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微专题：利用导数解决函数单调性的应用问题
【考点梳理】
1、利用导数进行图象识别有以下三个结论：①在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间，
在x轴下方区域对应原函数单调递减区间；②在导函数图象中， 图象由x轴上方到x轴下方与x轴的交点为极大
值点；由x轴下方到x轴上方与x轴的交点为极小值点；③导函数与x轴的交点不一定是极值点，交点两侧导函数
值可能恒正或者恒负，若交点是极值点，交点两侧导函数值必须异号.
2、①利用导数比较大小，有时需要利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函
数的单调性，进而根据单调性比较大小的问题；②比较大小时，需关注函数的性质，如奇偶性、对称性，进而把
自变量转移到同一区间，再利用单调性比较即可.
3、根据函数单调性求参数的一般思路：①利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)
是相应单调区间的子集；②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区
间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解；③函数在某个区间存在单调区间可转化为不等
式有解问题.
【题型归纳】
题型一：由函数的单调区间求参数
1．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．函数 （a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．1<a≤4 B．1<a≤8 C．1<a≤12 D．1<a≤24
3．函数 在 上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D．
题型二：比较大小
4．已知实数 ， ， 满足 ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型三：函数与导函数图象之间的关系
6．函数y=f(x)的导函数 的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在 上的函数 ，其导函数 图像如图所示，则 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 的导函数为 的图象如图所示，关于函数 ，下列说法不正确的是（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．函数在 ， 上单调递增
B．函数在 ， 上单调递减
C．函数存在两个极值点
D．函数有最小值，但是无最大值
【双基达标】
9．已知函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
11．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为 ，且不等式 恒成立，则下列比较大小错误的
是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
12．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知函数 在区间 上不单调，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 为定义在 上的奇函数，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
15．若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
16．函数 在 上是（ ）
A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．不确定
17．已知实数 满足 ，则 大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
18．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且有 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
19．函数 的大致图象是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
20．若点 不在函数 的图象上，且过点 仅能作一条直线与 的图象相切，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 的定义域为 ，导函数 在区间 上的图象如图所示，则函数 在区间 上的极
大值点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
22．函数 在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（ ）
A．(-∞，-3] B．(-3，1)
C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)
23．如图是函数 的导函数 的图象，则函数 的极小值点的个数为（ ）
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．0 B．1 C．2 D．3
24．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
25． 的定义域是 ，其导函数为 ， ，其导数为 ，若 ，且
（其中 是自然对数的底数），则（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．如图是函数 的导数 的图象，则下面判断正确的是（ ）
A．在 内 是增函数 B．在 内 是增函数
C．在 时 取得极大值 D．在 时 取得极小值
27．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
28．已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
29．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，
则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
30．已知 且 且 且 ，则（ ）
A． B． C． D．
31．“ ”是“函数 在 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
32．已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．如图是导函数 的图象，则下列说法错误的是（ ）
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． 为函数 的单调递增区间
B． 为函数 的单调递减区间
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 处取得极小值
35．设函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 定义域是（0，+ ）
B．x∈（0，1）时， 图象位于x轴下方
C． 存在单调递增区间
D． 有且仅有两个极值点
36．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B．单调递增区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
37．已知函数 的定义域为 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 在 上单调递增
C． 恰有4个极大值点
D． 有且仅有4个极值点
三、填空题
38．设 ，则 的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
39．若 为定义在 上的连续不断的函数，满足 ，且当 时， .若
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，则 的取值范围___________.
40．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，满足 ， ，则不等式 的
解集为__________.
41．已知奇函数 的导函数为 ， ，若 ，则实数 的取值范围为
______.
42．若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为___________.
43．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实根，则实数 的取值范围可以是
___________.
44．已知 在区间 上不单调，则实数 的取值范围是__________.
四、解答题
45．某种疾病可分为 、 两种类型.为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行
调查，其中女性是男性的 倍，男性患 型病的人数占男性病人的 ，女性患 型病的人数占女性病人的 .
