文档内容
微专题：三角函数的奇偶性
【考点梳理】
判断三角函数奇偶性的步骤、方法，与判断函数奇偶性的类似. 已知三角函数的奇偶性求参数时，可直接由 y
＝Asinωx是奇函数，y＝Acosωx是偶函数求解. 如果y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，则φ＝kπ＋，k∈Z；y＝Acos(ωx＋φ)
是偶函数，则φ＝kπ，k∈Z.
【题型归纳】
题型一：判断三角函数的奇偶性
1．将函数 图象上所有点向左平移 个单位后，得到函数 的图象，则函数 （ ）
A．是奇函数，最小正周期为
B．是偶函数，最小正周期为
C．是奇函数，最小正周期为
D．是偶函数，最小正周期为
2．下列函数中，是偶函数的为（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数中，以 为最小正周期的偶函数为（ ）
A． B． C． D．
题型二：由三角函数的奇偶性求参数
4．已知函数 为偶函数，则 的取值可以为（ ）
A． B． C． D．0
5．已知 是 上的奇函数，若 的图象关于直线 对称，且 在区间
内是单调函数，则 （ ）
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到一个偶函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：由三角函数的奇偶性求函数值
7．函数 在 上的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．2
C．4 D．6
8．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2 C．5 D．7
9．已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【双基达标】
10．将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的部分图象大致为（ ）
A． B．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
12．函数 是（ ）
A．周期为 的奇函数 B．周期为 的偶函数
C．周期为 的奇函数 D．周期为 的偶函数
13．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
14．函数 的部分图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
15．设函数 ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的值域为 B． 是偶函数
C． 不是周期函数 D． 不是单调函数
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司16．函数 是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
17．已知函数 在区间 的最大值是M，最小值是m，则 的值等于
( )
A．0 B．10 C． D．
18．已知 （ ）既不是奇函数也不是偶函数，若 的图像关于原点对称，
的图像关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知 ，则“函数 的图象关于 轴对称”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．下列函数具有奇偶性的是（ ）
A． B．
C． D．
21．已知函数 ，给出下列四个结论：①函数 的值域是 ；②函数 为奇
函数；③函数 在区间 单调递减；④若对任意 ，都有 成立，则 的最小
值为 ；其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
22．函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
23．函数 的部分图象可能是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
24．下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）．
A． B．
C． D．
25．函数 在 上的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．下列函数中最小正周期为π的偶函数是（ ）
A． B．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
27．函数 在 上的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
28．下列函数中，与函数 的奇偶性相同，且在 上有相同单调性的是（ ）
A． B．
C． D．
29．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
30．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（ , ）单调递增
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③f(x)在 有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
31．已知函数 ，下面结论错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．函数 在区间 上是增函数
C．函数 的图像关于直线 对称
D．函数 是偶函数
32．函数 的图像向左平移 个单位长度后对应的函数是奇函数，函数
．若关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
33．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
34．已知函数 （ ， ），则（ ）
A．存在 的值，使得 是奇函数 B．存在 的值，使得 是偶函数
C．不存在 的值，使得 是奇函数 D．不存在 的值，使得 是偶函数
35．已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
A． 为偶函数 B． 在 上单调递增
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． 为周期函数 D．方程 在 上有三个实根
36．已知定义域为R的函数 满足 ，函数 ，若函数
为奇函数，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
37．已知函数 （ ， ），若 为 的一个极值点，且 的最小正周期为 ，
则（ ）
A． B． （ ）
C． 的图象关于点（ ，0）对称 D． 为偶函数
三、填空题
38．下列关于函数 的说法中，错误的是______________.
①函数 的图象关于直线 对称；
②函数 的图象关于点 对称；
③函数 在区间 上单调递增；
④函数 是一个偶函数，则 ， .
39．当 ______时，函数 为奇函数．
40．关于函数 有如下四个命题：
① 的图象关于 轴对称.
② 的图象关于原点对称.
③ 的图象关于直线 对称.
④ 的图象关于点 对称.
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司其中所有真命题的序号是__________.
41．若 为奇函数，则 ___________.（填写符合要求的一个值）
42．已知 ， ，则 _______________________．
43．若 ， ，且 ，则 ______（提示： 在
上严格增函数）
四、解答题
44．判断下列函数的奇偶性：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
45．已知函数 为偶函数，且 ，其中 .
(1)求a，φ的值；
(2)若 ，求 的值.
