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微专题：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
【考点梳理】
1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
(1)分类加法计数原理
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有N＝ m ＋ n 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果有n类方案，且：第1类方案中有m 种不同的方法，第2类方案中有m 种不同的
1 2
方法，…，第n类方案中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m ＋ m ＋…＋ m 种不同的方法.
n 1 2 n
(2)分步乘法计数原理
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件
事共有N＝ m × n 种不同的方法.
②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，
1 2
…，做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m × m ×…× m 种不同的方法.
n 1 2 n
2.解答计数应用问题的总体思路：根据完成事件所需的过程，对事件进行整体分类，确定可分为几大类，整体
分类以后，再确定在每类中完成事件要分几个步骤，这些问题都弄清楚了，就可以根据两个基本原理解决问题了.
此外，还要掌握一些非常规计数方法，如：①枚举法：将各种情况一一列举出来，它适用于种数较少且计数对象
不规律的情况；②转换法：转换问题的角度或转换成其他已知问题；③间接法：若用直接法比较复杂，难以计数，
则可考虑利用正难则反的策略，先计算其反面情形，再用总数减去即得.
【题型归纳】
题型一： 分类加法计数原理
1．已知集合 ， ，若从这两个集合中各取一个元素作为点的横坐标或纵坐标，则可得
平面直角坐标系中第一、二象限内不同点的个数是（ ）
A．18 B．16 C．14 D．10
2．为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立
了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（ ）
A．11种 B．19种 C．30种 D．209种
3．解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个
人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A．4种 B．5种 C．6种 D．9种
题型二： 分步乘法计数原理
4．某大学食堂备有6种荤菜、5种素菜、3种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（
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A．30 B．14 C．33 D．90
5．现有3位游客来黄山旅游，分别从4个景点中任选一处游览，不同选法的种数是（ ）
A． B． C．24 D．12
6．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国
人民的喜爱.某商店有3个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求
“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法有多少种？（ ）
A．24 B．12 C．6 D．2
题型三： 两个计数原理的综合应用
7．把甲、乙、丙、丁四位医护人员分给三个社区做核酸检测，每个社区至少分到一位医护人员，且甲、乙两医护
人员不能分给同一社区，则不同的分法有（ ）
A．18种 B．24种 C．30种 D．36种
8．某同学从4本不同的数学资料，2本不同的语文资料，2本不同的英语资料中任选一本购买，则不同的选法共有
（ ）
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
9．随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则“任意两个有公共边的
三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
10．如图为一棋盘，规则如下.棋子从甲格出发，每次可逆时针或顺时针走一格，则第九步时到达丁格的走法有（
）种
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11．冬奥会越野滑雪项目比赛共分 组，现安排 名志愿者负责这 组的服务工作，每人至少负责 组，每组的服
务工作由 人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
12．为庆祝中国共青团成立100周年，某校计划举行庆祝活动，共有4个节目，要求A节目不排在第一个，则节目
安排的方法数为（ ）
A．9 B．18 C．24 D．27
13．由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，
每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（ ）
A．150种 B．90种 C．60种 D．80种
14．在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同
的颜色，现有 种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
15．6名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是（ ）
A．20 B． C． D．120
16．4位同学报名参加四个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）
A．24种 B．81种 C．64种 D．256种
17．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则最多形成不同的直线的条数为
（ ）
A．18 B．20 C．25 D．10
18．开封教育局的小王准备在今年的五月一日上午乘坐汽车或火车到商丘进行调研，已知该天上午从开封开往商
丘的汽车有4个班次，火车有7个班次，那么他不同的乘坐班次有（ ）
A．2个 B．3个 C．11个 D．28个
19．“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5
名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方
法的种数为（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
20．某小区的道路网如图所示，则由A到C的最短路径中，经过B的走法有（ ）
A．6种 B．8种
C．9种 D．10种
21．第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、
乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有
人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
22．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有 两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三
人不同的排队方案共有（ ）
A．12种 B．18种 C．24种 D．36种
23．2022年北京冬奥会的顺利召开，引起大家对冰雪运动的关注．若A，B，C三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰
壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（ ）
A．12种 B．16种 C．64种 D．81种
24．如图，用4种不同的颜色对A，B，C，D四个区域涂色，要求相邻的两个区域不能用同一种颜色，则不同的
涂色方法有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种
25．解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三
种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．10种 B．21种 C．24种 D．36种
26．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人中至少有一人参加，若甲、乙同时参加，
则他们发言时顺序相邻，那么不同的发言顺序有（ ）
A．168种 B．240种 C．264种 D．336种
27． 展开后的项数为（ ）
A．10 B．18 C．24 D．36
28．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过6个转运环节，其中第1，6个环
节有 ， 两种运输方式，第2，3，5个环节有 ， 两种运输方式，第4个环节有 ， ， ， 四种运输方式，
