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微专题：涂色问题
【考点梳理】
1、利用两个计数原理解题的策略：
（1）利用分类计数原理解题分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分步属于不同种类
的两种方法是不同的方法，不能重复，分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏；
（2）利用分步计数原理解题时要注意按事件发生的过程合理分步，即分步时有先有后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事，分步必须满足两个条件：一是
各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
2、涂色问题常用方法：
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原
理求出不同涂色方法种数.
【典例剖析】
典例1．用红、黄、蓝3种颜色给如图所示的6个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂2个圆，且相邻2个圆所涂颜
色不能相同，则不同的涂法种数为（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
典例2．四色定理又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里提出
来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．某校数学兴趣小组
在研究给四棱锥 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的面）不得使用
同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂法有（ ）
A．36种 B．72种 C．48种 D．24种
典例3．如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种
颜色，则不同的着色方法数为（ ）
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典例4．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域），要求每个区域涂
一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．64种 C．96种 D．144种
【双基达标】
5．某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块
种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种
不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有（ ）
A．400种 B．396种 C．380种 D．324种
6．如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条
线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．192种 B．336种 C．600种 D．624种
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．用红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色，则“在任意两个有公共边的三角形
所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择
若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相
同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A．96 B．114 C．168 D．240
9．随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的
三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法
A．180 B．240 C．300 D．480
11．用5种不同颜色给右图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有（ ）种不
同的涂色方案．
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12．如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的
涂法有（ ）
A B C
A．3种 B．6种 C．12种 D．27种
13．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（
）
A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种
14．菊花是开封市花，1983年开封市人大把菊花命名为开封市“市花”，并且举办“菊花花会”，每年10月18
日至11月18日为“菊花花会”的会期.如图是某展区的一个菊花布局图，现有5个不同品种的菊花可供选择，要
求相邻的两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
15．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四
个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有六种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不
同的涂色方案有（ ）
第 4 页
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16．如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域
涂色，要求相邻省涂不同色，现有 种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（ ）
A． B． C． D．
17．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，若只有4种颜色可供使用，则不同
的染色方法共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．108种
18．如图．5个完全相同的圆盘用长度相同的线段连接成十字形．将其中两个圆盘染上红色．三个圆盘染上蓝色．
并规定：若一种染色方法经过旋转后与第二种染色方法一致．则认为这两者是同一种染色方法．则不同的染色方
法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．10种
19．在中国地图上，西部五省（甘肃、四川、青海、新疆、西藏）如图所示，有四种颜色供选择，要求每省涂一
色，相邻省不同色，则不同的涂色方法有（ ）种.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．48 B．72 C．96 D．120
20．用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个
格子，总有黑色格子不少于白色格⼦的染色方法种数为（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
21．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶
点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
A． B． C． D．
22．从红、黄、蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正
方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
23．如图，有 、 、 、 四块区域需要植入花卉，现有 种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，
不同的植入方法有（ ）
第 6 页
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24．如图，准备用 种不同的颜色给 、 、 、 、 五块区域涂色，要求每个区域随机用一种颜色涂色，且相邻
区域（有公共边的）所涂颜色不能相同，则不同涂色方法的种数共有（ ）
A． B． C． D．
25．无盖正方体容器的五个面上分别标有A、B、C、D、E五个字母，现需要给容器的5个表面染色，要求有公共
棱的面不能染同一种颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同的染色方案有（ ）种．
A．420 B．340 C．300 D．120
【高分突破】
一、单选题
26．如图所示，一个地区分为5个行政区域，现要给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，若有四种颜色
可供选择，则不同的着色方案种数为（ ）
A．36 B．48 C．72 D．144
27．如图的六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有3种不同颜色可供选择，则共
有（ ）种不同的染色方案.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．48 B．64 C．96 D．108
28．正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求
有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）种.
A．420 B．600 C．720 D．780
二、填空题
29．近年来，各地着力打造“美丽乡村”，彩色田野成为美丽乡村的特色风景，某乡村设计一块类似于赵爽弦图
的巨型创意农田（如图所示），计划从黄、白、紫、黑、绿五种颜色的农作物选种几种种在图中区域，并且每个
区域种且只种一种颜色的农作物，相邻区域所种的农作物颜色不同，则共有______种不同的种法．（用数字作
答）
30．现用5种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_______
种．
31．如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区
域所涂颜色互不相同，则区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有
_________种；区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司32．如图给三棱柱 的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同
一种颜色，现有 种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.