46．已知函数 是偶函数．
（1）求 的值；
（2）将函数 的图像向右平移 个单位，再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不
变），得到函数 的图像，讨论 在 上的单调性．
47．（1）已知函数 的图像关于直线 对称，求实数a的值；
（2）将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为奇函数，求 的最小正值．
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）若将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像关于y轴对称，求 的最小正值．
（4）设函数 （A、 、 是常数， ， ，若 在区间 上具有单调性，且
，求 的最小正周期．
48．定义函数 为“正余弦”函数.结合学过的相关知识，我们可以得到该函数的性质：
1.我们知道，正弦函数 和余弦函数 的定义域均为 ，故函数 的定义域为 .
2.我们知道，正弦函数 为奇函数，余弦函数 为偶函数，对 ，
，可得：函数 为偶函数.
3.我们知道，正弦函数 和余弦函数 的最小正周期均为 ，对 ，
，可知 为该函数的周期，是否是最小正周期呢？我们继续探究：
.可得： 也为函数 的周期.但是否为该函数
的最小正周期呢？我们来研究 在区间 上的单调性，在区间 上，余弦函数 单调递
减，正弦函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故我们需要分这两个区间来讨论.当
时，设 ，因正弦函数 在 上单调递增，故 ，令 ， ，可得
，而在区间 上，余弦函数 单调递减，故： 即： 从
而， 时，函数 单调递减.同理可证， 时，函数 单调递增.可得，
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司函数 在 上单调递减，在 上单调递增.结合 .可以确定： 的
最小正周期为 .这样，我们可以求出该函数的值域了：显然： ，而
，故 的值域为 ，定义函数 为“余正弦”函数，根据阅读材料
的内容，解决下列问题：
（1）求该函数的定义域；
（2）判断该函数的奇偶性；
（3）探究该函数的单调性及最小正周期，并求其值域.
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据平移得出 即可判断奇偶性和最小正周期.
【详解】
向左平移 个单位后得 ，
所以 为奇函数，最小正周期为 .
故选：A
2．C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性定义判断.
【详解】
A. 定义域为R， ， 是奇函数，故错误；
B. 定义域为 ， ， 是奇函数，故错误；
C. 定义域为R， ， 是偶函数，故正确；
D. 定义域为R， ， 是奇函数，故错误；
故选：C
3．A
【解析】
【分析】
根据偶函数定义和周期函数定义逐项判断可得答案.
【详解】
对于A， ，定义域关于原点对称， ， 为偶函数，
又 ，所以周期为 ，故正确；
对于B， ，定义域关于原点对称， ， 为偶函数，
但 ，不是周期函数，故错误；
对于C， ，定义域关于原点对称， ， 为奇函数，故错误；
对于D， ，定义域关于原点对称， ， 为偶函数，
又周期为 ，故错误；
故选：A.
第 12 页4．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用正余弦函数的奇偶性列式，计算判断作答.
【详解】
因函数 为偶函数，则 ，显然 时， ，即A满足，B，C，D都不满足.
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
由函数 的奇偶性结合 的取值范围可得出 的值，利用函数 的对称轴可得出 的表达式，结合函数
的单调性可求得 的取值范围，可得出 的值，进而可确定 的解析式，代值计算可得结果.
【详解】
因为 是 上的奇函数，则 ，
所以， ，
因为 的图象关于直线 对称，则 ，可得 ，
当 时， ，
因为函数 在区间 内是单调函数，则 ，解得 ，
所以， ， ，故 ，因此， .
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
化简函数 的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于 的等式，即可求得
的最小值.
【详解】
因为 ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
第 13 页因为函数 为偶函数，则 ，
解得 ，
，则当 时， 取最小值 .
故选：A.
7．D
【解析】
【分析】
将函数 左移一个单位，即 ， ，根据解析式可判断 ，即函数 关于
对称，即可求解.
【详解】
将函数 左移一个单位，得 ， ，
则 ，
所以函数 关于 对称，故最大值与最小值也关于 对称，其和为6，
故选：D
8．C
【解析】
【分析】
令 ，利用函数奇偶性计算作答.
【详解】
设 ，
则 ，即函数 是奇函数，
，则 ，而
所以 .
故选：C
9．B
【解析】
【分析】
由已知可得 ，再由 ，即可求值.
【详解】
由题设 ，即 ，
而 ，
第 14 页所以 .
故选：B
10．A
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将函数化为 ，求出平移后的函数解析式，利用函数关于 轴对称即可求出 的值.
