文档内容
微专题：对数函数的图象和性质
【考点梳理】
1. 对数函数
(1)对数函数的概念：一般地，函数y＝log x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋
a
∞).
(2)对数函数的图象和性质
0＜a＜1 a＞1
图象
定义域 (0 ，＋∞ )
值域 R
过定点 (1 ， 0) ，即 x ＝ 1 时，y＝0
性质
减函数 增函数
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
(3)指数函数与对数函数的关系：一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)互
a
为反函数，它们的定义域与值域正好互换，且图象关于直线 y ＝ x 对称.
2. 对数函数相关结论
(1)对数函数f(x)＝log x(a>0，且a≠1)以y轴为渐近线；g(x)＝log x＋b恒过定点(1，b)，仍以y轴为渐近线.
a a
(2)作对数函数y＝log x(a＞0，且a≠1)的图象应抓住三个点，(1，0)，(a，1).
a
(3)对数函数在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
【题型归纳】
题型一： 判断对数型函数的图象形状
1．已知 的图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
2．函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型二： 根据对数型函数图象判断参数的范围
1．已知 的图像如图所示，则 的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．函数 的图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的图像大致是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型三： 对数型函数图象过定点问题
7．已知函数 且 ，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的图像恒过定点 ，点 在幂函数 的图像上，则 （ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
9．若函数 的图象经过定点 ，且点 在角 的终边上，则
（ ）
A． B． C． D．
题型四： 对数函数图象的应用
10．已知函数 ， ，则图像交于 两点，则（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
11．函数 的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知过原点的直线与函数 的图像有两个公共点，则该直线斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
13．已知函数 （ ， ），则 的图象可能是（ ）
A． B． C．
D．
14．已知函数 （ 且 ）的图象必经过定点P，则P点坐标是（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
15．设函数 ，则函数 的图像可能为（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数 的大致图象如下图，则幂函数 在第一象限的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司17．函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
18．函数 的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
19．已知函数 若 ( 互不相等)，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
20．已知数列 为等比数列，函数 过定点 ， ，数列 的前 项和为 ，
则 （ ）
A．44 B．45 C．46 D．50
21．函数 的图象大致是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C．
D．
22．若 ，则函数 的图象不经过
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23．在同一直角坐标系中，函数 ， ，且 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
24．设a与b均为实数， 且 ，已知函数 的图象如图所示，则 的值为（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．6 B．8 C．10 D．12
25．已知函数f（x）＝ ，若 ，且 ，给出下列结论：①
，② ，③ ，④ ，其中所有正确命题的编号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
26．定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则关于 的函数
的所有零点之和为（ ）
A． B．
C． D．
27．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
28．已知函数 图象如图所示，那么该函数可能为（ ）
A． B．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
29．函数 在 上的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
30．对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．如图，若 ， 分别为函数 和 的图象，则（ ）
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
32．若 ，则函数 与 ，且 在同一坐标系上的部分图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
33．函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司34．正实数 满足 ，则实数 之间的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
35．已知 ，函数 ，则方程 的实根个数最多有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
36．函数 的图像与函数 的图像的交点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．0
37．设函数 ， 有四个实数根 ， ， ， ，且 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．对数函数 且 与二次函数 在同一坐标系内的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．已知函数 若函数 有且只有两个不同的零点，则实数 的取值可以
是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
40．已知函数f(x)＝ ，关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（ ）
A．-1 B．0 C．2 D．3
41． ，下列说法正确的有（ ）
A． 关于 对称
B． 是奇函数
C． 增长速度先快后慢
D． 无最大值
三、填空题
42．已知 ，若方程 有四个根 且 ，则 的取值
范围是______.
43．函数 的零点个数为_______________.
44．已知当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为________.
45．已知函数 ，又函数g(x)＝f(x)－t有4个不同的零点 ，则
的取值范围是___________．
46．已知函数 的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为______.
47．已知函数 且 的图象经过定点 ， 若幂函数 的图象也经过该点，
第 13 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则 _______________________．
四、解答题
48．已知函数 的图象恒经过与 无关的定点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）若偶函数 ， 的图象过点 ，求 、 、 的值．
（3）在（2）的条件下，若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求 的取值范围．
49．作出以下函数的大致图像，并指出它的单调区间和奇偶性．
（1） ； （2） ； （3） ．
50．已知函数 ．
（1）画出函数 的草图，并根据草图求出满足 的x的集合；
（2）若 ，且 ，求证： ．
51．已知函数 ， ．
（1）判断函数 的奇偶性，并画出 在 上的图象；
（2）若 时，函数 有两个零点，求实数 的取值范围．
52．已知函数 ，其中 .
