，利用空间向量的夹角公式可求出结果.
【详解】如图，在正四棱柱 中， 分别为侧面 和侧面 的中心，
为 的中点， 为 点钟时针， 为 点钟时针，
则 ， ，
设正四棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，
以 为原点，以 的方向分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
所以 .
所以在2点时和8点时，相邻两钟面上的时针所在的两条直线所成的角的余弦值为 .
故选：B
10．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）在正三棱柱 中， ，D为
的中点，E为 的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】延长CB至F，使得 ，可得四边形BEDF是平行四边形， ，则 为异面直
线AD与BE所成的角或补角，设 ，取 的中点 ，求出 、 、 ，利用余弦定理
求得 ，可得答案．
【详解】D为 的中点，E为 的中点，所以 ， ，
如图，延长CB至F，使得 ，连接DE，DF，AF， ，
因为 ，所以 ， ，
所以四边形BEDF是平行四边形， ，
则 为异面直线AD与BE所成的角或补角．设 ，
取 的中点 ，连接 、 ，
则 ， ， ， ，
，
，
由余弦定理得 ，
由余弦定理得 ．
所以直线AD与BE所成角的余弦值为
故选：C.11．（2023秋·全国·高三校联考开学考试）如图，在直三棱柱 中， ，则异
面直线 与 所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将该几何体补成一个直四棱柱 ，连接 ，则 （或其补角）是异面
直线 与 所成的角，然后在 中利用余弦定理求解即可.
【详解】如图，将该几何体补成一个直四棱柱 ，由题易得底面 为菱形，且 为
等边三角形.
连接 ，易得 ，所以 （或其补角）是异面直线 与 所成的角.
设 1，则 ，所以 .
故选：D.
二、填空题
12．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 中， 与 交于点 ，则直线 与直线
的夹角为 .
【答案】
【分析】通过平移，转化所求线线角为 ，再根据等边三角形的性质即可求解.
【详解】解：如图所示，连接 ,又因为
所以直线 与直线 的夹角即为 ,又 为等边三角形，O为AC中点，
所以 平分角 ，所以 .
故答案为： .13．（2023·宁夏银川·银川一中校考模拟预测）在正四棱柱 中，底面边长为1，高为3，
则异面直线 与AD所成角的余弦值是 .
【答案】
【分析】连接 ， 即为异面直线 与AD所成的角，解三角形即可．
【详解】 ， 即为异面直线 与AD所成的角，
连接 ，在 中，
正四棱柱 的底面边长为1，高为3，
，
， ，
∴ ， ，
.
故异面直线 与AD所成角的余弦值是 ．
故答案为： ．14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， 是等边三角形， ，
D，E，F分别是棱 ， ， 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是 .
【答案】
【分析】通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交线的夹角，解三角形即可.
【详解】如图，在棱 上取一点 ，使得 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，由于 ，
分别是棱 ， 的中点，所以 ， ，
故四边形 为平行四边形，进而 ，
又因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，所以 ，则 或其补角是异面直线
与 所成的角.
设 ，则 ， ， .
从而 ， ，
， ，
故 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值是 .故答案为： .
15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱ABC—ABC 中， ， ， ，
1 1 1
D、E分别是 、 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
【答案】
【分析】根据题意以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，得到 ， 的坐标，利用
空间向量求夹角即可.
【详解】由题意可知 两两垂直，故以C点为原点，以 所在直线为 轴，建立如
图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
则 ， ，
，
所以异面直线 与 所成的角的余弦值为 .
故答案为：
16．（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱 中，底面四边形ABCD是菱形，
， ，E是棱 的中点，O为底面菱形ABCD的中心，则异面直线EO和AD所成
角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】根据异面直线夹角的定义结合余弦定理运算求解.
【详解】如图，连接AC，A1C，D1C，
因为O为AC的中点，E是棱AA1的中点，所以 ，
因为 ，所以 或其补角为异面直线EO与AD所成的角，
不妨设AD=1，则 ， ，在 中，由余弦定理得 ，
因为 为直四棱柱，则 平面ABCD，
且AC， 平面ABCD，所以 ， ，
因为 ，所以 ，
则 ， ，
在 中，由余弦定理 ，
所以异面直线EO和AD所成角的余弦值为 .
故答案为： ．
17．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知四面体ABCD满足 ， ， ，
且该四面体的体积为 ，则异面直线AD与BC所成的角的大小为 ．
【答案】 或
【分析】将四面体放入长方体中，根据体积公式计算得到 ，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，
根据向量的夹角公式计算得到答案.
【详解】如图所示：将四面体放入长方体中，，解得 ，
故 ，
以 为 轴建立空间直角坐标系，
， ， ， 或 ，
或 ， ，
异面直线AD与BC所成的角的大小为 ， ，
， ；
或 ， ；
综上所述：异面直线AD与BC所成的角的大小为 或 .
