专题7.6数学归纳法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题 7.6 数学归纳法 练基础 1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式 时，从 到 等式左边需增添的项是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 分别写出 和 时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案. 【详解】 当 时，左边 ，共 个连续自然数相加， 当 时，左边 ， 所以从 到 ，等式左边需增添的项是 . 故选：C. 2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1- +…+ =2 时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ） A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立 【答案】B 【解析】 直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可． 【详解】 解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设 为偶数）时命题为真， 则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即 时等式成立， 不是 ，因为 是偶数， 是奇数， 故选： ． 3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋ ＋ ＋…＋ ＜n(n∈N*， n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ） A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1 【答案】C 【解析】 根据数学归纳法、不等式特点知 有左侧 ， 有左侧 ，即可判断增加的项数. 【详解】 时，左边= ，而n＝k＋1时，左边＝ ， 增加了 ，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C. 4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式 时，可将其转化为证明（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于 ，利用排除法即可. 【详解】 根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当 时，左端值为 ， 右端为 ，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立. 故选：B. 1 1 1 1  ... n(nN,n1) 5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ” 的过程中， nk nk1 由假设“ ”成立，推导“ ”也成立时，左边应增加的项数是（ ）k k1 2k 2k 1 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 1 1 1 1  ... n(nN,n1) 利用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ”的过程中，假设“nk”成立 1 1 1 1  ... k(nN,n1) 2 3 2k 1 ;当nk1时， 1 1 1 1 1 1 1  ...   .... k1(nN,n1) 左边为 2 3 2k 1 2k 2k 1 2k 2k 1 2k 故增加的项数为 项. 故答案为：C. 6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明 能被 整除时，从 到 添加的项数共有__________________项（填多少项即可）． 【答案】5 【解析】 分别写出 和 时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】 当 时，原式为： ， 当 时，原式为 ， 比较后可知多了 ，共5项. 故答案为：5 {a } a 1 n S 7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列 n 满足 1 ，前 项和 n满足4S (a 3)2(n≥2,nN) {a } a  n n1 ，则数列 n 的通项公式为 n ______________． 2n1 【答案】 【解析】 a 1 n1 当 时， 1 ； 4S (a 3)2 16,S 4,a 3 n2 当 时， 2 1 2 2 ； 4S (a 3)2 36,S 9,a 5 n3 当 时， 3 2 3 3 ； 4S (a 3)2 64,S 16,a 7 a 2n1 n4 当 时， 4 3 4 4 ，猜想得 n ， a 2n1 故 n ，下面用数学归纳法证明： a 1 a 2n1 ① 1 ，满足 n ， nk a 2k1 S k2 ②假设 时，结论成立，即 k ，可得 k ， 4S (a 3)2 (2k2)2 4(k1)2 则 k1 k ， S (k1)2,a S S (k1)2 k2 2k1 k1 k1 k1 k 2(k1)1 a 2n1 ，也满足 n ， a 2n1 a 2n1 结合①②可知， n ，故答案为 n ． a 8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{a }中，a =1,a =1+ n (n∈N∗)用数学归 n 1 n+1 1+a n 纳法证明：a 0， (1+a )(1+a ) k k+1 所以，n=k+1时，不等式成立． 综上所述，不等式a 右式，不等式成立．②假设 时，不等式成立，即 当 时， ，因为 在 上单调递增，由 ，得 ，即 ，可得 ，不等式也成立． ③由①②得证当 ， ． . 9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，且 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）记 ， ，证明： ， ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 （1）因为 ， ， 成等差数列，即 ， 当 时， ，两式相减得 ， 所以 是公比为2的等比数列，即 ， 即 ，由 ，得 ，所以 的通项公式 ． （2）方法一（放缩法）： 因为 ， ，所以 ， 当 时， 所以 ， 当 时， ，取到“ ”号， 综上所述， ， 方法二（数学归纳法）： 因为 ， ，所以 ， 当 时，左边 ，右边 ，原不等式成立； 假设当 时，原不等式成立，即 ， 那么，当 时，左边，即 时也成立， 由此可知，原不等式对于任意的 均成立． b 10.