专题7.6数学归纳法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）原卷版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题7.6 数学归纳法 新课程考试要求 1.了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题. 核心素养 本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象等. 1.数学归纳法原理； 考向预测 2．数学归纳法的简单应用. 3．利用数学归纳法证明数列相关问题. 【知识清单】 知识点一．数学归纳法 1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n(n∈N*) 0 0 时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1 时命题也成立． 0 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 开始的所有正整数n都成立． 0 2.数学归纳法的框图表示 【考点分类剖析】 考点一 利用数学归纳法证明不等式 【典例1】（2021·浙江高三专题练习）已知等比数列 的公比 ，且 ， 是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为 . （1）求数列 、 的通项公式； （2）数列 满足： ， ，证明 a  【典例2】（2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中）已知数列 n 满足1 a 1,a  (nN*) 1 n1 na 1 . n a ,a a  (1)求 2 3，并猜想 n 的通项公式(不需证明)； a  a  a  2( 2n11)  nN* (2)求证: 1 2 n . 【例3】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ， ，对于任意的 ，都有 . （1）求 的取值范围 （2）若 ，证明： ( ) （3）在（2）的条件下，证明： 【总结提升】 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法． (2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析 法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 【变式探究】 1. （2021·浙江高三专题练习）已知数列 满足： ， 证明：当 时， （I） ； （II） ；（III） . a  q 1 2. （2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考）已知等比数列 n 的公比 ，且 2n b  a 1 a 3 a 5 42 ， a 3 9 是 a 1 ,a 5的等差中项，数列 b n  的通项公式 n a n 1 a n1 1 ， nN* . a  （Ⅰ）求数列 n 的通项公式； （Ⅱ）证明： b 1 b 2 b n  2n11 ，nN* . 3. （2020届浙江省温州市11月适应测试）已知等差数列 a n  的首项 a 1 1 ，数列  2a n  的前n项和为 S n， S 2 S 2 S 2 且 1 ， 2 ， 3 成等比数列． a （1）求通项公式 n； 1 a a a  n  n  n  n 1 （2）求证：n  a 1 a 2 a n   n1（ nN* ）； 考点二 归纳、猜想、证明 【典例4】（2021·全国高三专题练习）设数列 满足 ， ． （1）计算 、 ，猜想 的通项公式并加以证明； （2）求数列 的前 项和 ． 【典例5】（2021·全国高三专题练习）已知函数 ，设 为 的导数， ． （1）求 ， ； （2）猜想 的表达式，并证明你的结论．【总结提升】 (1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ①计算(根据条件，计算若干项)． ②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)． ③证明(用数学归纳法证明)． (2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略 ①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证 明． ②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法． 【变式探究】 1 a  S  2  nN* 1.（2019·浙江高二期末）数列 a  的前n项和为S ，且满足 n n S ． n n n S S S S (Ⅰ)求 1， 2， 3， 4的值； S  (Ⅱ)猜想数列 n 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 2.给出下列不等式： 1 1> ， 2 1 1 1+ + >1， 2 3 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + > ， 2 3 4 5 6 7 2 1 1 1 1+ + ++ >2， 2 3 15 1 1 1 5 1+ + ++ > ，…… 2 3 31 2 （1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论； （2）用数学归纳法证明你的猜想. 考点三 利用数学归纳法证明等式 n(n+1) 【典例6】已知a，b，c，使等式1⋅22+2⋅32++n(n+1) 2= (an2+bn+c)对n∈N + 都成立， 12 （1）猜测a，b，c的值；（2）用数学归纳法证明你的结论. 【典例7】 证明：＋＋…＋＝．(n∈N*)【总结提升】 数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项， 初始值n0是多少． (2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目 标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归 纳法． 【变式探究】 1. 数学归纳法证明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N )． ＋ 【答案】见解析 【解析】[错解] (1)当n＝3时，左边＝2＋22＝6，右边＝2(22－1)＝6，等式成立． (2)假设n＝k时，结论成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比数列的前n项和公式，得2＋22 ＋…＋2k－1＋2k＝ ＝2(2k－1)． 所以当n＝k＋1时，等式也成立． 由(1)(2)可知，等式对任意n>2，n∈N 都成立． ＋ [辨析] 错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用归纳假设，造成使 用数学归纳法失误． 2.（2018·江苏高考模拟（理））在正整数集上定义函数y=f(n)，满足 f(n)[f(n+1)+1]=2[2−f(n+1)]，且f(1)=2． 9 （1）求证：f(3)−f(2)= ； 10 1 f(n)= +1 （2）是否存在实数a，b，使 3 n ，对任意正整数n恒成立，并证明你的结论． a(− ) −b 2 【易错提醒】 在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基础，验证n＝n0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等； 第二步是递推的依据，证明n＝k＋1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳 法．