故答案为： 或
题型三 平面的基本性质
【典例1】下列命题不正确的个数是（ ）
①三点确定一个平面；②圆心和圆上两个点确定一个平面；
③如果两个平面相交有一个交点，则必有无数个公共点；
④如果两条直线没有交点，则这两条直线平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】由公理2可判断命题①，②；由公理3可判断命题③；如果两条直线没有交点，则这两条直线平
行或异面可判断命题④.
【详解】对于①，当三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；
对于②，当圆心和圆上的两点满足三点共线时，确定的平面有无数个，故错误；
对于③，如果两个平面相交有一个交点，则必有经过该点的一条直线，该直线为交线，故正确；对于选项
④，
如果两条直线没有交点，则这两条直线平行也可能是异面直线，故错误，所以不正确的命题有3个.
故选：C.
【题型训练】
一、单选题
1．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考阶段练习）已知直线l和平面 ，若 ， ，则过点P且平行于
l的直线（ ）．
A．只有一条，不在平面 内 B．只有一条，且在平面 内
C．有无数条，一定在平面 内 D．有无数条，不一定在平面 内
【答案】B
【分析】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，即可得到答案.
【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面 内，所以这条直线也应该在平
面 内.
故选：B.
2．（2023·广东·高三统考学业考试）在空间四边形 中，在 上分别取E，F，G，H四点，
如果 交于一点P，则（ ）A．P一定在直线 上
B．P一定在直线 上
C．P在直线 或 上
D．P既不在直线 上，也不在直线 上
【答案】B
【分析】由题设知 面 ，结合已知条件有 面 、 面 ，进而可判断P所在的位置.
【详解】由题意知： 面 ，又 交于一点P，
∴ 面 ，同理， 面 ，又面 面 ，
由公理3知：点P一定在直线 上.
故选：B.
3．（2023·河北·校联考一模）已知 ， ， 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面， ，
， ，则“ ， 相交“是“ ， 相交”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据直线与平面的位置关系进行判断即可.
【详解】解：①若 ， 相交， ， ，则其交点在交线 上，故 ， 相交，
②若 ， 相交，可能 ， 为相交直线或异面直线．
综上所述： ， 相交是 ， 相交的充分不必要条件．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）若平面 ，直线 ，点 ，则在 内过点 的所有直线中
（ ）．
A．存在唯一一条与 平行的直线
B．只有两条与 平行的直线
C．不一定存在与 平行的直线
D．存在无数条与 平行的直线
【答案】C【分析】讨论 、 、 三种情况下，在 内过点 是否存在直线与 平行即可知
正确选项.
【详解】平面 ，直线 ，点 ，
1、当 时，在 内过点 有且仅有一条直线与 平行；
2、当 时，在 内过点 有且仅有一条直线与 平行；
3、当 时，在 内过点 不存在直线与 平行；
故选：C
5．（2023·上海黄浦·上海市大同中学校考三模）如图所示，正方体 中， 分别为棱
的中点，则在平面 内与平面 平行的直线
A．不存在 B．有1条 C．有2条 D．有无数条
【答案】D
【解析】根据已知可得平面 与平面 相交，两平面必有唯一的交线 ，则在平面 内与交
线 平行的直线都与平面 平行，即可得出结论.
【详解】平面 与平面 有公共点 ，
由公理3知平面 与平面 必有过 的交线 ，
在平面 内与 平行的直线有无数条，且它们都不在平面 内，
由线面平行的判定定理可知它们都与平面 平行.
故选：D.
【点睛】本题考查平面的基本性质、线面平行的判定，熟练掌握公理、定理是解题的关键，属于基础题.
6．（2023春·广西柳州·高三柳州市第三中学校考开学考试）下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
【答案】C
【详解】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所
以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个
平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、
定理及公式.
二、填空题
7．（2023·高三课时练习）已知 是不共面的四个点，且这四个点到平面 的距离都相等，则这样
的平面 有 个．
【答案】
【分析】分别考虑三点在平面同侧，另一点在平面另一侧和两点在平面同侧，另两点在平面另一侧的情况
即可.
【详解】当 三点在平面同侧， 位于平面另一侧时，只需 三点确定的平面到平面 的距离与
点 到平面 的距离相等，则此时的平面 符合题意；
即当 中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有 种，则满足题意的 有
个；
当 位于平面同侧， 位于平面另一侧时，只需直线 与直线 到平面 的距离相等，则此时的
平面 符合题意；则当 中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有 种，则满足题意的 有
个；
综上所述：这样的平面 有 个.
故答案为： .
