专题7.6数学归纳法2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）8.21更新

专题 7.6 数学归纳法
练基础
1．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明等式 时，从
到 等式左边需增添的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
分别写出 和 时，等式左边的表达式，比较2个式子，可得出答案.
【详解】
当 时，左边 ，共 个连续自然数相加，
当 时，左边 ，
所以从 到 ，等式左边需增添的项是 .
故选：C.
2．（2020·全国高三专题练习）已知n为正偶数，用数学归纳法证明1- +…+ =2
时，若已假设n=k(k≥2，k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证（ ）
A．n=k+1时等式成立 B．n=k+2时等式成立C．n=2k+2时等式成立 D．n=2(k+2)时等式成立
【答案】B
【解析】
直接利用数学归纳法的证明方法，判断选项即可．
【详解】
解：由数学归纳法的证明步骤可知，假设 为偶数）时命题为真，
则还需要用归纳假设再证下一个偶数，即 时等式成立，
不是 ，因为 是偶数， 是奇数，
故选： ．
3．（2020·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式“1＋ ＋ ＋…＋ ＜n(n∈N*，
n≥2)”时，由n＝k(k≥2)时不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1 B．2k－1
C．2k D．2k＋1
【答案】C
【解析】
根据数学归纳法、不等式特点知 有左侧 ， 有左侧
，即可判断增加的项数.
【详解】
时，左边= ，而n＝k＋1时，左边＝
，
增加了 ，共(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k项，故选：C.
4．（2021·全国高三专题练习（理））用数学归纳法证明不等式
时，可将其转化为证明（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
各选项左侧一样，要转化证明不等式只需右端的部分小于 ，利用排除法即可.
【详解】
根据放缩法证明不等式，首先排除A，C；D选项当 时，左端值为 ，
右端为 ，不等式不成立，故只要证明B成立，原不等式即成立.
故选：B.
1 1 1
1  ... n(nN,n1)
5．（2019·浙江高二月考）利用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ” 的过程中，
nk nk1
由假设“ ”成立，推导“ ”也成立时，左边应增加的项数是（ ）k k1 2k 2k 1
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
1 1 1
1  ... n(nN,n1)
利用数学归纳法证明“ 2 3 2n 1 ”的过程中，假设“nk”成立
1 1 1
1  ... k(nN,n1)
2 3 2k 1 ;当nk1时，
1 1 1 1 1 1
1  ...   .... k1(nN,n1)
左边为 2 3 2k 1 2k 2k 1 2k 2k 1
2k
故增加的项数为 项.
故答案为：C.
6．（2020·上海徐汇区·高三一模）用数学归纳法证明 能被 整除时，从
到 添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．
【答案】5
【解析】
分别写出 和 时的对应的结果，再比较差异，得到答案.
【详解】
当 时，原式为： ，
当 时，原式为 ，
比较后可知多了 ，共5项.
故答案为：5
{a } a 1 n S
7.（2019·湖北高考模拟（理））已知正项数列 n 满足 1 ，前 项和 n满足4S (a 3)2(n≥2,nN) {a } a 
n n1 ，则数列 n 的通项公式为 n ______________．
2n1
【答案】
【解析】
a 1
n1
当 时， 1 ；
4S (a 3)2 16,S 4,a 3
n2
当 时， 2 1 2 2 ；
4S (a 3)2 36,S 9,a 5
n3
当 时， 3 2 3 3 ；
4S (a 3)2 64,S 16,a 7 a 2n1
n4
当 时， 4 3 4 4 ，猜想得 n ，
a 2n1
故 n ，下面用数学归纳法证明：
a 1 a 2n1
① 1 ，满足 n ，
nk a 2k1 S k2
②假设 时，结论成立，即 k ，可得 k ，
4S (a 3)2 (2k2)2 4(k1)2
则 k1 k ，
S (k1)2,a S S (k1)2 k2 2k1
k1 k1 k1 k
2(k1)1 a 2n1
，也满足 n ，
a 2n1 a 2n1
结合①②可知， n ，故答案为 n ．
a
8.（2019届江苏省扬州市仪征中学摸底）已知正项数列{a }中，a =1,a =1+ n (n∈N∗)用数学归
n 1 n+1 1+a
n
纳法证明：a <a (n∈N∗).
n n+1
【答案】见解析.
