文档内容
微专题：等差数列基本量的计算
【考点梳理】
1. 等差数列的概念
(1)等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这
个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，即a
n
－a
n－1
＝d(n∈N
＋
，且n≥2)
或a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N
＋
).
(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中
项. 根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.
2. 等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：a ＝a ＋(n－1)d. 该式又可以写成a ＝nd＋(a －d)，这表明d≠0时，a 是关于n的一次函数，且
n 1 n 1 n
d>0时是增函数，d<0时是减函数.
(2)前n项和公式：S ＝＝na ＋d. 该式又可以写成S ＝n2＋n，这表明d≠0时，S 是关于n的二次函数，且d>0
n 1 n n
时图象开口向上，d<0时图象开口向下.
3、在等差数列五个基本量a ，d，n，a ，S 中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公
1 n n
式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意等差数列性质、整体代换及方程思
想的应用.
【题型归纳】
题型一：等差数列通项公式的基本量计算
1．已知等差数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．等差数列 中， ， ，则 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．数列 中， ，且数列 是等差数列，则 等于（ ）
A． B． C．1 D．
题型二：等差数列前n项和的基本量计算
4．设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 （ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．19 B．22 C．25 D．27
6．已知等差数列 中，其前5项的和 ，等比数列 中， 则 （ ）
A． 或 B． C． D．
【双基达标】
7．对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.
8．若等差数列的首项是 ，且从第 项开始大于 ，则公差 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a，a 是方程x2+2x﹣3=0的两实根.则S=（ ）
2 4 5
A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10
10．已知等差数列 的前n项和为 ， ，若 ，且 ，则m的值是
A．7 B．8 C．9 D．10
11．在下列的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 的值为
（ ）
2 4
1 2
x y
A．2 B．3 C．4 D．5
12．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学
家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．
“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到500这500个数中，能被3除余
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司2，且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则这个新数列各项之和为（ ）．
A．6923 B．6921 C．8483 D．8481
13．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ，且 ， ，则 （ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
14．已知等比数列 的前 项积为 ，若 ， ，则当 取最大值时， 的值为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
15．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积
共4升，下面3节的容积共6升，则第5节的容积是
A． B． C． D．
16．已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则下列数值中最大的是（ ）
A． B．
C． D．
17．已知 是公差为d的等差数列， 为其前n项和．若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
18．等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）.
A．15 B．20 C．25 D．40
19．设数列{an}的通项公式为an＝2n－7，则|a|＋|a|＋|a|＋…＋|a |＝（ ）
1 2 3 15
A．139 B．153
C．144 D．178
20．已知数列 的前 项和为 ， ， 且 ，满足 ，数列 的前 项和为 ，
则下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C．数列 的最大项为 D．
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司21．设等差数列 和等比数列 的首项都是1，公差与公比都是2，则 （ ）．
A．54 B．56 C．58 D．57
22．已知等差数列 中， ，则数列 的公差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
23．已知递增等差数列 中， ，则 的（ ）
A．最大值为－4 B．最小值为4 C．最小值为－4 D．最大值为4
24．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
25．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ＝ ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
26．由 =4， 确定的等差数列 ，当an=28时，序号 等于（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
27．已知首项为 ，公差为d的等差数列 的前n项和为 ，且满足 ，则d的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
28．已知等差数列的首项为 ，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
29．《周髀算经》中给出了：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二节气的日
影长依次成等差数列的结论.已知某地区立春与惊蛰两个节气的日影长分别为9尺和7尺，现在从该地日影长小于7
尺的节气中随机抽取2个节气进行日影长情况统计，则所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概
率为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
30．《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同
（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、
寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏
至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
31．已知等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列的通项公式 为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．已知数列 是等差数列，前n项和为 且 下列结论中正确的是（ ）
A． 最小 B． C． D．
33．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a＝12，S ＞0，a＜0，则（ ）
3 12 7
A．a＞0
6
B．
C．Sn＜0时，n的最小值为13
D．数列 中最小项为第7项
34．记 为等差数列 的前n项和.若 ，则以下结论一定正确的是（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．
35．等差数列 是递增数列，满足 ，前 项和为 ，下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．当 时 最小 D． 时 的最小值为
三、填空题
36．在等差数列 中，若 ，则该数列的前2021项的和为_______.
