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微专题：函数模型及其应用
【考点梳理】
1. 几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f ( x ) ＝ ax ＋ b (a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，且k≠0)
二次函数模型 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c (a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
对数型函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0)
a
幂型函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2. 三种函数模型性质比较
函数
y＝ax(a＞1) y＝logx(a＞1) y＝xn(n＞0)
a
性质
在(0，＋∞)
增函数 增函数 增函数
上的单调性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x值增大， 随x值增大，
图象的 随n值变
图象与y 轴 图象与x 轴
变化 化而不同
接近平行 接近平行
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程
(1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)；
(2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；
(3)通过运算、推理求解函数模型；
(4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
【题型归纳】
题型一：利用二次函数模型解决实际问题
1．广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据
如下表（单位：万元）
广告费x 2 3 4 5 6
销售额y 29 41 50 59 71
由上表可得回归方程为 ，又已知生产该商品的成本（不含广告费）为 （单位：万元），据此
模型预测最大的纯利润为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．30.15万元 B．21.00万元 C．19.00万元 D．1.50万元
2．某工厂要在一个正三角形ABC的钢板上切割一个四边形的材料DCEF来加工，若AB=2，DC= ，DC EF(如
图)，则四边形DCEF面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．把长为 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A． B． C． D．
题型二：分段函数模型的应用
4．某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含
药量 （微克）与时间 （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少
于 微克时，治疗该病有效，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
C．注射该药物 小时后每毫升血液中的含药量为 微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时
5．如图，在矩形 中， ， ， 是 的中点，点 沿着边 、 与 运动，记 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司将 的面积表示为关于 的函数 ，则 （ ）
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
6．为了鼓励大家节约用水，遵义市实行了阶梯水价制度，下表是 年遵义市每户的综合用水单价与户
年用水量的关系表．假设居住在遵义市的艾世宗一家 年共缴纳的水费为 元，则艾世宗一家 年共用水
（ ）
分档 户年用水量 综合用水单价/（元 ）
第一阶梯 （含）
第二阶梯 （含）
第三阶梯 以上
A． B． C． D．
题型三：分式型函数模型的应用
7．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 （图中阴影部分），上下空白各宽2 ，左右空
白各宽1 ，则四周空白部分面积的最小值是（ ） .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．56 B．65
C．120 D．88
8．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每
1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（ ）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
9．为配制一种药液，进行了三次稀释，先在体积为 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后
用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，然后第三次倒出10升后用水补满.若第二次稀释后桶中药液含量
不超过容积的60%，则第三次稀释后桶中的药液所占百分比的最大值为（ ）
A．55% B．50% C．45% D．40%
题型四：对数函数模型的应用
10．北京时间2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉卫星
发射中心按照预定时间精准点火发射，约582秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利
将翟志刚､王亚平､叶光富3名航天员送入太空，发射取得圆满成功.据测算：在不考虑空气阻力的条件下，火箭的
最大速度v（单位： ）和燃料的质量M（单位： ）､火箭的质量（除燃料外）m（单位： ）的关系是
.为使火箭的最大速度达到8100 ，则燃料质量与火箭质量之比约为（参考数据 ）
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司科学研究表明：C与W满足 ，其中T为信噪比．若不改变带宽W，而将信噪比T从9提升到39，
则C大约增加了（ ）．（附： ）
A．20％ B．40％ C．60％ D．80％
12．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度 (单位: )满足d(x)＝9lg
.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，
那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
题型五：幂函数模型的应用
13．2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，
持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年
平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长
率应为（参考值： ）（ ）
A．10% B．20% C．22% D．32%
14．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动
物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重
增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
15．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统
，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加
密密钥为 ，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“ ”，则解密后得到的明文是（ ）
A． B． C．2 D．
【双基达标】
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白
色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予
一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，
扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：
则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
17．2021年10月16日，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心成功发射
升空，载人飞船精准进入预定轨道，顺利将3名宇航员送入太空，发射取得圆满成功．已知在不考虑空气阻力和
地球引力的理想状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度 ，其中 是喷流相对速度，
是火箭（除推进剂外）的质量， 是推进剂与火箭质量的总和， 称为“总质比”．若某型火箭的喷
流相对速度为 ，当总质比为625时，该型火箭的最大速度约为（ ）（附： ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
18．人们通常以分贝（符号是 ）为单位来表示声音强度的等级，强度为x的声音对应的等级为
.喷气式飞机起飞时，声音约为 ，一般说话时，声音约为 ，则喷气式飞机起飞时的
声音强度是一般说话时声音强度的（ ）倍.