33．“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现用4
种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜
色，则不同的涂色方案有______种．
34．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供6种颜色给
其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为_________
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、解答题
35．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每
一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．
36．如图，从左到右共有5个空格．
(1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数？
(2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案？
37．如图所示的 ， ， ， 按照下列要求涂色．
（1）用3种不同颜色填涂图中 ， ， ， 四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少
种不同的涂色方案？
（2）若恰好用3种不同颜色给 ， ， ， 四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？
38．一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N*)等份，
种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a，a，a，则有多少种不同的种植方法？
1 2 3
（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a，a，a，a，则有多少种不同的种植方法？
1 2 3 4
39．将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂入如图中的五个区域内，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多
少种不同的涂色方法？
40．如图，一个正方形花圃被分成5份．
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的
种植方法？
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
41．用n种不同的颜色为两块广告牌着色，如图，要求在①，②，③，④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用
同一种颜色.
（1）若n＝6，为甲着色时共有多少种不同的方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同的方法，求n的值.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【分析】先分类（先涂前3个圈，再涂后3个圆）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色；第2
类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，分别计算后再由加法原理相加即得．
【详解】分2类（先涂前3个圆，再涂后3个圆．）：第1类，前3个圆用3种颜色，后3个圆也用3种颜色，有
种涂法；第2类，前3个圆用2种颜色，后3个圆也用2种颜色，有 种涂法．综上，不同的
涂法和数为 ．
故选：B．
2．B
【分析】利用分步乘法原理和分类加法原理分析求解
【详解】依次涂色，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB的涂色有3种选择，侧面PBC的涂色有2种选择．
①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD的涂色有2种选择；
②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD的涂色有1种选择，侧面PAD的涂色有1种选择．
综上，不同的涂法种数为 ．
故选：B．
3．A
【分析】先给四个区域标记，然后根据分步乘法计数原理求解出着色的方法数.
【详解】将四个区域标记为 ，如下图所示：
第一步涂 ： 种涂法，
第二步涂 ： 种涂法，
第三步涂 ： 种涂法，
第四步涂 ： 种涂法，
根据分步乘法计数原理可知，一共有 种着色方法，
故选：A.
第 12 页4．C
【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可.
【详解】根据题意，假设正五角星的区域为 ， ， ， ， ， ，如图所示，
先对 区域涂色，有3种方法，再对 ， ， ， ， 这5个区域进行涂色，
因为 ， ， ， ， 这5个区域都与 相邻，所以每个区域都有2种涂色方法，
所以共有 种涂色方法．
故选：C.
5．B
【分析】分两步进行，圆环的3个区域和中间的6个区域，其中中间的6个区域种植鲜花可分为3类.
【详解】圆环的3个区域种植绿色植物共有 种.如图.中间的6个区域种植鲜花可分为3类：
第一类， 均种相同植物，有 种；
第二类， 种2种不同植物，有 种；
第三类， 种的植物各不相同，有 种.
故由乘法原理和加法原理得到不同的栽种方案共有 种.
故选：B
6．C
【解析】由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，再分当A与F相同、A与G相同和A既不同于F又不同于
第 13 页G，三种情况讨论，进而求解.
【详解】由题意，点E，F，G分别有4，3，2种涂法，
（1）当A与F相同时，A有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有3种涂色方法；
②若C与F不同，则D有2种涂色方法.
故此时共有 种涂色方法.
（2）当A与G相同时，A有1种涂色方法，
①若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有2种涂色方法；
②若C与F不同，则C有2种涂色方法，此时B有2种涂色方法，D有1种涂色方法.
故此时共有 种涂色方法.
（3）当A既不同于F又不同于G时，A有1种涂色方法.
①若B与F相同，则C与A相同时，D有2种涂色方法，C与A不同时，C和D均只有1种涂色方法；
②若B与F不同，则B有1种涂色方法，
（i）若C与F相同，则C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法；
（ii）若C与F不同，则必与A相同，C有1种涂色方法，此时D有2种涂色方法.
故此时共有 种涂色方法.
综上，共有 种涂色方法.
故选：C.