8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在直四棱柱 中， ，
，M，N在棱 ， 上，且 ， ，过 的平面交 于G，则截面 的
面积为 ．
【答案】
【分析】作出图形，根据线线平行得平行四边形，进而确定出截面 为平行四边形，进而求出面积，
【详解】取 上靠近点 的一个四等分点 ，连接 ， ，
因为 ，所以 且 ，则四边形 为平行四边形，
所以 且 ，过点 作 ，因为 ，所以四边形 为平行四边形，
则 且 ，所以 且 ，则截面 为平行四边形，
由直四棱柱的性质可得，
，
， ，
在△ 中，由余弦定理得， ，
所以 ，
则截面 的面积为 ；
故答案为：6题型四 等角定理
策略方法 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
【典例1】已知 ，则 等于
A． B． 或 C． D．以上答案都不对
【答案】B
【详解】∠ABC的两边与∠PQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同.
∴∠PQR＝30°或150°，故选B.
考点：等角定理.
【题型训练】
一、单选题
1．如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不
正确的是（ ）
A．M，N，P，Q四点共面 B．
C． D．四边形MNPQ为梯形
【答案】D【分析】由基本事实4即可判断A，由等角定理即可判断BC，由三角形的中位线即可判断D.
【详解】对于A选项，由条件可得， ，所以 ，所以M，N，P，Q四点共面，故
A正确；
对于B选项，根据等角定理，得 ，故B正确；
对于C选项，由等角定理，知 ， ，所以 ，故C正确；
对于D选项，由三角形中位线的性质知 ， ， ， ，所以
，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D不正确．
故选：D．
2．两等角的一组对应边平行，则（ ）
A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边垂直 D．以上都不对
【答案】D
【分析】根据空间图形的平行关系求解即可.
【详解】两个等角的一组对应边平行，另一组边可以具有各种位置关系，并不能确定是哪一种关系，
故选：D
3．已知 ， 是两条不同的直线， 是平面，且 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】根据线面平行、线线平行、线面垂直、线线垂直的条件逐一判断即可．
【详解】解：依题意 ，若 ，则可能 ，
∴ A错误；
若 ，则 与 可能相交、异面、平行，
∴ B错误；
若 ，则可能 ， ， 与 相交，
∴ C错误；
由于 ，∴平面 内存在直线 ，满足 ，
若 ，则 ，则 ，
∴ D正确．
故选：D．
4．若 ，且 与 的方向相同，则 与 （ ）
A．一定平行且方向相同 B．一定平行且方向相反
C．一定不平行 D．不一定平行
【答案】D
【分析】画出图形，当满足题目中的条件时，根据出现的情况可得出结论．
【详解】如图，
若 ，且 与 的方向相同， 与 不一定平行．
故选：D．
5．给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】对于①，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，据此判断；对
于②，根据等角定理判断；对于③，空间两条直线的垂直包括异面垂直，此时两个角有可能不相等且不互
补，据此判断.
【详解】对于①，这两个角也可能互补，故①错误；根据等角定理，②显然正确；对于③，如图所示，
BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角不一定相等，也不一定互补，
故③错误．所以正确的命题有1个．
故选：B
6．给出下列命题：
①若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等；
②若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角或直角相等；
③若一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补；
④若两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线平行
其中真命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由平行角定理，可以判断①的真假；根据直线夹角的定义，可以判断②的真假；根据直线垂直的
几何特征，我们可以判断③的真假；根据平行公理，可以判断④的真假．
【详解】解：①中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故①错误；
②中，如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等，故②正确；
③中，如图，在长方体中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角不一定相等或互
补，如图 ， ，但两角不一定相等，故③错误；
④中，如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故④正确；
故选：C．二、多选题
7．(多选题)下列命题中，错误的结论有（ ）
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
【答案】AC
【分析】由等角定理可判断A、B的真假；举反例可判断C的真假；由平行公理可判断D的真假.
【详解】对于选项A：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故选项
A错误；
对于选项B：由等角定理可知B正确；
对于选项C：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，这两个角的关系不确定，既可能相等也可能
互补，也可能既不相等，也不互补.反例如图，在立方体中， 与 满足 ，
，但是 ， ，二者不相等也不互补.故选项C错误；对于选项D：如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行，故选项D正确.
故选：AC.
8．我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，
在空间中仍然成立的有（ ）
A．平行于同一条直线的两条直线必平行
B．垂直于同一条直线的两条直线必平行
C．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
D．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补
【答案】AC
【分析】根据线线平行传递性和课本中的定理可判断AC正确；垂直于同一条直线的两条直线位置关系不
确定，可判断B，通过举反例可判断D.
【详解】根据线线平行具有传递性可知A正确；
空间中垂直于同一条直线的两条直线，位置关系可能是异面、相交、平行，故B错误；
根据定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补可知C正确；
如图， 且 ，
则 但 和 的关系不确定，故D错误.故选：AC
三、填空题9．已知 ，则 ．
【答案】 或
【分析】根据给定条件，利用等角定理计算作答.
【详解】 ，由等角定理知， 与 相等或互补，
所以 或 .
故答案为： 或
