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3.3 指数运算及指数函数（精讲）
一.根式
1.如果xn＝a，那么叫做a的n次方根；
2.式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；
3.()n＝．当n为奇数时，＝；当n为偶数时，＝|a|＝
二.分数指数幂的意义
1.分数指数幂
①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
2.实数指数幂的运算性质
①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
三．指数函数的概念、图象与性质
1．指数函数的概念
函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．
易错点：形如y＝kax，y＝ax＋kk∈R且k≠0，a>0且a≠1的函数叫做指数型函数，不是指数函数.
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 00时，恒有y>1；当x<0时，恒有00时，恒有01
在定义域R上为增函数 在定义域R上为减函数
注意 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.
三．指数函数的图象与底数大小的比较
1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2.有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换
而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；
(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．
3.比较指数式的大小的方法是
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．
4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
考法一 指数幂运算
【例1】（2023·贵州）化简求值
（1）
（2） ．
(3) ；
(4)
（5）已知： ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) (3) (4) （5）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】（1）原式
（2）原式
（3）
（4）
（5）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
【一隅三反】
1.（2023·安徽）计算或化简下列各式：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4)已知 ，求下列各式的值：
① ；
② ．
【答案】(1) (2) (3)89；(4)① ；② .
【解析】（1）原式 ．
（2）原式 ．
（3）原式 ；
（4）①∵ ，∴ ，
又由 得 ，∴ ，所以 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】②（法一）
，
（法二） ，
而 ，∴ ，
又由 得 ，∴ ，所以 .
2．（2023·云南）解下列方程：
(1) ； (2) ； (3) ；(4) ．
【答案】(1) ；(2) 或 ；(3) 或 ；(4) .
【解析】（1）由 ，可得 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ；
（2）由 ，可得 ，
所以 ，所以 或 ，
由 ，可得 ，故 ，由 ，可得 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 或 ；
（3）因为 ，所以原方程可化为 ，即 ，
两边取对数可得 ，即 ，所以 或 ，
经检验 或 是原方程的解，所以 或 ；
（4）由 ，可得 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ，经检验满足题意，所以 .
考法二 指数函数的三要素及定点
【例2-1】（2023·广东）函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦
；⑧ 中，是指数函数的是_________．
【答案】①⑤
【解析】因为指数函数为 且 ，故①⑤正确；
由幂函数定义知， 是幂函数，故②不正确；由指数函数的定义知，③④⑥⑦均不是指数函数；
对于⑧，当 时， ，不是指数函数.故答案为：①⑤.
【例2-2】（2023广东湛江）函数 的定义域为________．
【答案】
【解析】由题设 ，即 ，所以 ，可得 ，
故函数定义域为 .故答案为：
【例2-3】（2023·上海奉贤）点 、 都在同一个指数函数的图像上，则t=________．
【答案】9
【解析】设指数函数为 ，其中 且 ，
将 、 代入函数解析式得 ，解得 ， .故答案为：9
【例2-4】（1）（2023春·湖北咸宁）当 时，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2023·辽宁丹东）函数 的值域为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）因为指数函数 在区间 上是增函数，所以 ，
于是 ，即 所以函数 的值域是 .故选：C.
（2）依题意，令 ，则 ，
因为 单调递减，且 所以 ，所以 .故选：A.
【例2-5】（1）（2023云南）函数 恒过定点
（2）（2023·全国·高三专题练习）函数 且 的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中 ， ，则 的最小值为__________.
【答案】（1） （2）
【解析】由题设，当 ，即 时， ，所以函数过定点 .故选：B
（2）令 ，即 ，则 ，所以 的图象恒过定点 ，
因为点 在直线 上，所以 ，又 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，所以 的最小值为 .
故答案为： .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【一隅三反】
1．（2023春·山东滨州）函数 的定义域为
【答案】 【解析】由题意得 ，即 ，解得 ．
2．（2023·上海）已知函数 是指数函数，求实数a的值 ．
【答案】4
【解析】因为函数 是指数函数，所以 ，解得 ，即实数a的值为4.