则快件从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有不同的方法种数是（ ）
A．58 B．60 C．77 D．78
29．用四种颜色给正四棱锥 的五个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜
色，则不同的涂法有（ ）
A．72种 B．36种 C．12种 D．60种
【高分突破】
一、单选题
30．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，
戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时
在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）
A．8种 B．14种 C．20种 D．116种
31．算盘是中国古代的一项重要发明．现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横
以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）．如果拨动图1
算盘中的两枚算珠，可以表示不同整数的个数为（ ）
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32．哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名
数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
33．国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体
团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）
A．306 B．198 C．268 D．378
34．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在四位数中，回文数共有
（ ）
A．81个 B．90个 C．100个 D．900个
35．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，
我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师
只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（ ）
A．18种 B．36种 C．68种 D．84种
36．如图，“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，它是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现从给出的5
种不同的颜色中最多可以选择4种不同的颜色给这5个区域涂色；要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只
涂一种颜色．则不同的涂色方案有（ ）种
A．120 B．240 C．300 D．360
37．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（ ）
A．20 B．36 C．60 D．72
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38．从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数组成一个三位数，则在所组成的数中（ ）
A．偶数有48个 B．比300大的奇数有48个
C．个位和百位数字之和为7的有24个 D．能被3整除的数有48个
39．在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，
结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，
考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6
门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（ ）
A．若任意选科，选法总数为
B．若化学必选，选法总数为
C．若政治和地理至多选一门，选法总数为
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为
40．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法
41．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”
“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在不相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有96种排法
42．现安排高二年级 、 、 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，
且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ）
A．共有不同的安排方法有 种
B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若 同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
43．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四
项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安
排方案的种数是
三、填空题
44．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，
是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“ ”，26可以表示为“ ”.现有6根算筹，据此表示方
法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两位数的个数为_________.
45．新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生
(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有
___________种.(用数字作答)
46．2018年开始实施新高考考试方案，现模拟选科，其中语文､数学､英语为必选科目.物理､历史两科中选择一科，
再从化学､生物､地理､政治四科中任选二科，组合成“3+1+2”模式.若小王同学在政治和化学这两科中至多选一科，
则他选择的组合方式有___________种.（用数字作答）
47．某单位现有三个部门竞岗，甲、乙、丙三人每人只竞选一个部门，设事件A为“三人竞岗部门都不同”，B为
“甲独自竞岗一个部门”，则 ______.
48．给图中A，B，C，D，E五个区域填充颜色，每个区域只填充一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色
可供选择，则共有_________种不同的方案．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司49．在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可
供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每天
不同的值班安排有___________种.
四、解答题
50．4位同学报名参加2022年杭州亚运会6个不同的项目（记为 ， ， ， ， ， ）的志愿者活动．假设
每位同学恰报1个项目，且报名各项目是等可能的．
（1）求4位同学报了4个不同的项目的概率；
（2）求1位同学报了项目 ，剩余3位同学都报了项目 的概率．
51．在北京冬奥会期间，某项比赛中有7名志愿者，其中女志愿者3名，男志愿者4名．
(1)从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者代表的不同的选法有多少种？
(2)从中选4人分别从事四个不同岗位的服务，每个岗位一人，且男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有多
少种不同的安排方法？
52．有 个数 、 、 、 、 、 、 ．
(1)从这 个数中任取两个数组成分数，求所组成的分数恰好是最简分数（分子分母除 之外没有其他公因数）的概
率；
(2)将这 个数按任意次序排成一行，拼成一个 位数，求所拼成的 位数满足 与 相邻且 和 不相邻的概率．
53．从1，3，5，7中任取两个数，从0，2，4，6中任取两个数，组成没有重复数字的四位数．
(1)可以组成多少个四位偶数？
(2)可以组成多少个两个奇数数字相邻的四位数？（所有结果均用数值表示）
54．有一个圆被两条相交弦分成四块，现用5种不同的颜料给这四块涂色，要求相邻的两块颜色不同，每块只涂
一种颜色，有多少种不同的涂色方法？
55．从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【分析】分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的
纵坐标两类讨论求解.