【详解】
函数 ，
将函数 的图象沿 轴向左平移 个单位后，
得到函数 ，函数关于 轴对称，
，
，
当 时， .
故选：A
11．B
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性、结合余弦函数的正负性进行判断即可.
【详解】
设 ，因为 ，
所以该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，显然排除AD；
当 时， ，所以 ，排除C，
故选：B
12．C
【解析】
【分析】
先由诱导公式化简函数解析式，根据最小正周期公式求函数的最小正周期；根据函数奇偶性的定义判断函数的奇
偶性.
【详解】
函数 , 其最小正周期为
第 15 页由 ，可得函数为奇函数.
故选：C
13．A
【解析】
【分析】
判断函数为奇函数，由图像可排除C，D；然后利用特殊值，取 ，可排除B.
【详解】
定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
是奇函数，排除C，D；
当 时， ，排除B；
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，函数奇偶性的判断，属于基础题.
14．A
【解析】
【分析】
设 ，分析函数 的定义域、奇偶性及其在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选
项.
【详解】
设 ，则对任意的 ， ，
则 ，所以函数 是偶函数，排除B、D．
当 时， ，则 ，所以 ，排除C．
故选：A．
15．C
【解析】
【分析】
求出函数的值域，判断函数的奇偶性，函数的周期性，以及函数的单调性，即可得到选项．
【详解】
解：因为函数 ， ，所以函数的值域为 ， ，A正确．
因为 ，所以函数是偶函数，B正确．
因为 ，所以函数是周期函数，C不正确．
第 16 页因为 ，不具有单调性，D正确．
故选：C．
16．B
【解析】
【分析】
利用诱导公式将 化简为 ，然后可判断出答案.
【详解】
，
因为 ，
函数是偶函数.
故选：B
17．C
【解析】
【分析】
令 ，则 ，f(x)和g(x)在 上单调性相同，g(x)时奇函数，可得g(x)在
，据此可求M＋m，从而求出 .
【详解】
令 ，则 ，
∴f(x)和g(x)在 上单调性相同，
∴设g(x)在 上有最大值 ，有最小值 .
∵ ，
∴ ，
∴g(x)在 上为奇函数，∴ ，
∴ ，∴ ，
.
故选：C.
18．C
【解析】
【分析】
结合五点作图法及函数图象进行计算求解即可.
【详解】
可设 满足 , 且 （ ）,则 ,
第 17 页注意到五点作图法的最左边端点为 ,而 , ,
故有 , ,
当 时， ， ，此时 ；
当 时， ， ，此时 ,
故选：C．
19．B
【解析】
【分析】
求出函数 的图象关于 轴对称所满足的条件，和 进行比较
【详解】
关于 轴对称，则 关于原点对称，故 ， ，故 是可以推
出 ， ，但 ， 推不出 ，故函数 的图象关于 轴对称是 的
必要不充分条件
故选：B
20．C
【解析】
【分析】
由奇偶性的定义逐项分析即可.
【详解】
解：对A，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性，故A错误；
对B，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性；故B错误；
对C，函数的定义域为 ，且 ，故为奇函数，故C正确；
对D，函数的定义域为 ，不关于原点对称，无奇偶性，故D错误．
故选：C．
21．C
【解析】
【分析】
化 的解析式为 可判断①，求出 的解析式可判断②，由 得 ，
结合正弦函数得图象即可判断③，由
得 可判断④.
第 18 页【详解】
由题意， ，所以 ，故①正确；
为偶函数，故②错误；当
时， ， 单调递减，故③正确；若对任意 ，都有
成立，则 为最小值点， 为最大值点，则 的最小值为
，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综
合的问题.
22．D
【解析】
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
23．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义可判断 为奇函数，进而排除选项A、B，又 时， ，排除选项C，从而
可得答案.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以 ，又 定义域为R，
所以 为奇函数，其图象关于原点中心对称，
所以排除选项A、B，
又 时， ，所以排除选项C，从而可得选项D正确，
故选：D.
第 19 页24．D
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义逐一判断四个选项的的奇偶性，即可得正确选项.
【详解】
对于A： 的定义域为 ， ，所以 是偶函数，图象不关于原点对
称，故选项A不正确；
对于B： 的定义域为 ， ，
所以 是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B不正确；
对于C： 的定义域为 关于原点对称，
，所以 是偶函数，图象不关于原点对称，
故选项C不正确；
对于D： 的定义域为 ， ，
，所以 是奇函数，图象关于原点对称，故选项D正确；
故选：D.