（1）求函数 的定义域；
（2）求函数 图像所经过的定点；
第 14 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）若函数 的最大值为2，求 的值.
第 15 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，即可排除A、D，再利用特殊值排除B.
【详解】
解：由图可知函数的定义域为 ，且函数图象关于原点对称，即为奇函数，
令 ，则 ，故 为偶函数，
令 ，则 ，故 为奇函数，
令 ，则 ，故 为偶函数，
所以 、 均为偶函数，故A、D错误；
故 、 均为奇函数，
对于B： ， ， ，故B错误；
故选：C
2．A
【解析】
【分析】
由函数 的图象与 轴的交点是 结合函数的平移变换得函数 的图象与 轴的公共点是 ，
即可求解.
【详解】
由于函数 的图象可由函数 的图象左移一个单位而得到，函数 的图象与 轴的交点是 ，
故函数 的图象与 轴的交点是 ，即函数 的图象与 轴的公共点是 ，显然四个选项
只有A选项满足.
故选：A.
3．C
【解析】
【分析】
根据解析式判断定义域，由奇偶性定义判断 对称性，再结合 的符号，即可确定图象.
【详解】
由 ，
所以 的定义域是 ，
又 ，
第 16 页所以 是奇函数，图象关于原点对称，且 .
故选：C
4．C
【解析】
【分析】
作出函数 的图象结合 可得到a,b的取值范围以及a,b之间的关系式，整理变形即
可判断出答案.
【详解】
作出函数 的图象，如图：
由题意可知， ，且由图象可知， ，
所以即 ，
所以 ，即 ， ，
即 ，
故选：C
5．D
【解析】
【分析】
根据函数图象及对数函数的性质可求解.
【详解】
因为函数 为减函数，所以
又因为函数图象与 轴的交点在正半轴，所以 ，即
又因为函数图象与 轴有交点，所以 ，所以 ，
故选：D
6．C
【解析】
【分析】
结合函数 的图象可得 和 ，然后逐项分析即可求出结果.
【详解】
由图象可知 在定义域内单调递增，所以 ，
令 ，即 ，所以函数 的零点为 ，结合函数图象可知 ，所以
第 17 页，
因此 ，故A错误；
，又因为 ，所以 ，因此 不一定成立，故B错误；
因为 ，即 ，且 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，即 ，故D错误，
故选：C.
7．B
【解析】
【分析】
由函数 经过定点 即得解.
【详解】
解：因为函数 经过定点
所以函数 且 的图象经过定点 .
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
利用恒等式 可得定点P，代入幂函数可得解析式，然后可得.
【详解】
当 时， ，
所以函数 的图像恒过定点
记 ，则有 ，解得
所以 .
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
令对数型函数的真数为 ，即可求出函数过定点 的坐标，再根据三角函数的定义得到 ，最后根据同角三角
函数的基本关系将弦化切，代入计算可得；
【详解】
解：对于函数 ，
令 ，解得 ，所以 ，所以函数恒过定点 ，
又点 在角 的终边上，所以 ，
第 18 页所以 ；
故选：A
10．C
【解析】
【分析】
作出 和 的图像，不妨设 ，由对数的运算性质和指数的运算性质进行计算后即可判断.
【详解】
不妨设 ，
作出 和 的图像，由图像知 ， ，
则 ，
则 ，
即 ，即 ，即 ，
故选：C．
11．C
【解析】
【分析】
的零点的问题转化成图象的交点个数的问题，令 后，整理成
，在同一坐标系中中画出 两者图象即可.
【详解】
令 ，整理得 ，再令 ，不难在同一坐标系中画出它们的图象如下，根据图象可
知它们有两个交点，即方程 有两个根，于是 有两个零点.
第 19 页故选：C
12．B
【解析】
【分析】
画出函数图象并分别求出 和 两段图象的切线方程，由交点个数即可求出斜率的范围.
【详解】
设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公共点，
设过原点与 相切的于点 ，
，则斜率为 ，此切线方程为 ，
将原点带入得 ，即斜率为 ，
当斜率 时函数 与过原点的直线有两个公共点，
故选：B.
