专题7.6数学归纳法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题7.6 数学归纳法 新课程考试要求 1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等. 1.数学归纳法原理； 考向预测 2．数学归纳法的简单应用. 3．利用数学归纳法证明数列相关问题. 【知识清单】 知识点一．数学归纳法 1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n(n∈N*) 0 0 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立． 0 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 开始的所有正整数n都成立． 0 2.数学归纳法的框图表示 【考点分类剖析】 考点一 利用数学归纳法证明不等式 【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为 . （1）求数列 、 的通项公式； （2）数列 满足： ， ，证明 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【解析】（1）由已知条件列出方程组，求得首项和公比，求得数列 的通项公式，再由数列 的前 项 和为 ，进而求得 的通项公式； （2）把 的通项公式代入 ，首先利用数学归纳法证得 ，再利用放缩法 及等差数列的前 项和，即可证明. 【详解】 （1）由 ， 是 ， 的等差中项， 可得 ，即 ，即 ，解得 或 ， 又因为 ，所以 ， 又由 ，所以 ， 因为数列 的前 项和为 ， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， 满足上式， 所以 ，所以 . （2）先用数学归纳法证明当 ， ， ①当 时， ，左式>右式，不等式成立；②假设 时，不等式成立，即 ， 当 时， ，因为 在 上单调递增， 由 ，得 ，即 ， 可得 ，不等式也成立. 由①②得证当 ， ， 所以 . a  【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列 n 满足 1 a 1,a  (nN*) 1 n1 na 1 . n a ,a a  (1)求 2 3，并猜想 n 的通项公式(不需证明)； a  a  a  2( 2n11)  nN* (2)求证: 1 2 n . 1 1 1 a  ,a  a  【答案】(1) 2 2 3 3;猜想 n n ;(2)证明见解析 【解析】 1 1 a  ,a  (1) 2 2 3 3 1 a  猜想 n n1 2  1  a   2 2 (2) n n 2n   2n  2n    1  2 2    2n1 2n1    2 2n1 2n1   a  a  a   2 1 3 3 5 2n1 2n1 所以 1 2 n    2 2n11 (2)方法二用数学归纳法证明:    a 1  2 2111  6 2 (1)当n1时，左边 1 ，右边 ， 左边右边，不等式成立；   (2)假设nk(kN*)时，不等式成立，即 a 1  a 2  a k  2 2k11 ，   2 2k111 那么当nk1时，只要证明 a  a  a  a  成立， 1 2 k k1     2 2k11  a  2 2k111 只要证明 k1 1 2 2k1  2 2k11 即证 k1 1 2k1 22k1 2 2 22k3 只要证明 k1 k1 1 2k1 即证 2 2 4 ，即证2 2 2k1k1 4k3 k1 k1 16k2 24k816k2 24k9 只要证明 ，显然成立， nk1 所以 时不等式也成立. nN* 综合(1)(2)可得对一切的 不等式均成立.【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ， ，对于任意的 ，都有 . （1）求 的取值范围 （2）若 ，证明： ( ) （3）在（2）的条件下，证明： 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 （1）根据函数 的表达式，再结合 ，得 ，解不等式 ，又 ，得到 ，又 取任意正整数，所以 ； （2）先用导数进行研究，可到函数 在区间 上是增函数，再利用数学归纳的方法，可以证明 ( )； （3）由 ，解得 ，变形得 ，又 ，所以 ， ，则 在 上递增，再通过放缩得 ，再依此为依据，进行累加即可得到原式是成立的.【详解】 （1）由题得 ， 恒成立 ，故： （2） 当 时， 函数 在(1， )上是单调递增函数. 下面用数学归纳法证明： ①当 时，由 得 成立. ②假设当 时，结论成立.即： 那么当 时 这表明当 时不等式也成立，综合①②可知：当 ， 时 成立 （3） 且令 ，则 在 上递增 由（2）知： 又 左边 【总结提升】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析 法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 【变式探究】 1. （2021·浙江高三专题练习）已知数列 满足： ， 证明：当 时，（I） ； （II） ； （III） . 