【详解】分两类情况讨论：
第一类，从 中取的元素作为横坐标，从 中取的元素作为纵坐标，则第一、二象限内的点共有 （个）；
第二类，从 中取的元素作为纵坐标，从 中取的元素作为横坐标，则第一、二象限内的点共有 （个），
由分类加法计数原理，所以所求个数为 ．
故选：C
2．C
【分析】根据题意，该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点,由加法原理计算可
得答案.
【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有 种不同接
种点的选法．
故选：C．
3．B
【分析】由分类计数原理计算．
【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有 （种）.
故选：B.
4．D
【分析】根据备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，则素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，然后再
利用分步计数原理求解
【详解】因为备有6种素菜，5种荤菜，3种汤，
所以素菜有6种选法，荤菜有5种选法，汤菜有3种选法，
所以要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐有 种
故选：D
5．B
【分析】利用分步乘法计数原理计算可得.
【详解】解：每位游客有4种选择，由分步乘法计数原理知不同选法的种数是 .
故选：B
6．B
【分析】先排2个雪容融，利用插空法排列3个冰墩墩即可.
【详解】解：先对2个雪容融排列 ，将3个冰墩墩插空放在3个空位上排列 ，
由分步乘法计数原理，排列方法有 .
故选：B
7．C
【分析】根据分组分配问题，用排列组合求解，最后用分类加法原理即可.
【详解】根据题意，一共有两种安排方法：第一种，安排丙丁两人一起去一个社区，甲乙两个分别去另外两个小
第 11 页区，此时共有 ,
第二种情况，丙丁中选一个人与甲乙中选一个人，选出的两人一起去同一个社区，剩余两人分别取另外两个社区，
此时共有 ，
故共有 种方法.
故选：C
8．B
【分析】根据题设条件直接确定不同的选法数.
【详解】由题意，从8本不同资料任选一本购买，故共有8种选法.
故选：B
9．A
【分析】求出所有涂色方法数为 ，再求出在任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同的方法数，可以先从中间
一个三角形涂色，然后再涂其他三个三角形．
【详解】解：随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红，黄，蓝，绿，黑这5种颜色供选择，
每个三角形均有 种涂法，故基本事件总数 ，
有公共边的三角形为不同色，先考虑中间一块涂色有5种方法，
其他的三个三角形在剩下的4中颜色中任意涂色均可有 种涂法，这一共有 种涂法，
所求概率为 ．
故选：A．
10．C
【分析】分逆时针走九步、顺时针走九步、顺时针走六步，逆时针走三步和逆时针走六步，顺时针走三步四种情
况讨论，从而可得出答案.
【详解】解：共分四种情况，
①逆时针走九步，则有1种情况；
②顺时针走九步，则有1种情况；
③顺时针走六步，逆时针走三步，则有 种；
④逆时针走六步，顺时针走三步，则有 种，
故共有 种.
故选：C.
11．D
【分析】分析可知 名志愿者中有 人负责两组，另外 人各负责一组，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】由题意可知， 名志愿者中有 人负责两组，另外 人各负责一组，
所以不同的安排方式种数为 .
故选：D.
12．B
【分析】由于A节目有特殊要求，所以先安排A节目，再安排其它的节目，从而即可求解.
【详解】解：由题意，先从后面3个节目中选择一个安排A节目，然后其它3个节目任意排在剩下的3个位置，共
第 12 页有 种方法，
故选：B.
13．A
【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，
再进行分配（乘以 ），即可求解.
【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有 （种）；
若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有 （种）；
故共有 种不同的分配方法.
故选：A.
14．C
【分析】对 、 、 三个区域所涂颜色的种数进行分类讨论，确定另外三个区域所涂颜色的方法种数，利用分
步乘法和分类加法计数原理可得结果.