25．D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性排除部分选项，再由函数的值域判断.
【详解】
∵ ，
∴ 为偶函数，故排除A，B．
∵ ， ，
∴ ，故排除C，
故选：D．
26．D
【解析】
求出选项中每个函数的最小正周期并判断其奇偶性，从而可得答案.
【详解】
A中,函数 是奇函数，最小正周期为 ，不合题意；
第 20 页B中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，不合题意；
C中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，不合题意；
D中,函数 是偶函数，最小正周期为 ，符合题意．
故选：D.
27．A
【解析】
【分析】
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再由函数在 上的取值可判断
【详解】
因为
所以函数 为奇函数，故排除选项C，D；
因为在 上， ，所以排除选项B．
故选：A．
28．D
【解析】
【分析】
根据指对函数的性质判断A、B，由正弦函数性质判断C，对于D有 ，即可判断奇偶性和
单调性.
【详解】
由 为奇函数且在 上递增，
A、B： 、 非奇非偶函数，排除；
C： 为奇函数，但在 上不单调，排除；
D： ，显然 且定义域关于原点对称，在 上递增，满足.
故选：D
29．C
【解析】
【分析】
分析函数的奇偶性排除两个选项，再利用 时， 值为正即可判断作答.
【详解】
第 21 页函数 定义域为R， ，即 是奇函数，A，B不满足；
当 时，即 ，则 ，而 ，因此 ，D不满足，C满足.
故选：C
30．C
【解析】
【分析】
化简函数 ，研究它的性质从而得出正确答案．
【详解】
为偶函数，故①正确．当 时， ，
它在区间 单调递减，故②错误．当 时， ，它有两个零点： ；当 时，
，它有一个零点： ，故 在 有 个零点： ，故③错误．当
时， ；当 时， ，又
为偶函数， 的最大值为 ，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．
【点睛】
画出函数 的图象，由图象可得①④正确，故选C．
31．B
【解析】
【分析】
先化简函数得 ，然后逐个分析判断即可
【详解】
解： ，
对于A， 的最小正周期为 ，所以A正确；
对于B， 在区间 上是减函数，所以B错误；
对于C，因为 ，所以 的图像关于直线 对称，所以C正确；
对于D，因为 ，所以 是偶函数，所以D正确，
故选：B
第 22 页32．D
【解析】
【分析】
利用函数 的图象变换规律，利用三角函数的图象和三角恒等变形，可得 ，即
， ，从而得到 ，进而得到的值.
【详解】
函数 的图像向左平移 个单位长度后，可得 的图象.
由条件 为奇函数，则 ，即
又 ，所以 ，即
关于 的方程 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 在 内有两个不同的解 ，
即 ，其中( 为锐角) 在 内有两个不同的解 ，
即方程即 在 内有两个不同的解 ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以
则 ，即 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数 的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，诱导公式，正弦函数的定义域和
值域，属于中档题．
33．D
【解析】
【分析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性以及是否存在零点，综合即可得答案．
【详解】
第 23 页解：根据题意，依次分析选项：
对于 ， ，为对数函数，不是奇函数，不符合题意，
对于 ， ，为二次函数，是偶函数，但不存在零点，不符合题意，
对于 ， ，为正弦函数，是奇函数，不符合题意，
对于 ， ，为余弦函数，既是偶函数又存在零点，符合题意，
故选： ．
34．BC
【解析】
【分析】
AC.由 ，结合 判断；BD. 由 判断.
【详解】
因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 不可能是奇函数，则
A错误，C正确.
当 时， 是偶函数，则B正确，D错误.
故选：BC
35．ACD
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A选项；利用特殊值法可判断B选项；利用函数周期性的定义可判断C选项；当
时，解方程 ，可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，函数 的定义域为 ，
，
函数 为偶函数，A选项正确；
对于B选项， ， ，则 ，故函数 在 上不是增函数，B选项错误；
对于C选项， ，
故函数 为周期函数，C选项正确；
对于D选项，由 ，解得 或 或 ，
所以，方程 在 上有三个实根，D选项正确.
故选：ACD.