13．B
第 20 页【解析】
【分析】
利用奇偶性定义判断 的奇偶性，结合 、 的函数值符号，排除错误选项即可.
【详解】
由题意， ，
∴ ，即 为偶函数，排除A、D；
当 时， ，
当 时， ，
∴ 、 对应函数值异号，排除C；
故选：B
14．C
【解析】
令 ，解得定点 的横坐标，代入即可求出纵坐标，从而解出．
【详解】
令 ，解得 ，所以 ，因此函数 的图象 过定点 ．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对数型函数图象过定点的求法，属于容易题．一般地，函数 的图象 过定点
的求法：由 解出 ，所以 ．
15．B
【解析】
【分析】
判断的奇偶性和对称性，结合函数值的对应性进行排除即可．
【详解】
解：由 得 ，得 ，即函数的定义域为 ，
则 ，即函数 为偶函数，图象关于 轴对称，排除 ， ，
，排除 ，
故选： ．
16．B
【解析】
【分析】
第 21 页根据对数函数的图象，求得参数范围；再根据幂函数的图象，即可容易判断.
【详解】
由 的图象可知， ，
所以 ，得 ， ，
所以 ，所以幂函数 在第一象限的图象可能为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查由对数函数的图象求参数范围，涉及幂函数图象的应用，属综合基础题.
17．D
【解析】
【分析】
利用奇偶性排除AB,利用函数值正负排除C
【详解】
的定义域为 关于原点对称，且 ，故函数为偶函数，排除
AB；当 ，故C错误
故选：D
18．C
【解析】
【分析】
利用真数为 可求得定点的坐标.
【详解】
对于函数 ，令 ，可得 ，则 ，
因此，函数 的图象过定点 .
故选：C.
19．D
【解析】
【分析】
先画函数图象，再进行数形结合得到 和 ，结合对勾函数单调性解得 的范围，即
得结果.
【详解】
第 22 页作出函数 的图象，如图所示:
设 ，则 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
当 时，解得 或 ，所以 .
设 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，即 ，
所以 .
故选：D.
20．B
【解析】
【分析】
根据函数过定点可得 ，即可求出 ， ，根据等差数列求和公式即可求解.
【详解】
函数 过定点 ，
， ， 等比数列 的公比 ，
， ，
数列 的前 项和为 ，则 ，
故选：B
21．C
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，排除两个选项，再由 时函数值为负，排除一个，得正确选项．
【详解】
, 为偶函数，排除AD，
第 23 页又 时， ，排除B．
故选：C．
22．A
【解析】
【分析】
利用图像的平移变换即可得到答案.
【详解】
当 时，把函数 的图象向左平移5个单位得到函数 的图象，如图所示，
∴函数 的图象不经过第一象限，
故选A
【点睛】
本题考查对数函数的图象，考查平移变换，考查数形结合的思想，属于简单题型.
23．C
【解析】
【分析】
由函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，根据对数函数的图象与性质及反比例函数的单调
性即可求解.
【详解】
解：因为函数 的图象与函数 的图象关于 轴对称，
所以函数 的图象恒过定点 ，故选项A、B错误；
当 时，函数 在 上单调递增，所以函数 在 上单调递减，
又 在 和 上单调递减，故选项D错误，选项C正确.
故选：C.
24．C
【解析】
根据函数过的点即可求出 ，进而求出 的值.
【详解】
解：令 ，
第 24 页由图可知： ， ，
即 ，
解得： ，
故 ，
故选：C.
25．D
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，利用二次函数 图象的对称性可判断①的正误；由图象得出 ，
结合对数的运算性质可判断②的正误；推导出 ，利用双勾函数的单调性可判断③的正误；推导出
，利用二次函数的基本性质可判断④的正误.综合可得出结论.
【详解】
解：函数 的图象如右图所示，
函数 的图象关于直线 对称，则 ，故①错误；
由 得 ，∴
则 ，∴ ，故②正确；
设 ，由
所以 ，由 得 ，则 ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
由 的对称轴方程为 ，由图可知
又 ，
∴ ，故④正确．
故选：D．
第 25 页【点睛】
关键点睛：本题考查与函数零点相关的代数式的取值范围的判断，考查数形结合思想以及函数单调性的应用，解
答本题的关键是由图像得出 ，由 得， ，从而得出答案，属于中等题.