3．（2023·江西）下列函数中，属于指数函数的是_________．（填序号）
① ﹔② ；③ ；④ （a为常数， ， ）；⑤ ；⑥ ﹔⑦
．
【答案】③④
【解析】对①：指数式的系数为2，不是1，故不是指数函数；
对②：其指数为 ，不是 ，故不是指数函数；
对③④：满足指数函数的定义，故都是指数函数；
对⑤：是幂函数，不是指数函数；
对⑥：指数式的系数为 ，不是1，故不是指数函数；
对⑦：指数的底数为 ，不满足底数大于零且不为1的要求，故不是；
综上，是指数函数的只有③④.
故答案为：③④.
4．（2023春·北京顺义）函数 的定义域为___．
【答案】 且
【解析】要使函数函数 有意义，
需满足 ，解得 且 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故函数 的定义域为 且 ，
故答案为： 且
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，且当 时， ．
求函数 的解析式 .
【答案】
【解析】因为函数 是定义域为 的奇函数，所以 ，
当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以当 时， ，所以 .
6．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ， ，则其值域为_______．
【答案】
【解析】令 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
又 关于 对称，开口向上， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且
，
时，函数取得最小值，即 ， 时，函数取得最大值，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】.故答案为： .
7．（2023春·上海嘉定）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】当 时， ；当 时， .
因为原函数的值域为 ，即 ，则 ，解得 .故答案为：
.
8.（2023北京）函数 且 的图象恒过某定点，则此定点为
【答案】
【解析】令 ，得 ，所以函数 且 的图象恒过定点 .
考法三 指数函数的单调性及综合运用
【例3-1】（2023春·河南周口）函数 的单调递增区间为______.
【答案】
【解析】令 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 在定义域 上单调递减，所以 的单调递增区间 .故答案为：
【例3-2】（2023湖北）函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】设 ，其图象开向上，对称轴为直线 ．
函数 在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数，
又 在 上单调递增， ，解得 ．故选：C.
【例3-3】（1）（2023春·上海嘉定）不等式 的解集为______．
（2）（2022·海南·校联考模拟预测）不等式 的解集为
【答案】（1） （2）
【解析】原式可化为 ，
因为 为减函数，所以 ，即 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 .故答案为： .
（2）构造函数 ，易知函数 在 上为单调递增函数．
因为不等式 等价于 ，
又 ，所以 ，所以由函数 的单调性知 ，即 ，
解得 或 ，所以原不等式的解集为 .
【例3-4】（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】因为 ， ， ，
又函数 在 上单调递增， ，所以 所以 ，故选：C
【一隅三反】
1.（2023新疆）已知函数 |在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】由 的图象向右平移1个单位，可得 的图象，
因为 是偶函数，且在 上单调递增，所以函数 在 上单调递增，
因为函数 |在区间 上是增函数，所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故答案为： .
2.（2022天津）求函数 的单调区间 .
【答案】增区间为[-2,+∞)，减区间为(-∞,-2).
【解析】设t＝ >0，又y＝t2－8t＋17=（t-4）2+1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增.令
≤4，得x≥－2，令 >4，得x<－2.
而函数t＝ 在R上单调递减，所以函数 的增区间为 [-2,+∞)，减区间为(-
∞,-2).
3．（2023·河北）已知函数 ，则不等式 的解集是
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解析】由 得， ，则 ，根据 在 上单调递增，所以 ，
解得 ，即 的解集为 。
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调，则a的取值范围是
【答案】
【解析】 的开口向下，对称轴是直线 ，所以函数 在 上单调递增，
依题意可知， 在 上单调递增，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 .
5．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系为
_____________
【答案】
【解析】由题意可知 ， ，故 ；
又 ， ，因为 ，故 ，综合可得 .
故答案为:
6.．（2023·江苏宿迁）若 ， ，且满足 ，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 .
因为函数 在 上单调递减，所以 .因为函数 在 上单调递减，所以 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为函数 在 上单调递减，所以 .综上， .故选：C
考法四 指数函数的奇偶性
【例4-1】（2023·全国·高三专题练习）若函数 为奇函数，则 _________
【答案】 / 或 / 或
【解析】因为函数 为奇函数，
所以由 可得 ，
即 ，整理得 ，解得 ，
经检验，当 或 时，满足 ，
故答案为：
【例4-2】2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．2 D．1
【答案】A
【解析】因为函数 为偶函数，所以 ，
，
，
所以 ，即得
可得 ， 成立，
所以 .故选：A.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【例4-3】（2023·四川绵阳·统考模拟预测）设函数 在定义域 上满足 ，若 在
上是减函数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，即 ，故函数 在定义域 上奇函数，
若 在 上是减函数，则 在 上是减函数，
∵ ，且 ，若 ，则 ，解得 ，
故不等式 的解集为 .故选：A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）若 为奇函数，则实数 ______.
