文档内容
第 01 讲 计数原理
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：分类加法计数原理.............................................................................................................4
知识点2：分步乘法计数原理.............................................................................................................4
知识点3：两个计数原理的综合应用.................................................................................................5
题型一：分类加法计数原理的应用....................................................................................................5
题型二：分步乘法计数原理的应用....................................................................................................6
题型三：两个计数原理的综合应用....................................................................................................7
04真题练习·命题洞见..........................................................................................................................8
05课本典例·高考素材..........................................................................................................................9
06易错分析·答题模板........................................................................................................................11
易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻..............................................................................11
答题模板：计数原理的应用..............................................................................................................12考点要求 考题统计 考情分析
（1）分类加法计数原
今后在本节的考查形式依然以选择或者
理 2020年上海卷第10题，5分
填空为主，以考查基本概念和基本方法为
（2）分步乘法计数原 2016年上海卷第8题，3分
主，难度中等偏下，与教材相当．
理
复习目标：
（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
（2）会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．知识点1：分类加法计数原理
完成一件事，有 类办法，在第1类办法中有 种不同的办法，在第2类办法中有 种不同的方法，
…，在第 类办法中有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
【诊断自测】4．已知 A，B两个公司承包6项工程，每个公司至少承包2项，则承包方式共有（ ）
A．24种 B．70种 C．48种 D．50种
知识点2：分步乘法计数原理
完成一件事，需要分成 个步骤，做第1步有 种不同的方法，做第2步有 种不同的方法，…，做
第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有 类办法，这 类办法之间是互斥的，那么
求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有 个步骤，而
且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这 个步骤后，这件事情才算完成，那么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两
个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想
求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也
是检验排列组合问题的很好方法．
【诊断自测】14．如图，无人机光影秀中，有 架无人机排列成如图所示，每架无人机均可以发出 种不
同颜色的光， 至 号的无人机颜色必须相同， 、 号无人机颜色必须相同， 号无人机与其他无人机颜
色均不相同，则这 架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
A． B． C． D．
知识点3：两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
【诊断自测】1．用数字 ， ， ， ， ， 组成的有重复数字的三位数且是偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
题型一：分类加法计数原理的应用
【典例1-1】（2024·高三·江苏南通·开学考试）今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较
热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小
明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选
看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ）
A．12 B．24 C．28 D．36
【典例1-2】从4名男生，3名女生中选出3人（可以一种性别）到校学生会任职，女生人数不多于男生人数，那么不同的选法种数有（ ）种.
A．23 B．22 C．24 D．26
【方法技巧】
分类标准的选择
（1）应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．根据题目特点恰当选择一个分类标准．
（2）分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方
法是不同的方法，不能重复，但也不能有遗漏．
【变式1-1】（2024·安徽安庆·三模）A、B、C、D、E 5所学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有甲、
乙、丙三个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，且每个基地至少有1所学校去，则A校不去甲地，
乙地仅有2所学校去的不同的选择种数共有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
【变式1-2】在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（ ）个
A．44 B．45 C．54 D．55
【变式1-3】红黄蓝三种不同颜色的小球各两个，分别放置在正八面体的6个顶点上，共有几种不同的放置
方法（ ）
A．7 B．8 C．4 D．5
【变式1-4】定义“各位数字之和为8的三位数叫幸运数”，比如116，431，则所有幸运数的个数为（
）
A．18 B．21 C．35 D．36
【变式1-5】某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组
织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（ ）
A．480 B．24 C．14 D．18
【变式1-6】书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，
则不同的选法共有（ ）
A．9种 B．10种 C．19种 D．90种
题型二：分步乘法计数原理的应用
【典例2-1】（2024·云南大理·模拟预测）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来
4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种
A．10 B．20 C．30 D．60
【典例2-2】编号为1，2，3，4的四位同学参观某博物馆，该博物馆共有编号为1，2，3，4的四个门，若
规定编号为1，2，3，4的四位同学进入博物馆不能走与自己编号相同的门，则四位同学用不同的方式进入
博物馆的方法种数为（ ）
A．12 B．16 C．81 D．256【方法技巧】
利用分步乘法计数原理解题的策略
（1）明确题目中的“完成这件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的．
（2）将这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当所有步骤都完成了，整
个事件才算完成．
【变式2-1】已知乘积 展开后共有60项，则 的值为
（ ）
A．5 B．7 C．10 D．12
【变式2-2】（2024·高三·江苏徐州·开学考试）甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个
城市中任选一个前去游玩，其中甲去过北京，所以甲不去北京，则不同的选法有（ ）
A．18种 B．48种 C．108种 D．192种
【变式2-3】某农学院计划从10种不同的水稻品种和7种不同的小麦品种中，选5种品种种植在如图所示
五块实验田中，要求仅选两种小麦品种且需种植在相邻两块实验田中，其他三块实验田选种水稻品种，则
不同种法有（ ）
1 2 3 4 5
A．30240种 B．60480种 C．120960 D．241920种
【变式2-4】（2024·高三·河南·期中）玩积木有利于儿童想象力和创造力的培养．一小朋友在玩四棱柱形
积木（四个侧面有各不相同的图案）时，想用5种颜色给积木的12条棱染色，要求侧棱用同一种颜色，且
在积木的6个面中，除侧棱的颜色相同外，则染法总数为（ ）
A．216 B．360 C．720 D．1080
【变式2-5】（2024·河南郑州·模拟预测）已知 ， ，则满足方程 的解
的个数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：两个计数原理的综合应用
【典例3-1】（2024·高三·全国·自主招生） 展开式共 项.