（1）若在犯错误的概率不超过 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物.两个团队各至多安排 个接种周期进行试
验.甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次接种花费 元，每个周期至多接
种3次，第一个周期连续 次出现抗体则终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，
再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则需依次接种至至试验结束：乙团队研发的药
物每次接种后产生抗体的概率为 ，每人每次花费 元，每个周期接种 次，每个周期必须完成
次接种，若一个周期内至少出现 次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期，假设两个研发团
队每次接种后产生抗体与否均相互独立.当 ， 时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选
择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
附： ，
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
46．在① 在定义域内单调递减，②当 时， 恒成立这两个条件中任选一个，补充在下面的
横线上，并解答.
已知函数 ， .
(1)若___________，求实数 的取值范围；
(2)函数 ，其中 为 的导函数，求 的最值.
47．已知 在R上是减函数，求a的取值范围.
48．（1）若 ，判断函数 在区间 内的单调性；
（2）证明：对任意 ， ， .
49．已知函数 ．
（1）设 为 的导函数，求 在 上的最小值；
（2）令 ，证明：当 时，在 上 ．
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由题意可得 ，则 ，构造函数 ，然后利用导数求出其最小值即可
【详解】
因为函数 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
令 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的最小值为 ，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
根据复合函数的单调性，先分析外层函数的单调性可得a>1，再求导分析内层函数的单调性即可
【详解】
函数 （a>0且a≠1）在（4，+∞）上单调递增，
故外层函数是增函数，由此得a>1，
又内层函数在区间在（4，+∞）上单调递增，
令
则 在（4，+∞）上恒成立，
即3x2≥2a在（4，+∞）上恒成立
故2a≤48，即a≤24，
又由真数大于0，故64﹣8a≥0，
故a≤8，由上得a的取值范围是1<a≤8，
故选：B.
3．D
【解析】
【分析】
结合函数单调性得到 在 上恒成立，
第 11 页分 ， 和 三种情况，数形结合列出不等式，求出实数a的取值范围.
【详解】
∵函数 在 上是增函数，
∴ 在 上恒成立，
∵ ，
∴当 时， 恒成立，满足题意；
当 时， 在 上恒成立，
在 上恒成立，
故只需 ，解得： ，故可得：
当 时， 在 上恒成立，
在 上恒成立，
故只需 ，解得： ，故可得：
综上可得：实数a的取值范围是 ，
故选：D．
4．C
【解析】
【分析】
判断出 ，构造函数 ，判断 时的单调性，利用其单调性即可比较出
a,b的大小，即可得答案.
【详解】
由 ，得 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 ，则 ，
即有 ，
故 .
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
第 12 页根据a、b、c算式特征构建函数 ，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.
【详解】
令 ，则 ，
因此 在 上单调递减，
又因为 ， ， ，
因为 ，所以 ．
故选：B．
6．D
【解析】
【分析】
根据导函数的图象判断原函数的单调性，即可判断选项.
【详解】
原函数先减再增，再减再增，且 位于增区间内.符合条件的只有D.
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
根据导函数 图像，得出 的区间，从而得出答案.
【详解】
由导函数 图像可知：当 时， ，函数 单调递减
的单调递减区间是
故选：C
8．C
【解析】
【分析】
根据导函数的图象判断导函数的正负，从而可求出函数的单调区间和极值
【详解】
由导函数的图象可知，当 或 时， ，
当 或 时， ，
所以 在 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 和 为极小值点， 为极大值点，所以函数有3个极值点，
所以 和 中的最小的，为函数的最小值，无最大值，
所以ABD正确，C错误，
故选：C
第 13 页9．A
【解析】
【分析】
由题意可得 两个根分别位于 和 上，所以 ，从而解不等式组可求出实数 的取值范围.
【详解】
由 ，得 ．
因为 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以方程 的两个根分别位于区间 和 上，
所以 ，即
解得 .
故选：A．
10．D
【解析】
【分析】
由题设 ，由已知得函数 在R上单调递增，且 ，根据函数的单调性建立不
等式可得选项.
【详解】
由题可设 ，因为 ，
则 ，
所以函数 在R上单调递增，
又 ，不等式 可转化为 ，
∴ ，
所以 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 ．
第 14 页故选：D.