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】 （I）用数学归纳法可证明； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 构造函数 ，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由 及 ，递推可得 . 【详解】 （Ⅰ）用数学归纳法证明： ． 当 时， ． 假设 时， ，那么 时，若 ， 则 ，矛盾，故 ． 因此 ，所以 ，因此 ． （Ⅱ）由 得， ． 记函数 ，， 函数 在 上单调递增，所以 ， 因此 ，故 ． （Ⅲ）因为 ，所以 ， 由 ，得 ， 所以 ，故 ． 综上， ． a  q 1 2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列 n 的公比 ，且 2n b  a 1 a 3 a 5 42 ， a 3 9 是 a 1 ,a 5的等差中项，数列 b n  的通项公式 n a n 1 a n1 1 ， nN* . a  （Ⅰ）求数列 n 的通项公式； （Ⅱ）证明： b 1 b 2 b n  2n11 ，nN* . a 2n 【答案】（Ⅰ） n ；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 a 9 a a （Ⅰ）由 3 是 1， 5的等差中项得 a a 2a 18 1 5 3 ， a a a 3a 1842 所以 1 3 5 3 ，a 8 解得 3 ， 8 8q2 34 由a a 34，得q2 ， 1 5 1 q2  解得q2 4或 4， q 1 q= 2 因为 ，所以 . a 2n 所以， n . 2n b  （Ⅱ）法1：由（Ⅰ）可得 n ， . 2n 1 2n11 nN* 2n 2n( 2n 1 2n11) b    n 2n 1 2n11 ( 2n 1 2n11)( 2n 1 2n11) 2n( 2n 1 2n11) 2n( 2n 1 2n11)    2n11 2n 1 2n 12n11 2n ，  b 1 b 2 b n ( 22 1 211) ( 23 1 22 1)L  2n11 2n 1  2n111 2n11 . 法2： 2n b  由（Ⅰ）可得 n ， . 2n 1 2n11 nN* 我们用数学归纳法证明. 2 b   31 3 （1）当n1时， 1 1 3 ，不等式成立； nk kN* （2）假设 （ ）时不等式成立，即 b b b  2k11 1 2 k .nk1 那么，当 时， 2k1  2k11 b b b b 2k11 2k2 1 1 2 k k1 2k1( 2k11 2k2 1)  2k11 ( 2k11 2k2 1)( 2k11 2k2 1) 2k1( 2k11 2k2 1)  2k11 2k1  2k2 1 ， nk1 即当 时不等式也成立. 根据（1）和（2），不等式 b 1 b 2 b n  2n11 ，对任意nN* 成立. 3. （2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列 a n  的首项 a 1 1 ，数列  2a n  的前n项和为 S n， S 2 S 2 S 2 且 1 ， 2 ， 3 成等比数列． a （1）求通项公式 n； 1 a a a  n  n  n  n 1 （2）求证：n  a 1 a 2 a n   n1（ nN* ）； a n 【答案】（1） n ；（2）见解析 【解析】 2a n1 2a n1 a n 2d （1）记d 为{a n }的公差，则对任意nN， 2a n ，  2a n  q2d 0 即 为等比数列，公比 . S 2 S 2 S 2 (S 2)2 (S 2)(S 2) 由 1 ， 2 ， 3 成等比数列，得 2 1 3 ， [2(1q)2]2 (22)[2(1qq2)2] q= 2 d 1 即 ，解得 ，即 . a a (n1)d n a n(nN) 所以 n 1 ，即 n ；1 1 1 n    n(1 )(nN) （2）由（1），即证： . 1 2 n n1 下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当n1时，不等式显然成立； 1 1 1 k    k(1 ) ②假设当nk(kN)时，不等式成立，即 1 2 k k1 ， 1 1 1 1 k 1     k(1 ) 则当 时， . nk1 1 2 k k1 k1 k1 k 1 k 1 k2 2k  k2 2k 1 [ k(1 ) ] k1(1 ) 0 因 ， k1 k1 k2 k2 k 1 k1 k(1 )  k1(1 ) 故 . k1 k1 k2 1 1 1 1 k1     k1(1 ) 于是 1 2 k k1 (k1)1 ， nk1 即当 时，不等式仍成立. 1 1 1 n    n(1 )(nN) 综合①②，得 . 1 2 n n1 1 a a a n ( n  n  n )1 (nN) 所以 n a a a n1 1 2 n 考点二 归纳、猜想、证明 【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列 满足 ， ． （1）计算 、 ，猜想 的通项公式并加以证明； （2）求数列 的前 项和 ． 【答案】（1） ， ，猜想 ，证明见解析；（2） . 【解析】（1）计算得出 ， ，猜想 ，然后利用数学归纳法可证明出猜想成立； （2）计算得出 ，然后利用错位相减法可求得 . 