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【期末冲刺高分】2021—2022学年北师大版九年级数学上册期末押题必刷卷
优选重难易错典题
【期末测试·拔高】学神养成必刷卷
（考试范围：第一~六章 考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷说明：
本卷试题共25题，单选10题，填空8题，解答7题，限时120分钟，满分120分，本卷题型精选核心
常考易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！
一、选择题：本题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．□ABCD中，添加下列条件能判定该平行四边形为矩形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【答案】B
【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形即可求解．
【详解】解：在□ABCD中，添加AC=BD能判定该平行四边形为矩形．
故选择B．
【点睛】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解题关键．
2．若x＝1是一元二次方程x2+2x+a＝0的根，则a＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可．
1 / 28【详解】解：∵x＝1是一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根，
∴12+2+a＝0，
∴a＝﹣3．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的
解．
3．已知点(3，﹣1)在反比例函数 的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（ ）
A．(1，3) B．(﹣3，﹣1) C．(﹣1，3) D．(3，1)
【答案】C
【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵点（3，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，
而1×3＝﹣3×（﹣1）＝3×1＝3，﹣1×3＝﹣3，
∴点（﹣1，3）在该反比例函数图象上．
故选：C．
【点睛】此题主要考查反比例函数上的点的判断，解题的关键是根据题意先求出k的值．
4．在 这六个数中，随机取出一个数记为 ，那么使得关于 的一元二次方程 有
解，且使得关于 的方程 有整数解的所有 的值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2 / 28【分析】要使得关于 的一元二次方程 有解，利用根的判别式求出符合条件的值，再解方程
，解出a的可能值，最终综合选择满足所有条件的a的值，然后求它们的和即可．
【详解】解：要使得关于 的一元二次方程 有解，
则Δ≥16-4×（-2a）≥0，
解得a≥-2,
∴a的可能值为-2，-1、0、1、2，
解 可得，
，
使得方程有整数解满足条件的a的值为0、2，
综上所述满足条件的a的值为0、2，
0+2=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式以及分式方程，灵活运用根的判别式以及熟练求解分式方程是解题的关
键．
5．受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率
为 ，则可列方程（ ）
3 / 28A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据六月份的生产总值×（1-平均下降率）2=四月份的生产总值，可列出方程．
【详解】解：依题意，得：500（1﹣x）2＝380．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．解题关键是明确若设变化前的量为a，变化后
的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．在一个袋子中有红，黄，蓝，绿四种颜色的球各一个，从中随机摸出一个小球记录后放回，再随机摸
出一个小球，则两次摸出的小球的颜色相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用列表法求出所有的等可能性的结果数，然后找到两次颜色相同的结果数，利用概率公式求解
即可得到答案.
【详解】解：由表格可知，一共有16种等可能性的结果，两次摸出的小球的颜色相同的结果有4种情况，
∴两次摸出的小球的颜色相同的概率 ，
故选D.
红 黄 蓝 绿
红 红红 红黄 红蓝 红绿
黄 黄红 黄黄 黄蓝 黄绿
4 / 28蓝 蓝红 蓝黄 蓝蓝 蓝绿
绿 绿红 绿黄 绿蓝 绿绿
7．已知四个非零实数a，b，c，d成比例，即 ，下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据比例的性质（两内项之积等于两外项之积）解答．
【详解】解：∵ ，
∴ad＝bc，
A、 的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
B、 的两个内项是a、d，两个外项是b、c，所以ad＝bc，不符合题意；
C、∵ ，∴ ，不符合题意；
D、 的两个内项是a、c，两个外项是b、d，所以ac＝bd，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的基本性质是解题的关键．
8．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是（ ）
5 / 28A．AB＝CD B．AD＝BC C．AC＝BD D．AB＝BC
【答案】D
【分析】由已知条件得出四边形ABCD是平行四边形，再由一组邻边相等，即可得出四边形ABCD是菱形．
【详解】
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的知识；解题的关键是熟练掌握菱形的性质，从而完成求解．
9．下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．