【点睛】利用两个计数原理解题的策略：
1、利用分类计数原理解题分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分步属于不同种类的
两种方法是不同的方法，不能重复，分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏；
2、利用分步计数原理解题时要注意按事件发生的过程合理分步，即分步时有先有后顺序的，并且分步必须满足：
完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事，分步必须满足两个条件：一是
各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成.
7．A
【分析】求出所有涂色方法数为 ，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可先从中间一
个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】5种颜色随机给如图所示的四块三角形区域涂色方法数为 ，
有公共边的三角形为同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，其他三个三角形在剩下的4色中任意涂色均可，方法
为 ，
所以所求概率为 ．
故选：A．
8．C
【分析】依据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求得不同种植方法的种数.
【详解】先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第 14 页第一类：若c与b同色，则d中有3种不同的种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有 （种）．
故选：C．
9．A
【分析】求出所有涂色方法数为 ，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可以先从中间
一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有 种涂法，故基本事件总数 ，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有 种涂法，这一共有 种涂法，
所求概率为 ．
故选：A．
10．A
【解析】分类为①和④颜色相同和①和④颜色不同，然后，列出公式求解即可
【详解】分类：（1）①和④颜色相同： ；
（2）①和④颜色不同： ；
则共有60+120=180种不同的涂色方法
故选：A
11．D
【分析】可以任选一个环作为开始，考虑相交环之间的颜色可选的种类即可.
【详解】从左到右依次涂色(也可以任选一个环作为开始)，第一个圆环有5种选择，
第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以总数为：
；
故选：D.
12．C
【分析】根据给定信息，按用色多少分成两类，再分类计算作答.
【详解】计算不同的涂色方法数有两类办法：
用3种颜色，每个矩形涂一种颜色，有 种方法，用2色，矩形A，C涂同色，有 种方法，
由分类加法计数原理得 (种)，
所以不同的涂法有12种.
故选：C
13．D
【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用
分类分步计数原理求不同涂色方法数.
第 15 页【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方
法，共有4×3×3×3×3=324种方法．
2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有
3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．
故不同的涂色方法共有756种．
故选：D
14．D
【分析】利用分步乘法计数原理，分步完成布置这个事件，第一步布置 ，第二步布置 ，第三步布置 ，第四
步布置 ，此时需分类， 到 相同和不相同分类，第五步布置 ，由计数计算可得．
【详解】先布置中心区域 共有 种方法，从 开始沿逆时针方向进行布置四周的区域，则 有 种布置方法，
有 种布置方法.
如果 与 选用同一种菊花，则 有 种布置方法；如果 与 选用不同种类菊花，则 有 种布置方法， 有
种布置方法.按照分步乘法与分类加法计数原理，
则全部的布置方法有 （种），
故选： .
15．D
【分析】根据分步乘法原理计数，先涂中间小正方形，然后四个直角三角形按顺序涂色，注意相对的直角三角形
颜色是否相同分类即可.
【详解】第一步中间小正方形涂色，有6种方法，剩下5种颜色涂在四个直角三角形中，就按图中所示1234的顺
序，1有5种方法，2有4种方法，3有4种方法，但要分类：与1相同和与1不相同，然后确定4的方法数，
所以所求方法数为 .
故选：D.
16．C
【分析】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.
【详解】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：
若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有 种方法，再涂湖北有 种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有 种方法，
最后涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种，
若安徽与陕西不同色，先涂陕西有 种方法，再涂湖北有 种方法，涂安徽有3种方法，
涂江西、湖南也各有 种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案 种方法，
第 16 页所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有 种.
故选：C
17．B
【分析】当A，C颜色相同时，先染P，再染A，C，然后染B，最后染D，当A，C颜色不相同时，先染P，再染
A，然后染C，最后染B，D．根据分步乘法计数原理可计算结果．
【详解】设四棱锥为P-ABCD，
当A，C颜色相同时，先染P有4种方法，再染A，C有3种方法，然后染B有2种方法，最后染D也有2种方法．
根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×2=48(种)方法；当A，C颜色不相同时，先染P有4种方法，再染A有3种
方法，然后染C有2种方法，最后染B，D都有1种方法．根据分步乘法计数原理知，共有4×3×2×1×1=24(种)方法．
综上，共有48+24=72(种)方法．
故选：B．
18．B
【分析】分三类：中心染蓝色，周围两相邻染红色或不相邻染红色(两类)，中心染红色(一类)，结合题意即可确定
染色方法数.
