文档内容
微专题：平面向量的线性运算
【考点梳理】
1. 向量的线性运算
运 法则
定义 运算律(性质)
算 (或几何意义)
交换律：a＋b＝b＋a，并规定：a＋0
三角形法则
加 ＝0＋a＝a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋
求两个向量和的运算
法 b)＋c；|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b
方向相同时等号成立
平行四边形法则
减
求两个向量差的运算 a－b＝a＋(－b)
法
设λ，μ∈R，则
λa是一个向量，其长度：|λa|＝ | λ | | a |；
数 求实数λ与向量a的积的 λ(μa)＝ μ ( λ a ) ；
其方向：λ>0时，与a方向相同；λ<0时，与a方
乘 运算 (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
向相反；λ＝0时，λa＝0
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
2、进行向量的线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接
的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来解决.
3、加法运算的推广
(1)加法运算的推广：A1A2＋A2A3＋…＋A A＝A1An.
n－1 n
(2)向量三角不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任意两
边之差小于第三边”知“<”成立；两向量共线时，可得出“＝”成立(分同向、反向两种不同情形).
4、线性运算重要结论
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB).
(2)若G为△ABC的重心，则GA＋GB＋GC＝0.
(3)若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则点A，B，C共线的充要条件是λ＋μ＝1.
(4)如图，△ABC中，BD＝m，CD＝n，则AD＝AB＋AC，特别地，D为BC的中点时(m＝n)，AD＝AB＋AC.
【题型归纳】
题型一：平面向量的加法
1．正方形 中， 点 是 的中点， 点 是 的一个三等分点， 那么 （ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．
B．
C．
D．
2．已知等腰 的直角边长为1， 为斜边 上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 正方形网格中，向量 ， 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
题型二： 平面向量的减法
4．如图， 是 两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
5．如图，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中， （ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
6．如图所示的△ABC中，点D是线段AB上靠近A的三等分点，点E是线段BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
题型三： 平面向量的数乘
7． 等于（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形 中， （ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
9．点 在线段 上，且 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型四：向量的线性运算的几何应用
10．如图，在 中，己知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司12．如图， 分别是 边 上的中线， 与 交于点F，设 ， ， ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
13．如图所示，向量 等于（ ）
A． B．
C． D．
14．如图所示，等腰梯形 中， ，点 为线段 上靠近 的三等分点，点 为线段
的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
16．化简 （ ）
A． B． C． D．
17．已知点 为 所在平面内一点，若动点 满足 ，则点 一定经过 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
18．在正方形 中， （ ）
A． B． C． D．
19．已知向量 ，且 不是方向相反的向量，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．如图， 是 的边 中点，则向量 =（ ）
A． B．
C． D．
21．若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司22．在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
23．若M为△ABC的边AB上一点，且 则 =（ ）
A． B． C． D．
24．已知非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
25．在矩形ABCD中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
26．在平行四边形 中， ，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．3
27．在 中，角 所对的边分别为 ，且点 满足 ，若 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．在 中，若点 满足 ，点 为 的中点，则 （ ）
A． B．
C． D．
29．向量 ， 互为相反向量，已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 为实数0 C． 与 方向相同 D．
30．已知非零平面向量 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）若 ，则 ；（2）若 ，则
（3）若 ，则 （4）若 ，则 或
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）
【高分突破】
一、单选题
31．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦
图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若
， ， ，则 =（ ）
A． B．
C． D．
32．如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是 上的点且满足 ， 与 交于
P点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
33．如图，四边形ABCD是平行四边形，则 （ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
34．化简下列各式：① ；② ；③ ；④ ．
其中结果为 的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
35．已知点P是 ABC所在平面内点，有下列四个等式：
△
甲： ； 乙： ；
丙： ； 丁： ．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
36．如图，点 在 的内部， ， 是边 ， 的中点( ， ， 三点不共线)， ，
，则向量 与 的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
37．如图，向量 ， ， ，则向量 可以表示为（ ）
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
二、多选题
38．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中能作为平行四边形第
四个顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
39．下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
40．下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则存在唯一实数 使得
B．两个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向
C．已知 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是
D．在 中， ，则 为等腰三角形
41．等边三角形 中， ，AD与BE交于F，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
42．设 为 所在平面上一点，且满足 ，若 的面积为2，则 面积为
_______________．
43．在菱形 中， ， ， ，则 ___________.
44．如图，在矩形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若 ， ，则 的值为
________．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司45．点 为 内一点， ，则 的面积之比是___________.
46．如图，在平面四边形 中， ．若点 为边 上的动点，则
的最小值为_________．
47．在直角坐标系中， 为原点,O、A、B不共线， ，则 ________
四、解答题
48．如图所示， 是 的一条中线，点 满足 ，过点 的直线分别与射线 ，射线 交于 ，
两点.