36．BD
第 24 页【解析】
【分析】
首先可得 关于点 对称，从而得到 关于点 对称为奇函数，依题意只需使 为偶
函数即可，从而求出 的取值，即可得解；
【详解】
解：因为 ，所以 关于点 对称，
要使 为奇函数，因为 关于点 对称，为奇函数，
所以只需使 为偶函数即可，所以 ，
故符合题意的有B、D；
故选：BD
37．BCD
【解析】
【分析】
根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为 是 的一个极值点，则 ，所以A错误；
因为 ，则 ，可得 ，
令 ，解得 ，所以B正确.
因为 ，
则 ，所以C正确；
因为 ，
则当 为奇数时， 为偶函数；
当 为偶数时， 为偶函数，所以D正确.
故选：BCD.
38．②③
【解析】
【分析】
根据函数 的图象和性质对四个选项逐一判断，对于①②根据函数 在对称轴
第 25 页处取得最值，在对称中心处取得0即可作出判断，对于③， ，当
时， ，函数 单调递减，即可作出判断；对于④，可根据
为偶函数， ，（ ）计算作出判断.
【详解】
对于①， ，故①正确；
对于②， ，故②错误；
对于③， ，
当 时， ，函数 单调递减，故③错误；
对于④， ，
函数 是偶函数，所以 ， ，
即 ， ，故④正确.
故答案为：②③.
【点睛】
关键点睛：本题考查函数 的图象和性质，解题关键是将 看成一个整体，从而利用正弦
函数的图象和性质计算判断.
39．
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性求得 .
【详解】
为奇函数，所以
故答案为：
40．①④
【解析】
【分析】
根据余弦函数的性质，由题中条件，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
对于①， 定义域为 ，显然关于原点对称，
第 26 页且 ，所以 的图象关于y轴对称，命题①正确；
对于②， ， ，则 ，所以 的图象不关于原点对称，命题②错误；
对③， ， ，则 ，所以 的图象不关于 对称，命题③错误；
对④， ， ，
则 ，命题④正确.
故答案为：①④.
【点睛】
本题主要考查判定与三角函数有关命题的真假，熟记熟记余弦函数的性质即可，属于常考题型.
41． （答案不唯一，符合题意均可）
【解析】
【分析】
由 为奇函数，且 为奇函数， 为偶函数，可得 ，解方
程即可得答案.
【详解】
解： ，
因为 为奇函数，且 为奇函数， 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 或 ， ，
所以 的值可以是 ，
故答案为： （答案不唯一，符合题意均可）
42．
【解析】
【分析】
由解析式已知 为奇函数，利用奇函数性质有 ，即可求 .
【详解】
∵ ，
∴ ，即 为奇函数，
∴ ，故 .
第 27 页故答案为： .
43．1
【解析】
【分析】
根据已知条件先分析 的单调性和奇偶性，然后将已知等式变形可得 ，根据单调性奇
偶性可知 的关系，则结果可求.
【详解】
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 且 ，
设 ， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
又因为 ，定义域 关于原点对称，
所以 为奇函数，
由 可知 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
故答案为： .
【点睛】
思路点睛：利用函数单调性和奇偶性解形如 的等式的思路：
（1）利用奇偶性将等式变形为 ；
（2）根据单调性得到 与 的等量关系；
（3）结合函数定义域完成相关计算.
44．(1)奇函数
(2)非奇非偶函数
(3)偶函数
(4)偶函数
【解析】
【分析】
根据函数奇偶性的定义及判定方法，结合函数的解析式及三角函数的奇偶性，逐个判定，即可求解.
(1)
解：由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，即 ，
第 28 页所以函数 为定义域 的奇函数.
(2)
解：由题意，函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，
所以 且 ，
所以函数 为非奇非偶函数.
(3)
解：由函数 的定义域为 关于原点对称，
又由 ，即 ，
所以函数 为定义域 的偶函数.
(4)
解：由函数 ，满足 ，解得 ，
即函数的定义域为 ，关于原点对称，
又由 ，即 ，
所以函数 为定义域上的偶函数.
45．(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据偶函数的定义可得 ，从而可得 ，再由 ，代入可求 .
（2）由（1）可得 ，再由二倍角公式可得 ，再由同角三角函数的基本关系可得
，再利用两角和的余弦公式即可求解.
(1)
解：由已知得 对 恒成立，
∵ 不恒为0，∴ ，
∴ 恒成立，∴ ，
又 ，所以 ，∴ ，
而 ，所以 .
第 29 页(2)
由（1）知 ，
由 ，得 ，
所以， ， ，
而 ，
46．（1） ；（2）单调递减区间 ， ，单调增区间 .