【详解】解：太阳光下的影子，同一时刻，树高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可
知，选项C中的图形比较符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行投影的意义，掌握平行投影的特征和性质是正确判断的前提．
10．函数 与y＝kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（ ）
6 / 28A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一次函数的图象经过一、三象限k＞
0，相矛盾，故本选项错误；B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过
二、四象限，k＜0，相矛盾，故本选项错误；C、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0；而一
次函数的图象经过一、三象限，k＜0，两结论一致，故本选项正确；D、由此反比例函数的图象在一、三
象限可知，k＞0；而一次函数的图象经过一、三象限，k＜0，因为1＞0，所以此一次函数的图象应经过
一、二、三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数图象综合，解题的关键是熟知两函数的图象与性质特点．
二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。
11．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在AD边上，若△BCE是以BE为腰的等腰三角形，则线段DE的长
为_____．
【答案】2.5或2．
【分析】分两种情况：①BE=EC，此时点E是BC的中垂线与AD的交点；② ，在直角 中，
利用勾股定理求得 的长度，然后求得 的长度即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，AD=BC=5，
7 / 28①当BE=EC时，点E是BC的中垂线与AD的交点，
由轴对称的性质可得： ；
②当 时，
在 中，AB=4，
则
∴
综上所述，线段DE的长为2.5或2，
故答案是：2.5或2．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握
矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
12．菱形 周长为 ，它的一条对角线长为 ，则另一条对角线长为__________ ．
【答案】24
【分析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．
【详解】解：如图，菱形ABCD中，BD=10，
8 / 28∴AC⊥BD，
∵菱形的周长为52，BD=10，
∴AB=52÷4=13，BO=5，
∴AO=
∴AC= ．
则这个菱形的另一条对角线长为24cm．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中
的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．
13．已知一元二次方程 的一个根为0，则 ________．
【答案】-2
【分析】把x=0代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程可以求得m的值．
【详解】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2-4=0，
解得：m=2或m=-2，
又∵m-2≠0，即m≠2，
∴m=-2，
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次
方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】k＞1
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＞0，求出k的取值范围．
9 / 28【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（2k）2﹣4（k2﹣k+1）＝4k﹣4＞0，
解得k＞1；
故答案为：k＞1．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，
方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
15．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转
出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__．
【答案】 ．
【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，
∴配成紫色的概率为 ，
故答案为： ．
10 / 28【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图是解题的关键．
16．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分
别为B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为____________m．
【答案】0.2
【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得 ，将已知数据代入即可
得．
【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO=∠CDO=90°，
又∵∠AOB=∠COD，
∴△ABO∽△CDO，
则 ，
∵AO=6m，AB=1.2m，CO=1m，
∴ ，
解得：CD=0.2m，
故答案为：0.2.
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
11 / 2817．如图，一棵树（AB）的高度为7.5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长（BE）为10米，