【答案】
【解析】若 为奇函数，则 ，
故 ，解得 .
故答案为：1.
2．（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
【解析】函数的定义域为R，
因为 ，所以函数 为奇函数，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为函数 在R上都是减函数，以函数所 在R上是减函数.故选：C.
3（2023·辽宁鞍山·校联考一模）函数 是定义在R上的偶函数，且 ，若 ，
，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】因为 ，且 是定义在R上的偶函数，所以 ，
令 ，则 ，所以 ，即 ，所以函数 的周期为2，
所以 .故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇
函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，①
又因为函数 为奇函数，则 ，即 ，②
联立①②可得 ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .故选：B.
考法五 指数函数的图像
【例5-1】（2023春·内蒙古赤峰）若 的图像如图，（ ， 是常数），则（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】由图可知函数在定义域上单调递减，所以 ，则 ，所以 在定义域上单调递增，
又 ，即 ，所以 .故选：D
【例5-2】（2023·北京·人大附中校考三模）已知函数 ， ，则大致图象如图的函数可
能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 的定义域均为 ，且 , ，
所以 为奇函数， 为偶函数.
由图易知其为奇函数，而 与 为非奇非偶函数，故排除AB.
当 时， ，排除C.故选:D．
【一隅三反】
1．（2023·云南）函数 的图像大致为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若函数有意义，则 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ；
因为 ，所以 ；
所以 为定义域上的偶函数，图像关于 轴对称，可排除选项A，C；
当 时, ,排除选项B．
故选：D．
2．（2023春·江苏南京）已知函数 的图象如图所示，则 可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，由函数图像可知， 时， ，而 ，当 时， ，故
A错误；
对于B，由函数的图像可以看出，当 时，函数 有意义，而函数 在 无定义，故
B错误；
对于C，函数图像关于原点对称，即函数为奇函数，由 为非奇非偶函数，故C错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于D， 是一个奇函数， 时， ，符合图象，故D正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，排除BC；当 时， ，当 时， ，A不满足，排除.
故选：D
4．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，函数定义域为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，函数为奇函数，排除BD；
， ，故 ，排除A.故选：C
考法六 指数函数的综合运用
【例6-1】（2023·贵州）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量 （单位：
与时间 （单位： ）间的关系为 ，其中 ， 是正的常数．如果在前 消除了 的污
染物，则10小时后还剩下百分之几的污染物？（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知， ，所以 ，所以 ，
则 时， .故选：C.
【例6-2】（2023春·湖北襄阳）已知函数 ，则 的图象（ ）
A．关于直线 对称B．关于点 对称 C．关于直线 对称D．关于原点对称
【答案】A
【解析】对于A项，由已知可得， ，
所以 的图象关于直线 对称，故A项正确；
对于B项，因为 ，则 ，故B项错误；
对于C项， ，则 ，故C错误；
对于D项，因为 ，则 ，故D错误.
故选:A.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 为偶函数，则函数 的值域为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】___________.
【答案】
【解析】 函数 （ ）是偶函数，
，
，易得 ，
设 ，则 ，当且仅当 即 时，等号成立，所以 ，
所以函数 的值域为 ．故答案为： ．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式 在R上恒成立，则
实数m的取值范围是________.
【答案】 ．
【解析】令 因为 在区间 上是增函数，
所以
因此要使 在区间 上恒成立，应有 ，即所求实数m的取值范围为 ．故答案为：
.
3．（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若关于 的不等式 在 上
恒成立，则实数 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为 ，所以原不等式可转化为 在 上恒成立，
令 ， ，要使 在 上恒成立，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， 不符合题意，
当 时，若要 在 上恒成立，
由一元二次函数的图象和性质可得该函数图象开口向下，即 ，
当对称轴 ，即 时，只需 ，解得
；
当对称轴 ，即 时，只需 ，解得 ；
综上所述 ，故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