【详解】解：考虑 、 、 三个区域用同一种颜色，共有方法数为 种；
考虑 、 、 三个区域用 种颜色，共有方法数为 种；
考虑 、 、 三个区域用 种颜色，共有方法数为 种．
所以共有方法数为 种．
故选：C．
15．B
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.
【详解】依题意，每位同学都有3种选法，所以不同的选法种数是 .
故选：B
16．D
【分析】利用分步乘法计数原理进行计算.
【详解】每位同学均有四种选择，故不同的报名方法有 种.
故选：D
17．A
【分析】用分步乘法计数原理先列出 的情况,再列出 的情况，再相乘即可，注意考虑表示同一直线的情况.
【详解】第一步，给A赋值有5种选择，
第二步，给B赋有4种选择，由分步乘法计数原理可得：5×4＝20(种).
又因为A＝1，B＝2，与A＝2，B＝4表示同一直线.A＝2，B＝1与A＝4，B＝2，也表示同一直线.
∴形成不同的直线最多的条数为20－2＝18.
故选：A
18．C
【分析】根据分类加法原理求解即可.
【详解】解：根据分类加法计数原理，不同的乘坐班次有4＋7＝11个．
第 13 页故选：C．
19．B
【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可.
【详解】根据题意有两种方式：
第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方，
共有 种方法，
第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家，
共有 ，
所以分派方法的种数为 ，
故选：B
20．C
【分析】由题意，从点 到点 ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，从点 到点 ，共走三步，需向上走
一步，向右走两步，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，从点 到点 ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有 种走法；
从点 到点 ，共走三步，需向上走一步，向右走两步，共有 种走法，
由分步计数原理，可得共有 种不同的走法.
故选：C.
21．B
【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有 种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有 种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有 种，则共有 种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为 .
故选：B
22．C
【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到 队伍检测，②2人到 队伍检测，③1人到 队伍检测，④
0人到 队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.
【详解】先进行分类：①3人到 队伍检测，考虑三人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
②2人到 队伍检测，同样要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
③1人到 队伍检测，要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
④0人到 队伍检测，要考虑两人在 队的排队顺序，此时有 种方案；
所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.
第 14 页故选：C
23．C
【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：每个人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，
根据分步乘法计数原理，不同的选法共有 种．
故选：C
24．B
【分析】按涂色顺序进行分四步，根据分步乘法计数原理可得解.
【详解】按涂色顺序进行分四步：涂A部分时，有4种涂法；涂B部分时，有3种涂法；涂C部分时，有2种涂法；
涂D部分时，有2种涂法.
由分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有 种.
故选：B.
25．A
【分析】利用分类加法计数原理计算即可.
【详解】根据分类加法计数原理得：
不同的选法共有 （种）．
故选：A．
26．C
【分析】根据题意，可分为两种情况：甲乙其中一人参加,甲乙两人都参加，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，可分为两种情况：
若甲乙其中一人参加，有 种情况；
若甲乙两人都参加，有 种情况，
所以不同的发言顺序有 种.
故选：C.
27．C
【分析】根据分步乘法原理求解即可.
【详解】根据分步乘法原理，展开后的项数有： 项.
故选：C
28．B
【分析】结合条件利用分步加法计数原理和分步乘法计数原理解决.
【详解】若第4环节使用 运输方式，由条件可得快件从甲送到乙至多使用3种运输方式，故第四环节必须使用 ，
， 三种运输方式中的1种，若第1,6两个环节都使用 运输方式，从快件甲送到乙至多会使用3种运输方式，
故从甲送到乙要使用4种运输方式，则满足条件的运输方法可分为2类，
第一类：第一和第六环节都用 运输方式的运输顺序，
若第一和第六环节都用 ，则第2,3,5环节必须使用两种不同的运输方式，第4环节必须使用 ， ， 中的一种运
输方式，故满足条件的运输方式有 种，
第二类：第一和第六环节运输方式不相同的运输顺序，
若第1,6环节的运输方式不同，则第2,3,5环节只需至少一个环节使用 运输方式，第4环节必须使用 ， ， 中
第 15 页的一种运输方式，故满足条件的运输方式有 种，
由分类加法计数原理可得满足条件的运输方式有18+42种，即60种.
故选：B.
29．A
【分析】列出表格，使用分类加法，分步乘法公式进行计算.