11．C
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，所以构造函数 ，求导后可得 ，从而可得g（x）在R上单
调递增，然后分析判断
【详解】
由已知 ，可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，因此g（x）在R上单调递增，
所以 ， ，
即
所以 ，
所以ABD正确，C错误，
故选：C．
12．C
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数 ，利用函数 单调性比较大小即可.
【详解】
令 ，所以
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，即 .
故选：C
13．B
【解析】
求出导函数 ，只要 在 上有唯一零点即可得．
【详解】
第 15 页由 ，
①当 时函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 .
故选：B．
14．C
【解析】
【分析】
根据函数 为奇函数得出：定义域关于原点对称且 ，从而求 的值；再根据函数 的单
调性结合定义域求不等式的解集.
【详解】
∵函数 为定义在 上的奇函数，
∴ ，得到 ，
因为函数 为奇函数，所以满足 ，
则 ，所以 ，所以得到
所以 ，且函数 的定义域为 ，
则 等价于 ，
∴ ，
又因为 ，所以 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
∴原不等式的解集为 ，
故选：C．
15．B
【解析】
【分析】
由 分离常数 ，利用构造函数法，结合导数，求得 的取值范围.
【详解】
依题意 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
令 ，
第 16 页，
在 上递增， ，
所以 .
所以 的取值范围是 .
故选：B
16．A
【解析】
【分析】
利用导数直接判断函数的单调性.
【详解】
∵ ，∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上是增函数．
故选：A
17．D
【解析】
先分析得到 ，再构造函数利用导数比较 的大小即得解.
【详解】
，
，
设 ，
所以 ，
所以函数 在 单调递减，
设
所以 ，
所以 ，
因为函数 在 单调递减，
所以 ，
故选：D
【点睛】
第 17 页关键点睛：解答本题的关键是两次构造函数，第一次是构造函数 ，得到函数 在 单调递
减，第二次是构造函数 得到 .在解答函数的问题时，经常要观察已
知条件构造函数解决问题.
18．D
【解析】
【分析】
令 ，求导确定函数的单调性，然后不等式化为 ，由单调性解得不等式．
【详解】
解：令 ，∴ ，∵ ，
∴ ，在 恒成立，∴ 在 为增函数，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
故选：D.
【点睛】
本题考查用导数解不等式，解题关键是引入新函数 ，不等式化为 ，利用导数确定
函数的单调性后易求解，常用新函数的引入： ， ， ， 等等，
19．A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性，通过求导判断函数的单调性，利用排除法即可得解．
【详解】
因为 ，所以 是奇函数，
从而 的图像关于原点对称.故排除B和C.
因为 ，所以 是增函数，故排除D.
故选： ．
20．A
【解析】
【分析】
根据题意，可知 ，对函数求导得 ，设切点为 ，利用导数的几何意义可知切线的斜
率 ，结合两点间的斜率公式化简得 ，构造新函数设 ，将问题可转化
为 仅有1个零点，再利用导数研究函数的单调性和零点，从而可知 ，列出关于 的不等式，即
可求出 的取值范围.
【详解】
第 18 页解：已知点 不在 的图象上，则 ，所以 ，
而 ，
设过点 的直线与 的图象切于点 ，
则切线的斜率 ，
则 ，整理得 ，
设 ，
由于过点 仅能作一条直线与 的图象相切，
则问题可转化为 仅有1个零点，
，令 ，解得： 或 ，
令 ，即 ，解得： 或 ，
令 ，即 ，解得： ，
所以函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
可知 在区间 或区间 上必有一个零点，
所以可知 与 同号，
则 ，即 ，解得： 或 ，
所以 的取值范围为 .
故选：A.
21．B
【解析】
【分析】
通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值个数.
【详解】
极大值点在导函数 的零点处，且满足零点的左侧为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有3个.
故选:B.
22．B
【解析】
【分析】
利用导数求出函数 在区间[-1，2]上单调时 的范围，再根据补集思想可得答案.
【详解】
，
第 19 页如果函数 在区间[-1，2]上单调，
那么a-1≥0或 ，即 ，解得a≥1或a≤-3，
所以当函数 在区间[-1，2]上不单调时， .