【解析】
a 3
当n=1时，a =1+ 1 = ，a <a ，所以，n=1时，不等式成立；
2 1+a 2 1 2
1假设n=k（k∈N∗）时，a <a 成立，则当n=k+1时，
k k+1
a a a 1 1
a −a =1+ k+1 −a =1+ k+1 −(1+ k ) = −
k+2 k+1 1+a k+1 1+a 1+a 1+a 1+a
k+1 k+1 k k k+1
a −a
= k+1 k >0，
(1+a )(1+a )
k k+1
所以，n=k+1时，不等式成立．
综上所述，不等式a <a (n∈N∗)成立．
n n+1
9.（2021·全国高三专题练习）数列 满足 .
（1）计算 ，并猜想 的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.
【答案】(1) ； ； ； .
(2)证明见解析.
【详解】
分析：（1）将n进行赋值，分别求得前三项的数值，猜想归纳处通项；（2）利用数学归纳法的证明步骤，
证明猜想即可.
详解：
（1）当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；由此猜想 ；
（2）证明：①当 时， 结论成立，
②假设 （ ，且 ）时结论成立，即 ，
当 时， ，
∴ ，∴ ，
∴当 时结论成立，
由①②可知对于一切的自然数 ， 成立.
10．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列{a}满足： ，点 在直线
n
上．
（1）求 的值，并猜想数列{a}的通项公式；
n
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
【答案】（1） ， ， ； ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）先将点坐标代入直线方程，得到递推关系，再依次求出前几项，猜想通项公式；
（2）结合递推关系，用数学归纳法证明.
【详解】
(1) 点 在直线 上可知，数列 满足： ，
， ．可猜得 ．(2)当 时， 成立，
假设当 时， 成立，
则当 时， 成立，
就是说 ，猜想正确；
综上， ．
练提升
TIDHNE
1．（2021·全国）已知数列 满足 ， ，则当 时，下列判断一定正确
的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据特殊值法，分别令 ， ，即可判断ABD错误；再由数学归纳法证明C选项正确.
【详解】
因为数列 满足 ， ，
若 ，则 ，不满足 ，故A错误；
若 ，则 ， ， ，不满足 ，故D错误；
又此时 ，不满足 ，故B错误；
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立；
构造函数 ， ， ，所以 ，
则 在 上显然恒成立，
所以 在 上单调递增；
因此 在 上单调递增，所以 ，
猜想 ，对任意 恒成立；
下面用数学归纳法证明：
（1）当 时， ，显然成立；
（2）假设当 时，不等式成立，即 恒成立；
则 时， ，
因为函数 在 上单调递增；
所以 ，
即 成立；由（1）（2）可得； ，对任意 恒成立；故C正确.
故选：C.
2．（2021·浙江高三专题练习）已知数列 ，满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
转化条件为 ，令 ，通过导数可得 单调递增，
通过数学归纳法可证明如果 ，则 ，再令 ，
通过导数证明 后，适当放缩可得 ，进而可证明 ，即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递增，
由题意， ，
如果 ，则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以对于任意的 ，均有 ，
所以 .
故选：B.