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司37．在等差数列 中，若 ， ，则 ________．
38．若数列 是正项数列，且 ，则 ______．
39．将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
40．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 的最小值是______．
41．等差数列 的前 项之和为 ，若 ， ，则 ______．
四、解答题
42．已知在等差数列 中，公差 ，其前n项和为 ， ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 ．
43． 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值.
44．已知等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 .
45．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， .
（1）求 与 ；
（2）设数列 满足 ，求 的前 项和 .
46．已知 为等差数列， 为等比数列， ．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为 ，依题意求出公差，即可求出通项公式，再代入计算可得.
【详解】
解：设等差数列的公差为 ，由 、 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
2．C
【解析】
【分析】
根据条件求出 即可.
【详解】
因为 ， ，
所以可解得 ，所以 ，
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义求解.
【详解】
解： 数列 中， ，且数列 是等差数列，
数列 的公差 ，
，解得
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差 ，从而求得通项公式，代入 则可得出答案.
【详解】
第 8 页由已知可得， ，解可得 ，
故选：C.
5．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的前 项和公式以及通项公式即可求解.
【详解】
设 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ．
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
由等差数列求和公式求出 ，由等比数列通项公式基本量计算得到公比，进而求出 ，从而求出结果.
【详解】
由题意得： ，解得： ，
设等比数列 的公比是 ，因为 ，所以 ，解得： ，
显然 ，所以 ，所以 ，
所以
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
由等差数列的定义、通项公式以及充要条件的定义即可求解.
【详解】
解：若数列 的通项公式为 ，则 ( 为常数)，由等差数列的定义可得
数列 为等差数列；
若数列 为等差数列，设首项为 ，公差为 ，则通项公式为 ，
令 ，则数列 的通项公式可写为 ， 为常数， .
第 9 页所以对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的充要条件.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
直接写出等差数列的通项公式，由 且 联立不等式组求得公差 的取值范围．
【详解】
解： 等差数列的首项是 ，
则等差数列的通项公式为 ，
要使从第10项开始为正，
则由 ，解得： ．
故选： ．
9．C
【解析】
【分析】
根据a，a 是方程x2+2x﹣3=0的两实根，得到 的关系,再由 求解.
2 4
【详解】
∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且a，a 是方程x2+2x﹣3=0的两实根，
2 4
∴ ，
所以
故选：C.
10．C
【解析】
由等差数列性质求出 ，由等差数列前n项可求得m．
【详解】
∵ 是等差数列，∴ ， ，
∴ ， ．
故选：C．
【点睛】
本题考查等差数列的性质与前n项公式，掌握等差数列的性质是解题基础．
11．A
【解析】
【分析】
由题意得出 的值后求解
第 10 页【详解】
由题意知表格为
2 4 6
1 2 3
1
故 ．
故选：A
12．C
【解析】
【分析】
依题意数列 是以2为首项，以15为公差的等差数列，即可得到数列的通项公式，再解不等式求出 的取值范
围，最后根据等差数列前 项和公式计算可得；
【详解】
解：由题意可知数列 既是3的倍数，又是5的倍数，
因此数列 是以2为首项，以15为公差的等差数列，
，令 ，解得 ，
因此这个新数列的最后一项为 ，
设新数列的前n项和为 ，则 ．
故选：C．
13．C
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质可得 ，由 ，可求得 ，再根据 ，即可求得答案.
