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[基础题组练]
1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是( )
A．y＝－x B．y＝x2－x
C．y＝ln x－x D．y＝ex－x
解析：选A.对于A，y＝在(0，＋∞)内是减函数，y＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x
1 2
在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，
而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．
2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，1)
C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
解析：选D.由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域
是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单
调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．
3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是( )
A．(－∞，0) B.
C．[0，＋∞) D.
解析：选B.y＝|x|(1－x)＝＝函数的草图如图所示．
由图易知原函数在上单调递增．故选B.
4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a
的取值范围是( )
A. B．[－6，－4]
C．[－3，－2] D．[－4，－3]
解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性即可．
由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－∈[2，3]，即a∈[－6，－
4]．
5．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f＜f(1)的实数x的取值范围是( )
A．(－1，1) B．(0，1)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选C.由f(x)为R上的减函数且f＜f(1)，得即所以－1＜x＜0或0＜x＜1.故选C.
6．函数f(x)＝－的值域为________．解析：因为所以－2≤x≤4，
所以函数f(x)的定义域为[－2，4]．
又y＝，y＝－在区间[－2，4]上均为减函数，
1 2
所以f(x)＝－在[－2，4]上为减函数，
所以f(4)≤f(x)≤f(－2)．
即－≤f(x)≤.
答案：[－，]
7．设函数f(x)＝的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x))的值域是[0，＋
∞)，则函数g(x)的值域是________．
解析：因为函数f(x)＝的图象过点(1，1)，所以m＋1＝1，解得m＝
0，所以f(x)＝画出函数y＝f(x)的大致图象如图所示，观察图象可知，当
纵坐标在[0，＋∞)上时，横坐标在(－∞，－1]∪[0，＋∞)上变化．
而f(x)的值域为[－1，＋∞)，f(g(x))的值域为[0，＋∞)，
因为g(x)是二次函数，
所以g(x)的值域是[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
8．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，解得
所以a∈.
答案：
9．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
解析：由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．
答案：[0，1)
10．已知f(x)＝(x≠a)．
(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；
(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：设x＜x＜－2，
1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为(x＋2)(x＋2)＞0，x－x＜0，
1 2 1 2
所以f(x)－f(x)＜0，即f(x)＜f(x)，
1 2 1 2
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．
(2)设1＜x＜x，
1 2
则f(x)－f(x)＝－＝.
1 2
因为a＞0，x－x＞0，所以要使f(x)－f(x)＞0，
2 1 1 2
只需(x－a)(x－a)＞0恒成立，
1 2
所以a≤1.综上所述，0＜a≤1.11．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.
(1)当a＝2时，求f(x)在[0，3]上的最大值和最小值；
(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝，
当x∈[0，2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2，3]时，0≤f(x)≤7，
所以f(x)在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.
(2)因为f(x)＝，
又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，
所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.
当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.
即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，
故a的取值范围为[－4，－2]．
[综合题组练]
1．(应用型)已知函数f(x)＝log x＋，若x∈(1，2)，x∈(2，＋∞)，则( )
2 1 2
A．f(x)<0，f(x)<0 B．f(x)<0，f(x)>0
1 2 1 2
C．f(x)>0，f(x)<0 D．f(x)>0，f(x)>0
1 2 1 2
解析：选B.因为函数f(x)＝log x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x∈(1，2)时，
2 1
f(x)f(2)＝0，
2 2
即f(x)<0，f(x)>0.故选B.
1 2
2．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为( )
A．[－1，2] B．[－1，0]
C．[1，2] D．[0，2]
解析：选D.因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)
＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，
即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
所以a的取值范围是0≤a≤2.故选D.
3．(2019·西安模拟)已知函数y＝log (ax－1)在(1，2)上单调递增，则实数a的取值范围是(
2
)
A．(0，1] B．[1，2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
解析：选C.要使y＝log (ax－1)在(1，2)上单调递增，则a＞0且a－1≥0，所以a≥1.故选
2
C.
4．(创新型)如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么
称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是
区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )A．[1，＋∞) B．[0，]
C．[0，1] D．[1，]
解析：选D.因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上
是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1，]上单调递减，故“缓增区间”I为[1，]．
5．(应用型)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{4x＋1，x＋
4，－x＋8}的最大值是__________．
解析：在同一直角坐标系中分别作出函数y＝4x＋1，y＝x＋
4，y＝－x＋8的图象后，取位于下方的部分得到函数f(x)＝min{4x
＋1，x＋4，－x＋8}的图象，如图所示，不难看出函数f(x)在x＝2
处取得最大值6.
答案：6
6．已知函数f(x)＝lg(x＋－2)，其中a是大于0的常数．
(1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；
(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．
解：(1)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时，g′(x)＝1－＝>0.
因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数．则f(x) ＝f(2)＝ln .
min
(2)对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0.
即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立．
所以a>3x－x2.
令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞)．
由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x) ＝h(2)＝2.
max
故a>2时，恒有f(x)>0.
因此实数a的取值范围为(2，＋∞)．