【详解】第一种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘相邻；
第二种：中心圆盘染蓝色，周围圆盘中有两个染红色且红色圆盘不相邻；
第三种：中心圆盘染红色，周围圆盘中有一个染红色．
故选：B．
19．B
【分析】结合分步、分类计数原理求得正确答案.
【详解】先进行编号：新疆 、甘肃 、青海 、西藏 、四川 ，
按 的顺序进行涂色，其中 颜色可以相同或不相同，
所以不同的涂色方法数有 种.
故选：B
20．D
【分析】根据题意，分情况讨论，求出每种情况对应的染色方法种数，即可得出结果．
【详解】依题意，第一个格子必须为黑色，设格子从左到右的编号分别为1～6．
故①当1，3，5号格子为黑色时：有23＝8种；
②当1，3号为黑色且5号为白色时：若2号为黑色则有22＝4种，若2号为白色，则4号为黑色有2种，故此时共
有4+2＝6种；
③当1号为黑色，3号为白色时：2号必为黑色，若4号为白色，则有1×1×1×1×1×2＝2种，若4号为黑色，则有
1×1×1×1×2×2＝4种，故此时共有2+4＝6种；
综上，共有8+6+6＝20种．
故选：D．
【点睛】本题主要考查排列组合，意在考查考生的化归与转化能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查的核心
素养是数学运算、逻辑推理．本题解题的关键在于对1，3，5号格子的颜色进行讨论求解.
21．C
【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
【详解】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，
第 17 页四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有 种染色方法；
当 染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可
染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有 种.
故选：C
22．C
【分析】先讨论使用颜色种数，再根据题意进行涂色，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可.
【详解】正方形从左到右依次标号1，2，3，4.
若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，故正方形1，3颜色相同，2，4颜色相同，有2种涂法，共 种方案；
若使用3种颜色，则颜色的取法有1种；故四个正方形有两个不相邻必须同色，即1，3颜色相同，或者1，4颜色
相同，或者2，4颜色相同，有3种方案；然后先涂相同色，再涂其余2个，共有 种涂法.故共有
种方案.
综上，符合要求的不同涂色方案有 种.
故选：C.
23．D
【分析】依次考虑 、 、 、 区域，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】 区域有 种选择， 区域有 种选择， 区域有 种选择， 区域有 种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的檀入方法共有 种.
故选：D.
24．C
【分析】根据题意，涂色分 步进行，第一步对于 区域，有 种颜色可选，第二步对于 区域，与 区域相邻，有
种情况，第三步对于 区域，与 、 区域相邻，有 种情况，第四步对于 、 区域，分 种情况讨论，然后利
用分步乘法计数原理可得结果
【详解】根据题意，涂色分 步进行分析：
对于 区域，有 种颜色可选，即有 种情况，
对于 区域，与 区域相邻，有 种情况，
对于 区域，与 、 区域相邻，有 种情况，
对于 、 区域，分 种情况讨论：
若 区域与 区域涂色的颜色相同，则 区域有 种颜色可选，即有 种情况，
此时 、 区域有 种情况；
若 区域与 区域所涂的颜色不相同，则 区域有 种情况， 区域有2种情况，
第 18 页此时 、 区域有 种情况，
则 、 区域共有 种情况，
则不同涂色的方案种数共有 种．
故选：C．
25．A
【分析】就使用颜色的种数分类讨论后可求不同的染色种数.
【详解】
如图，正方体的左侧面为 ，右侧面为 ，前侧面为 ，后侧面为 ，底面为 .
5个面如果用完五种颜色，则不同的染法为 .
5个面如果有四种颜色，则必有 、 同色或 、 同色，
则不同的染法为 .
5个面如果有三种颜色，则必有 、 同色且 、 同色，
则不同的染法为 .
故不同的染法种数为 ，
故选：A.
26．C
【分析】分使用了3种颜色和使用了4种颜色求解.
【详解】按使用颜色的种类分类，
第一类：使用了3种颜色，则1,3同色且2,5同色，则共 种，
第二类：使用了4种颜色，则1,3同色2,5不同色或1,3不同色2,5同色，则共 种，
所以不同的着色方案种数为 种.