【详解】如下表
顶点 V A B C D
C与A同色1 2
种数 4 3 2
C与A不同色1 1
总计
故选：A．
30．B
【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.
【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有
种可能；
②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，
则有 种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
故选：B.
31．A
【分析】根据给定条件分类探求出拨动两枚算珠的结果计算得解.
【详解】拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，
由于拨动一枚算珠有梁上、梁下之分，则只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，在每一个档各拨动一枚算珠共
有4种方法，
由分类加法计数原理得共有8种方法，
所以表示不同整数的个数为8.
故选：A
32．C
【分析】先将2名语文老师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他3人分成
2组，结合每个校区各4人即可得出结果.
【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有 种分法，
然后再分到两个校区，共有 种方法，
第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人，
第 16 页由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有 种方法，
根据分布乘法计数原理共有 种.
故选：C
33．B
【分析】分“选两个国内媒体一个国外媒体”和“选两个外国媒体一个国内媒体”两种情况讨论,分别求出种数再
相加即可.
【详解】由题可知选出的3个媒体团的构成有如下两类：
①选出的3个媒体团中只有一个国内媒体团，有 种不同的提问方式；
②选出的3个媒体团中有两个国内媒体团，有 种不同的提问方式．
综上，共有 种不同的提问方式．
故选：B.
34．B
【分析】依据题意可知该数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的，简单计算可得结果.
【详解】由题可知：回文数中间两个数字是一样的，两端的数字是一样的
所以共有：
故选：B
35．B
【分析】按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可
【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有： 种方法；
若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有： 种方法；
故一共有： 种分派方法
故选：
36．C
【分析】依题意可以利用3或4种不同的颜色涂色，先选出颜色，再涂色，按照分步、分类计数原理计算可得；
【详解】解：依题意显然不能用少于2种颜色涂色，
若利用3种不同的颜色涂色，首先选出3种颜色有 种选法，
先涂区域①有3种涂法，再涂②有2种涂法，则⑤只有1种涂法，④也只有1种涂法，则③也只有1种涂法，
故一共有 种涂法；
若利用4种不同的颜色涂色，首先选出4种颜色有 种选法，根据题意，分2步进行涂色：
当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有 种涂色的方法；
当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、④有2
种涂色方法，
故共有 种涂色的方法；
综上可得一共有 种涂法；
故选：C
第 17 页37．D
【分析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.
【详解】先排3，4，5,,共有 种排法，
然后在4个位置上选2个排列1,2，有 种排法，
则1与2不能相邻的排法总数为 种，
故选：D.
38．CD
【分析】结合简单的排列数计算对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】对于A，其个位数字为2或4或6，有3种情况，在剩余5个数字中任选2个，安排在百位和十位，有
种情况，则有3×20＝60个三位偶数，A错误；
对于B，分2种情况讨论，若百位数字为3或5，有2×2×4＝16个三位奇数，若百位数字为4或6，有2×3×4＝24
个三位奇数，则符合题意的三位数有16+24＝40个，B错误；
对于C，个位和百位数字之和为7有（1，6），（2，5），（3，4），共3种情况，则符合题意的三位数有
个，故C正确；
对于D，能把3整除，则三个数字之和为3的倍数，共有（1，2，3），（1，2，6），（1，3，5），（1，5，
6），（2，3，4），（2，4，6），（3，4，5），（4，5，6）八种选择，
故能被3整除的数有 个，故D正确；
故选：CD.
39．ABC
【分析】根据题意，结合分类计数原理和分步计数原理，利用组合数的计算公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，先从物理和历史中，任选1科，再从剩余的四科中任选2科，
根据分步计数原理，可得选法总数为 种，所以A正确；
对于B中，先从物理、历史中选1门，有 种选法，
若化学必选，再从生物、政治、地理中再选1门，有 种选法，
由分步计数原理，可得选法共有 种，所以B正确；
对于C中，先从物理和历史中选1门，有 种选法，
若从政治和地理中只选1门，再从化学和生物中选1门，有 种选法，
若政治和地理都不选，则从化学和生物中选2门，只有1中选法，
由分类计数原理，可得共有 ，所以C正确；
对于D中，若物理必选，只有1种选法，
若化学、生物只选1门，则在政治、地理中选1门，有 种选法，
若化学、生物都选，则只有1种选法，
由分类计数原理，可得选法总数为 ，所以D错误.
