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专题 9.1 计数原理、排列组合
目录
题型一： 两个原理的综合应用...................................................3
题型二： 涂色问题.............................................................6
题型三： 排列、组合的基本问题.................................................8
题型四： 分堆与分组分配问题..................................................10
题型五： “球”与“盒”模型..................................................11
知识点总结
知识点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案
中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有n类不同方案，且：第1类方案中有m 种不同的方法，第2
1
类方案中有m 种不同的方法，…，第n类方案中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有
2 n
N＝m ＋ m ＋…＋ m 种不同的方法.
1 2 n
(2)分步乘法计数原理
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的
方法，那么完成这件事共有N＝ m × n 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有
1
m 种不同的方法，…，做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有 N＝m × m ×…
2 n 1 2
× m 种不同的方法.
n2.运用分类计数原理的关键是分类标准的确定，通常按有特殊要求的元素或有特殊要求的
位置进行分类，即以“符合要求”与“不符合要求”作为分类标准．
3.分类与分步都是数学思维中的“分解” 策略，前者是“横向分解”，分解为若干种满足
要求的类型；后者是“纵向分解”，将解决问题的方法分成为按一定顺序进行的小步骤．
知识点二、排列与组合
(1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫
做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排
定义及表示 列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的
排列数，用符号A表示
全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列
正整数1到n的连乘积，用 n ！ 表示．A＝n！，0！
阶乘的概念
＝1
连乘式A＝ n ( n － 1)( n － 2)…( n － m ＋ 1)
排列数公式(n，m∈N*，m≤n).
阶乘式A＝
(3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中
取出m个元素的一个组合.
(4)组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做
定义及表示
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示
组 合 乘积式 C＝＝
数
阶乘式 C＝
公式两个 性质1 C＝C
性质 性质2 C＝C＋C
知识点三、常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A＝nA＝mA＋A；
(n＋1)！－n！＝n·n！；
(2)kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C.
例题精讲
题型一：两个原理的综合应用
【要点讲解】应用两个原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前仔细分析三点：
(1)要完成的“一件事”究竟是什么；(2)怎样算是完成；(3)完成的过程中是分类还是分步，
或是在完成的过程中要先分类再分步，亦或先分步再分类等；总之，分类要做到“不重不
漏”，分步要做到“步骤严谨完整”.
【例1】某企业面试环节准备编号为1，2，3，4的四道试题，编号为1，2，3，4的四名面
试者分别回答其中的一道试题（每名面试者回答的试题互不相同），则每名面试者回答的
试题的编号和自己的编号都不同的情况共有
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种
【变式训练1】电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 ．在
电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的
颜色种数为
A． B．27 C． D．6【变式训练2】某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
【变式训练3】3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为
A． B． C． D．
【变式训练4】书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现
从中任选一本阅读，不同的选法有
A．22种 B．350种 C．32种 D．20种
【变式训练5】从0、1、2、3、4、5六个数中，选3个不同的数可以组成多少个不同的三
位数？
A．60 B．80 C．100 D．120
【变式训练6】五名旅客在三家旅店投宿的方法有 种．
【变式训练7】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同
的排法共有 种．
【变式训练8】如图所示，在 ， 间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．
则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有 种．
【变式训练9】书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有
种不同的插法．（具体数字作答）【例2】用0，1，2，3，4，5，6这七个数字组成没有重复数字的四位数．
（1）组成的四位数中，大于4000的有多少个？
（2）能组成多少个被25整除的四位数？这些数相加，所得的和是多少？
【变式训练1】设有6幅不同的国画，4幅不同的油画，5幅不同的水彩画．
（1）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些画中任选出两幅不同画种的画布置房间，有几种不同的选法？
题型二：涂色问题
【要点讲解】解决涂色问题的基本手段是“树形图”，即对涂色的每一区域进行逐个讨论
直至按要求完成涂色．
【例3】现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能
用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 ．【变式训练1】如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不
交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有 5种不同颜色可供选用，
则不同的涂色方案数为
A．480 B．600 C．720 D．840
【变式训练2】如图，用四种不同颜色给图中的 ， ， ， ， ， ， ， 八个点
涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有
168 种．
【变式训练3】如图，一个地区分为5个区域，现给5个区域涂色，要求相邻区域不得使用
同一颜色．现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有 种．【变式训练4】如图，现在用4种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共
边的两个地区不能用同一种颜色，则不同的着色方法有 种．
【变式训练5】在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻
的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有 5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案
有
A．720种 B．2160种 C．4100种 D．4400种
【变式训练6】如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、
绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放
法？题型三：排列、组合的基本问题
【要点讲解】有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考
虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③
对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④搞清楚
“间隔排列”与“不相邻”的区别；⑤“分排”问题“直排化”处理；⑥对于定序问题，
可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数.