【详解】 （1）已知数列 满足 ， ，则 ， ， 猜想 ，下面利用数学归纳法加以证明： 当 、 、 时，猜想成立； 假设当 时，猜想成立，即 ， 则当 时， ， 这说明当 时，猜想也成立， 由上可知，对任意的 ， ； （2） ， 则 ， 可得 ， 上式 下式可得 ， 因此， . 【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ，设 为 的导数， ．（1）求 ， ； （2）猜想 的表达式，并证明你的结论． 【答案】 , ； ，证明见解析 【解析】 对函数 进行求导,并通过三角恒等变换进行转化求得 的表达式,对函数 再进行求导并 通过三角恒等变换进行转化求得 的表达式; 根据 中 ， 的表达式进行归纳猜想,再利用数学归纳法证明即可. 【详解】 （1） ，其中 ， [ ，其中 ， （2）猜想 ， 下面用数学归纳法证明：①当 时， 成立， ②假设 时，猜想成立 即 当 时， 当 时，猜想成立 由①② 对 成立 【总结提升】 (1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)． ②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)． (2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略 ①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证 明． ②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【变式探究】 1 a  S  2  nN* 1.（2019·浙江高二期末）数列 a  的前n项和为S ，且满足 n n S ． n n n S S S S (Ⅰ)求 1， 2， 3， 4的值； S  (Ⅱ)猜想数列 n 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．1 2 3 4 S  S  S  S  【答案】（Ⅰ） 1 2 ， 2 3， 3 4 ， 4 5 ；（Ⅱ）见证明 【解析】 1 1 a S S  2 S  （Ⅰ）当n1时，∵ 1 1 1 S ，∴ 1 2 ， 1 1 2 a S S S  2 S  又 2 2 1 2 S ，∴ 2 3， 2 3 4 S  S  同理 3 4 ， 4 5 ； n S   nN* （Ⅱ）猜想 n n1 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当n1时，结论成立. k ②假设 nk  kN*,k 1  时结论成立，即 S k  k1， 1 a S S  S  2 当nk1时， k1 k1 k k1 S ， k1 1 1 k1 S    ∴ S 1 2S k，∴ k1 2S k 2 k k 1 k2 k1 nk1 即当 时结论成立. n S  由①②知 n n1对任意的正整数n都成立. 2.给出下列不等式： 1 1> ， 2 1 1 1+ + >1， 2 31 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > ， 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1+ + ++ >2， 2 3 15 1 1 1 5 1+ + ++ > ，…… 2 3 31 2 （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 1 1 1 1 n 【答案】（1）1+ + + ++ > (n∈N )；（2）详见解析. 2 3 4 2n−1 2 + 【解析】 （1）观察不等式左边最后一个数分母的特点： 1=21−1,3=22−1,7=23−1,15=24−1， n ……猜想不等式左边最后一个数分母2n−1，对应各式右端为 ， 2 1 1 1 1 n 所以，不等式的一般结论为：1+ + + ++ > (n∈N ). 2 3 4 2n−1 2 + （2）证明：①当n=1,2时显然成立； 1 1 1 1 k ②假设n=k时结论成立，即：1+ + + ++ > 成立 2 3 4 2k−1 2 1 1 1 1 1 1 1 1+ + + ++ + ++ + 2 3 4 2k−1 2k 2k+1−2 2k+1−1 当 时， k ( 1 1 1 1 ) n=k+1 > + + ++ + 2 2k 2k+1 2k+1−2 2k+1−1 k 1 k 1 k 1 k+1 > +2k ⋅ = + > + = 2 2k+1−1 2 1 2 2 2 2− 2k 即当n=k+1时结论也成立.由①②可知对任意n∈N ，结论都成立. + 考点三 利用数学归纳法证明等式 n(n+1) 【典例6】已知a，b，c，使等式1⋅22+2⋅32++n(n+1) 2= (an2+bn+c)对n∈N + 都成立， 12 （1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）a=3,b=11,c=10；（2）见解析 【解析】 (1):假设存在符合题意的常数a，b，c，在等式1•22+2•32+…+n（n+1）2 = （an2+bn+c）中， 令n=1，得4= （a+b+c）① 令n=2，得22= （4a+2b+c）② 令n=3，得70=9a+3b+c③ 由①②③解得a=3，b=11，c=10， 于是，对于n=1，2，3都有 1•22+2•32+…+n（n+1）2= （3n2+11n+10）（*）成立． (2)下面用数学归纳法证明：对于一切正整数n，（*）式都成立． （1）当n=1时，由上述知，（*）成立． （2）假设n=k（k≥1）时，（*）成立， 即1•22+2•32+…+k（k+1）2 = （3k2+11k+10）， 那么当n=k+1时， 1•22+2•32+…+k（k+1）2+（k+1）（k+2）2 = （3k2+11k+10）+（k+1）（k+2）2 = （3k2+5k+12k+24） = [3（k+1）2+11（k+1）+10]， 由此可知，当n=k+1时，（*）式也成立． 