故选：B
23．B
【解析】
通过读图由 取值符号得出函数 的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．
【详解】
由图象，设 与 轴的两个交点横坐标分别为 、 其中 ，
知在 ， 上 ，
所以此时函数 在 ， 上单调递增，
在 上， ，此时 在 上单调递减，
所以 时，函数取得极大值， 时，函数取得极小值．
则函数 的极小值点的个数为1．
故选: B
【点睛】
本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查数形结合思想，属于基础题．
24．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为函数 与x轴在 上有交点，即求.
【详解】
函数 的定义域为 ， ，
令 ，
若 在 上不单调，则函数 与x轴在 上有交点，
又 ，
则 ，
解得 ，
第 20 页故 在 上不单调的一个充分不必要条件是 ．
故选：D．
25．D
【解析】
【分析】
根据 得到 的单调性，即可判断ABD，由 ， 求出 ，即可判断
C.
【详解】
因为 ，所以由 可得 ，由 可得
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 ， ，故A、B错误
，所以 ，即 ，所以D正确
因为 ， ，所以 ，解得 ，故C错误
故选：D
26．B
【解析】
【分析】
根据 图象判断 的单调性，由此求得 的极值点，进而确定正确选项.
【详解】
由图可知， 在区间 上 递减；在区间 上 递增.
所以 不是 的极值点， 是 的极大值点.
所以ACD选项错误，B选项正确.
故选：B
27．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数 对 求导，根据已知条件可判断 非得单调性，将所求解不等式转化
为 有关的不等式，利用单调性脱去 即可求解.
【详解】
令 ，则 可得
第 21 页所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和单调性，利用单
调性解不等式 .
28．D
【解析】
【分析】
求导分析单调性，根据 即可解不等式 ．
【详解】
的定义域为 ，由
所以 在 上递减，又 ，
所以不等式 的解集是 ．
故选：D
29．C
【解析】
【分析】
令 ，可根据已知等式验证出 为偶函数，同时根据导数得到 的单调性；将所求不等式
转化为 ，根据单调性可得到 ，解不等式求得结果.
【详解】
第 22 页令 ，则 ，
， ， ，
为定义在 上的偶函数；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 为偶函数， 在 上单调递增.
由 得：
，即 ，
，解得： ，即不等式的解集为 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知
识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小
关系.
30．D
【解析】
令 ，利用导数研究其单调性后可得 的大小.
【详解】
因为 ，故 ，同理 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 为减函数，在 为增函数，
因为 ，故 ，即 ，而 ，
故 ，同理 ， ， ，
因为 ，故 ，
所以 .
故选：D．
【点睛】
思路点睛：导数背景下的大小比较问题，应根据代数式的特征合理构建函数，再利用导数讨论其单调性，此类问
题，代数式变形很关键．
31．A
第 23 页【解析】
【分析】
由函数在 上单调递增有 恒成立，进而转化为不等式恒成立问题，求 的范围，即可判断条件间的
充分、必要性.
【详解】
若 在 上单调递增，则 对任意的 恒成立，
∴有 对任意的 恒成立，即 ，而 当且仅当 时等号成
立，则 .
∴“ ”是“函数 在 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A．
32．C
【解析】
【分析】
构造 ，根据已知条件判断 在 上单调性，又题设不等式等价于 ，利用单调
性及其定义域范围求解集.
【详解】
令 ，则 ，即 在 上递增，
又 ，则 等价于 ，即 ，
所以 ，解得 ，原不等式解集为 .
故选：C
33．C
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数 ，再根据 ，求 ，不等式转化为 ，结合函数的单
调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】
解：由题意得 ，
则
，
由 ，解得： ，
故 ，
第 24 页（2），
当 时， ， ， ，
在 上恒成立，
即 在 上单调递增，
又 ，故 为 上的偶函数，
其图象关于 轴对称， 在 上单调递减，
故 ，故 ，
故选：C．
34．BC
【解析】
【分析】
根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和
选择.
【详解】
由图可知，当 时， ，故 单调递减；当 ， ，故 单调递增；
当 ， ，故 单调递减；当 ， ，故 单调递增，
且 ， ， ，
则该函数在 和 处取得极小值；当 处取得极大值.