故选：ABC.
第 18 页40．ABD
【分析】利用排列知识计算得到选项ABD正确；若要选出不同颜色的2个球，有 种不同的选法，所以选项C错
误.
【详解】解：A. 从中任选1个球，有 15种不同的选法，所以该选项正确；
B. 若每种颜色选出1个球，有 120种不同的选法，所以该选项正确；
C. 若要选出不同颜色的2个球，有 种不同的选法，所以该选项错误；
D. 若要不放回地依次选出2个球，有 210种不同的选法，所以该选项正确.
故选：ABD
41．ACD
【分析】利用直接法、间接法、捆绑法以及分步乘法计数原理依次判断选项即可.
【详解】A：6门中选2门共有 种选法，故A正确；
B：利用间接法，课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有 种排法，然后全排列有
种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有 种，没有限制条件时共有
种排法，故“乐”“射”排在不相邻的两周有 种排法，故B错误；
C：课程“御”“书”“数”排在相邻的三周，即把这三个当作一个整体，有 种排法，然后全排列有
种排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故C正确；
D：先特殊后一般，先把“礼”排在第一周，再排“数”，有 种排法，再把剩下4个全排列，有 种
排法，根据分步乘法计数原理，得共有 种排法，故D正确.
故选：ACD.
42．ABD
【分析】按照分步乘法计数原理一一计算可得；
【详解】解：根据题意，
对于A： ， ， 三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，
每个学生有4种选法，则三个学生有 种选法，故A正确；
对于B：三人到4个工厂，有 种情况，其中甲工厂没有人去，
即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有 种，
则工厂甲必须有同学去的安排方法有 种，故B正确；
对于C：若同学 必须去工厂甲，剩下2名同学安排到4个工厂即可，
有 种安排方法，故C错误；
对于D：若三名同学所选工厂各不相同，有 种安排方法，故D正确；
故选：ABD．
43．ABC
【分析】①不同方法数为 ，即选项A错误；
②不同的方法数为 ，即选项B错误；
第 19 页③不同方法数为 ，即选项C错误，
④不同安排方案的种数是 ，即选项D正确，
【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为 ，即选项A错误；
②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 ，即选项B错误；
③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 ，
即选项C错误，
④每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安
排方案的种数是 ，即选项D正确，
综合①②③④得：选项 正确，
故选：ABC
44．16
【分析】根据已知条件分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由加法原
理即可求解.
【详解】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，64，68，33，37，77；数字组合15，
19，24，28，64，68，37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示 个两位数；数字组合33，77，每组
可以表示1个两位数，则共可以表示 个两位数；
则总共可以表示 个两位数.
故答案为：16.
45．
【解析】根据题意，先算出从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和
2名女医生的选派方案种数，再算出男女主任都没有参加的选派方案种数，两者相减求得结果.
【详解】根据题意，从6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女
医生，
共有 种选派方案，
如果所选的男女主任都没有参加，共有 种选派方案，
所以至少有一名主任医师参加有 种，
故答案为： .
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关组合的综合问题，方法如下：
（1）要用好两个计数原理；
（2）可以用间接法求解，用总的减去不满足条件的就是要求的；
（3）也可以用直接法求解，包括男主任参加女主任不参加、男主任不参加女主任参加和男女主任都参加，相加即
可.
46．10
【分析】先考虑物理､历史两科中选择一科，再分情况考虑政治和化学这两科都不选和政治和化学这两科选一科，
按照计数原理求解即可.
第 20 页【详解】第一步：先考虑物理､历史两科中选择一科有2种选法；第二步：若政治和化学这两科都不选，则选生
物､地理，有1种选法；
若政治和化学这两科选一科，则生物､地理也选一科，有 种，故共有 种.
故答案为：10.
47． ##0.5
【分析】根据给定条件求出事件B和AB的概率，再利用条件概率公式计算作答.
【详解】依题意， ， ，所以 .
故答案为：
48．72
【分析】分为B，E同色和B，E不同色两种情形，再按照分步乘法原理计算即可.
【详解】当B，E同色时，共有 种不同的方案，
当B，E不同色时，共有 种不同的方案，所以共有72种不同的方案．
故答案为：72.