26．B
【解析】
【分析】
根据分段函数各区间的函数性质画出 的图象，将问题转化为 与直线 的交点问题，结合已知条件判
断交点横坐标间的对称关系，进而求零点的和.
【详解】
由题设，画出 上 的大致图象，又 为奇函数，可得 的图象如下：
的零点，即为方程 的根，即 图像与直线 的交点.
由图象知： 与 有5个交点：若从左到右交点横坐标分别为 ，
1、 关于 对称， ；
2、 且满足方程 即 ，解得： ；
3、 关于 轴对称，则 ；
故选：B
27．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数、对数函数、正切函数和幂函数图象可得结论.
第 26 页【详解】
对于A， 图象关于 、坐标原点 分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B， 为偶函数，其图象关于 轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C， 关于点 成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D， 为奇函数，其图象关于坐标原点 成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
28．D
【解析】
【分析】
根据所给函数的图象，利用排除法分析ABC即可得解.
【详解】
由图象可知，函数定义域为 ，图象关于原点对称，函数是奇函数， 时 ，
据此， 定义域不符合，排除A;
若 ，则 时， ，不符合图象，故排除B；
若 ，则当 趋向于 时， 趋向于 ，当 趋向于 时， 趋向于
1，不符合图象，故排除C;
故选：D
29．D
【解析】
【分析】
通过函数的奇偶性可排除A，B；通过计算 的值可排除C，进而可得结果．
【详解】
由题可知函数 的定义域关于原点对称，
且当 时， ， ，
当 时， ， ，故 为偶函数，排除A，B；
而 ，排除C．
故选：D．
30．A
【解析】
【分析】
第 27 页①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝ ，故排除C与
D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝ ，故B错误.
【详解】
解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，
①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝ ，故排除C与D；
②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，
而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝ ，故B错误，而A符合题意．
故选：A．
31．B
【解析】
【分析】
根据对数函数的图象特征，即可直接得到 大小关系.
【详解】
根据 ， 分别为函数 和 的图象，
可得 ， ，且 .
故选：B
【点睛】
本题考查根据对数函数图象求参数范围，注意规律的总结，属简单题.
32．B
【解析】
【分析】
分 和 两种情况分别根据指数函数图象和对数函数图象可得选项.
【详解】
解：当 时，函数 为增函数，且图象过 点，向右和x轴无限接近，函数 ，且
为增函数，且图象过 点，向左和y轴无限接近，此时B选项符合要求，
当 时，函数 为减函数，且图象过 点，函数 ，且 为减函数，且图象过
点，向左和y轴无限接近，此时无满足条件的图象.
故选：B.
33．A
【解析】
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项．
【详解】
第 28 页解：函数的定义域为 ，
因为 ，
所以 为偶函数，所以排除C,D,
又因为当 时， ，
当 时， ，所以排除B
故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变
化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．
34．A
【解析】
【分析】
由 ，得 ，而 与 的图象在 只有一个交点，从而可得 在
只有一个根 ，令 ，然后利用零点存在性定理可求得 ，同理可求出 的范围，从
而可比较出 的大小
【详解】
，即 ，即 ， 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ，
， ， ，则 ；
，即 ，即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，故 ；
，即 ，
即 ，由 与 的图象在 只有一个交点，
则 在 只有一个根 ，令 ， ，
， ，则 ；
故选：A.
35．C
【解析】
【分析】
第 29 页以 的特殊情形为突破口，解出 或 或 或 ； 或 或 ，将 看作整
体，利用换元的思想进一步讨论即可.
【详解】
由基本不等式可得 或 ，
作出函数 ， 的图象，如下：
且 ， ，
①当 时， 或 ，
由图象可知： 、 分别有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
②当 时， 或 或 ，
由图象可知： 、 、 分别有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
③当 时， 或 或 或 ，
由图象可知： 、 、 、 分别有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
④当 时， 或 或 或 ，
第 30 页由图象可知： 有一解， 、 、 分别有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
⑤当 时， 或 或 ，
由图象可知： 无解， 、 分别有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
⑥当 时， 或 ，
由图象可知： 有一解， 有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
⑦当 时， ，
由图象可知： 有两解，
故方程 的实数根个数为 ；
综上可知，则方程 的实根个数最多有 个，
故选：C.