现在小明想要站这棵树下乘凉，他的身高为1.5米，那么他最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒
到？____．
【答案】8
【分析】设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，利用同一时刻物体的高度与影长成正比得到
＝ ，解得x＝2，然后计算两影长的差即可．
【详解】解：设小明这个时刻在水平地面上形成的影长为x米，
根据题意得 ＝ ，解得x＝2，
小明这个时刻在水平地面上形成的影长为2米，
因为10﹣2＝8（米），
所以他最多离开树干8米才可以不被阳光晒到．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子
就是平行投影．同一时刻物体的高度与影长成正比．
18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x与双曲线y＝ 相交于A、B两点，C是第一象限内双曲线上
一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP、BC，若△PBC的面积是30，则C点的坐标为
__________________．
12 / 28【答案】（8， ）
【分析】设C点坐标为（a， ），根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组求得A点坐标为（2，
3），B点坐标为（-2，-3），再利用待定系数法确定直线BC的解析式，直线AC的解析式，于是利用y轴
上点的坐标特征得到D、P点坐标，然后利用S =S +S 得到关于a的方程，求出a的值即可得到C点
△PBC △PBD △CPD
坐标．
【详解】解：BC交y轴于D，如图，
设C点坐标为（a， ），
解方程组 得 或 ，
∴A点坐标为（2，3），B点坐标为（-2，-3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
13 / 28把B（-2，-3）、C（a， ）代入得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为 ，
当x=0时， ，
∴D点坐标为（0， -3）
设直线AC的解析式为y=mx+n，
把A（2，3）、C（a， ）代入得 ，解得 ，
∴直线AC的解析式为 ，
当x=0时， ，
∴P点坐标为（0， +3），
∵S =S +S ，
△PBC △PBD △CPD
∴ ×2×6+ ×a×6=30，解得a=8，
∴C点坐标为（8， ）．
故答案为：（8， ）．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函
数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点；若方程组无解则两者无交点．也考查了用待定
14 / 28系数法求一次函数的解析式．
三、解答题：本题共7个小题，19-23每题8分，24-25每题13分，共66分。
19．计算：（1）
（2）先化简，再求值：
若 ，请你选取一个合适的x的整数值，求出原式的值．
（3）解方程
【答案】（1）3 ；（2） ； ；（3）方程无解；x＝ ，x＝ ；
1 2
【分析】
（1）原式先计算乘方及绝对值运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；
（2）先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法，最后求出答案即可；
（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解，第
二个方程利用公式法求解即可．
【详解】
解：（1）原式＝﹣1×（ ）﹣（﹣9）﹣6
9﹣6
＝3 ；
（2）
15 / 28=
=
=
∵﹣3≤x≤-1，x≠0，x+2≠0，x+3≠0，x为整数，
∴x＝-1，
当x＝-1时，原式 ；
（3）去分母得：﹣3+2x﹣8＝1﹣x，
移项合并得：3x＝12，
解得：x＝4，
经检验x＝4是增根，分式方程无解；
∵a＝2，b＝-4，c＝﹣1，
∴Δ＝（-4）2﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x ，
∴x＝ ，x＝ ；
1 2
【点睛】此题考查了实数的运算，分式的化简求值，解分式方程以及解一元二次方程，解分式方程的基本
思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（1）用配方法解方程： x2＋4x﹣3＝0
（2）先化简，再求值： ，其中x2＋2x﹣8＝0
16 / 28【答案】（1） ＝﹣2＋ ， ＝﹣2﹣ ；（2）﹣ ，
【分析】
（1）依题意，用配方法解方程即可；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结
果，由方程变形求出x2＋2x的值，代入计算即可求出值．
【详解】
（1）x2＋4x﹣3＝0，
，
，
，
＝﹣2＋ ， ＝﹣2﹣ ；
（2）
，
x2＋2x﹣8＝0，
，
17 / 28原式 ．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
21．宁波桌童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20
件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调
查发现，若每件童装降价，2元，则平均可多售出4件．设每件童裴降价x元；
（1）每天可销售___件，每件盈利___元；（用含x的代数式表示）
（2）求每件童装降价多少元时，平均每天可赢利1200元．
（3）若店长希望平均每天能赢利2000元，这个愿望能实现吗？请说明理由．
【答案】（1）（20+2x），（40-x）；（2）20元；（3）不能，理由见解析
【分析】
（1）根据：销售量=原销售量+因价格下降而增加的数量，每件利润=实际售价-进价，列式即可；
（2）根据：总利润=每件利润×销售数量，列方程求解可得；
（3）根据（2）中相等关系列方程，判断方程有无实数根即可得．
【详解】解：（1）设每件童装降价x元时，每天可销售（20+2x）件，每件盈利（40-x）元，
故答案为：（20+2x），（40-x）；
