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阶段性检测 4.2（中）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】解不等式确定集合 ,然后由并集定义计算.
【详解】由题意 或 ， ，
所以 或 ，
故选：D．
2．已知复数 ， ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的概念及四则运算法则计算即可.
【详解】由 得 .
故选：A
3．不等式“ ”是“ ”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解对数不等式和指数不等式，求出解集，进而判断出答案.
【详解】 ，解得 ， ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，但 ，
故“ ”是“ ”成立的充分不必要条件.
故选：A
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法，结合同角的三角函数关系式、两角差的正弦公式进行求解即可.
【详解】由
，
设 ， ①，
又 ②，
所以联立①②，解得 ，故 ．
故选：D
5．“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，自在进一步培养学生的人文底蕴和科学精神，为继
续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的校本活动课：创意陶盆，拓
印，扎染，壁挂，的纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1个项目．则甲、乙、丙、丁这4名学生至
少有3名学生所选的课全不相同的方法共有（ ）
A．360种 B．480种 C．720种 D．1080种
【答案】B
【分析】分为恰有2名学生所选的课相同，以及4名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，
相加即可得出答案.
【详解】①恰有2名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2名学生选出，有 种可能；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】第二步，从5个项目中选出3个排序，有 ．
根据分步计数原理可得，方法有 种；
②4名学生所选的课全不相同的方法有 种．
根据分类加法计数原理可得，
甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选的课全不相同的方法共有 种．
故选：B.
6．（ 2023·江西景德镇·统考三模）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，
它的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天.中
国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌.雪飞天的助
滑道可以看成一个线段 和一段圆弧 组成，如图所示.在适当的坐标系下圆弧 所在圆的方程为
，若某运动员在起跳点 以倾斜角为 且与圆 相切的直线方向起跳，起跳后的
飞行轨迹是一个对称轴在 轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将直线 方程与圆的方程联立可求得 点坐标，根据在 点的切线斜率和点 坐标可求得抛
物线方程中的 ，整理可得抛物线方程.
【详解】由题意知： ，又 ，
直线 方程为： ，即 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 得： 或 ，
即 或 ，
为靠近 轴的切点， ；
设飞行轨迹的抛物线方程为： ，则 ，
在点 处的切线斜率为 ， ，解得： ，
，解得： ， ，
即抛物线方程为： .
故选：A.
7．（ 2023·湖南永州·统考一模）若数列 的前 项和为 ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 之间的关系可求出 ，进而求得 ，由此结合熟的大小比较可判断
A，B，C，利用放缩法，当 时，可推出 ，累加即可判断D.
【详解】令 ，则 ，即 ，
由 ，的 ；
当 时， ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 ，故 为首项是1，公差为1的等差数列，
则 ，故 ，
所以当 时， ， 也适合该式，
故 ，
对于A，
，A错误；
对于B， ，B错误；
对于C， ，C错误；
对于D，当 时， ，
故
，D正确，
故选：D
8．如图，在正方体 中，P为棱AD上的动点．给出以下四个命题：
① ；
②异面直线 与 所成角的取值范围为 ；
③有且仅有一个点P，使得 平面 ；
④三棱锥 的体积是定值．
其中真命题的个数为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则 ，其中 ，由
，可判定①正确；由向量的夹角公式求得 ，进而可判定以②
正确；由 平面 ，得到 ，结合向量的垂直的坐标表示，列出方程，可判定③不正确；结
合 ，可判定④正确．
【详解】以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如
图所示，设正方体的棱长为1，则 ，其中 ，
则 ， ．
因为 ，所以 ，所以①正确；
因为 ，
所以 ，
当 时， ，此时异面直线 与 所成的角为 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ，
令 ，其中 ，
则 ，所以 ，
所以异面直线 与 所成角的取值范围为 ，
综上可知异面直线 与 所成角的取值范围为 ，所以②正确；
若 平面 ，则 ，因为 ， ，
所以 ． ，
因为方程 无实数解，所以 不成立，所以③不正确；
在正方体 中，点 在 上，且 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，
因为 平面 ，所以三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以④正确．
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在抛物线 上，点 ，若 ，且
，则抛物线 的方程可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】利用抛物线的定义、以及几何性质求解.
【详解】
设 ，因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以 ，
解得 ，所以 ，解得 或 ，
所以抛物线 的方程为 或 ．
故选:BC.
