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专题 7.7 《数列与数学归纳法》单元测试卷
考试时间：120分钟 满分：150
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．（2019·贵州高二学业考试）在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2021·北京人大附中高二期末）根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为
和 （单位：辆），其中 ， ，则该地第4个月底的共享单车的保有
量为（ ）
A．421 B．451 C．439 D．935
3．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 =（
）
A．21 B．15 C．13 D．11
4．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
，则当 取得最大值时， 的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．8或9
5．（2021·全国高二课时练习）记数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
6．（2021·全国高二课时练习）已知公差不为0的等差数列{a}的前n项的和为S，a=2，且a，a，a 成
n n 1 1 3 9
等比数列，则S=（ ）
8
A．56 B．72 C．88 D．40
7．（2021·四川省绵阳南山中学高三其他模拟（文））设各项均为正项的数列 满足 ，
， 若 ，且数列 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6
8．（2021·河南高二月考（理））定义函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，例如，
， ， ，当 时， 的值域为 ，记集合 中元素的个
数为 ，数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2021·全国高二专题练习）已知 是 的前 项和， ， ，则下列选项错
误的是（ ）
A． B．C． D． 是以 为周期的周期数列
10．（2021·湖北高二期中）已知数列 是等比数列，公比为 ，前 项和为 ，下列判断正确的有（
）
A． 为等比数列 B． 为等差数列
C． 为等比数列 D．若 ，则
11．（2021·重庆高三其他模拟）设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（ ）
A． B． 是等比数列
C． 是单调递增数列 D．
12．（2021·广东高三其他模拟）已知数列 中， ，且
，设 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．数列 单调递增
C．
D．若 为偶数，则正整数n的最小值为8
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（2021·全国高二专题练习）某家庭打算为子女储备“教育基金”，计划从2021年开始，每年年初存
入一笔专用存款，使这笔款到2027年底连本带息共有40万元收益.如果每年的存款数额相同，依年利息
2%并按复利计算（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一
期的利息），则每年应该存入约_______万元.（参考数据： ）
14．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知数列 首项 ，且 ，则数列
的通项公式是 =_________________
15．（2021·江西景德镇市·景德镇一中高一期末（理））已知 ，记数列 的前n项和为
，且对于任意的 ， ，则实数t 的最大值是________.
16．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）定义函数 ，其中 表示不超过x的最大整数，
例如， ，当 时， 的值域为 ，记集合 中元素的
个数为 ，则（1） _________；（2） _________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2021·青铜峡市高级中学高一期末）已知公差为 的等差数列 的前 项和是 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足： ，求数列 的通项公式．18．（2021·北京二十中高二期末）设数列 是各项均为正数的等比数列， ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的通项公式为 ，求数列 的前n项和 ．
19.（2021·四川成都市·成都七中高二期中（理））设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，且
.
（1）求 和 ；
（2）是否存在等差数列 ，使得 对 成立？并证明你的结论.
20．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）在① ，② ，③ 这三个条
件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知等差数列 的公差 ，前 项和为 ，若
__________，数列 满足 ， ， .
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
21．（2021·辽宁大连市·育明高中高二期中）已知数列 的前 项和为 ， ， 是 与 的
等差中项.
（1）证明数列 是等比数列，并求其通项公式；
（2）设 ，且数列 的前 项和为 ，求证： .22．（2021·全国高二专题练习）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求 的范围.
