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2024 年高三模拟押题卷 02
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ， 则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若 ，则 ；
必要性：若 则 ，
则 ，得 ，或 ，故不满足必要性
综上“ ”是“ ”充分不必要条件，
故选：A
2．已知 ， ，则集合 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，所以 .
故选：B.
3．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游
热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部
门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800 B．1080 C．720 D．360
【答案】B
【解析】①恰有2个部门所选的旅游地相同，第一步，先将选相同的2个部门取出，有 种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有 种，
根据分步计数原理可得，方法有 种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有 种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共
有 种．
故选：B
4．已知函数 为奇函数，则 的值是（ ）
A．0 B． C．12 D．10
【答案】D
【解析】因为函数 为奇函数，
所以 ，即 ，即 或 ，
显然函数 的定义域为 关于原点对称，
且当 时，有 ，从而有 ，
当 时，有 ，但 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
5．已知椭圆 的离心率为 分别为 的左、右顶点， 为 的上顶点．若
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】显然离心率 ，解得 ，即 ，
分别为C的左右顶点，B为上顶点，则 ， ，
于是 ，而 ，
即 ，又 ，因此联立解得 ，所以椭圆的方程为 .
故选：B
6．函数 在区间 的图象上存在两条相互垂直的切线，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点横坐标为 ，所作切线斜率为 ，则 ，
当 时， ，故不存在 ；
当 时，满足： .
所以： .
故选：C.
7．已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
所以平方得， ， ，
即 ， ，
两式相加可得 ，
即 ，
故 ，
.
故选：D.
8．在数列 中给定 ，且函数 的导函数有唯一零点，函数且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 有唯一的零点，且 为偶函数，
则 ，可得 ， ，所以数列 是公差为2的等差数列.
又 ，
令 ，则 为奇函数，
因为 ，所以 在 上单调递增，
由题意得 ，
则 ，
∵数列 是公差为2的等差数列，其中 ，
则 ，假设 ，
因为 是奇函数且 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，
所以 ，
∵ ，
∴ ，与已知矛盾，故不成立；
假设 ，同理可得 ，与已知矛盾，故不成立；
综上， ．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、
豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶
产品的质量 （单位： ）服从正态分布 ，且 ， ．（ ）
A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于 的概率为0.75
B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在 内的概率为0.15
C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于 的盒数的方差为47.5
D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在 内的盒数的数学期望为200
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为 ，所以 ，A正确．
对于选项B，因为 ，所以
，
所以 ，B错误．
对于选项C，因为 ，所以 ，
若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于 的盒数 ，
所以 ，C正确．
对于选项D， ，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，
则质量在 内的盒数 ，所以 ，D正确．
故选:ACD
10．如图，正三棱柱 的各棱长均为1，点 是棱 的中点，点 满足 ，
点 为 的中点，点 是棱 上靠近点 的四等分点，则（ ）
A．三棱锥 的体积为定值
B． 的最小值为
C． 平面
D．当 时，过点 的平面截正三棱柱 所得图形的面积为
【答案】AC【解析】由题意可知 ，设点 到平面 的距离为 ，
易知平面 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到线段 的距离，
又 ，所以 ，
所以 ，为定值，
故A正确；
将 沿 展开与正方形 在同一个平面内，
记此时与 对应的点为 ，
则当 三点共线时， 取得最小值，即 ，
，
故 的最小值为 ，故B错误；
由点 分别为 的中点，得 ，
又 平面 平面 ，
所以 平面 ，故C正确；
连接 并延长交 于点 ，连接 ，
则过点 的平面截正三棱柱 所得截面图形为 ，
因为 ，平面 平面 ，
平面 平面 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
取 的中点 ，连接 ，则点 为 的中点，又点 为 的中点，
所以 ，
当 时，点 为 的中点，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
故 ，故D错误．故选：
11．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面
（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面
截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线
C： 的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线 从点M射入，经过C上的点 反
射，再经过C上另一点 反射后，沿直线 射出，则（ ）
A．C的准线方程为
B．
C．若点 ，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线 上
【答案】AD
【解析】由题意，抛物线 ，可得焦点 ，准线方程为 ，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线 经过焦点F，且斜率不为0，
设直线 ，联立方程组 ，整理得 ，
可得 ，所以 ，所以B错误；
若点 ，则 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，所以C错误；又由直线 ，联立方程组 ，解得 ，
由 ，得 ，所以 ，所以点N在直线 上，所以D正确.
故选：AD.
12．关于x的不等式 在 上恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 ，
可得 ，
即 ．
记 ， ，
令 ， ，则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递增且 ，所以当 时， ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，即如下图所示：
又 ， ，且 ，从而 为 与 在 处的公切线时，才能使原不等式恒成立，
， ，则在 处的切线方程为 ，即 ，
得 ， ．
故选：BC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
则 ， ，
则 与 的夹角为 ．
故答案为： .