(1)求证： ；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)设 ， ， ， ，求 的值；
(3)如果 是边长为 的等边三角形，求 的取值范围.
49．如图，已知正方形 的边长等于单位长度1， ， ， ，试着写出向量.
（1） ；
（2） ，并求出它的模.
50．如图，矩形 与矩形 全等，且 .
(1)用向量 与 表示 ；
(2)用向量 与 表示 .
51．已知 中，过重心G的直线交边 于P，交边 于Q，设 的面积为 ， 的面积为 ，
， .
（1）求 ；
（2）求证： .
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）求 的取值范围.
52．（1）化简： ．
（2）已知向量为 ，未知向量为 向量 ， 满足关系式 ，求向量 ．
第 13 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算结合图象即可得解.
【详解】
解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴ ．
故选：D．
2．A
【解析】
【分析】
由向量的加法运算结合三角形的性质求解即可.
【详解】
，显然当 为斜边 中点时， ，此时 最小为 ，即 的最小值为 .
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
由向量加减法运算法则，得到所求向量为 ，再由向量减法的三角形法则，以及向量数乘运算，计算答案.
【详解】
由题意得 ，
故选：C.
4．D
【解析】
【分析】
根据向量的加减法的三角形法则及平行四边形的性质即可求解.
【详解】
由向量减法的运算可得 ，
又因为四边形 为平行四边形，所以 .
故选：D.
第 14 页5．C
【解析】
【分析】
根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解．
【详解】
解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣ABC D 中， ， ，所以
1 1 1 1
．
故选：C．
6．B
【解析】
【分析】
依题意可得 ， ，根据平面向量的加减运算可得.
【详解】
由已知可得 ， ，
所以 ．
故选：B．
7．B
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算求解即可.
【详解】
依题意得：
，
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
利用图形进行向量的加减、数乘运算，求出答案
【详解】
连接AC，BD相交于点O，则
第 15 页故选：C
9．D
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行求解
【详解】
不妨设 ，则 ，
因为点 在线段 上，则 ，
故选：D
10．C
【解析】
【分析】
根据平面向量的线性运算即可得出答案.
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
故选：C.
11．A
【解析】
【分析】
依题意可得 ，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以
.
故选：A
12．D
【解析】
【分析】
根据已知有 是 的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用 、 表示 ，即可得结果.
【详解】
由题意， 是 的重心，
第 16 页= ，
，故 .
故选：D
13．C
【解析】
把 ， 代入 中化简即可.
【详解】
解： ．
故选：C
14．A
【解析】
【分析】
利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.
【详解】
，
，
，
，
故选：A.
15．A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解： ，
故选：A.
16．B
【解析】
【分析】
根据向量加法法则即可计算.
【详解】
.
故选：B.
第 17 页17．D
【解析】
【分析】
取 的中点 ，由 ，得 ，从而可得 与 共线，得直线 与直线
重合，进而得结论
【详解】
解：取 的中点 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
所以 与 共线，即直线 与直线 重合，
所以直线 一定过 的重心，
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
根据平面向量加减运算法则计算可得.
【详解】
解： .
故选：C.
19．B
【解析】
【分析】
直接由 求解即可.
【详解】
由已知必有 ，则所求的取值范围是 ．
故选：B.
20．D
【解析】
【分析】
利用向量的加、减以及数乘运算即可求解.
第 18 页【详解】
.
故选：D
21．C
【解析】
【分析】
利用向量模的三角不等式可求得 的取值范围.
【详解】
因为 ，所以， ，即 .
故选：C.
22．A
【解析】
【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向量的加法运算法
则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步应用相反向量，求得
，从而求得结果.
【详解】
根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、
共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
23．A
【解析】
第 19 页先用向量 ， 表示向量 ，再转化为用 ， 表示 即可得答案.
【详解】
解：根据题意做出图形，如图，
所以 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
24．C
【解析】
由非零向量 ， 满足 ，推导出“ ” “ ”，从而得到“ ”是“ ”的充分必
要条件．
【详解】
非零向量 ， 满足 ，
“ ”， “ ”，
“ ”， ，
，
，
“ ”是“ ”的充分必要条件．
故选：C.．
【点睛】
该题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题
目．
25．C
【解析】
由平面向量的线性运算可得 ，再由平面向量数量积的运算法则计算即可得解.
【详解】
由题意作出图形，如下图，
第 20 页所以
.
故选：C.
26．B
【解析】
由题意分析可知，四边形 为菱形且 ，然后求解 .
【详解】
，则 平分 ，则四边形 为菱形.
且 ，由 ，则 ,
故选：B.
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意 为 上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运
算能力，属于基础题.