【解析】
【分析】
（1）根据三角函数奇偶性即可求出 的值；
（2）根据三角函数的图象变换关系求出 的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
【详解】
（1）∵函数 是偶函数，
∴ ， ，
又 ，
∴ ；
（2）由（2）知 ，
将 的图象向右平移 个单位后，得到 ，
再将得到的图像上各点的横坐标伸长为原来的4倍（纵坐标不变），
得到 ，
当 ， ，
即 ， 时， 的单调递减，
当 ， ，
即 ， 时， 的单调递增，
因此 在 ， 的单调递减区间 ， ，
第 30 页单调增区间 .
47．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【解析】
【分析】
（1）先用辅助角公式化简，根据对称轴经过最高点或最低点可求出答案；
（2）先用辅助角公式化简，再平移，最后根据奇函数的性质可得出答案；
（3）先写出平移后的解析式，再根据偶函数的性质求解；
（4）先根据已知条件求出，函数解析式，再套周期的公式即可.
【详解】
解：（1）解法一：∵ （ ），∴ ，由正弦函数图像的性质知当
时， ，即 ，∴ ，即 ，∴ ．
解法二：∵函数 的图像关于直线 对称，∴ ，即
，∴ ，即
，故 ．
解法三：∵函数图像关于直线 对称，且 在原函数的图像上，点 关于 看的对称点为
，
∴ 即 ，故 ．
（2）由（1）知 ， ，再将图像向左平移 个单位得
.
若 为奇函数，则 ，解得 ，所以 的最小正值为 .
（3）解法一： 的图像向右平移 个单位得函数 的图像，由函数
的图像关于y轴对称可知 ，即 ，故 ， ，
即 ， ，又 ，∴ ．
解法二：根据正弦函数的对称性，只要找到y轴左侧第一条对称轴，由 （ ），得到 ，
第 31 页取 ，得 ，即将函数 的图像向右平移 个单位．
（4）解法一：∵ 在区间 上具有单调性，且 ，得 和 ，∴ 和 均不是
的极值点，其极值应该在 处取得．∵ ，∴ 也不是函数 的极值点．
又 在区间 上具有单调性，则 为 的另一个相邻的极值点．故函数 的最小正
周期 ．
解法二：∵ 在区间 上具有单调性，∴ ，∴ ．又∵ ，
∴ 就是函数 的图像与x轴的一个交点．
∵ ，且 ．∴ 就是和 、 在同一个周期内的一个极值点．
整合上述信息画出大致图像如图所示，可知 ，∴ ．
解法三：∵ ， ，而 在区间 上具有单调性，且 ．
又 ， ，∴点 是 的一个对称中心，
直线 是 的一条对称轴，且对称中心 与对称轴 相邻，故有 ，∴ ．
48．（1） ；（2）偶函数；（3）单调递减区间为： ，单调递增区间为： ，最小正周期： ，值域
为： .
【解析】
（1）由阅读材料中 ，即可求出 的定义域；
（2）由函数奇偶性的定义即可判断；
（3）根据阅读材料求出 的一个周期，再类比先证函数 在 上的单调性，再证
在 上的单调性，同理可得 在 上的单调性，即可求出最小正周期以及
第 32 页值域.
【详解】
解：（1） 正弦函数 和余弦函数 的定义域均为 ，故函数 的定义域为 ；
（2） 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
故函数 为偶函数；
（3） ，
，
即 为函数 的一个周期；
对函数 ，
①当 ，设 ，
由余弦函数 在 上单调递减，得： ，
令 ， ，可得： ，
而在区间 上，正弦函数 单调递增，
故 ，
从而， 时，函数 单调递减；
②当 时，设 ，
由余弦函数在在 上单调递减，得： ，
令 ， ，可得： ，
而在区间 上，正弦函数 单调递增，
故 ，
从而， 时，函数 单调递减；
同理可证： 时，函数 单调递增；
时，函数 单调递增；
综上所述：当 时，函数 单调递减；
当 时，函数 单调递增；
第 33 页可得： 为函数 的最小正周期；
故 ，
而 ，
故 的值域为： .
【点睛】
方法点睛：本题解题的关键是理解题意，利用定义证明函数的单调性，定义法判定函数 在区间 上的单调性
的一般步骤：
1.取值：任取 ， ，规定 ，
2.作差：计算 ；
3.定号：确定 的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
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