3．（2020·浙江省桐庐中学）数列 满足 ， ，则以下说法正确的个
数（ ）
① ；② ；
③对任意正数 ，都存在正整数 使得 成立；
④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
利用二次函数的性质及递推关系得 ，然后作差 ，可判断①，已知等式变形为 ，
求出平方和可得②成立，利用简单的放缩可得 ，可判断③，利用数学归纳
法思想判断④．
【详解】
，若 ，则 ，
∴ ，∴ ，①正确；
由已知 ，
∴ ，②正确；
由 及①得 ， ，
∴ ，
显然对任意的正数 ，在在正整数 ，使得 ，此时 成立，③正确；
(i)已知 成立，
(ii)假设 ，则 ，
又 ，即 ，∴ ，
由数学归纳法思想得④正确．
∴4个命题都正确．
故选：D．
4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列 满足： ， ，前
项和为 （参考数据： ， ，则下列选项错误的是（ ）.
A． 是单调递增数列， 是单调递减数列
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
设 ，则有 ， ， ，构建 ，求导分析可知导
函数恒大于零，即数列 ， 都是单调数列，分别判定 ， ，即得单调性，数列
与 的单调性一致，可判定A选项正确；B、C选项利用分析法证明，可知B正确，C错误；D选项利用数学归纳法证分两边证 ，即可证得 .
【详解】
∵ ， ，
∴ ， ， ，
设 ， ， ，则 ，
令 ，则 ，∴ 单调递增，
将 ， 看作是函数 图象上两点，则 ，
∴数列 ， 都是单调数列，
，同理 ， ， ，即 ， ，
∴ 单调递增， 单调递减，而数列 与 的单调性一致，
∴ 是单调递增数列， 是单调递减数列，A正确；
由 得 ，
要证 ，即证 ，即 ，即证 ，
也即要证 ，等价于 ，
显然 时， ， 时， ，故 成立，∴不等式 成立．B正确；
欲证 ，只需证 ，即
即 ，显然成立，
故 ，所以 ，
故C选项错误；
欲证 ，因单调性一致则只需证 ，只需证
因为 ，若 ，则 ；
又因为 ，若 ，则 ，
由数学归纳法有 ，则 成立
故D选项正确。
故选：C
5．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如 的
“积数”为2， 的“积数”为6， 的“积数”为 ，则数集
的所有非空子集的“积数”的和为___________.
【答案】1010【解析】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集 ，积数和
，由此即可计算得到答案.
【详解】
先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集 ，积数和
当 时， ，成立；
假设 时，
当 时，
综上可得， ，
则数集 的所有非空子集的“积数”的和为：
故答案为：1010.
6．（2021·浙江高三期末）已知数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，且对任意的 ，
均有 ， ，则 _______； ______.【答案】1 2146
【解析】
由递推关系计算出 ，再计算出 ，然后可以计算 ，归纳出 的通项公式（可用数学归纳法
证明），求得和 ．
【详解】
因为 ， ，
由已知 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
归纳结论 ， ，
证明：（1） ，由上面知已经成立；
假设 时，假设成立，即 ， ，
则 ， ， ，
由数学归纳法知 ， ，对一切 成立．
．
故答案为：1；2146．
7．（2020·江苏南通·高三其他）数列 的前n项和为 ，记 ，数列 满足 ，
，且数列 的前n项和为 ．
（1）请写出 ， ， 满足的关系式，并加以证明；（2）若数列 通项公式为 ，证明： ．
【答案】（1） ，证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1） ， ， 之间满足的关系式是： ，证明如下：
当 时， ，所以 成立，
假设当 时， 成立，即 ，
当 时，
，
所以 成立，所以 成立.
（2）由（1）得 ，即 ，
因为 ，所以 ，当 时， ，成立；
假设当 时， 成立， ，
当 时，
，
所以当 时，不等式 成立，
所以 .证毕.
8.（2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）已知等比数列 的公比 ，且 ，
是 ， 的等差中项，数列 满足：数列 的前 项和为 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）数列 满足： ， ，证明
【答案】（1） ， ；（2）详见解析.