27．A
【解析】
【分析】
利用向量知识可得 ，两边平方可得 ，再利用不等式知识可求得结果.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，整理得 ，
第 21 页所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
所以 的最大值为
故选：A
【点睛】
关键点点睛：将向量条件 化为 ，利用向量数量积的运算律运算得到 是
解题关键.
28．A
【解析】
利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.
【详解】
.
故选：A
29．D
【解析】
【分析】
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量 ， 互为相反向量，则 ， 模相等、方向相反，所以 ，故A错误；
，故B错误； 与 方向相反，故C错误； ，故D正确.
故选：D.
30．B
【解析】
根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
已知非零平面向量 ， ， ，
第 22 页（1）若 ，则 ，所以 或 ，即（1）错；
（2）若 ，则 与 同向，所以 ，即（2）正确；
（3）若 ，则 ，所以 ，则 ；即（3）正确；
（4）若 ，则 ，所以 ，不能得出向量共线，故（4）错；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.
31．B
【解析】
【分析】
根据给定图形，利用平面向量的加法法则列式求解作答.
【详解】
因“弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且 ， ， ，
则
，解得 ，所以 .
故选：B
32．B
【解析】
【分析】
根据三点共线有 ，使 、 ，由平面向量基本定理列方程组求参数，
即可确定答案.
【详解】
， ，
由 ，P，M共线，存在 ，使 ①，
由N，P，B共线，存在 ，使得 ②，
由①② ，故 .
故选：B.
33．D
【解析】
【分析】
第 23 页由平面向量的加减法法则进行计算.
【详解】
由题意得 ， ，
所以 .
故选：D.
34．B
【解析】
【分析】
根据向量的加减运算法则计算，逐一判断①②③④的正确性，即可得正确答案.
【详解】
对于①： ，
对于②： ，
对于③： ，
对于④： ，
所以结果为 的个数是 ，
故选：B
35．B
【解析】
【分析】
先根据向量等式推导出甲中P为 ABC的重心，乙中 ABC为直角三角形，丙中P为 ABC的外心，丁中P为
ABC的垂心，故得到当 ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
△ △ △
【详解】
△ △
甲： ，则 ，故P为 ABC的重心；
乙： ，则 △ ，故 ，即 ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为 ABC的外心； △
丁： ，则 △ ，同理可得： ，即P为 ABC的垂心，
当 ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其△他三个均不一
定成立.
△
故选：B．
36．B
【解析】
由 ， 是边 ， 的中点，得 ，由 可得答
案.
【详解】
第 24 页连接 ，如下图所示.
因为 ， 是边 ， 的中点，所以 ，且 ，所以 ，所以
，解得 .又因为
，
所以 .则向量 与 的夹角大小为120°，
故选：B.
【点睛】
本题考查向量的线性运算，数量积.
37．C
【解析】
【分析】
利用向量加法和减法的三角形法则计算即可.
【详解】
故选：C.
38．BCD
【解析】
【分析】
依次代入四个选项的坐标，求出每种情况下四边的长度，结合对边是否平行即可选出正确答案.
【详解】
解：设第四个顶点为 ．
对于A选项，当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A不正确；
对于B选项，当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确；
对于C选项，当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，故 是平行四边形，C
正确；
对于D选项，当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，故 是平行四边形，D
正确；
第 25 页故选：BCD．
39．BD
【解析】
【分析】
根据向量的加法和减法运算，对四个选项逐一计算，即可得正确答案.
【详解】
对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ： ，选项 正确；
对于选项 ： ，选项 不正确；
对于选项 ：
选项 正确.
故选：BD
【点睛】
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题.
40．AC
【解析】
【分析】
若 可判断A；将已知条件两边平方再进行数量积运算可判断B；求出 的坐标，根据 且
与 不共线求出 的取值范围可判断C；取 的中点 ，根据向量的线性运算可得 可判断D，
进而可得正确选项.
【详解】
对于A：若 满足 ，则实数 不唯一，故选项A错误；
对于B：两个非零向量 ， ，若 ，则 ，
所以 ，可得 ， ，因为 ，
所以 ，所以 与 共线且反向，故选项B正确；
对于C：已知 ， ，所以 ，若 与 的夹角为锐角，则
，解得： ，当 时， ，此时 与 的夹角为 ，不符合题意，
所以 ，所以 的取值范围是 ，故选项C不正确；
对于D：在 中，取 的中点 ，由 ，得 ，故
垂直平分 ，所以 为等腰三角形，故选项D正确．
故选：AC．
41．AC
第 26 页【解析】
【分析】
可画出图形，根据条件可得出 为边 的中点，从而得出选项A正确；
由 可得出 ，进而可得出 ，从而得出选择B错误；
可设 ，进而得出 ，从而得出 ，进而得出选项C正确；
由 即可得出 ，从而得出选项D错误．
【详解】
如图，
， 为 的中点， ， A正确；
， ，
， B错误；
设 ，且 ， ， 三点共线，
，解得 ，
， C正确；
， D错误.