A． B． C．8 D．
19．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且
每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
20．声强级 （单位： ）与声强 的函数关系式为： .若普通列车的声强级是 ，高速列车
的声强级为 ，则普通列车的声强是高速列车声强的（ ）
A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍
21．基本再生数R 与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代
0
间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例
数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R，T近似满足R =1+rT.有学者基于已有数据估计出
0 0
R=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
0
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
22．2020年6月17日15时19分，星期三，酒泉卫星发射中心，我国成功发射长征二号丁运载火箭，并成功将高
分九号03星、皮星三号A星和德五号卫星送入预定轨道，携三星入轨，全程发射获得圆满成功，祖国威武.已知火
箭的最大速度v（单位： ）和燃料质量M（单位： ），火箭质量m（单位： ）的函数关系是：
，若已知火箭的质量为3100公斤，燃料质量为310吨，则此时v的值为多少（参考数值为
； ）（ ）
A．13.8 B．9240 C．9.24 D．1380
23．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，
实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设
地球质量为M ，月球质量为M ，地月距离为R， 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r
１ ２
满足方程：
.
设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则r的近似值为
A． B．
C． D．
24．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法.在活的生物体内
碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每
年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1972
年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，
生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年.至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（参
考数据： ， ， ）（ ）
A． B． C． D．
25．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 3元/
超过 但不超过 的部分 6元/
超过 的部分 9元/
若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（ ）A． B．
C． D．
26．国家质量监督检验检疫局发布的相关规定指出，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，小于 的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于
的驾驶行为. 一般的，成年人喝一瓶啤酒后，酒精含量在血液中的变化规律的“散点图”如图所示，且
图中的函数模型为： ，假设某成年人喝一瓶啤酒后至少经过 小时才可以
驾车，则 的值为（ ）
（参考数据： ， ）
A．5 B．6 C．7 D．8
27．某工厂使用过滤仪器过滤排放的废气，过滤过程中体积一定的废气中的污染物浓度 与过滤时间
之间的关系式为 （ ，k为常数），且根据以往的经验，前2个小时的过滤能够消除 的污染物.现
有如下说法：① ；②经过1个小时的过滤后，能够消除 的污染物；③经过5个小时的过滤后，废气中剩
余的污染物低于原来的 .则其中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
28．某品牌牛奶的保质期 （单位：天）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 .该品牌牛
奶在 的保质期为270天，在 的保质期为180天，则该品牌牛奶在 的保质期是（ ）
A．60天 B．70天 C．80天 D．90天
29．声强级 （单位：dB）由公式 给出，其中 为声强（单位：W/m2）一般正常人听觉能忍受的
最高声强级为120dB，平时常人交谈时声强级约为60dB，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声
强的（ ）
A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司30．某手机生产线的年固定成本为250万元，每生产x千台需另投入成本 万元，当年产量不足80千台时，
(万元)；当年产量不小于80千台时， (万元).每千台产品的售价为50万元，
该厂生产的产品能全部售完.当年产量为（ ）千台时，该厂当年的利润最大？
A．60 B．80 C．100 D．120
【高分突破】
一、单选题
31．一种药在病人血液中的量不少于 才有效，而低于 病人就有危险．现给某病人注射了这种药
，如果药在血液中以每小时 的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过
（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附： ， ，结果精确到 ）
A． 小时 B． 小时 C． 小时 D． 小时
32．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，
导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二
天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日
订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
33．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增
加1万元销售额 （单位：万元）与莲藕种植量 （单位：万千克）满足 （ 为常数），若种植
3万千克，销售利润是 万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万千克 B．8万千克 C．7万千克 D．9万千克