【详解】
解：根据等差数列的性质可得 ．
∵ ，∴ 或 ．
若 ，显然 不成立，∴ ．
∴ ，解得 ．
故选：C．
14．D
【解析】
第 11 页【分析】
设等比数列 的公比为 ，由已知求得 ，写出通项公式，然后求得积 ，确定在 为偶数时 ，计算出
（ ），再说明 且 为偶数时， 即得．
【详解】
解：设等比数列 的公比为 ，则 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以当 取得最大值时，可得 为偶数，
而 在 上单调递减， ； ； ，则 ，且
，
当 且 为偶数时， ，
，所以 ，所以 时， 取得最大值．
故选：D．
15．C
【解析】
将问题转化为等差数列问题，根据已知条件列出方程组求解出数列的首项和公差，然后即可求解出 的值.
【详解】
将等差数列记为 ，其中第 节的容积为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以第 节的容积为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列及其前 项和的简单综合应用，难度较易.已知关于等差数列的两个等式求解等差数列通项的常
用方法：（1）构造关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差即可求解出通项公式；（2）利用等差数列的性
质求解通项公式.
16．D
【解析】
根据题意求出数列的首项和公差，再求出 ，可得出 是单调递增数列，即可判断.
【详解】
设等差数列 的公差为 ， ， ，
第 12 页，解得 ， ，
，
，可得 是单调递增数列，
所以在 ， ， ， 中，最大的为 ．
故选：D.
17．C
【解析】
根据 是公差为d的等差数列，且 ，利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】
因为 是公差为d的等差数列，且 ，
所以 ，
解得 ，
故选：C
18．B
【解析】
将已知条件转化为 的形式，由此求得 的关系式，进而求得 的值.
【详解】
因为等差数列 的公差不为零，其前 项和为 ，
又 ，
所以 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前 项和公式，属于基础题.
19．B
【解析】
【分析】
根据数列的通项公式，可得数列{an}为等差数列，即可求得 ，进而可得前n项和 ，所求可化简为 ，
代入公式，即可得答案.
【详解】
∵an＝2n－7，∴ ，
∴数列{an}为等差数列，且a＝－5，d＝2.
1
第 13 页∴前n项和 .
∴|a|＋|a|＋…＋|a |＝ .
1 2 15
故选：B
20．D
【解析】
当 且 时，由 代入 可推导出数列 为等差数列，确定该数列的首项和公
差，可求得数列 的通项公式，由 可判断A选项的正误；利用 的表达式可判断BC选项的正误；
求出 ，可判断D选项的正误.
【详解】
当 且 时，由 ，
由 可得 ，
整理得 （ 且 ）.
则 为以2为首项，以2为公差的等差数列 ， .
A中，当 时， ，A选项正确；
B中， 为等差数列，显然有 ，B选项正确；
C中，记 ，
，
，故 为递减数列，
，C选项正确；
D中， ， ， .
，D
选项错误.
故选：D．
【点睛】
第 14 页关键点点睛：利用 与 的关系求通项，一般利用 来求解，在变形过程中要注意 是否适用，
当利用作差法求解不方便时，应利用 将递推关系转化为有关 的递推数列来求解.
21．D
【解析】
【分析】
根据等差数列等比数列的通项公式，求出 ， ,结合已知条件即可求解.
【详解】
由题意知，等差数列 的首项是1，公差是2，则
所以 ，
等比数列 的首项是1，公比是2，则
所以 ，
所以 ．
故选：D.
22．C
【解析】
【分析】
利用 ，直接计算公差即可.
【详解】
等差数列 中， ，设公差为d，则 ，即 .
故选：C.
23．B
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式可得d= ，由a=a+2d= ，利用基本不等式即可求解.
3 1
【详解】
解：∵递增等差数列{an}中，aa=﹣2，
1 2
∴a(a+d)=﹣2，且d>0，
1 1
∴d= ，∴a<0，
1
∴a=a+2d= ≥ ，
3 1
当且仅当a=﹣2时，等号成立，
1
∴a 有最小值4.
3
故选：B.