10．下列命题中正确的是（ ）
A．数据 的第25百分位数是1
B．若事件 的概率满足 且 ，则 相互独立
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．若随机变量 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】BCD
【分析】对于A：根据百分位数分析运算；对于B：根据条件概率和独立事件分析判断；对于C：根据二
项分布的方差以及方差的性质分析判断；对于D：根据正态分布的性质分析判断.
【详解】对于选项 ：8个数据从小到大排列，由于 ，
所以第25百分位数应该是第二个与第三个的平均数 ，故A错误；
对于选项 ：由 ，可得 ，
即 ，可得 ，
所以 相互独立，故B正确；
对于选项C：因为 ，则 ，故C正确；
对于选项D：因为随机变量 ，
由正态曲线的对称性可得： ，则 ，
所以 ，故D正确；
故选：BCD.
11．已知三棱柱 的六个顶点都在球O的球面上， .若点O到三棱柱
的所有面的距离都相等，则（ ）
A． 平面
B．
C．平面 截球O所得截面圆的周长为
D．球O的表面积为
【答案】AC
【分析】根据球的性质可判断 为直棱柱，即可判断A，由内切球的性质，结合三棱柱的特征
即可判断B，由勾股定理以及等边三角形的性质可判断CD.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】选项A，三棱柱 的六个顶点都在球O的球面上，根据球的对称性可知三棱柱
为直棱柱，所以 平面 ，因此A正确.
选项B：因为 ，所以 .因为点O到三棱柱 的所有面的距离都相
等，所以三棱柱 的内切球与外接球的球心重合.设该三棱柱的内切球的半径为r，与底面以及
侧面相切于 ,则 ,由于 为矩形 的对角线交点，所以 ，而三角形
为等边三角形，所以 ,所以 ，所以 ，因此B错误.
选项C：由 ，可知 ，解得 （负值已舍去），则 .
易得 的外接圆的半径 ，所以平面 截球O所得截面圆的周长为
，因此C正确.
选项D：三棱柱 外接球的半径 ，所以球O的表面积 ，
因此D错误.
故选：AC
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】12．已知函数 的最小值为2，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】由指数函数单调性判断A是错误，利用导数求最小值判断CD，由不等式性质得出B的真假．
【详解】选项A，若 ，则 ， 是 上的增函数，无最小值，A错；
，由 得 ，记 ，
， ，由选项A分析及已知得 ，
时， ， 递减， 时， ， 递增，
所以 时， 取得极小值也是最小值，
若 ，则 ， ， ，D正确，此时由于 得 ，B也
正确；
若 ，则 ， ， ，从而 ， ，不合题意（同理可证
也是错误的），C错．
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线C： 的渐近线方程为 ，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】由题意可得 ，然后由 可求得结果.
【详解】因为双曲线C： 的渐近线方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以离心率 ，
故答案为：
14．若直线 与曲线 相切，则 ．
【答案】
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合已知切线列式求解即可.
【详解】依题意，设切点为 ，则 ，
由 ，求导得 ，于是 ，解得 ，
从而 ，则 .
故答案为：
15．在平面直角坐标系中，圆 和 外切形成一个8字形状，若
， 为圆M上两点，B为两圆圆周上任一点（不同于点A，P），则 的最大值为
．
【答案】 /
【分析】利用已知条件求解 ， ，即可得到圆的方程，设出 的坐标，化简向量的数量积，求解最值即
可．
【详解】圆 ， ， 为圆 上两点，
可得 ，解得 ， ，所以，圆 ，
满足圆 和 外切，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】为两圆圆周上任一点（不同于点 ， ，如果 取得最大值，可知 在 上，设
，
则 , , ，当且仅当 时取得最大值
．
故答案为：
16．已知函数 ，若从集合 中随机选取一个元素 ，则函数
恰有7个零点的概率是 ．
【答案】
【分析】由 ，得 ，由 ，得 ，画出 的图象结合
，且 ，分情况求解即可.
【详解】由 ，得 ，当 时， 的最小值为 ．
由 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ．而 ，
当 时，方程 的实数解的个数分别为3，3，2；
当 时，方程 的实数解的个数分别为3，2，2；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时，方程 ， 的实数解的个数均为2．
所以当 时，函数 恰有7个零点，故所求概率为 ．
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出
函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．设等差数列 前 项和 ， ，满足 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，设数列 的前 项和为 ，求证 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的通项公式进行求解即可；
（2）利用等差数列前 项和公式，结合裂项相消法进行求解即可.