34．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度 （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气
层厚度 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量 满足关系式 ，其中玻璃的热传导系
数 焦耳/（厘米·度），不流通、干燥空气的热传导系数 焦耳/（厘米·度）， 为室内外温
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司度差， 值越小，保温效果越好，现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：
型号 每层玻璃厚度 （单位：厘米） 玻璃间夹空气层厚度 （单位：厘米）
0.4 3
型
型 0.3 4
型 0.5 3
0.4 4
型
则保温效果最好的双层玻璃的型号是（ ）A． 型 B． 型 C． 型
D． 型
35．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式: .它表示:在受噪声
干扰的信道中，最大信息传递速度 取决于信道带宽 ，信道内信号的平均功率 ，信道内部的高斯噪声功率
的大小，其中 叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽
，而将信噪比 从1000提升到8000，则 大约增加了（ ）
A．10% B．20% C．30% D．50%
36．两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（ ）
A．y＝a•xb B．y＝a•ebx C．y＝a+blnx D．
37．某市家庭煤气的使用量 和煤气费 （元）满足关系 已知某家庭今年前四
个月的煤气费如下表：
月份 一月份 二月份 三月份 四月份
用气量 4 5 25 35
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司煤气费/元 4 4 14 19
若五月份该家庭使用了 的煤气，则其煤气费为（ ）A．12.5元 B．12元 C．11.5元
D．11元
38．下面对函数 ， 与 在区间 上的递减情况说法正确的是（ ）
A． 递减速度越来越慢， 递减速度越来越快， 递减速度比较平稳
B． 递减速度越来越快， 递减速度越来越慢， 递减速度越来越快
C． 递减速度越来越慢， 递减速度越来越慢， 递减速度比较平稳
D． 递减速度越来越快， 递减速度越来越快， 递减速度越来越快
39．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多
条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数 满足关系 ，其中 为安全距离， 为车速
.当安全距离 取 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
40．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使
商家利润有所增加，则售价 （元/个）的取值范围应是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
41．甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲购买的股票先经历了一次涨停（上
涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停
（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（ ）
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
42．甲乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程
中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务．如图表示甲比乙多加工的零件数量 （个）与加
工时间 （分）之间的函数关系， 点横坐标为12， 点坐标为 点横坐标为128．则下面说法中正确的是
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（ ）
A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件
C． 点的横坐标是200 D． 的最大值是216
43．“双 ”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额满一定额度，可以给与优惠：
（1）如果购物总额不超过 元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过 元但不超过100元，可以使用一张5
元优惠券；（3）如果购物总额超过 元但不超过 元，则按标价给予 折优惠；（4）如果购物总额超过
元，其中 元内的按第（3）条给予优惠，超过 元的部分给予 折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正
确的是（ ）
A．如果购物总额为78元，则应付款为73元
B．如果购物总额为228元，则应付款为205.2元
C．如果购物总额为368元，则应付款为294.4元
D．如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元
44．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 （ ， 、
为常数）．若该食品在 的保鲜时间是 小时，在 的保鲜时间是 小时，则关于该食品保鲜的描述正
确的结论是（ ）
A．
B．储存温度越高保鲜时间越长
C．在 的保鲜时间是 小时
D．在 的保鲜时间是 小时
三、填空题
45．一种药在病人血液中的量保持在2000mg以上时才有疗效，而低于1280mg时病人就有危险.现给某病人静脉注
射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟必须在注射后______小时前向病人的血
液补充这种药.
46．某客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100公里，票价是每公里0.5元，如果超过100公里，超
过部分按每公里0.4元定价，则客运票价 （元）与行程公里数 （公里）之间的函数关系式是_____．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司47．某种放射性元素的原子数 随时间 变化规律是 ，其中 、 为正的常数． 由放射性元素的这种
性质，可以制造高精度的时钟，用原子数表示时间 为___________．
48．根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格 与时间 满足关系 ，销
售量 与时间 满足关系 则这种商品的日销售额（销售量与价格之积）的最大
值为______.