第 15 页【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式求最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
24．A
【解析】
【分析】
等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B， ， ，排除B，对C，
，排除C．对D， ，排除D，
故选A．
【详解】
由题知， ，解得 ，∴ ，故选A．
【点睛】
本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n
项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．
25．A
【解析】
【分析】
运用等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】
设等差数列{an}的公差为d，
∵ ，显然 ，
∴ ，
故选：A
26．A
【解析】
【分析】
首先求出数列的通项公式，再解方程即可；
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，所以 ，解得
故选：A
【点睛】
本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.
27．A
【解析】
【分析】
第 16 页根据等差数列的前n项和公式将 展开，利用判别式即可求得答案.
【详解】
由 ，得 ，
整理得 ，
所以 ，
解得 或 ，
故选:A．
28．D
【解析】
【分析】
易得 ，结合通项公式，解关于 的不等式即可.
【详解】
由题意得 所以 解得 .
故选：D
29．B
【解析】
【分析】
设十二节气的日影长依次成等差数列 ，根据题意求出 的通项公式，确定十二节气中日影长小于3尺和小
于 尺的项，利用古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
设十二节气的日影长依次成等差数列 ，公差为 ，
由题意知： ， ，可得 ，
所以 ，
令 可得： ，
可得： ，
所以这十二节气的日影长小于3尺的有 个，分别为 ，
小于 尺的有 个，分别为 ， ， ， ， ， ，
从中任取 个基本事件有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共 个，
所以所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的有 ， ， ， ， ，
第 17 页， ， 共有 个，
所选取这2个节气中恰好有1个节气的日影长小于3尺的概率为 ，
故选：B
【点睛】
方法点睛：古典概型概率问题
（1）针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性；
（2）求出基本事件的总数 ，和事件 中包含的基本事件的个数 ；
（3）利用 即可求概率.
30．D
【解析】
【分析】
设等差数列 的首项为 ，公差为d，根据题意列出方程组求解即可.
【详解】
∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列 ，
设其首项为 ，公差为d，
根据题意 ，
∴立秋的晷长为 .
故选：D
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式、求和公式，属于基础题.
31．C
【解析】
【分析】
根据等差数列前 项和公式列方程求得 与公差 ，即可求通项公式.
【详解】
设公差为 ，依题意得
解得
所以
故选：C
32．BCD
【解析】
第 18 页由 是等差数列及 ，求出 与 的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断.
【详解】
设等差数列数列 的公差为 .
由 有 ，即
所以 ,则选项D正确.
选项A. ,无法判断其是否有最小值，故A错误.
选项B. ,故B正确.
选项C. ,所以 ，故C正确.
故选：BCD
【点睛】
关键点睛：本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，解答本题的关键是由条件 得到
，即 ，然后由等差数列的性质和前 项和公式判断,属于中档题.
33．ABCD
【解析】
【分析】
S ＞0，a＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a+a＞0，a＞0．再利用a＝a+2d＝12，可得 ＜d＜
12 7 6 7 6 3 1
﹣3．a＞0．利用S ＝13a＜0．可得Sn＜0时，n的最小值为13．数列 中，n≤6时， ＞0.7≤n≤12时，
1 13 7
＜0．n≥13时， ＞0．进而判断出D是否正确．
【详解】
∵S ＞0，a＜0，∴ ＞0，a+6d＜0．
12 7 1
∴a+a＞0，a＞0．∴2a+11d＞0，a+5d＞0，
6 7 6 1 1
又∵a＝a+2d＝12，∴ ＜d＜﹣3．a＞0．
3 1 1
S ＝ ＝13a＜0．
13 7
∴Sn＜0时，n的最小值为13．
数列 中，n≤6时， ＞0，7≤n≤12时， ＜0，n≥13时， ＞0．
对于：7≤n≤12时， ＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，
第 19 页但是随着n的增大而减小，可得： ＜0，但是随着n的增大而增大．
∴n＝7时， 取得最小值．
综上可得：ABCD都正确．
故选：ABCD．
【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
34．AC
【解析】
【分析】
设等差数列的公差为 ，由 ，求得 ，结合等差数列的通项公式和求和公式，逐项判定，即可
求解.
