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第 9 节 函数模型及其应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会
直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型
(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模
型)的广泛应用.
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)上
单调递增 单调递增 单调递增
的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随 x 的增大逐渐表 随 x 的增大逐渐表 随 n 值变化而各有
图象的变化
现为与 y 轴 平行 现为与 x 轴 平行 不同
2.几种常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
数模型
二次函数
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
模型
与指数函数
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关的模型
与对数函数
f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
相关的模型 a
与幂函数相
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
关的模型
1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越
来越小.
2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数
学结果对实际问题的合理性.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若
按九折出售，则每件还能获利.( )
(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )
(3)不存在x ，使ax0<x<log x .( )
0 a 0
(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于 y＝
xa(a>0)的增长速度.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)9折出售的售价为100(1＋10%)×＝99(元).
∴每件赔1元，(1)错误.
(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确.
(3)中，如a＝x ＝，n＝，不等式成立，因此(3)错误.
0
2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数
2
的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.g(x)>h(x)>f(x)
D.f(x)>h(x)>g(x)
答案 B
解析 在同一坐标系内，根据函数图象变化趋势，当 x∈(4，＋∞)时，增长速度
大小排列为g(x)>f(x)>h(x).
3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳 14的含量大约每经过5 730年衰减为
原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前
的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
答案 C
解析 设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含
量为，由<，得n≥10.
所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经
过10个“半衰期”.
4.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以
用香农公式C＝Blog 来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B
2
是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功
率为1 000 W，平均噪声功率为10 W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前
提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为( )
A.0.1 W B.1.0 W C.3.2 W D.5.0 W
答案 A
解析 由题意可得S＝1 000，N＝10，则在信道容量未增大时，信道容量为
C ＝Blog ＝Blog 101，
1 2 2
设信道容量增大到原来的2倍时，平均噪声功率为N′ W，
此时信道容量C ＝Blog ＝2C ，则log 1012＝log ，即1＋＝1012，解得N′≈0.1，
2 2 1 2 2
故选A.
5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，
则隔墙的长度为________.
答案 3
解析 设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y，则y＝x×＝2x(6－x)
＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大.
6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水
治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为
W＝f(t)，用－的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改
期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：
①在[t ，t ]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
1 2
②在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
2
③在t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
3
④甲企业在[0，t ]，[t ，t ]，[t ，t ]这三段时间中，在[0，t ]的污水治理能力最
1 1 2 2 3 1
强.
其中所有正确结论的序号是__________.
答案 ①②③
解析 －表示在[a，b]上割线斜率的相反数，－越大治理能力越强.
对于①，在[t ，t ]这段时间内，甲企业对应图象的割线斜率的相反数大，故甲企
1 2
业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于②，要比较t 时刻的污水治理能力，
2
即看在t 时刻两曲线的切线斜率，切线斜率的相反数越大，污水治理能力越强，
2
故在t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强，正确；对于③，在t 时刻，甲、
2 3
乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，正确；对于④，甲在[t ，t ]这
1 2
段时间内的污水治理能力最强，错误.综上，正确的序号为①②③.
考点一 利用函数图象刻画变化过程
1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，
满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为 ，则函数 ＝f(h)的大致图象
v v
是( )答案 B
解析 当h＝0时， ＝0，故可排除A，C；
v
当h∈[0，H]时，不妨将水“流出”设想为“流入”.
当h每增加一个单位增量Δh时，根据鱼缸形状可知，函数 的变化，开始其增
v
量越来越大，经过中截面后增量越来越小，故 ＝f(h)的图象是先凹后凸的，故
v
选B.
2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情
况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间
x(天)之间的函数关系f(x)＝
则下列说法错误的是( )
A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低
B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多
C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%
D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%
答案 D
解析 由函数解析式可知f(x)随着x的增加而减少，故A正确；
由图象可得B正确；
当1＜x≤30时，f(x)＝＋x－，则f(9)＝＋×9－＝0.35，即9天后，小菲的单词记
忆保持量低于40%，故C正确；
f(26)＝＋×26－＞，故D错误.3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度
如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论
断：
①0时到3时只进水不出水；
②3时到4时不进水只出水；
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是________(填序号).