49．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式
为： ．已知新丸经过50天后，体积变为 ．若一个新丸体积变为 ，则需经过的天数为______．
50．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少
，至少应过滤________次才能达到市场要求(已知lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)．
四、解答题
51．我国所需的高端芯片很大程度依赖于国外进口，“缺芯之痛”关乎产业安全、国家经济安全.如今，我国科技
企业正在芯片自主研发之路中不断崛起.根据市场调查某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每
生产1万部还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机 万部并全部销售完，每万部的销售收入为
万美元，且 当该公司一年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万
美元.
（1）写出年利润 (万美元)关于年产量 (万部)的函数解析式：
（2）当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
52．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为 亩，计划每年种
植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的 倍时，所用时间是 年．
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的 倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到 亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据： ， ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司53．声强级 (单位:dB)由公式 给出,其中I为声强(单位: ).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ,能听到的最低声强为 .求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为 ,求其声强级.
54．某开发商用 万元购得一块土地，计划在此地块建造单层面积是 平方米的楼房一座，由于受规划限制，
楼房高度限制在 层到 层中间，经测算如果所建楼房超过 层，则每平方米的平均建筑费用为 （单位：
元）
(1)试写出楼房每平方米平均综合费用 关于建造层数 的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少？若开发商能承受的综合建造费用为每平方米
元，则该楼房可以盖多少层？
（注平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用，平均购地费用 ）
55．重庆朝天门批发市场某服装店试销一种成本为每件 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且
获利不得高于成本的 .经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符合函数 ，且 时，
； 时， .
（1）求函数 的解析式；
（2）若该服装店获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定为多少元时，服装店可
获得最大利润，最大利润是多少元？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据表中数据，计算 的值，进而得到 的值，根据题意得出纯利润与 的函数关系，求解一元二次函数的最值
即可.
【详解】
解：由表格中数据可得， ， ，
∴ ，解得 ，∴回归方程为 ，
纯利润为 ，
故当 时，有最大值为19，即最大的纯利润为19万元．
故选：C．
2．B
【解析】
【分析】
作出高线，设EF=x，表达出高，四边形DCEF面积，配方求出最大值.
【详解】
过点F作FG⊥BC于点G，因为DC EF，所以 AEF是等边三角形，设EF=x， ，则AF=x，BF=2-x，
△
所以 ，所以四边形DCEF面积为
,故当 时， 取得最大值，最大值为 .
故选：B
3．D
【解析】
【分析】
先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.
【详解】
第 16 页设一个正三角形的边长为 ，则另一个正三角形的边长为 ，
设两个正三角形的面积之和为 ，
则 ，
当 时，S取最小值 .
故选：D
4．B
【解析】
【分析】
根据图象求出函数的解析式，可判断A选项；解不等式 可判断BD选项；将 代入函数解析式，可判断C
选项.
【详解】
将点 的坐标代入 ，可得 ，
将点 的坐标代入 可得 ，解得 ，
所以， ，A对；
当 时，由 可得 ，此时 ；
当 时，由 可得 ，此时 .
故不等式 的解为 ，
所以，注射一次治疗该病的有效时间长度为 小时，B错D对；
注射该药物 小时后每毫升血液含药量为 （微克），故C正确.
故选：B.
5．C
【解析】
【分析】
分 、 、 三种情况讨论，求出 的边 上的高，结合三角形的面积公式可得
出 的表达式.
【详解】
第 17 页，则 ，易得 ， ，
所以， ，则 .
当 时，点 在线段 上（不包括点 ），则 ，
此时， ；
当 时，点 在线段 上（不包括点 ），此时 ；
当 时，点 在线段 上（不包括点 ），
此时 ，则 ，则 .
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
设户年用水量为 ，年缴纳的税费为 元，根据题意求出 的解析式，再利用分段函数的解析式可求出结
第 18 页果.
【详解】
设户年用水量为 ，年缴纳的税费为 元，
则 ，即 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，解得 ，
所以艾世宗一家 年共用水 .
故选：B
7．A
【解析】
【分析】
设阴影部分的长x dm，空白部分面积y dm2，由矩形面积公式有y=(x+4) -72，应用基本不等式求最小值，
注意等号成立条件.
【详解】
设阴影部分的长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.
由题意得：y=(x+4) -72=8+2 ≥8+2×2 =56，当且仅当x= ，即x=12时等号成立.