【解析】
（1）由题意 ，得 ，
即 ，解得 或 ，已知 故 ．， ．
当 时， ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，
， ．
（2）
法1． ，
，累加得当 ， ，
当 ，
∴
法2．先用数学归纳法证明当 ， ．
①当 时， ，左式>右式，不等式成立．②假设 时，不等式成立，即
当 时， ，因为 在 上单调递增，由
，得 ，即 ，可得 ，不等式也成立．
③由①②得证当 ， ．
.
9．（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，且
， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 ， ，证明： ， ．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为 ， ， 成等差数列，即 ，
当 时， ，两式相减得 ，
所以 是公比为2的等比数列，即 ，
即 ，由 ，得 ，所以 的通项公式 ．
（2）方法一（放缩法）：
因为 ， ，所以 ，
当 时，
所以
，
当 时， ，取到“ ”号，
综上所述， ，
方法二（数学归纳法）：
因为 ， ，所以 ，
当 时，左边 ，右边 ，原不等式成立；
假设当 时，原不等式成立，即 ，
那么，当 时，左边，即 时也成立，
由此可知，原不等式对于任意的 均成立．
b
10.已知点P (a ,b )满足a =a .b ，b = n (n∈N∗)，且点P 的坐标为(−1,1).
n n n n+1 n n+1 n+1 1−4a2 1
n
（1）求过点P ,P 的直线的方程；
1 2
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N∗，点P 都在（1）中的直线l上.
n
【答案】（1）2x+y-1=0.（2）见解析.
【解析】
(1)由P的坐标为(1,−1)知：a=1，b=−1.
1 1 1
b 1 1
∴b
2
=
1−4
1
a2
=
3
,a
2
=a 1⋅b
2
=
3
.
1
(1 1)
∴点P的坐标为 , .
2 3 3
∴直线l的方程为2x+y-1=0.
(2)要证明原问题成立只需证明点P 都满足2x+ y=1即可.
n
①当n=1时，2a+b=2×1+(−1)=1，成立.
1 1
②假设n=k(k∈N∗,k 1)时，2a+b=1成立，即b =1−2a 成立，
k k k k
⩾ b b 1−2a
则2a
k+1
+b
k+1
=2a k⋅b
k+1
+b
k+1
=
1−4
k
a2
(2a
k
+1) =
1−2
k
a
=
1−2a
k =1，
k k k
∴当n=k+1时，命题也成立.
由①②知，对n∈N∗，都有2a
n
+b
n
=1，
即点P 在直线l上.
n练真题
TIDHNE
1．（2020·全国高考真题（理））设数列{a}满足a=3， ．
n 1
（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .{x } x 1 x  x ln(1x ) (nN*)
n 1 n n1 n1
2.（2017浙江）已知数列 满足： ， ．
nN*
证明：当 时
0 x  x
n1 n
（Ⅰ） ；
x x
2x x ≤ n n1
n1 n 2
（Ⅱ） ；
1 1
≤x ≤
2n1 n 2n2
（Ⅲ） ．
【答案】见解析
x 0
n
【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：
n1 x 10
1
当 时，
nk x 0
k
假设 时， ，
nk1 x ≤0 0 x  x ln(1x )≤0 x 0
k1 k k1 k1 k1
那么 时，若 ，则 ，矛盾，故 ．
x 0 (nN*)
n
因此
x  x ln(1x ) x
n n1 n1 n1
所以
0 x  x (nN*)
n1 n
因此
x  x ln(1x ) x
n n1 n1 n1
（Ⅱ）由 得
x x 4x 2x  x2 2x (x 2)ln(1x )
n n1 n1 n n1 n1 n1 n1
f(x) x2 2x(x2)ln(1x)(x≥0)
记函数
f(x) [0,) f(x)≥ f(0)
函数 在 上单调递增，所以 =0，
x2 2x (x 2)ln(1x ) f(x )≥0
n1 n1 n1 n1 n1
因此x x
2x x ≤ n n1 (nN)