答案 ①
解析 由甲、乙、丙图可得进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜
率可知，只进水不出水时，蓄水量增加的速度是2，故①正确；
不进只出水时，蓄水量减少的速度为2，故②不正确；
两个进水，一个出水时，蓄水量减少的速度也是0，故③不正确.
4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前 10年的生长
规律，统计显示，生长4年的树高为米，如图所示的散点图，记录了样本树的生
长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－
a；②y＝a＋log t；③y＝t＋a；④y＝＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年
2
数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长 8年后的树高为
________米.
答案 ②
解析 由散点图的走势，知模型①不合适.曲线过点，则后三个模型的解析式分
别为②y＝＋log t；③y＝t＋；④y＝＋，当t＝1时，代入④中，得y＝，与图不
2符，易知拟合最好的是②.将t＝8代入②式，得y＝＋log 8＝(米).
2
感悟提升 1.当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化
快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，
选出符合实际情况的答案.
2.图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.
考点二 二次函数模型
例1 (1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在 A地的销售利润
(单位：万元)为y ＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y ＝2x，其中
1 2
x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得
的最大利润是( )
A.10.5万元 B.11万元
C.43万元 D.43.025万元
(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/100 kg)
与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q与上市时间t
的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·log t.
b
利用你选取的函数，求：
①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
②最低种植成本是________元/100 kg.
答案 (1)C (2)①120 ②80
解析 (1)设在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)
辆，所以可得利润
y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)
＝－0.1x2＋2.1x＋32
＝－0.1(x－10.5)2＋0.1×10.52＋32.
因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元.
(2)因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化
关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代
入可得
解得
所以 Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为 120时，种植成本取到最低值 80
元/100 kg.
感悟提升 1.二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定
要注意函数的定义域，否则极易出错.
2.解决函数的应用问题时，最后要还原到实际问题.
训练1 (1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为 2 000万元，并且每生
产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝
40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.
(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100
元征税R元)，若每年销售量为万件，要使附加税不少于 128万元，则R的取值
范围是( )
A.[4，8] B.[6，10]
C.[4%，8%] D.[6%，10%]
答案 (1)2 500 (2)A
解析 (1)总利润L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000＝－Q2＋30Q－2 000
＝－(Q－300)2＋2 500，则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元.
(2)根据题意，要使附加税不少于128万元，
需×160×R%≥128，
整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8，即R∈[4，8].
考点三 指数、对数函数模型
例2 (1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有的质量发生衰变.
若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 C
解析 设这种放射性物质最初的质量为1，经过x(x∈N)年后，剩余量是y，
则有y＝.依题意得≤.
则22x≥100，解得x≥4.
所以至少需要的年数是4.
(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，
已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量 E(单位：焦耳)与地震里氏震级
M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.
①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5
级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为
“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；
②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本
地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取＝3.2)
解 ①该次地震释放能量约1012焦耳，即E＝1012代入lg E＝4.8＋1.5M，化简得
M＝＝＝4.8.
因为4.8>4.7，所以该次地震为“破坏性地震”.
②设汶川地震、日本地震所释放的能量分别为E ，E .
1 2
由题意知，lg E ＝4.8＋1.5×8＝16.8，
1
lg E ＝4.8＋1.5×9＝18.3，
2
即E ＝1016.8，E ＝1018.3，
1 2
所以＝101.5＝10，取＝3.2，得＝32.
故2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的32倍.
感悟提升 指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，
将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指
数与对数的互化.
训练2 (2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍
伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是 10年，为保护生态
环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，
则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，解得x＝1－.
故每年砍伐面积的百分比为1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，把x＝1－代入，
即＝，即＝，解得m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
考点四 分段函数模型
例3 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某
小型电子产品需投入年固定成本 3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)
万元，在年产量不足 8万件时，W(x)＝x2＋x(万元).在年产量不小于 8万件时，
W(x)＝6x＋－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能
全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销
售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是
多少？
解 (1)每件产品售价为5元，
则x万件产品的销售收入为5x万元.