【典例3-2】（2024·高三·上海·开学考试）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，
组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是 .
【方法技巧】
利用两个计数原理解题时的三个注意点
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事．
（2）分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图．
（3）对于复杂问题，一般是先分类再分步．【变式3-1】用 ， ， ， ， ， 这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，
第 个数是 ．
【变式3-2】（2024·高三·上海·开学考试）已知集合 ，若 且互不相等，则
使得指数函数 ，对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上严格增函数的有序
数对 的个数是
【变式3-3】从 六个数字中选5个数字组成的无重复数字的五位偶数，且3不在百位，共有
种．
【变式3-4】如图，一只蚂蚁位于点M处，去搬运位于N处的糖块， 的最短路线有 条．
1．（2006 年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））如果一条直线与一个平面垂直，那么称
此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构
成的“正交线面对”的个数是（ ）
A．48 B．18 C．24 D．36
2．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（大纲卷Ⅱ））5位同学报名参加两个课外活动小组，
每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
3．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））电视台连续播放6个广告，其中含4个不
同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式 .（结
果用数值表示）1．2160有多少个不同的正因数？
2．在国庆长假期间，要从7人中选若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班
2天，有多少种可能的安排方法？
3．口袋中装有8个白球和10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球.
（1）正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
（2）正好是两个白球的取法有多少种？
（3）至少有一个白球的取法有多少种？
（4）两球的颜色相同的取法有多少种？4．（1）从5件不同的礼物中选出4件送给4位同学，每人一件，有多少种不同的送法？
（2）有5个编了号的抽屉，要放进3本不同的书，不同的放法有多少种？（一个抽屉可放多本书）．
5．（1）4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队不同报法
的种数是 还是 ？
（2）3个班分别从5个景点中选择一处游览，不同选法的种数是 还是 ？
6．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有0~9共10个数字．现最后一个拨号盘出现了故障，只能在
0~5这6个数字中拨号，这4个拨号盘可组成多少个四位数字号码？易错点：对两种计数原理的概念理解不够深刻
易错分析：对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解不够深刻导致错误.
【易错题1】某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，
代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（ ）
A．80种 B．90种 C．100种 D．120种
【易错题2】有6名男医生、5名女医生，从中选出3名医生组成一个医疗小组，且医疗小组中男、女医生
都要有，则不同的选法共有（ ）
A．135种 B．150种 C．165种 D．270种
答题模板：计数原理的应用
1、模板解决思路
在解决计数原理相关的应用问题时，首要步骤是进行深入的分析，明确在计算之前是需要进行分类讨
论还是分步操作.分类时必须确保每一类别独立且完整，无重叠也无遗漏；分步时则需保证每个步骤的连贯
性和完整性.随后，根据问题的具体需求，选择恰当的计数原理来进行计算，以确定总的方法数或可能性.
2、模板解决步骤
(1)分类加法计数原理
第一步：将完成一件事情的方案分成若干类.第二步：求出每一类的方法数.
第三步：将每一类的方法数相加得到结果.
(2)分步乘法计数原理
第一步：将完成一件事的过程分成若干步.
第二步：求出每一步的方法数.
第三步：将每一步的方法数相乘得到结果.
【经典例题1】用 这六个数字，可以排成没有重复数字的三位偶数的个数为 （用数字作答）
【经典例题2】已知 均为集合 中的元素，则对应的所有可能的直线 有 条．