【点睛】
方法点睛：函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本
题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.
36．C
【解析】
【分析】
作出两个函数的图像，由图像可得交点个数．
【详解】
在 上是增函数， 在 和 上是减函数，在 和 上是增函数，
， ， ，
作出函数 的图像，如图，由图像可知它们有4个交点．
故选：C．
第 31 页37．A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式研究 的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得
、 、 ，进而将目标式转化并令 ，构造
，则只需研究 在 上的范围即可.
【详解】
由分段函数知： 时 且递减； 时 且递增；
时， 且递减； 时， 且递增；
∴ 的图象如下： 有四个实数根 ， ， ， 且 ，
由图知： 时 有四个实数根，且 ，又 ，
由对数函数的性质： ，可得 ，
∴令 ，且 ，
由 在 上单增，可知 ，
第 32 页所以
故选：A
38．BCD
【解析】
【分析】
讨论参数a的取值，根据对数函数的单调性、二次函数的开口及对称轴，判断函数图象是否符合函数性质即可.
【详解】
若 ，则对数函数 在 上单调递增，二次函数 开口向上，对称轴 ，
经过原点，可能为A，不可能为B.
若 ，则对数函数 在 上单调递减，二次函数 开口向下，对称轴 ，
经过原点， C、D都不可能.
故选：BCD.
39．BCD
【解析】
【分析】
作出函数 的图象如下图所示，将原问题转化为函数 的图象与直线 有两个不同的交点，根据图示
可得实数 的取值范围.
【详解】
根据题意，作出 的图像如下所示：
令 ，得 ，
所以要使函数 有且只有两个不同的零点，
所以只需函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
根据图形可得实数 的取值范围为 ，
故选： ．
【点睛】
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
第 33 页（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解．
40．CD
【解析】
先将问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，作出图象，进行数形结合即得结果.
【详解】
方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合函数图象
可知，当 时有两个交点，当a>1时有且只有一个交点.
故选：CD.
【点睛】
方法点睛：已知方程的根的情况，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
41．AC
【解析】
【分析】
根据对称性的基本关系式可判断出A正确；根据定义域可知B中函数为非奇非偶函数；结合对数函数图象知C正
确；根据对数型复合函数最值的求法可知D错误.
【详解】
对于A，令 ，则 ，
关于 对称，A正确；
对于B，由 知： ，解得： ， 函数定义域不关于原点对称，原函数为非奇非
偶函数，B错误；
对于C， 图象如下图所示，
第 34 页根据图象可知： 增长速度先快后慢，C正确；
对于D， ，
则当 时， ，此时 取得最大值 ，D错误.
故选：AC.
42．
【解析】
【分析】
作出函数 的图象，结合图象得出 ， ，得到 ，结合指数函数的性质，即可
求解.
【详解】
由题意，作出函数 的图象，如图所示，
因为方程 有四个根 且 ，
由图象可知 ， ，可得 ，
则 ，
设 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 的取值范围是 .
故答案为： .
第 35 页【点睛】
本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的
关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力.
43．
【解析】
【分析】
函数 的零点个数，令 ， ，转化函数
与 的交点个数，在同一平面直角坐标系中画出函数图象即可解答.
【详解】
解：函数 的零点，即方程 的解，令 ，
也就是函数 与 的交点，在同一平面直角坐标系中画出 与
的图象如下所示，由图可知 与 有 个交点，即
有 个零点.
故答案为：
【点睛】
本题考查函数的零点，体现了转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题.
第 36 页44．
【解析】
【分析】
作出函数 和函数 在区间 上的图象，由图象得出 为增函数且 ，由此可解
出实数 的取值范围.
【详解】
如下图所示：
由上图所示，当 时，不等式 恒成立，则函数 为增函数，且有 ，所以
，解得 ，因此，实数 的取值范围是 ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行
分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
45．
【解析】
【分析】
作f(x)图像，y＝f(x)与y＝t的交点横坐标即为g(x)零点，数形结合求出零点的范围和关系即可.
【详解】
f(x)如图：
画图可得， ， ， ＋ ＝6，
由 得， ＝1．
第 37 页因此 ＝ ，
∵y＝ (6－ )在(2， )上单调递增，
∴y∈ ．
故答案为：
46．
【解析】
【分析】
先找到临界值，再解不等式即可.