故选：BC.
35．BC
【解析】
根据 可得定义域，即可判断 ；通过当 时， 可判断 ；
【详解】
由题意函数 满足 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 ，所以A不正确；
由 ，当 时， ，
∴ ，所以 在 上的图象都在轴的下方，所以B正确；
∵ ，设 ，
所以 ，函数 单调增， ， ，
所以 在定义域上有解，所以函数 存在单调递增区间，所以C是正确的；
第 25 页则函数 只有一个根 ，使得 ，当 时， ，函数单调递减，当 时，函
数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D不正确；
故选：BC.
【点睛】
本题主要考考查了求函数的定义域以及符号，利用导数研究函数的性质，属于中档题.
36．AC
【解析】
对 求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，再用两点式写出切线方程，可判断选项 ；利用导数分析函
数 的单调性，极值可判断选项 ， ；将方程的解个数转化为两个函数图象交点个数，数形结合即可判断选
项 ．
【详解】
解：因为 ，所以函数的定义域为
所以 ， ， ，
∴ 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 ，故A正确；
在 上， ， 单调递增，
在 上， ， 单调递减，故B错误，
的极大值也是最大值为 ，故C正确；
方程 的解的个数，即为 的解的个数，
即为函数 与 图象交点的个数，
作出函数 与 图象如图所示：
第 26 页由图象可知方程 只有一个解，故D错误.
故选：AC.
37．BD
【解析】
由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，
利用导数分析函数的单调性与极值.
【详解】
解：因为 的定义域为 ，所以 是非奇非偶函数，
，
当 时， ，则 在 上单调递增.
显然 ，令 ，得 ，
分别作出 ， 在区间 上的图象，
由图可知，这两个函数的图象在区间 上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故 在
区间 上的极值点的个数为4，且 只有2个极大值点.
故选：BD.
【点睛】
本题考查函数 的奇偶性，有利于导数研究函数的极值与单调性，属于中档题.
第 27 页38．
【解析】
【分析】
构造函数 和 ，求导确定单调性，利用单调性即可比较大小.
【详解】
记 ，则 ，当 时， ,故 在 上单调递增，故
，故 ，
记 ，则 ，当 时， ,故 在 单调递减，故
，故 ，因此
故答案为：
39．
.
【解析】
【分析】
构造函数 ，可得 为奇函数，又 ，得 在 上是减函数，
从而在 上是减函数，在根据函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】
， ，
设 ，则 ， 为奇函数，
又 ， 在 上是减函数，从而在 上是减函数，
又 ，
等价于 ，即 ，
，解得 ，
故答案为： .
40．
【解析】
【分析】
构造函数 ，利用导数分析得出函数 在 上为增函数，然后得出 或
第 28 页，解这两个不等式组即可得解.
【详解】
构造函数 ，则 ，即函数 在 上为增函数，
且 .
①当 时，由 可得 ，即 ，
即 ，可得 ，解得 ，此时 ；
②当 时，由 可得 ，即 .
即 ，可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，不等式 的解集为 .
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下：
（1）根据导数不等式的结构构造原函数 ；
（2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数 的单调性；
（3）将所求不等式变形为 或 （偶函数）；
（4）利用函数 的单调性可得出关于 、 的不等式进行求解.
41．
【解析】
【分析】
求导可得 在 上单调递增，结合 是奇函数，可转化
为 ，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解
【详解】
因为 时， ，所以 在 上单调递增.
又 是奇函数，由 ，
得 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为：
第 29 页42．
【解析】
【分析】
采用分离参数法，可得 ，再令 ，对函数 求导，利用函数单调性，可知 在
上单调递减，在 上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数 的图象，利用数形结合，即可求
出结果.
【详解】
解：令
则 ，
令 ，
则由 知，
在 上单调递减，在 上单调递增
且 ， ， .
， ，
，
作出函数 的图像，如下图所示：
所以函数 在 上有两个零点，则实数 的取值范围为 .
故答案为： .
43．
第 30 页【解析】
分段求导得到函数单调区间，画出函数图像， ，即 ，根据图像得到答案.