已知点P (a ,b )满足a =a .b ，b = n (n∈N∗)，且点P 的坐标为(−1,1). n n n n+1 n n+1 n+1 1−4a2 1 n （1）求过点P ,P 的直线的方程； 1 2 （2）试用数学归纳法证明：对于n∈N∗，点P 都在（1）中的直线l上. n 【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析. 【解析】 (1)由P的坐标为(1,−1)知：a=1，b=−1. 1 1 1 b 1 1 ∴b 2 = 1−4 1 a2 = 3 ,a 2 =a 1⋅b 2 = 3 . 1 (1 1) ∴点P的坐标为 , . 2 3 3 ∴直线l的方程为2x+y-1=0. (2)要证明原问题成立只需证明点P 都满足2x+ y=1即可. n ①当n=1时，2a+b=2×1+(−1)=1，成立. 1 1 ②假设n=k(k∈N∗,k 1)时，2a+b=1成立，即b =1−2a 成立， k k k k ⩾ b b 1−2a 则2a k+1 +b k+1 =2a k⋅b k+1 +b k+1 = 1−4 k a2 (2a k +1) = 1−2 k a = 1−2a k =1， k k k ∴当n=k+1时，命题也成立. 由①②知，对n∈N∗，都有2a n +b n =1， 即点P 在直线l上. n练真题 TIDHNE 1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a}满足a=3， ． n 1 （1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明； 2 3 n （2）求数列{2na}的前n项和S． n n 【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） . 【解析】 （1）由题意可得 ， ， 由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ， 证明如下： 当 时， 成立； 假设 时， 成立. 那么 时， 也成立. 则对任意的 ，都有 成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由① ②得： ， 即 .{x } x 1 x  x ln(1x ) (nN*) n 1 n n1 n1 2.（2017浙江）已知数列 满足： ， ． nN* 证明：当 时 0 x  x n1 n （Ⅰ） ； x x 2x x ≤ n n1 n1 n 2 （Ⅱ） ； 1 1 ≤x ≤ 2n1 n 2n2 （Ⅲ） ． 【答案】见解析 x 0 n 【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明： n1 x 10 1 当 时， nk x 0 k 假设 时， ， nk1 x ≤0 0 x  x ln(1x )≤0 x 0 k1 k k1 k1 k1 那么 时，若 ，则 ，矛盾，故 ． x 0 (nN*) n 因此 x  x ln(1x ) x n n1 n1 n1 所以 0 x  x (nN*) n1 n 因此 x  x ln(1x ) x n n1 n1 n1 （Ⅱ）由 得 x x 4x 2x  x2 2x (x 2)ln(1x ) n n1 n1 n n1 n1 n1 n1 f(x) x2 2x(x2)ln(1x)(x≥0) 记函数 f(x) [0,) f(x)≥ f(0) 函数 在 上单调递增，所以 =0， x2 2x (x 2)ln(1x ) f(x )≥0 n1 n1 n1 n1 n1 因此x x 2x x ≤ n n1 (nN) n1 n 2 故 （Ⅲ）因为 x  x ln(1x )≤x x 2x n n1 n1 n1 n1 n1 1 x ≥ n 2n1 所以 得 x x n n1≥2x x 2 n1 n 由 得 1 1 1 1  ≥2(  )0 x 2 x 2 n1 n 1 1 1 1 1 1  ≥2(  )≥≥2n1(  )2n2 x 2 x 2 x 2 n n1 1 所以 1 x ≤ n 2n2 故 1 1 ≤x ≤ (nN) 2n1 n 2n2 综上， ． 1 b n(1 )na (nN ) 3．(湖北省高考真题) 已知数列 {a n } 的各项均为正数， n n n  ，e为自然对数的底数． 1 (1 )n （Ⅰ）求函数 f(x)1xex 的单调区间，并比较 n 与e的大小； b bb bbb bb b 1 1 2 1 2 3 1 2 n a aa aa a aa a （Ⅱ）计算 1 ， 1 2 ， 1 2 3 ，由此推测计算 1 2 n 的公式，并给出证明； 1 c (aa a )n {a } {c } n S T T eS （Ⅲ）令 n 1 2 n ，数列 n ， n 的前 项和分别记为 n, n, 证明： n n． 1 (1 )n e 【答案】（Ⅰ） n ． （Ⅱ）2；32 ；43． （Ⅲ）见解析. f(x) (,) f(x)1ex 【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， ． 当 f(x)0 ，即x0时， f(x) 单调递增；当 f(x)0 ，即x0时， f(x) 单调递减． f(x) (,0) (0,) 故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ． 当x0时， f(x) f(0)0 ，即1xex ． 1 1 1 1 x 1 en (1 )n e 令 n ，得 n ，即 n ． ① b 1 bb b b 1 1 1(1 )1 112 1 2  1  2 22(1 )2 (21)2 32 a 1 aa a a 2 （Ⅱ） 1 ； 1 2 1 2 ； bbb bb b 1 1 2 3  1 2  3 323(1 )3 (31)3 43 aa a aa a 3 1 2 3 1 2 3 ． bb b 1 2 n (n1)n aa a 由此推测： 1 2 n ． ② 下面用数学归纳法证明②． （1）当n1时，左边右边2，②成立． bb b 1 2 k (k1)k （2）假设当nk时，②成立，即 a 1 a 2 a k ． 