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x )+240，由此利用均值
不等式能求出箱子的最低总造价．
【详解】
设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x )＝72(x )+240≥144 240＝816，
当且仅当x ，即x＝4时，f（x）取最小值816元．
故选：D．
第 19 页9．C
【解析】
【分析】
根据题意表达出第二次稀释后桶中药液含量，列出不等式，求出体积的范围，再表达出第三次倒出10升后用水补
满，桶中的农药占容积的比率不超过 ，根据体积的取值范围，求出最值.
【详解】
第二次倒出后桶中剩余农药 升，则 ，即 ，解得：
，又 ，∴ .
第三次倒出10升后用水补满，桶中的农药占容积的比率不超过 ，
∵ ，
∴ ，
故选：C.
10．B
【解析】
【分析】
将火箭的最大速度8100 代入 中，结合对数、指数运算即可求得答案.
【详解】
由题意可得，将火箭的最大速度8100 代入 中，
得： ，即 ，
所以 ，故 ，
故选:B
11．C
【解析】
【分析】
将 与39代入，作差后得到 ，进而求出C大约增加了60％
【详解】
当 时， ，
当 时， ，
则 ，所以C大约增加了 ，
即C大约增加了60％
第 20 页故选：C
12．B
【解析】
【分析】
利用对数运算即可求解.
【详解】
设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为 ，
根据题意得 ＝ ，解得 ， ，解得 ，所以
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
故选: B.
13．B
【解析】
【分析】
设年平均增长率为 ，依题意列方程求 即可.
【详解】
由题意，设年平均增长率为 ，则 ，
所以 ，故年平均增长率为20%.
故选：B
14．D
【解析】
【分析】
初始状态设为 ，变化后为 ，根据 ， 的关系代入后可求解．
【详解】
设初始状态为 ，则 ， ，
又 ， ，即 ，
， ， ， ， ．
故选：D．
15．A
【解析】
【分析】
根据题意中给出的解密密钥为 ，利用其加密、解密原理，
求出 的值，解方程即可求解.
【详解】
由题可知加密密钥为 ，
由已知可得，当 时， ，
第 21 页所以 ，解得 ，
故 ，显然令 ，即 ，
解得 ，即 ．
故选：A.
16．A
【解析】
【分析】
结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.
【详解】
根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素
的灰度值增加,所以图象在y=x上方，
结合选项只有A选项能够较好的达到目的，
故选：A.
17．C
【解析】
【分析】
根据对数的换底公式运算可得结果.
【详解】
.
故选：C．
18．D
【解析】
【分析】
由题意结合对数的运算可得喷气式飞机起飞时的声音强度和一般说话时声音强度，即可得解.
【详解】
因为 ，
所以当 时，可得 即 ，
当 时，可得 即 ，
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍.
故选：D.
【点睛】
本题考查了对数函数的应用，考查了运算求解能力，准确理解题意、细心计算是解题关键，属于基础题.
19．B
第 22 页【解析】
确定生产 件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等
式，即可求得最值．
【详解】
解：根据题意，该生产 件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （ 为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当 ，即 时， 取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】
本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准
确给出答案，属于基础题．
20．B
【解析】
【分析】
设普通列车的声强为 ，高速列车的声强为 ，由声强级得 ， ，求出 相除
可得答案.
【详解】
设普通列车的声强为 ，高速列车的声强为 ，
因为普通列车的声强级是 ，高速列车的声强级为 ，
所以 ， ，
，解得 ，所以 ，
，解得 ，所以 ，
两式相除得 ，
则普通列车的声强是高速列车声强的 倍.
故选：B.
21．B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据
第 23 页，解得 即可得结果.
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
所以 天.
故选：B.
【点睛】
本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
22．B
【解析】
根据已知数据和函数关系式直接计算．
【详解】
，
故选：B.
【点睛】
本题考查函数的应用，属于基础题．
23．D
【解析】
【分析】
本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立 的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应
是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的
考查．
【详解】
由 ，得
因为 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
所以
第 24 页【点睛】
由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
24．C
【解析】
【分析】
首先建立生物体内碳14的含量 与死亡年数 之间的函数关系式，根据 的值结合参考数据求得 .