n1 n 2
故
（Ⅲ）因为
x  x ln(1x )≤x x 2x
n n1 n1 n1 n1 n1
1
x ≥
n 2n1
所以 得
x x
n n1≥2x x
2 n1 n
由 得
1 1 1 1
 ≥2(  )0
x 2 x 2
n1 n
1 1 1 1 1 1
 ≥2(  )≥≥2n1(  )2n2
x 2 x 2 x 2
n n1 1
所以
1
x ≤
n 2n2
故
1 1
≤x ≤ (nN)
2n1 n 2n2
综上， ．
1
b n(1 )na (nN )
3．(湖北省高考真题) 已知数列 {a n } 的各项均为正数， n n n  ，e为自然对数的底数．
1
(1 )n
（Ⅰ）求函数
f(x)1xex
的单调区间，并比较 n 与e的大小；
b bb bbb bb b
1 1 2 1 2 3 1 2 n
a aa aa a aa a
（Ⅱ）计算 1 ， 1 2 ， 1 2 3 ，由此推测计算 1 2 n 的公式，并给出证明；
1
c (aa a )n {a } {c } n S T T eS
（Ⅲ）令 n 1 2 n ，数列 n ， n 的前 项和分别记为 n, n, 证明： n n．
1
(1 )n e
【答案】（Ⅰ） n ．
（Ⅱ）2；32 ；43．
（Ⅲ）见解析.
f(x) (,) f(x)1ex
【解析】（Ⅰ） 的定义域为 ， ．
当 f(x)0 ，即x0时， f(x) 单调递增；当 f(x)0 ，即x0时， f(x) 单调递减．
f(x) (,0) (0,)
故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
当x0时， f(x) f(0)0 ，即1xex ．
1 1 1 1
x 1 en (1 )n e
令 n ，得 n ，即 n ． ①
b 1 bb b b 1
1 1(1 )1 112 1 2  1  2 22(1 )2 (21)2 32
a 1 aa a a 2
（Ⅱ） 1 ； 1 2 1 2 ；
bbb bb b 1
1 2 3  1 2  3 323(1 )3 (31)3 43
aa a aa a 3
1 2 3 1 2 3 ．
bb b
1 2 n (n1)n
aa a
由此推测： 1 2 n ． ②
下面用数学归纳法证明②．
（1）当n1时，左边右边2，②成立．
bb b
1 2 k (k1)k
（2）假设当nk时，②成立，即 a 1 a 2 a k ．
1
b (k1)(1 )k1a
当nk1时， k1 k1 k1 ，由归纳假设可得
bb b b bb b b 1
1 2 k k1  1 2 k  k1 (k1)k(k1)(1 )k1 (k2)k1
aa a a aa a a k1
1 2 k k1 1 2 k k1 ．
所以当nk1时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数n都成立．
c b
（Ⅲ）由 n的定义，②，算术-几何平均不等式， n的定义及①得
1 1 1 1
T c c c c  (a )1 (aa )2 (aa a )3 (aa a )n
n 1 2 3 n 1 1 2 1 2 3 1 2 n
1 1 1 1
(b)1 (bb )2 (bbb )3 (bb b )n
 1  1 2  1 2 3  1 2 n
2 3 4 n1
b b b b b b b b b
 1  1 2  1 2 3  1 2 n
12 23 34 n(n1)
1 1 1 1 1 1 1
b[   ]b [   ]b 
1 12 23 n(n1) 2 23 34 n(n1) n n(n1)
1 1 1 1 1
b(1 )b (  )b (  )
1 n1 2 2 n1 n n n1
b b b 1 1 1
 1  2  n (1 )1a (1 )2a (1 )na
1 2 n 1 1 2 2 n n
ea 1 ea 2 ea n  eS n，即 T n eS n．
4.（2021·全国高三专题练习）设数列{a}满足a=3， ．
n 1（1）计算a，a，猜想{a}的通项公式并加以证明；
2 3 n
（2）求数列{2na}的前n项和S．
n n
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【解析】
（1）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；
（2）由错位相减法求解即可.