1 b (k1)(1 )k1a 当nk1时， k1 k1 k1 ，由归纳假设可得 bb b b bb b b 1 1 2 k k1  1 2 k  k1 (k1)k(k1)(1 )k1 (k2)k1 aa a a aa a a k1 1 2 k k1 1 2 k k1 ． 所以当nk1时，②也成立． 根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立． c b （Ⅲ）由 n的定义，②，算术-几何平均不等式， n的定义及①得 1 1 1 1 T c c c c  (a )1 (aa )2 (aa a )3 (aa a )n n 1 2 3 n 1 1 2 1 2 3 1 2 n 1 1 1 1 (b)1 (bb )2 (bbb )3 (bb b )n  1  1 2  1 2 3  1 2 n 2 3 4 n1 b b b b b b b b b  1  1 2  1 2 3  1 2 n 12 23 34 n(n1) 1 1 1 1 1 1 1 b[   ]b [   ]b  1 12 23 n(n1) 2 23 34 n(n1) n n(n1) 1 1 1 1 1 b(1 )b (  )b (  ) 1 n1 2 2 n1 n n n1 b b b 1 1 1  1  2  n (1 )1a (1 )2a (1 )na 1 2 n 1 1 2 2 n n ea 1 ea 2 ea n  eS n，即 T n eS n． 4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a}满足a=3， ． n 1（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明； 2 3 n （2）求数列{2na}的前n项和S． n n 【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） . 【解析】 （1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可； （2）由错位相减法求解即可. 【详解】 （1）由题意可得 ， ， 由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ， 证明如下： 当 时， 成立； 假设 时， 成立. 那么 时， 也成立. 则对任意的 ，都有 成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由① ②得： ， 即 .sinx f (x) (x0) 0 x f (x) f (x) nN 5.(江苏省高考真题)已知函数 ，设 n 为 n1 的导数， ．    2f  f 1 2 2 2 2 （Ⅰ）求 的值；    2 nf  f  （2）证明：对任意的nN，等式 n1 4 4 n 4 2 成立．    2f ( ) f ( )1. 1 2 2 2 2 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明：见解析.  sinx cosx sinx f (x) f(x)   ,   1 0  x  x x2 【解析】（Ⅰ）由已知，得   cosx sinx sinx 2cosx 2sinx f (x) f(x)     ,     2 1  x   x2  x x2 x3 于是  4  2 16 f ( ) , f ( )  , 1 2 2 2 2  3 所以    2f ( ) f ( )1. 1 2 2 2 2 故 xf (x)sinx, f (x)xf(x)cosx 0 0 0 （Ⅱ）证明：由已知，得 等式两边分别对x求导，得 ，  f (x)xf (x)cosxsin(x ) 0 1 2 即 ，类似可得 2f (x)xf (x)sinxsin(x) 1 2 ， 3 3f (x)xf (x)cosxsin(x ) 2 3 2 ， 4f (x)xf (x)sinxsin(x2) 3 4 . n nf (x)xf (x)sin(x ) n1 n 2 nN* 下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立. (i)当n=1时，由上可知等式成立. k kf (x)xf (x)sin(x ) k1 k 2 (ii)假设当n=k时等式成立, 即 .[kf (x)xf (x)]kf (x) f (x)xf(x)(k1)f (x) f (x), k1 k k1 k k k k1 因为 k k k (k1) [sin(x )]cos(x )(x )sin[x ] 2 2 2 2 ， (k1) sin[x ] (k1)f (x) f (x) 2 所以 k k1 . 所以当n=k+1时,等式也成立. n nf (x)xf (x)sin(x ) n1 n 2 nN* 综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都成立.  x     n nf ( ) f ( )sin(  ) 4 n1 4 4 n 4 4 2 nN* 令 ，可得 ( ).    2 nf ( ) f ( )  n1 4 4 n 4 2 nN* 所以 ( )． 6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线 与直线 相交于 ，作 交 轴于 ，作 交曲线 于 ，……，以此类推. （1）写出点 和 的坐标； （2）猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明. 【答案】（1） ， ， ； ， ， ；（2） ，证明见解析. 【解析】（1）将直线 ，曲线 方程联立，由 即可求得 ，由垂直关系可得直线 方程，令 即可求得 坐标，依次类推即可求得结果； （2）由（1）可归纳出 ；设 ， ，由直线 方程可求得 坐标，由直线 斜率为 可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法 即可证得结论. 【详解】 （1）由 得： ，即 ； 直线 方程为： ，即 ， 令 ，解得： ， ； 直线 方程为： ，由 得： ，即 ； 直线 方程为： ，即 ， 令 ，解得： ， ； 直线 方程为： ， 由 得： ，即 ； 直线 方程为 ，即 ， 令 ，解得： ， ；（2）由（1）猜想 的坐标为 ， 设 ， ，则直线 的方程为： ， 令 ，解得： ， ， 直线 的斜率为 ，即 ，即 ， ， 用数学归纳法证明 的坐标如下： ①当 时， 满足 ； ②假设当 时， 成立， 那么当 时，由 得： ，解得： ， 即当 时， 成立； 综上所述： .