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第 9 节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会
直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型
(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型)的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各有
图象的变化
现为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行 不同
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
数模型
二次函数
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
模型
与指数函数
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关的模型
与对数函数
f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关的模型 a
与幂函数相
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
关的模型
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越
来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数
学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若
按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x ，使ax01)的增长速度会超过并远远大于 y＝
xa(a>0)的增长速度.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x ＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
0
2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数
2
的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x∈(4，＋∞)时，增长速度
大小排列为g(x)>f(x)>h(x).
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5 730年衰减为
原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前
的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含
量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经
过10个“半衰期”.
4.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以
用香农公式C＝Blog 来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B
2
是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功
率为1 000 W，平均噪声功率为10 W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前
提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为( )
A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W
答案 A
解析 由题意可得S＝1 000，N＝10，则在信道容量未增大时，信道容量为
C ＝Blog ＝Blog 101，
1 2 2
设信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率为N′ W，
此时信道容量C ＝Blog ＝2C ，则log 1012＝log ，即1＋＝1012，解得N′≈0.1，
2 2 1 2 2
故选A.
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为________.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(04.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E ，E .
1 2
由题意知，lg E ＝4.8＋1.5×8＝16.8，
1
lg E ＝4.8＋1.5×9＝18.3，
2
即E ＝1016.8，E ＝1018.3，
1 2
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
感悟提升 指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，
将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指
数与对数的互化.
训练2 (2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍
伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年，为保护生态
环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(020时，A选项不满足条件②，所以
A不符合题意；
当x＝1 000时，有y＝1.0021 000≈7.37>5，不符合条件②，所以B不符合题意；
而对于选项 C，当 100)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为 y，则y＝k·0.9x(x∈N*)，那
么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：
lg 3≈0.477)( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C
解析 由题意得k·0.9x<(k>0)，化得0.9x<，两边同时取常用对数，可得xlg 0.9
＝≈≈10.37，则至少通过11块玻璃.
5.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 d(x)(单位：
dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级
约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为 63 dB，那么老师
上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案 B解析 设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x W/m2，
1
x W/m2，
2
根据题意得d(x )＝9lg＝63，
1
解得x ＝10－6，
1
d(x )＝9lg＝54，
2
解得x ＝10－7，所以＝10，
2
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误
的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是
3∶1，故A正确；
由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；
由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，故
C正确；
由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，
故D错误.
7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期
望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地
面高度约为________米.
答案 28
解析 因为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，
所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为
t＝－＝1.5，
此时h(1.5)＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28.
8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这
四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单
顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，
则x的最大值为________.
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了
120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).
(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付
的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买 2盒草莓，
此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.
即x的最大值为15.
9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一
起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率
为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达 4.01%.如果将这
1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.
(参考数据：1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，
则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－
1 000＝217(元).将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，
即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，
该种鸟类的飞行速度 (单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为 ＝a＋blog (其中
v v 3
a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为
90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个
单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个
单位，
故有a＋blog ＝0，即a＋b＝0.
3
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故有a＋blog ＝1，即a＋2b＝1.
3
解方程组得
即a，b的值分别为－1和1.
(2)由(1)知， ＝－1＋log .
v 3
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有 ≥2，
v
故－1＋log ≥2，解得Q≥270.
3
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270
个单位.
11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共
享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至
少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P与投入a(单位：万元)满
足P＝4－6，乙城市收益 Q与投入 a(单位：万元)满足 Q＝设甲城市的投入为
x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得
解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收
益为88万元.
12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间
的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导
致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电
荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作
用能U，其计算式子为U＝kcq2·(＋－－)，其中，kc为静电常量，x ，x 分别表
1 2
示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x －x ＝R，R＋x ＝R，R
1 2 1
－x ＝R，且(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为( )
2
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 U＝kcq2(＋－－)＝kcq2[＋－－]
≈·[1＋1－＋－1＋－－1－－]
＝－.故选D.
13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，
又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就
越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中
的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体
的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m －m ＝2.5(lg E
1 2 2
－lg E ).其中星等为 m 的天体的亮度为 E(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是
1 i i
1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与
r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )
A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27
答案 C
解析 由题意，得1－1.25＝2.5(lg E －lg E )，
2 1
∴lg ＝，解得r＝＝10.
又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)，
所以r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257.
故与r最接近的是1.26.
14.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定
值1010，为了简单起见，科学家用P＝lg n 来记录A菌个数的资料，其中n 为A
A A A
菌的个数.现有以下几种说法：
①P≥1；
A
②若今天的P 值比昨天的P 值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多
A A
10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5