【详解】（1）依题意有 ，
， ，
又 为等差数列，设公差为 ，
， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）可得 ，
， ， ， ， ，
.
18．如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，底面 是矩形， 分别是 的中
点，平面 经过点 与棱 交于点 ．
(1)试用所学知识确定 在棱 上的位置；
(2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【答案】(1)靠近 的三等分点处
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）过 作直线 与 平行，延长 与 交于点 ，
连接 与 的交点即为点 ．
因为底面 是矩形， 是 的中点，
所以 ，且 ．
又 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 是 的中点，可得 ，
则 ，所以 ．
故 在棱 的靠近 的三等分点处．
（2）因为 是 的中点，所以 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
取 中点 ，连接 ，易知 两两相互垂直，
如图，分别以 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
．
设平面 的法向量为 ，
则 即 令 ，则 ，所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】．
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
19．从条件① ；② 中任选一个，补充在下面问题中，
并加以解答.在 中：内角 的对边分别为 ，______.
(1)求角 的大小；
(2)设 为边 的中点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用正弦定理边化角，结合辅助角公式可整理得到 ，由角的范围可
求得 ；
若选②，利用二倍角和辅助角公式可化简求得 ，由角的范围可求得 ；
（2）由 ，平方后可用 表示出 ，结合基本不等式可求得最大值.
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得： ，
，
， ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即 ， ，
又 ， ， ，解得： ；
若选条件②： ，
， ，
， ， ，解得： .
（2）
， ，
即 ，
（当且仅当 时取等号），
的最大值为 .
20．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性并求极值.
(2)设函数 （ 为 的导函数），若函数 在 内有两个不同的零点，求实
数 的取值范围.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增， 的极小值为 ，无极大值；
(2) .
【分析】（1）求出 ，然后可得单调性和极值；
（2） ，然后求出当 时 的单调性，要使函数 在 内有两个不同的零点，
则有 ，解出 ，然后证明 即可.
【详解】（1）因为 在 上单调递增，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以当 或 时， 在 上单调，至多只有一个零点，不满足题意，
当 时，由 可得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以要使函数 在 内有两个不同的零点，则有 ，
由 可得 ，下面证明当 时 ，
令 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，
所以当 时 ，
综上：实数 的取值范围为 .
21．某校组织“青春心向党，喜迎二十大”主题知识竞赛，每题答对得3分，答错得1分，已知小明答对
每道题的概率是 ，且每次回答问题是相互独立的.
(1)记小明答3题累计得分为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若小明连续答题获得的分数的平均值大于2分，即可获得优秀奖.现有答 和 道题两种选择，要想
获奖概率最大，小明应该如何选择？请说明理由.
【答案】(1)分布列见解析，数学期望：
(2)小明选择答 道题时，获奖的概率更大，理由见解析
【分析】（1）由X的取值为3，5，7，9，再利用独立重复试验求得概率，然后列出分布列进而求得数学
期望；
（2）分别求出小明选择答 道题与 道题获得优秀奖的概率，再进行比较即可.
【详解】（1）由题意知 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
，
，
所以 的分布列为
3 5 7 9
；
（2）由题意可知甲同学答一题得3分的概率为 ，得1分的概率为 ，
若选择答 道题，此时要能获得优秀奖，则需 次游戏的总得分大于 ，
设答 道题中，得3分的题数为 ，则 ，则 ，
易知 ，
故此时获优秀奖的概率： ，
，
，
同理可以求出当选择答 道题，获优秀奖的概率为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，
所以 ，则 ，
所以小明选择答 道题时，获奖的概率更大.
22．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，长轴长为短轴长的2倍，点 在 上运动，
且 面积的最大值为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 经过点 ，交 于 两点，直线 分别交直线 于 ， 两点，试问
与 的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2) 与 的面积之比为定值
【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；
（2）利用韦达定理及面积公式计算即可.
【详解】（1）由题意得 ，即 ①．
当点 为 的上顶点或下顶点时， 的面积取得最大值，
所以 ，即 ②．
联立①②，得 ．
故 的方程为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）
与 的面积之比为定值．
由（1）可得 ，
由题意设直线 ．
联立 得 ，
则 ，
，
所以 ．
直线 的方程为 ，
令 ，得 ，即 ．
同理可得 ．
故 与 的面积之比为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
即 与 的面积之比为定值 ．
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是化积为和，得到 ，最后得到面积比值表达式，
再进行代换即可得到面积比值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