49．60
【分析】根据题意，分2步进行分析：先从5人中选2人安排到1号门值班，再将剩下的3人分别安排到其他3个
门值班，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
先从这5人中选取2人在1号门值班，共有 种情况，
再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有 种情况，
故每天不同的值班安排有 种.
故答案为：60
50．（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据分步乘法计数原理，排列及古典概型可得结果；
（2）安排一名同学报A科目有 种，根据古典概型求解.
【详解】（1）由题知，4位同学报6个项目共有 种可能，
4位同学报了4个不同的项目共有 种可能，
所以 ．
（2）由题知，4位同学报6个项目共有 种可能，
1位同学报项目 ，剩余3位同学都报项目 共有 种可能，
所以 ．
51．(1)必须有女志愿者的不同选法有15种
第 21 页(2)有720种不同选法
【分析】（1）先求出选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法 种，从总的选法中减去 ，即为答案；
（2）直接法，分类求解，再相加即为答案，间接法求解.
(1)
从中选2名志愿者代表，没有女志愿者的选法有 种，
所以从中选2名志愿者代表，必须有女志愿者的不同选法共有 （种）
答：必须有女志愿者的不同选法有15种．
(2)
方法一：
第一类男志愿者甲在内女志愿者乙不在内，有 （种）；
第二类女志愿者乙在内男志愿者甲不在内，有 （种）；
第三类男志愿者甲、女志愿者乙都在内，有 （种）．
由分类计数原理得 （种）．
答：有720种不同选法．
方法二：（间接法）
男志愿者甲、女志愿者乙都不在内，有 （种），
男志愿者甲与女志愿者乙至少有1人在内，有 （种）
答：有720种不同选法．
52．(1)
(2)
【分析】（1）列举出非最简分数，利用古典概型以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；
（2）计算出拼成的 位数满足 与 相邻且 和 不相邻的 位数的个数，利用古典概型的概率公式可求得所求事
件的概率.
(1)
解：设所组成的分数恰好是最简分数为事件 ，
用间接法考虑，可组成的分数共 个，其中非最简分数共 个，分别为 、 、 、 ，
所以 ．
(2)
解：设拼成的 位数满足 与 相邻， 与 不相邻为事件 ，
与 利用捆绑法看到一整体，其余分三类考虑.
第一类， 与 相邻组成 ，这样的 位数共 ；
第 22 页第二类， 与 相邻组成 ，这样的 位数共 ；
第三类， 与 不相邻，这样的 位数共 ；
所以 ．
53．(1)396
(2)360
【分析】（1）分末位为0和末位为2,4,6分类求解即可；（2）计算所有情况，减去0在首位的情况即可.
(1)
当0在末位时，共有 个四位偶数，
当末位为2，4，6，且0不在首位时，共有 个四位偶数，
则可以组成 个四位偶数．
(2)
当0在首位时，有 种，
则两个奇数数字相邻的四位数共有 个．
54．260种
【分析】如图所示，分a，b，c，d都不同色、a,c同色b,d不同色、b,d同色a,c不同色、a,c同色，b,d同色，之后
应用加法计数原理求得结果.
【详解】如图所示，
分别用a，b，c，d记这四块，a，c可同色，b，d可同色，分四类：
第一类：a，b，c，d都不同色有 种；
第二类：a,c同色b,d不同色 种；
第三类：b,d同色a,c不同色 种；
第四类：a,c同色，b,d同色， 种，
综上可知共有 种涂色方法.
【点睛】该题考查的是有关涂色问题，涉及到的知识点有分类加法计数原理，注意将各种情况考虑齐全，属于简
单题目.
55．(1)60
(2)91
(3)14
第 23 页【分析】（1）用组合知识直接求解；（2）先求出若小王和小红均未入选时的选法，从而求出如果男生中的小王
和女生中的小红至少有1人入选时的选法；（3）分两种情况进行求解，再使用分类加法计数原理进行求解.
(1)
从5名男生中选2名，4名女生中选2人，属于组合问题， ，故有60种选法；
(2)
若小王和小红均未入选，则有 种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，则有
种选法；
(3)
若2个考点派送人数均为2人，则有 种派送方式，
若1个考点派送1人，另1个考点派送3人，则有 种派送方式，故一共有8+6=14种派送方式.
第 24 页第 25 页