解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至
少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)；③应防止出现如下常见错误：如第3小题，先
选1名队长，再从剩下的人中选4人得CC≠825，请同学们自己找错因．④对于“多面手”
问题，要注意分类讨论.
【例4】有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．（结果用数
字回答，过程对酌情给分）
（1）选4人排成一排；
（2）排成前后两排，前排1人，后排4人；
（3）全体排成一排，女生必须站在一起；
（4）全体排成一排，男生互不相邻；
（5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；
（6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
（7）全体排成一排，甲在乙前，乙在丙前．【变式训练1】6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为 ， ， ，
的志愿者活动，每位同学恰报1个项目．
（1）6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同
的排队方式有多少种？
（2）若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
（3）若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目 ，同学乙不参加项目 ，求一
共有多少种不同录用方式？
【变式训练2】五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
（1）甲必须在正中间；
（2）甲、乙相邻；
（3）甲不在排头，并且乙不在排尾；（4）其中甲、乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻．
题型四：分堆与分组分配问题
【要点讲解】平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相
当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数：. 对于分堆与分配问题应注
意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相
同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如
6分成(2,2,2)为均匀分组，分成(1,2,3)为非均匀分组，分成(4,1,1)为部分均匀分组；④有时
会遇到“局部的平均分组”问题，这是要注意在“局部”内部解决“消序”问题．
【例5】将4本不同的书全部分给3个同学，每人至少一本，且1号书不能给甲同学，则不
同的分法种数为
A．6 B．12 C．18 D．24
【变式训练1】今年8月份贵州村篮球总决赛期间，在某场比赛的三个地点需要志愿者服务
现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，
若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有
A．18 B．24 C．32 D．64
【变式训练2】某校安排5名同学去 ， ， ， 四个爱国主义教育基地学习，每人去
一个基地，每个基地至少安排一人，则甲同学被安排到 基地的排法总数为A．24 B．36 C．60 D．240
【变式训练3】2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免
费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国
山东也成为备选地之一．若每个部门从六个旅游地中选择一个旅游地，则甲、乙、丙、丁
四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【变式训练4】体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，
基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某
校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至
少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有
A．6种 B．7种 C．8种 D．5种
【变式训练5】5名同学到甲、乙、丙、丁四个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆且所
有同学都被安排完，每个场馆至少安排1名同学，则不同的安排方法共有
A．12种 B．60种 C．120种 D．240种
题型五：“球”与“盒”模型
【要点讲解】“球”与“盒”模型的解题策略：(1)明确球与盒放入个数的具体要求；(2)球
的编号与盒的编号的要求；(3)明确“隔板法”的应用前提，是将“相同元素”隔开，计算
“相同元素”的分隔情况，解题时要慎之又慎.
【例6】（1）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的
放法？
（2）将5个不同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（3）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法？
（4）将5个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）【变式训练1】将 ， ， ， 这4个小球放入4个不同的盒子中．
（1）若 ， 要放入同一个盒子中，有多少种不同的放法？
（2）若每个盒子最多只能放2个小球，有多少种不同的放法？
【变式训练2】将4个编号为1，2，3，4的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中．
（1）有多少种放法？
（2）每盒至多一个球，有多少种放法？
（3）恰好有一个空盒，有多少种放法？
（4）把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放法？【变式训练3】盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球．
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同
的排法？
（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸
球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不
同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
