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专题 12 计数原理
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙
和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方
式，
故选：B
2．（2022·北京·高考真题）若 ，则 （ ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
3．（2021·黑龙江·大庆实验中学高三开学考试（理））已知 ，设，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据组合数的性质得到 ，再利用赋值法求值即可.
【详解】因为 ，所以由组合数的性质得 ，
所以 ，
令 ，得 ，
即 .
故选：C
4．（2022·河南洛阳·模拟预测（理））一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B两个元
件，零件（2）含有C，D，E三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该
电路能正常工作的线路条数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【分析】根据分步乘法计数原理即可求得
【详解】由分步乘法计数原理易得，该电路能正常工作的线路条数为 条．
故选：C．
5．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）二项式 的展开式中含有常数项，则 的最小
值等于（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，令 的指数为0，再根据 的取值范围可求得结果
【详解】二项式 的展开式为
，
令 ， ，
则 ，
因为
所以当 时， 取得最小值3，
故选：B
6．（2022·广东广州·高三开学考试） 的展开式中 的系数是（ ）
A．45 B．84 C．120 D．210
【答案】C
【分析】利用二项展开式的通项公式，组合数的性质，求得含 项的系数．
【详解】解： 的展开式中，
含 项的系数为 ，
故选：C．
7．（2021·河南·高三开学考试（理）） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．60 C．12 D．
【答案】D【分析】根据二项式展开式的通项公式 ，令 ，或 ，即可求得答案.
【详解】因为 的展开式的通项： ，
令 ，或 ，解得 ， （舍去），
所以 的展开式中 的系数为 ,
故选：D
8．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设集合 ，其中 为自然数且 ，则符合条
件的集合A的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102
个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有
种结果，
因为 ，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有 个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为 个.
故选：A
9．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 （k，n
为正奇数）， 是 的导函数，则 （ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【分析】依题意求出 ，再求出函数的导函数，根据二项式系数的特征求出 ，即可得解；
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
其中 ，
所以 ，
所以 ；
故选：D
10．（2022·全国·高三专题练习（文））伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔
级数”难题．当 时， ，又根据泰勒展开式可以得到
，根据以上两式可求得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 同时除以x，再利用展开式中 的系数可求出.
【详解】由 ，两边同时除以x，得 ，
又
展开式中 的系数为 ，
所以 ，
所以 ．
故选：A．
11．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）设集合 ，集合 是集合 的非空子
集， 中最大元素和最小元素的差称为集合 的长度，那么集合 所有长度为 的子集的元素个数之和为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先考虑最小元素为 ，最大元素为 的情况： 只有一种情况； ， 且
，共有 种情况； ， 且 ，共有 种情况；以此类推 ，
有 种情况，所以此类满足要求的子集元素个数之和 ，计算可
得： ，再考虑可以分为 ， ， ， ， 等 类，
可得本题答案
【详解】当最小元素为 ，最大元素为 时，集合有如下情况：
集合中只含 个元素； ，只有 种情况；
集合中含有 个元素； ， 且 ，共有 种情况；集合中含有 个元素； ， 且 ，共有 种情况；
以此类推
集合中含有 个元素； ，有有 种情况；
所以此类满足要求的子集元素个数之和：
①
②
，
②两式相加可得：
同理可得： ， ， ， ，所有子集元素个数之和都是
集合 所有长度为 的子集的元素个数之和为 .
故选：A
12．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，
他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所
装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
【答案】A
【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后
答案.
【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可
能：
（1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z.
若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能；若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有 种可能；
若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有 种可能；
小计：1+12+12=25；
（2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能；
若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个互
异，故有 种可能；
若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※）
（H※※）（H※）（※）（H），故有 种可能；
若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+ 种可能；
YXZ H※ H※ H※ H
H※ H※ H※ ※
H※※
H※ H※ ※※ H
若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能；
小计： ；
（3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型
若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能；
若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※）
（※※）（※※）（※），故有 种可能；
若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY）
（H）都成立，有2种可能；若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可
能.
小计 ；
诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型
若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；
若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※），
其中Z※※有 种可能，故此小类有3种可能；
若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能；
小计 ；
（5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z”
只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能；
综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为 = 种.
故选：A
【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标
准，要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以
做到不重不漏.
二、填空题
13．（2022·全国·高考真题） 的展开式中 的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】 可化为 ，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为 ，
所以 的展开式中含 的项为 ，
的展开式中 的系数为-28
故答案为：-28
14．（2022·浙江·高考真题）已知多项式 ，则
__________， ___________．
【答案】
【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令 求出 ，再令 即可得出答
案．
【详解】含 的项为： ，故 ；
令 ，即 ，
令 ，即 ，
∴ ，
故答案为： ； ．
15．（2023·全国·高三专题练习）在 的二项展开式中含 项的系数为______
【答案】21
【分析】将 作为一个整体，写出二项展开式的通项公式，求出 项的系数.【详解】 的展开式的通项为 ．
的展开式的通项为 ．
由 ，得 ，
， ， 或 ，
在 的展开式中，
含 项的系数为 ．
故答案为：21
16．（2021·上海·模拟预测）设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且
， ，则这样的数列的个数为___________.
【答案】80
【分析】由条件可知， ，则 或 ，由此构造新数列进而求得答案.
【详解】设 ，则有 …①，
…②，
用t表示 中值为2的项数，
由②知，t也是 中值为2的项数，其中 ，
所以 的取法数为 ，
取定 后，任意指定 的值，有 种方式.由①知，应取 使得 为偶数，
而这样的 的取法是唯一的，并且确定了整数 的值，
进而数列 唯一对应一个满足条件的数列 ，
综上可知，满足条件的数列的个数为20×4=80.
故答案为：80.
【点睛】本题比较综合，难度大，对 或 的理解一定要注意的是不要理解成等差数
列，而是差值有两种可能性，构造新数列，从组合的角度去理解.
