3.1函数的概念及其表示（精讲）（学生版）_新高考复习资料_2024年新高考资料_一轮复习资料_完2024年高考数学一轮复习一隅三反系列（新高考）_学生版

3.1函数的概念及其表示（精讲）一．函数的概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，使在 集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝ f(x)，x∈A． 二．函数的三要素 1.定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； 2.值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3.解析式 三．函数的表示法 常用方法有解析法、图象法和列表法 四．相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等． 五．分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段 函数． 2.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集， 值域等于各段函数的值域的并集． 一．函数概念的理解 (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对 应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 二．常见函数定义域的类型 1.分式型：要满足f(x)≠0（分式中分母不为零） 2.根式型：开偶次方根时，被开方数大于等于0即(n∈N*)要满足f(x)≥0； 3.幂函数型：[f(x)]0要满足f(x)≠0； 4.对数型：log f(x)(a>0，且a≠1)要满足f(x)>0； a 5.正切型：tan [f(x)]要满足f(x)≠＋kπ，k∈Z． 注意事项：①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号 “∪”连接． 二．抽象函数的定义域的求法（对应法则不变，括号内等范围） 1.若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出； 2.若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．三．函数解析式的求法 1.配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表 达式． 2.待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． 3.换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． 4.解方程组：已知关于f(x)与f 或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组， 通过解方程组求出f(x)． 四．值域 axb 1.分离常数法：分子分母同类型函数（形如y= cxd ）或分子分母最高次是二次关系（形如 ax2 bxe y  cxd ） ( a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. axb y  cxd ① →分离常数→反比例函数模型 ax2 bxc a y  y  x dxe x ② →分离常数→ 模型 1 y  dxe ax2 bxc y  ③ ax2 bxc →同时除以分子： dxe →②的模型 ax2 bxc y  dx2 ex f ④ →分离常数→③的模型 共同点：让分式的分子变为常数 y ax2 bxc(a 0) 2.配方法：形如 型,用此种方法,注意自变量x的范围 3.不等式法 f(x) [a,b] f(a) f(b) f(x) [a,b] 4.单调性法：若 是 上的单调增(减)函数,则 , 分别是 在区间 上取得最小(大) 值,最大(小)值. 5.换元法 y afx ,y log f x,y sinf x ① a    ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时f x 可先确定 的范围，再求出函数的范围. y  f  ax ,y  f log x,y  f sinx ② a ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用 y  f t 换元将解析式转为 的形式，然后求值域即可. y axb cxd ③形如 型,可用此法求其值域. 6.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行 数形结合. 7.导数法．利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域 五．分段函数 1.求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现 f[f(a)]的形式时， 应从内到外依次求值． 2.求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入 检验． 3.求参数或自变量的值：先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的 取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可． 考法一 函数的概念 【例1-1】（2023广东湛江）下列变量之间是函数关系的是（ ） A．某十字路口通过汽车的数量与时间的关系 B．家庭的食品支出与电视机价格之间的关系 C．高速公路上行驶的汽车所行驶的路程与时间的关系 D．某同学期中考试的数学成绩与物理成绩的关系 【例1-2】（2023安徽）下列各图中，不可能是函数 图象的是（ ） A． B． C． D．【一隅三反】 1．（2022·上海）下列等量关系中，y是x的函数的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022北京）（多选）下列图象中，能表示函数的图象的是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·广东深圳）（多选）下列是函数图象的是（ ） A． B． C． D． 考法二 函数的定义域 【例2-1】（1）（2023·河北）函数 的定义域是（ ）A． B． C． D． （2）（2023·上海）函数 的定义域是__． 【例2-2】（1）（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈九中校考开学考试）已知函数 的定义域是 ， 则函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． （2）（2023·江西）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【例2-3】（1）（2023·北京·）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 的取值范围是_______． （2）（2022秋·海南）若函数 的定义域为 ，则 的范围是__________. （3）（2023·河南）当 时，函数 和 有意义，则 实数 的取值范围是___________. 【一隅三反】 1．（2023·河北）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．（2022秋·四川）已知 定义域为 ，则 的定义域为（ ）A． B． C． D． 3．（2023·陕西）已知函数 ，则函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域 （ ） A． B． C． D． 5．（2023·河北）函数 的定义域为 ，则实数 的值为______． 6.（2023·吉林）若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是______． 7．（2023·黑龙江）“ ”是“函数 的定义域为R”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考法三 函数的解析式 【例3】（2023·广东潮州）（1）已知 是一次函数，且满足 ，求 _____． （2）已知 ，则（3）已知函数 在定义域 上单调，且 时均有 ，则 = （4）已知函数 的定义域为 ，且 ，则 （5）已知 ，则 __________. 【一隅三反】 1．（2023云南）定义在 上的函数 单调递增，且对 ，有 ，则 ____. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知f(x－ )＝x2＋ ，则f（x+ ）＝________. 3．（2022·全国·高三专题练习）设 若 ，则 _________. 4．（2023新疆）已知 ，则 =_____. 5．（2023·北京）求下列函数的解析式： (1)已知 ，求 的解析式； (2)已知 ，求 的解析式； (3)已知 是一次函数且 ，求 的解析式； (4)已知 满足 ，求 的解析式.考法四 函数的值域 【例4】（1）（2023·上海）函数 的值域为__________ （2）（2023·云南）函数 的值域为____________ （3）（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________ （4）（2023北京）函数 的值域为 （5）（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为_____ （6）（2023·全国·高三专题练习）函数y＝3 －4 的最小值为 【一隅三反】 （2022·全国·高三专题练习）求下列函数的值域 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） （9） ；（10） . 考法五 判断两个函数是否相等 【例5】（2023·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）． A． ， B． ， C． ， D． ， 【一隅三反】 1．（2023·上海）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A． B．C． D． 2．（2023·江西）下列各组函数表示同一函数的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3．（2023·内蒙古）下列各组函数是同一函数的是（ ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 4．（2022·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 考法六 分段函数 【例6-1】（2023·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ） A．-6 B．0 C．4 D．6【例6-2】（2023·北京）已知函数 ，则 的最小值是（ ） A．2 B．1 C．－2 D．－1 【例6-3】（2023春·宁夏）已知函数 若 ，则实数 的值为______. 【一隅三反】 1．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数 ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2023·安徽·校联考三模）函数 的值域是______． 3．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数 ，若 ，则实 数 的值是（ ） A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5 4．（2023·陕西·统考二模）已知函数 ，则 的解集为________．