【详解】
每经过5730年衰减为原来的一半，
生物体内碳14的含量 与死亡年数 之间的函数关系式为 .
现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有 年，
由题意可得， .
因为 ，所以 .
故选：C
25．C
【解析】
【分析】
利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得.
【详解】
设此户居民本月用水量为 ,缴纳的水费为 元,
则当 时, 元,不符合题意;
当 时, ,令 ,解得 ,符合题意；
当 时, ,不符合题意.
综上所述: 此户居民本月用水量为15 .
故选：C.
26．B
【解析】
【分析】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，所以 ，根据题意列不等式，
解不等式结合 即可求解.
【详解】
由散点图知，该人喝一瓶啤酒后 个小时内酒精含量大于或者等于 ，
所以所求 ，
由 ，即 ，
所以 ，即 ，
第 25 页所以 ，
因为 ，所以 最小为 ，
所以至少经过 小时才可以驾车，
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
利用 时 来求得 的值，进而判断出三个说法的正确性.
【详解】
初始状态下， ， ，即废气中的污染物浓度为 ，
则 时， ，则 ，解得 ，故①错误；
当 时， ，此时消除的污染物为原来的 ，故②错误；
当 时， ，故③正确.
故选：B
28．C
【解析】
【分析】
根据题意将 或 代入表达式即可求解.
【详解】
由题意可知， ， ，可得 ，
所以 ，
故该品牌牛奶在 的保质期是80天.
故选：C
【点睛】
本题考查了函数模型的应用，考查了分析能力以及基本运算求解能力，属于基础题.
29．C
【解析】
【分析】
根据已知函数关系式，设出未知数，解方程即可求出对应声强，然后可直接得结果.
【详解】
设一般正常人听觉能忍受的最高声强为 ，平时常人交谈时声强为 ，
第 26 页由题意得
解得
∴
故选：C
30．C
【解析】
求得当年的利润 的解析式，结合二次函数的性质、基本不等式求得正确选项.
【详解】
设年产量为x千台，当年的利润为y万元，
则由已知有 ，
即 ，
当 时，由二次函数的性质可知当 时y取最大值950，
当 时， .
当且仅当 时，y取得最大值1000，
又 ，所以当年产量为100千台时，该厂当年的利润取得最大值1000万元.
故选：C
31．A
【解析】
【分析】
根据已知关系式可得不等式 ，结合对数运算法则解不等式即可求得结果.
【详解】
设应在病人注射这种药 小时后再向病人的血液补充这种药，
则 ，整理可得： ，
，
， ，
第 27 页，即应在用药 小时后再向病人的血液补充这种药.
故选：A.
32．B
【解析】
【分析】
算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.
【详解】
由题意，第二天新增订单数为 ，
，故至少需要志愿者 名.
故选：B
【点晴】
本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.
33．B
【解析】
【分析】
由已知求参数a，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.
【详解】
设当莲藕种植量为 万千克时，销售利润为 万元，则 （
）．
∵ ，
∴ ，即 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，故当 时， 取得最大值，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．
故选：B．
34．D
【解析】
【分析】
依题意可得 ，所以转化为求 的最大值即可得到答案.
【详解】
，固定 ，可知 最大时， 最小，保温效果最好，
对于 型玻璃， ，
对于 型玻璃， ，
第 28 页对于 型玻璃， ，
对于 型玻璃， ，
经过比较可知， 型玻璃保温效果最好.
故选：D.
【点睛】
本题考查了函数的应用，考查了求函数的最值，属于基础题.
35．C
【解析】
【分析】
根据题意，信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，只需计算出信噪比为8000比信噪比为1000时提升
了多少即可．
【详解】
由题意可知， ，
，
故提升了 ，
故选：C．
36．C
【解析】
【分析】
由图可知函数的函数值既可以为正，也可为负，结合选项分析即可得到答案.
【详解】
解：由散点图可知，此曲线类似对数函数型曲线，因此可用函数y＝a+blnx模型进行拟合，而选项A、B、D中函
数值只能为负或只能为正，所以不符合散点图.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用散点图选择模型拟合，考查学生的观察能力，是一道容易题.
