文档内容
§10.1 两个计数原理
考试要求 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.会用分类加法计数原理和分步
乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
知识梳理
两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，
在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ 种不同的方法.
常用结论
1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的
1
方法，在第2类方案中有m 种不同的方法，……，在第n类方案中有m 种不同的方法，那
2 n
么完成这件事共有N＝ m＋m＋…＋m 种不同的方法．
1 2 n
2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做
1
第2步有m 种不同的方法，……，做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝
2 n
m×m×…×m 种不同的方法．
1 2 n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．( )
(3)在分步乘法计数原理中，只有各步骤都完成后，这件事情才算完成．( )
(4)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )
教材改编题
1．已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为( )
A．16 B．13 C．12 D．102．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能
在本班监考，则不同的监考方法有( )
A．8种 B．9种 C．10种 D．11种
3．由于用具简单、趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动．某棋局的一部分如图所
示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，
每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，其中也能把“炮”
吃掉的可能路线有( )
A．10条 B．8条 C．6条 D．4条
题型一 分类加法计数原理
例1 (1)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每
位朋友一本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种 C．18种 D．20种
(2)如果一个三位正整数如“aaa”满足aa ，则称这样的三位数为凸数(如
1 2 3 1 2 2 3
120,343,275等)，那么所有凸数的个数为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 使用分类加法计数原理的两个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏．
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．
跟踪训练1 (1)(2023·太原模拟)现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各一张，一共可以组成
的币值有( )
A．3种 B．6种 C．7种 D．8种
(2)设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”．
若将(A，B)与(B，A)看成不同的“理想配集”，则符合此条件的“理想配集”有________个．
题型二 分步乘法计数原理
例2 (1)数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9
个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填一个
数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有( )A．12种 B．24种 C．72种 D．216种
(2)(多选)(2022·武汉模拟)现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进
行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的
是( )
A．共有43种不同的安排方法
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 利用分步乘法计数原理解题的策略
(1)明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立
的．
(2)将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成
了，整个事件才算完成．
跟踪训练2 (1)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，则由一层到五层不同的走法有(
)
A．10种 B．25种 C．52种 D．24种
(2)(多选)有4位同学报名参加三个不同的社团，则下列说法正确的是( )
A．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有34种
B．每位同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有43种
C．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有24种
D．每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有43种
题型三 两个计数原理的综合应用
例3 (1)有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中取出
2个几何体，使多面体和旋转体各一个，则不同的取法种数是( )
A．14 B．23 C．48 D．120
(2)(2023·南平质检)甲与其他四位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是 9,0,2,1,5，为遵守当
地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶
数的车通行)，五人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车最多只能用一天，则不同的用车方案种数为________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 利用两个计数原理解题时的三个注意点
(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步．
跟踪训练3 (1)有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙．
需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为( )
A．24 B．14 C．10 D．9
(2)如图，a省分别与b，c，d，e四省交界，且b，c，d互不交界，在地图上分别给各省地域
涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案种数为( )
A．480 B．600
C．720 D．840