（2）根据题意，得：（20+2x）（40-x）=1200，
解得：x=20，x=10，
1 2
∵要扩大销售量，
∴x=20，
答：每件童装降价20元，平均每天赢利1200元；
（3）不能，理由如下：
（20+2x）（40-x）=2000，
18 / 28整理，得：x2-30x+600=0，
∵Δ=（-30）2-4×600=-1500＜0，
∴此方程无实数根，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关
键．
22．如图，点 在线段 上，在 的同侧作等腰 和等腰 ， 与 、 分别交于点
、 ．
求证：（1） ；
（2） ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）由题意可得 ， ， ，即可证 ；
（2）由 ，可得 ，即可证 ，进而可证
．
【详解】解：证明：（1） 等腰 和等腰 ，
， ，
， ， ，
19 / 28， ，
，且 ，
∴
（2）∵
，且
∴ ，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，熟练运用相似三角形的判定是本题
的关键．
23．已知如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB＝5m，某一时刻AB在阳光下的投影BC＝2m．
（1）请你画出此时DE在阳光下的投影；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长为4m，请你计算DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）DE的长为10m．
【分析】
（1）连结AC，过点D作DF∥AC，则EF为所求；
（2）先证明Rt△ABC∽Rt△DEF，然后利用相似比计算出DE的长．
【详解】解：（1）如图，连结AC，过点D作DF∥AC，EF为此时DE在阳光下的投影；
20 / 28（2）∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF=90°
∴Rt△ABC∽Rt△DEF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得DE＝10（m），
即DE的长为10m．
【点睛】此题主要考查了平行投影的性质，得出DE的影子位置是解题关键．
24．方方驾驶小汽车匀速地从 地行驶到 地，行驶里程为 千米，设小汽车的行驶时间为 （单位：小
时），行驶速度为 （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过 千米/小时．
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）方方上午 点驾驶小汽车从 地出发．
①方方需在当天 点 分至 点（含 点 分和 点）间到达 地，求小汽车行驶速度 的范围；
②方方能否在当天 点 分前到达 地？说明理由．
【答案】（1） ；（2）①80≤v≤100；②方方不能在当天11点30分前到达B地，见解析
【分析】
（1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解；
（2）① 点至 点 分时间长为 小时， 点至 点时间长为 小时，将它们分别代入 关于 的函数表
21 / 28达式，即可得小汽车行驶的速度范围；
② 点至 点 分时间长为 小时，将其代入 关于 的函数表达式，可得速度大于 千米/时，从而得答
案．
【详解】解： ∵ ，且全程速度限定为不超过 千米/小时，
∴ 关于 的函数表达式为： .
① 点至 点 分时间长为 小时， 点至 点时间长为 小时，
将 代入 得 ，
将 代入 得 ，
∴ 小汽车行驶速度 的范围为： ；
②方方不能在当天 点 分前到达 地，理由如下：
点至 点 分时间长为 小时，
将 代入 得 (千米/小时)，超速了，
故方方不能在当天 点 分前到达 地.
【点睛】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解．
25．已知一次函数 与反比例函数 的图象交于 两点．
22 / 28（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 的面积为__________；
（3）直接写出不等式 的解集___________；
（4）点P在y轴上，当 为等腰三角形时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；（2）8；（3） 或
；（4）
【分析】
（1）将 代入反比例函数解析式中求出m的值，根据点 在反比例函数图象上，将B代入反比
例函数解析式里求出n的值，然后将A，B的坐标代入一次函数解析式里即可得到一次函数解析式；
（2）设直线AB交y轴于C，则C(0,-4)，根据S =S +S 求解即可；
△AOB △OCA △OCB
（3）观察函数图象即可得解；
（4）分三种情况：①OA=OP；②AO=AP；③PA=PO根据等腰三角形的性质，线段的中点公式等分别求解即
可．
23 / 28【详解】解：（1） 反比例函数 经过点 ，
，
点 在反比例函数图象上，
．
，
把 ， 的坐标代入 ，则 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ；
（2）设直线AB交y轴于C，则C(0,-4)，
∴S =S +S = ×4×3+ ×4×1=8；
△AOB △OCA △OCB
（3）观察函数图象知， 的解集为 ，
故答案为 ；
（4）由题意知OA= ，
当OA=OP时， 可得OP= ，
24 / 28∴ ；
当AO=AP时，作AM⊥y轴垂足为点M，
∵ ，
∴|AM|=3，
∴|OM|= ，
∴|OP|=4
3
∴ ；
25 / 28当PA=PO时，作PN⊥OA，垂足为点N，
4
∵ ，
∴N(- ,1)，
∵OA= ，
∴|ON|= ，
设 ，则|OP|=x，|PN|= ，
4 4
∴|ON|2+| PN|2=|OP|2，
4 4
即13+ =x2，
解得x=
∴
26 / 28综上所述， ．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，等腰三角形的判定与
性质等知识．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
27 / 2828 / 28