14．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．
问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，
使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，
截得的该正四棱台的体积为 立方尺（注：1丈 尺）
【答案】3892
【解析】按如图所示方式取截正四棱锥，
分别为上、下底面正方形的中心， 分别为 的中点，
正四棱锥 的下底边长为二丈，即 尺，
高三丈，即 尺；
截去一段后，得正四棱台 ，且上底边长为 尺，
所以 ，所以由 可知，有 ，
解得 ，
所以该正四棱台的体积是 （立方尺）．
故答案为：3892.
15．已知 ，又P点为圆O： 上任意一点且满足 ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，则 ，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以
故答案为： ．
16．在 中，角 的对边分别为 为 边中点，若 ，则 面积 的
最大值为 .
【答案】
【解析】由于 为 边中点,所以 ,平方
,
因此 ,
由于 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 ，
由于 在 单调递减，故当 时， 最小，且为钝角，
,
由于 在 单调递增，故当 取最小值时，此时面积最大，故当 时，此时 最小，进而 最小，故面积最大，
由 可得 ，故面积的最大值为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（12分）
已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并写出 的对称轴方程；
(2)在 中角 的对边分别是 满足 ，求函数 的取值范围．
【解析】（1）
．
， ．
故
令 ，解得 ，
故对称轴方程为：
（2）由 得 ，
．
， ， , ．
， ，
，
18．（12分）
若数列 的前 项和 满足 ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ，证明：对任意的正整数 ，都有 .
【解析】（1）证明：由 ，当 时，可得 ；当 时， ，所以 ，
∴ 时， ，
∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列；
∴ ，∴ .
（2）证明：由（1）知， ，∴ ，
∴ ，
∴ ,
因为 ，所以 ，所以 即 成立．
所以对任意的正整数 ，都有 得证.
19．（12分）
手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物
上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序
A，工序 ，工序 .经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为 ， ， .现某单位推出一项手工
刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，
举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员
完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受
技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为： ,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为： ，
故小李成功完成三道工序的概率为 ；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时 ，
；
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时 ，
；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时 ，
;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时 ， ；
故 .
20．（12分）
如图1，在矩形 中， ，延长 到点 ，且 ．现将 沿着
折起，到达 的位置，使得 ，如图2所示．过棱 的中点 作 于点 ．
(1)若 ，求线段 的长；
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的值．
【解析】（1）因为四边形 为矩形，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 ，
又 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ．
因为 ，点 是 的中点，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
平面 ，所以 ．又 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，
即线段 的长为 ．
（2）由（1）可知 两两垂直，
所以以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
所以 ．
由（1）可知， 是平面 的一个法向量，
是平面 的一个法向量．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，解得 ，
所以当平面 与平面 夹角的余弦值为 时， 的值为2．
21．（12分）
已知双曲线 的离心率为 ，右顶点 到 的一条渐近线的距离为 .
(1)求 的方程；
(2) 是 轴上两点，以 为直径的圆 过点 ，若直线 与 的另一个交点为 ，直线 与
的另一个交点为 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）因为 的离心率为 ，所以 ，
所以 ，渐近线方程 ，
因为点 到一条渐近线距离为 ，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）直线 与圆 相交，理由如下：
设 ，则 ，
因为点 在以 为直径的圆 上，所以 ，
所以 ，
即 ，
由（1）得 ，直线 方程为： 与双曲线 方程联立，
消去 得， ，因为直线 与 都有除 以外的公共点，
所以 ，所以 ，即 ，
同理当 ， .
，
所以直线 方程为： ，令 得， ，
即直线 经过定点 .
因为 ，
所以 点在圆 内，故直线 与圆 相交.
22．（12分）
已知函数 .
(1)若函数 在点 处的切线与函数 的图象有公共点，求实数 的取值范围；
(2)若函数 和函数 的图象没有公共点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
则 在点 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为 ，即 .
由 得 ，即 .
因为函数定义域为 ，所以方程 有非零实数根，
当 时， ，符合题意，当 时，则 ，即 ，且 ，
所以实数a的取值范围是 .
（2）因为函数 和函数 的图象没有公共点，所以 ，即 无实根，
所以当 时， 无实根，
因为 ，即 是偶函数，所以 在 上无实根.
，
记 则 ， .
①当 时， ，又 ，则 ，所以 ，满足 在上无实根.
②当 时， 在 上有实根，不合题意，舍去.
③当 时， ，所以 在 单调递增，
则 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，满足 在 上无实根.
④当 时，因为 在 单调递增，且 ， ，
则存在唯一的 ，使 ，列表得
- 0 +
↘ 极小值 ↗
所以当 时， ，则 在 单调递减，则 ，
又因为 ，且 在 上连续，
所以 在 上有实根，不合题意.
综上可知，实数 的取值范围是 .