当0<x<8时，
L(x)＝5x－－3＝－x2＋4x－3，
当x≥8时，L(x)＝5x－－3＝35－.
故L(x)＝
(2)当0<x<8时，
L(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－6)2＋9；
当x＝6时，L(x)取最大值为L(6)＝9(万元)；
当x≥8时，L(x)＝35－
≤35－2＝15(万元)(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号).
综上，当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利
润为15万元.
感悟提升 1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再合到一起.要注意各段变量的
范围，特别是端点值.
2.分段函数求最值时，要分段求，然后比较大小得到最值.
训练3 某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一
个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令
水果.在这30天内每斤水果的收入 p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，
已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).
t(天) 2 8 16 24
Q(斤) 38 32 24 16
(1)根据提供的图象和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数
关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；
(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收
入最大？最大为多少元？
解 (1)依题意可设
p＝
当0<t≤20时，函数p ＝k t＋b 的图象过点(0，2)，(20，4)得k ＝，b ＝2；
1 1 1 1 1
当20<t≤30时，函数p ＝k t＋b 的图象过点(20，4)，(30，3)得k ＝－，b ＝6.
2 2 2 2 2
所以p＝
令Q＝mt＋n，由表中数据得m＝－1，n＝40，所以Q＝－t＋40(0<t≤30).
(2)由y＝pQ得
y＝
当0<t≤20时，y ＝－t2＋2t＋80在(0，10)上单调递增，在(10，20)上单调递减，
1
所以当t＝10时，y 有最大值为90元；
1
当20<t≤30时，y ＝t2－10t＋240在(20，30)上单调递减，所以y ∈[30，80).
2 2
综合上述，在第十天时日收入最大，最大值为90元.1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后
3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系
图象正确的是( )
答案 A
解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有A，C图象符
合要求，而后3年年产量保持不变，故选A.
2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1 000
万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，
按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而
增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数
知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021
000≈7.37，lg 7≈0.845)( )
A.y＝0.25x B.y＝1.002x
C.y＝log x＋1 D.y＝tan
7
答案 C
解析 选项A，B，C均满足条件①，但当x>20时，A选项不满足条件②，所以
A不符合题意；
当x＝1 000时，有y＝1.0021 000≈7.37>5，不符合条件②，所以B不符合题意；
而对于选项 C，当 10<x≤1 000 时，有 y ＝log 1 000＋1＝3log 10＋1＝＋
max 7 7
1≈4.550<5，且log x＋1≤25%x恒成立，所以满足条件②③，故选项C符合题
7
意，故选C.
3.(2021·全国大联考)如图，矩形花园 ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是
由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所
需要篱笆的( )A.最大长度为8米
B.最大长度为4米
C.最小长度为8米
D.最小长度为4米
答案 D
解析 设BC＝a米，CD＝b米，则ab＝4，
所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为
2a＋b＝2a＋≥2＝4，
当且仅当2a＝，即a＝时取等号.
故篱笆最小长度为4米.
4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失 10%，如果光线原来的强
度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为 y，则y＝k·0.9x(x∈N*)，那
么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：
lg 3≈0.477)( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 C
解析 由题意得k·0.9x<(k>0)，化得0.9x<，两边同时取常用对数，可得xlg 0.9
<lg ，因为lg 0.9<0，所以x>＝≈≈10.37，则至少通过11块玻璃.
5.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级 d(x)(单位：
dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级
约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为 63 dB，那么老师
上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
A.1倍 B.10倍
C.100倍 D.1 000倍
答案 B解析 设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为x W/m2，
1
x W/m2，
2
根据题意得d(x )＝9lg＝63，
1
解得x ＝10－6，
1
d(x )＝9lg＝54，
2
解得x ＝10－7，所以＝10，
2
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误
的是( )
A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1
B.结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同
D.前6个月的平均收入为40万元
答案 D
解析 由题图可知，收入最高值为 90 万元，收入最低值为 30 万元，其比是
3∶1，故A正确；
由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；
由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，故
C正确；
由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，
故D错误.