【详解】
由题意，知 ，所以 .
故答案为：
47．
【解析】
【分析】
根据对数型函数的性质，结合幂函数的定义进行求解即可.
【详解】
因为 ，所以 ，设幂函数 ，
因为幂函数 的图象经过 ，
所以 ，
因此 ，
故答案为：
48．（1） （2） ， （3）
【解析】
（1）由对数函数图象过定点的性质可知 时，即可求出函数图象所过定点；
（2）根据函数是偶函数可求出b,c，再根据函数图象过点A可求出a；
（3）由题意可转化为 ，利用对数函数与二次函数求函数的最值即可求解.
【详解】
（1）当 时，即 时，由对数函数的性质可知，
，
第 38 页所以函数过定点 .
（2）因为偶函数 ， ，
所以 ，
解得 ，
又函数图象过点 ，
所以 ，解得 .
（3）由（2）知， ，
因为对任意的 ，总存在 ，使得 成立，
所以
当 时， ，
当 时， ，
若 时， 有最小值 ，
所以 ，解得 ，
若 时， 有最小值 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
综上， 的取值范围为
【点睛】
关键点点睛：对于对任意的 ，总存在 ，使得 成立可转化为研究 与
的最值之间的关系，一定要注意对量词的理解，分清任意，存在对不等式成立的影响.
49．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析.
【解析】
【分析】
根据函数解析式，由对数函数的性质求定义域区间，画出其大致图象，进而判断单调区间和奇偶性.
【详解】
（1）由 知：定义域为 ，图象如下：
第 39 页∴由图知：函数在 上单调递增，且为非奇非偶函数.
（2）由 知：定义域为 ，图象如下：
∴由图知：函数在 上单调递增，且为非奇非偶函数.
（3）由 知：：定义域为 ，图象如下：
∴由图知：函数在 上单调递增，在 上单调递减，且偶函数.
50．（1）图见解析，(0， )∪(10，＋∞)；（2）证明见解析.
【解析】
第 40 页（1）由 的图象，利用翻折变换画出草图，再令 ，得到 或 ，写出 的x
的集合.
（2）不妨设 ，由 ，得到 ，利用对数的运算求解.
【详解】
（1）画出函数 的草图，如图所示：
令 ，则 ,即 ，可得 或 ．
故满足 的x的集合是(0， )∪(10，＋∞)；
（2）因为 ，且 ，
不妨设 ，则 ，
所以 ，
即 ， ，
所以 .
51．（1） 为奇函数；作图见解析；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求得函数的定义域，然后利用定义判定函数为奇函数，并利用分离常数法，结合反比例函数和对数函数的
单调性，判断函数 的单调性和变化趋势，进而可画出大致图象；
（2）令 ，利用对数函数的性质将函数 有两个零点等价转化为方程
在 有两个不等实根，令
利用二次函数的图象和根的分布条件得到关于k的方程组，求解即得.也可分离参数得到 ，令
,转化为 ，并结合对勾函数的单调性分析各段单调性和值域，进而得到实数 的取值范
第 41 页围．
【详解】
解：（1）由 得定义域为 ，
，
所以 为奇函数．
在定义域内单调递增，
（图象过原点，端点值正确，单调性正确给，不要求列表描点，不要求证明单调性）
（2）令 ，则 ,令
当 时，函数 有两个零点等价于方程
在 有两个不等实根，
法一：
依题意得 ，解得 ，
令函数 ，开口向上,
第 42 页所以 ,即 ，
解得 ,
所以当 时，函数 有两个零点．
法二
由 式可得 ，即
令 ,
当 时， 单调递增，此时
当 时， 单调递减，此时
所以当 时，函数 有两个零点．
52．（1） ；（2） ， ；（3） .
【解析】
（1）要使函数有意义，则 ，解得即可，
（2）依题意可得 ，令真数等于 ，即可求出函数过定点；
（3）令 ， ，求出 的值域，由 ，可得 ，即可求出 的值；
【详解】
解：（1）因为 ，所以 ，解得 ，所以函数 的定义域
.
（2）因为 ，
所以 ，
当 时，即 时， ，
第 43 页函数图像所经过的定点 ， .
（3）令 ， ，则 ，所以 ，
若函数 的最大值为2，
因为 ，则 时最大值为2，
即 ，则 ，故 .
第 44 页第 45 页