故选：C.
27．C
【分析】区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，根据图形特点，先考虑涂中间的部分，再考虑三角形的部分
即可.
【详解】先染中间有3种方法，再染5个三角形有 ，
则总方法数为：96.
故选：C
第 19 页28．D
【分析】根据对面的颜色是否相同，分①三对面染相同的颜色、②两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色、③
一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，分别求出不同的染色方案，最后加总即可.
【详解】分三类：
1、若三对面染相同的颜色，则有 种；
2、若两对面染相同颜色，另一对面染不同颜色，则有 种；
3、若一对面染相同颜色，另两对面染不同颜色，则有 种；
∴共有 种.
故选：D
29．
【解析】先考虑区域 所种农作物的种数，然后依次分析区域 、 区域所种农作物的种数，对区域 与区域
所种农作物的颜色是否相同进行分类讨论，确定区域 所种农作物的种数，利用分类加法和分步乘法计数原理可
得结果.
【详解】区域 有 种选择，区域 有 种选择，区域 有 种选择.
①若区域 和区域 所种的农作物颜色相同，则区域 有 种选择；
②若区域 和区域 所种的农作物颜色不同，则区域 有 种选择，区域 有 种选择.
综上所述，共有 种不同的种法.
故答案为： .
【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分类计数原
理求出不同涂色方法种数.
30．
【分析】结合两个计数原理计算出正确答案.
【详解】按照 的顺序进行涂色，
其中 与 的颜色可以相同也可以不相同，
所以不同的涂色方法共有 种.
故答案为：
31． 24 216
【分析】分析知：区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分别各涂2种不同颜色，则 ， 同色即
可；区域 ， ， ， 和 ， ， ， 分别各涂4种不同颜色的涂色，则先涂 共有 种，再
第 20 页涂 共有9种，由分步乘法原理即可得出答案.
【详解】 ， 同色，所以先涂 有： ，再涂 有 种，所以共有：
种.
先涂 共有： 种，设四种颜色为 ，假设 涂的颜色分别为 ，则
涂色情况如下：
， ， ，共9种，所以：
种.
故答案为：24；216.
32．
【解析】首先先给 染色，再按分类和分步，给 染色，计算染色方法.
【详解】首先先给顶点 染色，有 种方法，再给顶点 染色，①若它和点 染同一种颜色，点 和点
染相同颜色，点 就有2种方法，若点 和点 染不同颜色，则点 有2种方法，点 也有1种方法，则
的染色方法一共有 种方法，②若点 和点 染不同颜色，且与点 颜色不同，则点 有1种方
法，点 与点 颜色不同，则点 有1种方法，则点 有1种方法，此时有1种方法；若最后 与 相同，则
有2种方法，则共有2种方法；点 与点 颜色相同，则点 有1种方法，则点 有2种方法，则点 有2种方法，
共有 种方法，所以点 和点 染不同，颜色共有 种方法，
所以点 的染色方法一共有 种，所以共有 种方法.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题重点考查涂色问题，涂色问题的一个关键点是分步里面有分类，所以分类清楚是关键.
33．48
【分析】分2步进行，先涂区域①②⑤，再涂区域 ③④即可.
【详解】解：由题意，分2步进行，第一步，对于区域①②⑤两两相邻，有 种涂色方法，
第二步，对于区域 ③④必须有1个区域选剩下的1种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则有2
种涂色方法，
所以共有 种涂色方法，
故答案为：48
34．1560
【分析】把问题分成四步，先涂区域ABC，然后对D讨论，分与B颜色相同和不同两种情况，最后相乘即可.
【详解】解：分4步进行分析：
①，对于区域 ，有6种颜色可选；
②，对于区域 ，与 区域相邻，有5种颜色可选；
③，对于区域 ，与 、 区域相邻，有4种颜色可选；
④，对于区域 、 ，若 与 颜色相同， 区域有4种颜色可选，
若 与 颜色不相同， 区域有3种颜色可选， 区域有3种颜色可选，
则区域 、 有 种选择，
则不同的涂色方案有 种.
第 21 页故答案为：1560.
35．420
【分析】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解
【详解】由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有 种染色方法；
当 染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可
染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有 种.