故选：AC
42．3
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，令 ，则可得 ，从而可得 为 上靠
近 的三等分点，由 ，得 ∥ ，从而有 ，进而可求得答案
第 27 页【详解】
解：因为 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 ，所以 为 上靠近 的三等分点，
因为 ，所以 ∥ ,
所以 ，
所以 ，
故答案为：3
43．
【解析】
【分析】
利用向量加减法的几何意义可得 、 ，再应用向量数量积的运算律及已知条件求
即可.
【详解】
由题意， .
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理分别把向量 ， 用基底{ ， }表示出，结合 得到含有系数
， 的 的基底表示，与直接根据向量的线性运算得到的 的基底表示比较，利用向量基本定理中的分解
唯一性，即可求出 ， 的关系，进而求得结论．
【详解】
解：因为 ， ，
所以 ，
又因为 ，
第 28 页且 ， 不共线，所以 ，
两式相加得 ，
显然 ,所以 ，
故答案为： ．
45．
【解析】
【分析】
先将已知的向量关系式化为 ，设 为 中点， 为 中点，再根据平面向量的平行四边
形法则的加法运算得出 ，从而可知 三点共线，且 ，进而得出 ，
，最后利用三角形中位线的性质和三角形面积公式，即可确定面积比.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
设 为 中点， 为 中点， 为三角形 的中位线，则 ，
因为 ，
可得 ，所以 三点共线，且 ，
则 ， ，
分别设 ，
由图可知， ， ，
则 ，所以 ，而 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 ，
即 的面积之比等于 .
故答案为： .
第 29 页46．
【解析】
【分析】
设 ，根据条件找出 ， ，且 与 的夹角为 ， 与 的夹角
为 ，从而根据向量的加法法则和减法的定义写出 ，然后表示为关于 的二
次函数，通过求二次函数的最小值即可解决问题.
【详解】
延长 交于点 ，因为 ，所以 ， ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
所以 ，不妨设 ，则 ，且 与 的夹角为 ， 与 的夹角为
，
则
，
所以 时， 取最小值 .
第 30 页故答案为： .
47．0
【解析】
根据向量的线性运算求出 ，根据对应关系求出 的值即可．
【详解】
，
，
，
， ， .
故答案为：0．
48．(1)见详解
(2)3
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据题意，结合向量加减法运算，即可证明；
（2）根据题意，用 和 表示 ， 结合 ， ， 三点共线，即可求解；
（3）根据题意，结合（1）（2）用 和 分别表示出 和 ，进而可以表示出 ，再结合均值不
等式与二次函数的最值，即可求解.
(1)
证明：因 ，所以 ，又因 为 的中点，所以 ，所以
.
(2)
因 ， ， ， ，所以 ， ，又因 ，所以
，又因 ， ， 三点共线，所以 ，即 .
第 31 页(3)
设 ， ， ， ，由（1）（2）可知 ， ，即 .
因 ， ，
所以
，
又因 是边长为 的等边三角形，
所以 ，
令 ，因 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
因此 ，
又因 ，所以 ，所以 .
49．（1） ；（2） ，2.
【解析】
【分析】
（1）由 即得解；
（2）由 即得解.
【详解】
（1） ；
（2） .
∴ .
【点睛】
本题主要考查向量的加法法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
50．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）平面向量基本定理，利用向量的加减与数乘运算法则进行求解；（2）建立平面直角坐标系，利用坐标运算
进行解答.
(1)
第 32 页.
(2)
以A为坐标原点，AE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系 ，
设 ，因为矩形 与矩形 全等，且 ，
所以 ，则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，故 .
51．（1） ；（2）证明见解析；（3）
【解析】
（1）延长 交 于D，则D为BC中点，可得 ， ，即可求出；
（2）设 ，可得 ， ，可得 ，即可建立关系求得；
（3）可得 ，再根 结合 的范围求出.
【详解】
（1）延长 交 于D，则D为BC中点，
,
G是重心， ，
；
第 33 页（2）设 ,
， ，
， ，
三点共线，
则存在 ，使得 ，即 ，
即 ，
，整理得 ，
即 ，即 ，即 ；
（3）由（2） ， ，
，
， ，可知 ，
，
， ，
则当 时， 取得最小值 ，当 时， 取得最大值 ，
，则 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查基本定理和共线定理的应用，考查面积公式的应用，属于较难题.
52．（1） ；（2） ， ．
【解析】
【分析】
（1）利用向量的加减、数乘运算化简即可.
（2）联立题设向量的线性关系式，可得 关于 的线性表达式，进而求 关于 的线性表达式.
第 34 页【详解】
（1） ．
（2）由 ①， ②，
∴① +② ，得 ，代入①得 ，即 ．
∴ ， ．
第 35 页第 36 页