【详解】
（1）由题意可得 ， ，
由数列 的前三项可猜想数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，即 ，
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
（2）由（1）可知，
，①
，②
由① ②得：
，
即 .sinx
f (x) (x0)
0 x f (x) f (x) nN
5.(江苏省高考真题)已知函数 ，设 n 为 n1 的导数， ．
  
2f  f
1 2 2 2 2
（Ⅰ）求 的值；
   2
nf  f 
（2）证明：对任意的nN，等式 n1 4 4 n 4 2 成立．
  
2f ( ) f ( )1.
1 2 2 2 2
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）证明：见解析.

sinx cosx sinx
f (x) f(x)   ,
 
1 0  x  x x2
【解析】（Ⅰ）由已知，得
 
cosx sinx sinx 2cosx 2sinx
f (x) f(x)     ,
   
2 1  x   x2  x x2 x3
于是
 4  2 16
f ( ) , f ( )  ,
1 2 2 2 2  3
所以
  
2f ( ) f ( )1.
1 2 2 2 2
故
xf (x)sinx, f (x)xf(x)cosx
0 0 0
（Ⅱ）证明：由已知，得 等式两边分别对x求导，得 ，

f (x)xf (x)cosxsin(x )
0 1 2
即 ，类似可得
2f (x)xf (x)sinxsin(x)
1 2
，
3
3f (x)xf (x)cosxsin(x )
2 3 2
，
4f (x)xf (x)sinxsin(x2)
3 4
.
n
nf (x)xf (x)sin(x )
n1 n 2 nN*
下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立.
(i)当n=1时，由上可知等式成立.
k
kf (x)xf (x)sin(x )
k1 k 2
(ii)假设当n=k时等式成立, 即 .[kf (x)xf (x)]kf (x) f (x)xf(x)(k1)f (x) f (x),
k1 k k1 k k k k1
因为
k k k (k1)
[sin(x )]cos(x )(x )sin[x ]
2 2 2 2
，
(k1)
sin[x ]
(k1)f (x) f (x) 2
所以 k k1 .
所以当n=k+1时,等式也成立.
n
nf (x)xf (x)sin(x )
n1 n 2 nN*
综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都成立.

x     n
nf ( ) f ( )sin(  )
4 n1 4 4 n 4 4 2 nN*
令 ，可得 ( ).
   2
nf ( ) f ( ) 
n1 4 4 n 4 2 nN*
所以 ( )．
6.（2021·上海普陀区·高三其他模拟）如图，曲线 与直线 相交于 ，作
交 轴于 ，作 交曲线 于 ，……，以此类推.
（1）写出点 和 的坐标；
（2）猜想 的坐标，并用数学归纳法加以证明.
【答案】（1） ， ， ； ， ，
；（2） ，证明见解析.
【解析】（1）将直线 ，曲线 方程联立，由 即可求得 ，由垂直关系可得直线 方程，令
即可求得 坐标，依次类推即可求得结果；
（2）由（1）可归纳出 ；设 ， ，由直线
方程可求得 坐标，由直线 斜率为 可推导得到递推关系式；根据递推关系式，利用数学归纳法
即可证得结论.
【详解】
（1）由 得： ，即 ；
直线 方程为： ，即 ，
令 ，解得： ， ；
直线 方程为： ，由 得： ，即 ；
直线 方程为： ，即 ，
令 ，解得： ， ；
直线 方程为： ，
由 得： ，即 ；
直线 方程为 ，即 ，
令 ，解得： ， ；（2）由（1）猜想 的坐标为 ，
设 ， ，则直线 的方程为： ，
令 ，解得： ， ，
直线 的斜率为 ，即 ，即 ，
，
用数学归纳法证明 的坐标如下：
①当 时， 满足 ；
②假设当 时， 成立，
那么当 时，由 得：
，解得： ，
即当 时， 成立；
综上所述： .