36．(1)36
(2)48
【分析】（1）先排个位，再排万位，再排余下的位置，利用分步乘法原理求解；
（2）依次从左到右涂色，再利用分步乘法原理求解.
（1）
由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法，
再放余下的第二、三、四位，共有 种，根据分步乘法原理，这样的五位数的奇数共有
（个）．
（2）
从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有 （种）．
37．（1）24；（2）18；（3）6.
【分析】(1)根据给定条件分成4步依次对A，B，C，D涂色即可得解；
(2)根据给定条件可得必有不相邻两个区域同色，按同色区域分成3类，再对每一类分3步涂色即可得解；
(3)先从3种颜色中选出两种，再将所选颜色分两步涂在A，C(A，C同色)和B，D(B，D同色)即可得解.
【详解】（1）涂 区有3种涂法， ， ， 区域各有2种不同的涂法，
由分步乘法计数原理知将 ， ， ， 四个区域涂色共有 种不同的涂色方案；
（2）恰好用3种不同颜色涂四个区域，则 ， 区域或 ， 区域或 ， 区域必同色，
由分类加法计数原理可得恰好用3种不同颜色涂四个区域共 种不同涂色的方案；
（3）若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则 ， 区域必同色，且 ， 区域必同色，
先从3种不同颜色中任取2种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域，共2种不同的涂法，
由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂完四个区域，共有 种不同的涂色方案．
38．（1）6种；（2）18种.
【分析】（1）利用分步计数原理求解即可.
第 22 页（2）首先根据题意分成两类：第一类a，a 不同色和第二类a，a 同色，分别计算各类的得数再相加即可.
1 3 1 3
【详解】（1）先种植a 部分，有3种不同的种植方法，再种植a，a 部分．
1 2 3
因为a，a 与a 的颜色不同，a，a 的颜色也不同，
2 3 1 2 3
所以由分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．
（2）当a，a 不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，
1 3
当a，a 同色时，有3×2×1×2＝12(种)种植方法，
1 3
由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．
39．72.
【分析】利用分类计数原理及分步计数原理即得.
【详解】给区域标记号A、B、C、D、E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域
有2种，但E区域的涂色依赖于B与D涂色的颜色，如果B与D颜色相同有2种涂色方法，不相同，则只有一种．
因此应先分类后分步，
(1)当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48(种)，
(2)当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24(种)，
故共有48＋24＝72(种)不同的涂色方法．
40．(1) ；
(2) .
【分析】（1）分种3、4、5种颜色的花，应用分步计数及组合排列数求种植方法数；
（2）分 、 两种分组，结合不平均分组、全排列求不同的放法.
（1）
当种5种颜色的花，作全排列，则有 种；
当种4种颜色的花，5种颜色选4种， 中选一组种同颜色的花，余下3种颜色作全排列，则有
种；
当种3种颜色的花，5种颜色选3种， 位置任选一种，余下2种颜色在 分别种相同颜色，则有
种；
所以共有 种不同种植方法.
（2）
将7个盆栽有 、 两种分组方式，
以 分组，则 种；
以 分组，则 种；
第 23 页所以共有 种不同的放法.
41．（1）480；（2）5.
【分析】（1）利用分步乘法计数原理即可求解.
（2）利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】完成着色这件事，共分为四个步骤，
可以依次考虑为①，②，③，④这四个区域着色时各自的方法数，
再利用分步乘法计数原理确定出总的方法数.
于是有：（1）为①区域着色时有6种方法，
为②区域着色时有5种方法，
为③区域着色时有4种方法，
为④区域着色时有4种方法，
依据分步乘法计数原理，不同的着色方法为6×5×4×4＝480(种).
（2）由题意知，为①区域着色时有n种方法，
为②区域着色时有(n－1)种方法.
为③区域着色时有(n－2)种方法，
为④区域着色时有(n－3)种方法，
由分步乘法计数原理可得不同的着色方法数为n(n－1)(n－2)(n－3).
∴n(n－1)(n－2)(n－3)＝120，
∴(n2－3n)(n2－3n＋2)－120＝0，
即(n2－3n)2＋2(n2－3n)－120＝0.
∴n2－3n－10＝0或n2－3n＋12＝0(舍去).
∴n＝5.
第 24 页第 25 页