37．A
【解析】
【分析】
根据表格数据列方程组解出未知数，即可求得 .
【详解】
根据表格可得： ，
根据三月和四月的数据可得： ，解得：
所以 ， .
故选：A
38．C
第 29 页【解析】
【分析】
作出三个函数的图象，由此可得出结论.
【详解】
观察函数 、 、 在区间 上的图象如下图所示：
函数 的图象在区间 上递减较快，但递减速度逐渐变慢；
函数 在区间 上，递减较慢，且越来越慢．
同样，函数 的图象在区间 上递减较慢，且递减速度越来越慢．
函数 的图象递减速度比较平稳．
故选：C.
39．B
【解析】
【分析】
把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】
由题意得， ，当且仅当 ，即 时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
40．A
【解析】
【分析】
首先设每个涨价 元，涨价后的利润与原利润之差为 元，结合条件列式，根据 ，求 的取值范围，即可得
到 的取值范围.
【详解】
设每个涨价 元，涨价后的利润与原利润之差为 元，
则 .
要使商家利润有所增加，则必须使 ，即 ，得 ，所以 的取值为
.
故选：A
第 30 页41．AD
【解析】
【分析】
设投资总额为a元，分别求出甲、乙经历一次涨停与一次跌停后的资金数，即可判断；
【详解】
解：设投资总额为a元，甲先经历一次涨停，再经历一次跌停后的资金为： 元，
乙先经历一次跌停，再经历一次涨停后的资金为： 元，
故选：AD.
42．ACD
【解析】
【分析】
甲每分钟加工的数量是 ，所以选项A正确；在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20） 个零件，所以
选项B错误；设 的坐标为 ，由题得 ，则有 ，解可得 ，所以选项C正确；当
时， ，所以 的最大值是216.所以选项D正确.
【详解】
根据题意，甲一共加工的时间为 分钟，
一共加工了600个零件，则甲每分钟加工的数量是 ，所以选项A正确，
设 的坐标为 ，
在区间 和 ，20 上，都是乙在加工，则直线 和 的斜率相等，
则有 ，
在区间 和 上，甲乙同时加工，同理可得 ，
则 ，
则有 ，解可得 ；
即点 的坐标是 ，所以选项C正确；
由题得乙每分钟加工的零件数为 个，
所以甲每分钟比乙多加工5-3=2个，
在60分钟时，甲比乙多加工了（60-20） 个零件，所以选项B错误；
当 时， ，所以 的最大值是216.所以选项D正确.
故选：ACD
43．ABD
【解析】
根据优惠规则计算应付款项，判断各选项．
【详解】
购物总额为78元，则应付款为 元，A正确；
第 31 页购物总额为228元，则应付款为 元，B正确；
购物总额为368元，则应付款为 元，C错误；
购物时一次性全部付款442.8元，则包含购物总额300元应付的270元，还有 元对应购物额度为 ，
因此购物总额为 元，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的应用，在求解应付款时，如果购物总额大于300元，计算时需先计算300元应付270元，多于300
元的乘以0.8，这才是正确结论，不能全部乘以0.8．
44．AC
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出 是减函数，则A正确，B错误，然后根据 、 得出 ，最后
通过求出 、 即可得出C正确、D错误.
【详解】
因为在 的保鲜时间是 小时，在 的保鲜时间是 小时，
所以易知 是减函数，结合复合函数的单调性可知 ，A正确，
则储存温度越高保鲜时间越短，B错误；
， ，
则 ， ，
故 ，C正确，
，D错误，
故选：AC.
45．3
【解析】
【分析】
设注射后 小时前向病人的血液补充这种药，由题设可得关于 的不等式，从而可求 的范围，故可得正确的答案.
【详解】
设注射后 小时前向病人的血液补充这种药，则 ，故 .
故答案为：3.
46．
【解析】
【分析】
第 32 页设运输里程为 ,运费为 元，当 时, ;当 时, ,由此得出函数关系
式即可;
【详解】
设运输里程为 ,运费为 元.
则
即 ,
故填: ,
【点睛】
本题考查函数的解析式表示法中的分段函数，属于基础题.
