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7.1 为什么要证明教学设计
课题 7.1为什么要证明 单元 7 学科 数学 年级 八
为什么要证明是北师大版《数学》八年级上册第七章第一节的内容。本节是在前面对几何
结论已经有了一定直观认识的基础上编排的。本章中所涉及的很多结论在前面已由学生通
过一些直观的方法进行了探索，学生了解这些结论,这里则依据学生平时的观察、实验、归
教 材 纳、类比等方法得出一种猜想，从而让学生感受这种猜想未必一定正确，所以需要我一步
分析 一步有根有据地去验证.此外，教材还注意渗透数学思想方法，如特殊结论到一般结论的归
纳思想、类比、转化的思想方法等。从本节课起,学生开始从有条理的口头表述逐渐过渡到
书写自己的理由，要求证明的每一步都要有依据,进行严格的形式化证明。因此本节课的学
习对发展学生逻辑推理能力是非常重要的，对培养学生的创新意识也非常有利。
通过观察、猜想、推理的过程，发展学生的探索意识与合作交流的意识。发展学生的探索
核 心 意识以及合作交流的习惯，关注现实，培养学生进行 思考的能力和质疑精神。
素 养
分析
1、体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确，使学生对由这些方法得到的结论
产生怀疑，从而认识到证明的必要性 。
学习
2、 理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法：实验验证、举出反例、推理证明等，
目标
理解数学的严谨性。
重点 理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明，理解并掌握应用实践进行证明、举反例验
证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法。
难点 体会数学推理的重要性和必要性。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 韦德螺旋： 从一个古老的螺
这真是一个螺旋吗？ 学生思考后回 旋让学生认识到
答 眼见不一定为实
的道理，从而引
出本节课题
【解析】英国视觉科学家、艺术家尼古拉斯·韦德
向我们展示了他的弗雷泽螺旋幻觉的变体形式。
虽然图形看起来像螺旋，但实际上它是一系列同
心圆。
讲授新课 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正
确的结论. 观察、实验、 归纳得到的结论一定正
确吗？我们再感受几个！
(1)图1中两条线段a, b的长度相等吗？图2中的
四边形是正方形吗？请你先观察，再设法检验你
观察到的结论. 合作交流： 这个环节的分组
把自己的想 共研很重要，独
法，在组内与 自 运 算 的 量 会
其他同学交 大，所以采用接流，达成组内 龙的方式，每个
统一意见。 人承担一定的计
算可以快速得到
反例．
(2)如图，把地球看成球形，假如用一根比地球赤
道长1m的铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤
道之间的间隙能有多大？能放进一个拳头吗？
作为一个非常具
有趣味性的题，
在此呈现，给学
生一个充分发挥
想象力的过程，
别太信任你的眼睛和直觉哟！
独立思考并完 而本题对大部分
解：设赤道的周长为C，则铁丝与地球赤道的间隙
成，然后在小 学生来说也是一
为
组里交流。 个难题，本题数
C+1 C 1
− = =0.16(m) 据较少，让学生
2π 2π 2π
望而却步，教师
所以这样的间隙可以放进一个拳头.
引导学生用字母
有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让
表示代数式，再
我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不
进行运算。
够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才
能得出最准确的结论．
做一做：
当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-n+11的值是
质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-
n+11的值都是质数吗？
解：解：当n=1，2，3，4，5时，n2-n+11的值分
别是11，13，17，23，31，全是质数．
而当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52.
判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经验、观
察是不够的，必须给出严格的证明或实验验证．
如此题，我们可以把1，2，3，4，5，6等自然数
代入n2-n+11中进行验证．
1.许多猜想的结论，数学上的一些结论以及数学
之外的其他事实，应当追其缘由，推理证明是非
常必要的．
如图，在△ABC中，点D，E分别是AB， AC的中
点，连接DE，DE与BC有怎样的位置关系和数量关
系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯
定你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴进行
交流.位置关系：DE//BC
数量关系：DE=1/2BC
你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？
结论:要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经
验、观察和实验是不够的，必须有根有据的进行
推理即证明.
(1)要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实
验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的
证明．
(2)没有经过严格的推理，仅由若干特例归纳得出 通过对几何图形
的结论可能潜藏着错误． 的直观感受得出
(3)要肯定一个结论是正确的，必须通过一步一步 学生独立完 结论，但要使学
推理论证才行. 成，师巡堂， 生清楚地知道对
2.总结： 投影展示学生 几 何 结 论 的 验
(1)直觉有时会产生错误，不是永远可信的； 的解题过程， 证，通常是用严
(2)图形的性质并不都是通过测量得出的； 稍作点评。 谨的逻辑推理来
(3)少数具体例子的观察、测量或计算得出的结 论述。
论，并不能保证一般情况下都成立；
(4)只有通过推理的方法研究问题，才能揭示问题
的本质．
例 观察图，(1)中间的圆圈大还是(2)中间的圆圈
大？
导引：仅凭观察得到的结论不一定正确．眼睛看
到的并不一定可靠，眼睛有时会产生一些错觉．
本例中感觉(1)中间的圆圈好像比(2)中间的圆圈
要小一些，实际上这两个圆圈是一样大的．
解：一样大．
实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，
必
须推理论证后才能得出正确的结论．
思考:(1)在数学学习中,你用到过推理吗?举例说
明.(2)在日常生活中,你用到过推理吗?举例说明.
课堂练习 1．下列结论，你能肯定的是( )
A．今天是晴天，明天必然还是晴天
B．三个连续整数的积一定能被6整除
C．小明的数学成绩一向很好，因而后天的竞赛他
必然能获得一等奖 学以致用，当堂
D．两张照片看起来完全一样，可以知道这两张必 检测及时获知学
然是同一张底片冲洗出来的 生对所学知识掌
2．如图，甲，乙两只小虫从A点同时出发，甲虫 学生课堂练 握情况，并最大
沿着大的半圆爬行，乙虫沿着内部的三个半圆爬 习，然后上台 限度地调动全体
行．若两虫爬行的速度相同，则先到达B点的小虫 演示自己的答 学生学习数学的
是( ) 案。 积极性，使每个
A．甲 B．同时到达C．乙D．不能确定 学生都能有所收
益、有所提高．
3．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝
2401，75＝16807，…，由此可判断72022的个位数
字是 .
4．语句“有一条线段AB的长为3 cm，另一条线
段 BC 的长为 2 cm，那么 AC＝5 cm”是
的 ( 填 “ 正 确 ” 或 “ 错 误 ” ) ， 理 由 是
______________
5．某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则
为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0
分，当全部比赛结束（每队平均比赛12场）时，
A队共积19分，请通过计算，判断A队胜、平、
负各几场．
6.一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，现
将数位上的数字对调得新两位数，那么原两位数
与新两位数的和能被11整除吗？请说明理由．
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生归纳本节 训练学生总结归
所学内容，并 纳能 力；升华
体验核心素养 知识，拓展知识
的形成。 面，开阔思维。
板书 课题：为什么要证明1.要判断一个数学结论的正确性，仅依靠经验、观
察和实验是不够的，必须一步一步地进行有根有
据的推理．否定一个结论举出反例就是最有力的
证据．
2.证明的常用方法：实验验证法、举出反例、推理
论证等．