【详解】
设等差数列的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由 ，所以 ，所以A正确；
因为公差 的正负不能确定，所以 可能为最大值最小值，故B不正确；
由 ，所以 ，所以C正确；
因为 ，所以 ，即 ，所以D错误.
故选：AC.
35．ABD
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，因为 ，求得 ，根据数列 是递增数列，得到A、B正确；再由前
项和公式，结合二次函数和不等式的解法，即可求解．
【详解】
解：由题意，设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，解得 ，
又由等差数列 是递增数列，可知 ，则 ，故A、B正确；
因为 ，
由 可知，当 或4时 最小，故C错误，
令 ，解得 或 ，即 时 的最小值为8，故D正确．
故选：ABD．
第 20 页36．
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质和求和公式，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意，等差数列 中， ，
所以 ，
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，以及等差数的前 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和求和公式
是解答的关键，着重考查推理能力和计算能力，属于基础题.
37．
【解析】
【分析】
设等差数列 的公差为 ，根据题意列出方程组，求得 ，进而求得 的值.
【详解】
设等差数列 的公差为 ，
因为 ， ，可得 ，可得 ，
所以 .
故答案为： .
38．
【解析】
【分析】
当 时， ，与已知式相减，得 ，
检验首项即可得到数列通项公式，根据通项求和.
【详解】
令 ，得 ，∴ ．
当 时， ．
与已知式相减，得 ．
∴ ．
又∵ 时， 满足上式，∴ ．
第 21 页∴ ，∴ ．
故答案为：
39．
【解析】
【分析】
首先判断出数列 与 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差
数列的求和公式求得结果.
【详解】
因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列 是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以 的前 项和为 ，
故答案为： .
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，
属于简单题目.
40．
【解析】
【分析】
根据给定条件求出等差数列 的首项、公差，探求数列 的单调性即可计算作答.
【详解】
设等差数列 的公差为d，由 得 ，解得 ，
因此， ，令 ，解得 ，
于是得数列 是递增等差数列，其前6项为负，第7项为0，从第8项开始为正，
所以 或 最小，最小值为 ．
故答案为：
41．90
【解析】
【分析】
根据给定条件，结合等差数列性质求出 ，再利用等差数列前 项和公式计算作答.
【详解】
第 22 页由 得： ，整理得 ，由 得： ，整理得 ，
而 ，即 ，于是得 ，
所以 .
故答案为：90
42．（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列前 项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列 的
通项公式；
（2）当 时， ；当 时， ，根据等差求和公式可求解．
【详解】
（1）由 ， ，
得 ，解得 ，
所以等差数列 的通项公式为 ．
（2）当 时，
．
当 时，
．
故 ．
43．（1） ；（2） ， 时， 的最小值为 .
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式以及前 项和公式求出 ， ，代入通项公式即可求解.
（2）利用等差数列的前 项和公式可得 ，配方即可求解.
【详解】
（1）设 的公差为 ，
由 ， ，
即 ，解得 ，
第 23 页所以 .
（2） ，
，
所以当 时， 的最小值为 .
44．（1） ；（2） .
【解析】
（1）先设等差数列的公差为 ，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到 ，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
（1）设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 ，所以 ；
（2）由（1）可得， ，即数列 为等比数列，
所以数列 的前n项和 .
45．（1） , （2）
【解析】
【分析】
（1）由 和 ，可求出 和 ，然后利用等差数列的性质可求出 与 ；（2）由
（1）知 ，可得 ，利用裂项相消的求和方法，可求出 的前 项和
.
【详解】
解：（1）设等差数列公差为 ， ，故 ，
，故 ，
， ，
易得 ，
∴ ．
（2）由（1）知 ，则 ，
第 24 页则 ．
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前 项和公式，考查了裂项相消的求和方法，考查了学生的计算能力，属于基础
题．
46．（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算 和
的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，
又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
第 25 页由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.
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