47． .
【解析】
【分析】
因为 ，所以 ,两边取以 为底的对数，即可求出t.
【详解】
因为 ，所以 ，两边取以 为底的对数，所以 ．
【点睛】
本题主要考查了指数式的运算，以及两边取对数的方法，属于容易题.
48．176
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，分类讨论，分别求得日销售额 的最大值，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，设日销售额为 ，
①当 ， 时， ，故当 或11时，最大值
为 ；
②当 ， 时， ，
故当 时，最大值为 ，
综合①②知，当 或11时，日销售额最大，最大值为 .
故答案为 .
第 33 页【点睛】
本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中结合分段函数的解析式和二次函数图象与性质，分别求得函数
的最大值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
49．75
【解析】
【分析】
由题意，先算出 ，由此可算出一个新丸体积变为 需经过的天数.
【详解】
由已知，得 ，
∴ ．
设经过 天后，一个新丸体积变为 ，
则 ，
∴ ，
∴ ， ．
故答案为：75.
50．8
【解析】
【分析】
设原有溶液a，含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质2%a×(1－ )n，建立不等式，求解即可.
【详解】
设原有溶液a，含杂质2%a，经过n次过滤，含杂质2%a×(1－ )n.要使n次过滤后杂质含量不超过0.1%，则
×100%≤0.1%，即 ≤ ，n≥ ≈7.387 8，所以至少应过滤8次．
【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.
51．（1） ；（2）32万部，最大值为6104万美元.
【解析】
（1）先由生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元，解得 ，然后由 ，
第 34 页将 代入即可.
（2）当 时利用二次函数的性质求解；当 时，利用基本不等式求解，综上对比得到结论.
【详解】
（1）因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万美元.
所以 ，
解得 ，
当 时， ，
当 时， .
所以
（2）①当 时， ，所以 ；
②当 时， ，由于 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，所以此时 的最大值为5760.
综合①②知，当 ， 取得最大值为6104万美元.
【点睛】
思路点睛：应用题的基本解题步骤：
（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
（3）解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围；
（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
52．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
（1）设年增长率为 ，根据题意可得出关于 的等式，进而可解得 的值，即可得解；
（2）设已植树造林 年，根据题意可得出关于 的等式，解出 的值，即可得解；
（3）设至少需要植树造林 年，列出关于 的不等式，结合指数与对数的转换关系以及换底公式可求得结果.
【详解】
（1）设年增长率为 ，则 ，即 ，解得 ，
因此，森林面积的年增长率为 ；
（2）设已植树造林 年，则 ，即 ， ，解得 ，
因此，该地已经植树造林 年；
（3）设至少需要植树造林 年，则 ，可得 ，
第 35 页所以， ， ，
因此，至少需要植树造林 年.
【点睛】
思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
53．(1) (2)
【解析】
(1)分别代入 与 求解即可.
(2)代入 求解即可.
【详解】
解:(1) .
.
因此人听觉的声强级范围为 .
(2) .
【点睛】
本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题.
54．(1)
(2)应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少；该楼房最多可以盖20层.
【解析】
【分析】
（1）根据平均综合费用公式得出函数关系式
（2）利用基本不等式即可求出最值，根据开发商能承受的费用列不等式求解.
(1)
根据平均综合费用公式得
(2)
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
第 36 页即该楼房应建造15层，才能使楼房每平方米的平均综合费用最少
若开发商能承受的综合建造费用为每平方米 元，
则 ，解得
故该楼房最多可以盖20层.
55．（1） ；（2） ，销售价定为每件 元时，可获得最大
利润是 元.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件所给的 的值列方程组即可求 和 的值，再结合题意找出 的范围即可；
（2）根据总利润等于单件利润乘以销售数量，即可得出 是关于 的二次函数，利用配方法即可求最值.
【详解】
（1）因为 ，所以 ，
由题意得： ，解得： ，
所以函数的解析式为： ，
（2）由题意知：
利润为 ，
因为 ，
所以当 时， 取得最大值，最大值是 .
所以利润 与销售单价 之间的关系式为 ，
销售价定为每件 元时，可获得最大利润是 元.
第 37 页第 38 页