【详解】
当 时， ， ，
令 ，解得 ， (舍去).
， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
.
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数.
，且当 时， .
函数 的图像如图所示：
因为方程 有两个不相等的实根，
等价于函数 与 有2个交点，
所以 或 .
故答案为： .
【点晴】
关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.
44．
【解析】
【分析】
第 31 页求出函数的导函数 ，根据 在区间 上不单调，即函数 在 上有零点，即方程
在 上有解，分离参数，从而可得出答案.
【详解】
解：因为函数 在区间 上不单调，
所以 在 上有零点，
即方程 在 上有解，
即 在 上有解，
所以 .
故答案为： .
45．（1） ；（2）该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【解析】
【分析】
（1）设男性患者有 人，则女性患者有 人，列出 列联表，计算出 的观测值，根据题意可得出关于 的不
等式，结合 、 可求得整数 的最小值；
（2）设甲研发团队试验总花费为 元，设乙研发团队试验总花费为 元，计算出 、 ，利用函数的单
调性可得出 ，由此可得出结论.
【详解】
（1）设男性患者有 人，则女性患者有 人，列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女
合计
要使在犯错误的概率不超过 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则 ，解得 ，
∵ ， ， 的最小整数值为 ，因此，男性患者至少有 人；
（2）设甲研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 、 ，
第 32 页， ，
，
，
在 递减， ，
设乙研发团队试验总花费为 元，则 的可能取值为 、 ，
， ，
，
设 ， ，
函数 在 递减， ， 恒成立，
所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的.
【点睛】
方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：
（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．
（2）已知随机变量 的均值、方差，求 的线性函数 的均值、方差，可直接用 的均值、方差的性质
求解；
（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．
46．(1)条件选择见解析，答案见解析
(2)函数 的最大值为 ，无最小值
【解析】
【分析】
（1）选①，分析可知 在 上恒成立，利用导数求出 在 上的最大值，可得出实数
的取值范围；
选②，分析可知 在 上恒成立，利用导数求出函数 在 上的最大值，可求得实数 的
取值范围；
（2）求得 ，利用导数分析函数 的单调性，可求得函数 的最值.
(1)
解：若选①， 的定义域为 ，因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立.
因为 ，所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，其中 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ；当 时， ，
第 33 页所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即 的取值范围为 ；
若选②，因为当 时， 恒成立，
所以 ，即 在 上恒成立.
令 ，则 ，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
(2)
解：因为 ，所以 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，无最小值.
47． .
【解析】
【分析】
在R上单调递减 对 恒成立，即 恒成立，则 从而可求出a的取值范围，
【详解】
函数 的导数 .
等价于 对 恒成立.即 ，
即 得
综上，所求a的取值范围是 .
48．（1） 在 单调递增；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可；
第 34 页（2）根据（1）可得 ，令 ，利用放缩法可得：
，用这个不等式，结合对数的运算性质证明即可.
【详解】
（1）因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，则 .
又 ，知 ，且 时 ，
故 ，所以 在 单调递增.
（2）由（1）知，当 时， ，即 ，
所以 .
令 ，所以 ，从而 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为
，
所以 ，
所以 .
【点睛】
第 35 页关键点睛：本题的关键是利用（1）得到 这个不等式，用这个不等式应用放缩法进
行证明.
.
49．（1）1；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
(1)求出函数 ，再利用导数探讨 的单调性即可求得在 上的最小值；
(2)求出 的导数 ，结合 可得 ，构造函数 ，探讨在 的最值
即可得解.
【详解】
(1)依题意，当 时， ，令 ，则 ，
因为当 时， ，即 ，因此， 即 在 上单调递增，
所以 在 上的最小值为 ．
(2)由题意知 ， ，则 ，
令 ， ，则 ，
因为 ，于是得 ，有 ，因此 在 上单调递增，
从而当 时， ，即有 ，于是得 在 上单调递增，即 ，
所以当 时，在 上 .
【点睛】
思路点睛：利用导数探讨某些含参函数的单调性，求出导数后可以借助放缩的思想转化为探讨另一个函数值正负
解决.
第 36 页第 37 页