综上所述，当a=3，b=11，c=10时题设的等式对于一切正整数n都成立． 【典例7】 证明：＋＋…＋＝．(n∈N*) 【答案】见解析 【解析】 【思路分析】第一步验证n取第一个正整数1时等式成立，第二步假定n＝k(k∈N*)时命题成立，即 ＋＋…＋＝成立，并以此作为条件来推证等式＋＋…＋＋＝成立． 【证明】 (1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设n＝k(k≥1)时等式成立，即有 ＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)、(2)可知，对一切n∈N*等式都成立． 【总结提升】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项， 初始值n0是多少． (2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目 标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归 纳法． 【变式探究】 1. 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N )． ＋ 【答案】见解析 【解析】[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立． (2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22 ＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2(2k－1)． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N 都成立． ＋ [辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使 用数学归纳法失误． [正解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立； (2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)， 那么n＝k＋1时，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N 都成立． ＋ 2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数y=f(n)，满足 f(n)[f(n+1)+1]=2[2−f(n+1)]，且f(1)=2． 9 （1）求证：f(3)−f(2)= ； 101 f(n)= +1 （2）是否存在实数a，b，使 3 n ，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论． a(− ) −b 2 4 1 【答案】（1）见解析（2）a=− ,b= 5 5 【解析】 4−f(n) （1）因为f(n)[f(n+1)+1]=2[2−f(n+1)]，整理得f(n+1)= ， f(n)+2 1 4− 4−2 1 2 7 由f(1)=2，代入得f(2)= = ，f(3)= = ， 2+2 2 1 5 +2 2 7 1 9 所以f(3)−f(2)= − = ． 5 2 10 1 4 1 （2）由f(1)=2，f(2)= ，可得a=− ,b= ． 2 5 5 以下用数学归纳法证明 1 4 1 f(n)= +1 存在实数，a=− ,b= ，使 4 3 n 1 成立． 5 5 − (− ) − 5 2 5 ① 当n=1时，显然成立． 1 4 1 f(k)= +1 ② 当n=k时，假设存在a=− ,b= ，使得 4 3 k 1 成立， 5 5 − (− ) − 5 2 5 [ 1 ] 4− +1 4 3 k 1 (− )(− ) − 那么，当 时， 4−f(k) 5 2 5 n=k+1 f(k+1)= = f(k)+2 1 +1+2 4 3 k 1 (− )(− ) − 5 2 5 12 3 k 8 (− ) + 5 2 5 1 1 = =1+ = +1， 12 3 k 2 6 3 k 1 4 3 k+1 1 (− ) − (− ) − − (− ) − 5 2 5 5 2 5 5 2 5 1 4 1 f(k+1)= +1 即当n=k+1时，存在a=− ,b= ，使得 4 3 k+1 1 成立． 5 5 − (− ) − 5 2 51 4 1 f(n)= +1 由①，②可知，存在实数，a=− ,b= ，使 3 n 对任意正整数n恒成立． 5 5 a(− ) −b 2 【易错提醒】 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等； 第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳 法．