7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期
望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度 h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地
面高度约为________米.
答案 28
解析 因为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，
所以烟花冲击后在爆裂的最佳时刻为
t＝－＝1.5，
此时h(1.5)＝－4.9×1.52＋14.7×1.5＋17≈28.
8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这
四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单
顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，
则x的最大值为________.
答案 (1)130 (2)15
解析 (1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了
120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).
(2)由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付
的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买 2盒草莓，
此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.
即x的最大值为15.
9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一
起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率
为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达 4.01%.如果将这
1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.
(参考数据：1.022 55≈1.118，1.040 15≈1.217)
答案 99
解析 将1 000元钱存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，
则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－
1 000＝217(元).将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，
即获利息1 118－1 000＝118(元).故可以多获利息217－118＝99(元).
10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，
该种鸟类的飞行速度 (单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为 ＝a＋blog (其中
v v 3
a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为
90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a，b的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个
单位？
解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个
单位，
故有a＋blog ＝0，即a＋b＝0.
3
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，
故有a＋blog ＝1，即a＋2b＝1.
3
解方程组得
即a，b的值分别为－1和1.
(2)由(1)知， ＝－1＋log .
v 3
所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有 ≥2，
v
故－1＋log ≥2，解得Q≥270.
3
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270
个单位.
11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共
享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至
少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益 P与投入a(单位：万元)满
足P＝4－6，乙城市收益 Q与投入 a(单位：万元)满足 Q＝设甲城市的投入为
x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).
(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？
解 (1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元，
所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元).
因此，此时公司的总收益为88万元.
(2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元，
依题意得
解之得80≤x≤160，
当80≤x<120，即120<240－x≤160时，
f(x)＝4－6＋32＝4＋26<26＋16.
当120≤x≤160，即80≤240－x≤120时，
f(x)＝4－6＋(240－x)＋2＝－x＋4＋56.
令t＝，则t∈[2，4]，
所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88.
当t＝8，即x＝128时，y取最大值88.
因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0，故f(x)的最大值为88.
因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收
益为88万元.
12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间
的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导
致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电
荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作
用能U，其计算式子为U＝kcq2·(＋－－)，其中，kc为静电常量，x ，x 分别表
1 2
示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x －x ＝R，R＋x ＝R，R
1 2 1
－x ＝R，且(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为( )
2
A. B.－
C. D.－
答案 D
解析 U＝kcq2(＋－－)＝kcq2[＋－－]
≈·[1＋1－＋－1＋－－1－－]
＝－.故选D.
13.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，
又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就
越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中
的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体
的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m －m ＝2.5(lg E
1 2 2
－lg E ).其中星等为 m 的天体的亮度为 E(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是
1 i i
1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与
r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )
A.1.24 B.1.25 C.1.26 D.1.27
答案 C
解析 由题意，得1－1.25＝2.5(lg E －lg E )，
2 1
∴lg ＝，解得r＝＝10.
又10x≈1＋2.3x＋2.7x2(|x|较小)，
所以r≈1＋2.3×＋2.7×＝1.257.
故与r最接近的是1.26.
14.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定
值1010，为了简单起见，科学家用P＝lg n 来记录A菌个数的资料，其中n 为A
A A A
菌的个数.现有以下几种说法：
①P≥1；
A
②若今天的P 值比昨天的P 值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多
A A
10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P<5.5(注：lg 2≈0.3).
A
则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).
答案 ③
解析 当n ＝1时，P＝0，故①错误；
A A
若P＝1，则n ＝10；
A A
若P＝2，则n ＝100，故②错误；
A A设B菌的个数为n ＝5×104，
B
∴n ＝＝2×105，
A
则P＝lg n ＝5＋lg 2.
A A
又lg 2≈0.3，∴P≈5.3，因此5<P<5.5，③正确.
A A
